Commande par mode de glissement dynamique d'une machine asynchrone.

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Remerciements

Tlout trævai,[réussÉ d;cms ûa vÉe nécesstte enj)remier aeu da

6énéd;iction de Di,eu, et ensui,te ['cride et de support de

jJûusiews j)ersomes. nous tiens donc à remercter et à

adiyesser notre recomoti,sscmce à toute j)ersome qui m'a

cridé de ûoi;m ou de ]9rés afim de réaaser ['um de mes rêves . . .

Tiout d'abord:, je tiens à remercter trés vi;vement mon

di;yectew diu mémoiye, JA. g\4A:OucgfE, j)ow ses qua[ités

hu:iirLcrimes et sc£enltfiques. Je ne powraÉ jæ:imotis oubûi,er sa

gentiüûesse, sa générostté, son esprtt de recherche et ses

coiin:mentai;yes ef f icaces. rum gramd merci de iirL ' owotr domé

[a chamce d;e réa[iser ce modeste trcwori,[.

Je reiiiiLerci,e vi;vement ûes iirLem6res djujwy pow de souti,en

et ['imtérêt qu 'iÆs ont j)ortés à ce trcwai[.

Pow termi;me'r, j'ad;yesse mon grcmd a:m,ow à mes

jJcwents, mon ]9ére pow son sacrtfice irirLa mére jJow sa

tendjyesse, et mes fréres et sœuys, c 'est grâce à ûew cmryLow et

ûeuys sacrtfices que ce irirLémoi;re a été mené à bome firL. J\4on

pûus grcmdsouhatt dcms cette vie, c 'est de ûes votr toujows à

côté de moi,, en 6ome somté, heuyeux et que daj)aix soti a;vec

eux.

DÉDICACE

À chaque fois qu'on achève une étape importante dans notre vie, on fait pensée

pour se rappeler de ces personnes qui ont partagé avec nous tous les bons moments

de notre existence, mais surtout les mauvais. Ces personnes qui nous ont aidés sans

qu'on leur demande, soutenus sans réserve, aimé sans compter, ces personnes qui

en cru nous et que grâce a qui notre bonheur et joie reviennent de droit, à qui un

malheur en nous, en eux transforme en pleur.

Je dédie ce modeste mémoire qui est l'accomplissement de langues années

d'étude, en premier lieu:

À ma très chère mère à qui je doit beaucoup pour ces saŒifices, son amour, son

aide et son soutien.

À mon père qui m'a soutenu et à su me donner courage au moment venu.

À mes fi.ère.

À tous les membres de la famille.

À mes très chères amis.

À tous (tes) mes collègues

Sommaire

Introduction Générale

CHAPITRE I

Modé]isation et simu]ation de la machine asynchrone

1.1. Introduction

1.2. Modélisation de la machine asynchrone 1.2.1. Hypothèses simplificatrices

1.2.2. Modèle mathématique du moteur asynchrone triphasé 1.2.3. Modèle mathématique biphasée du moteur asynchrone 1.3.1 Transformation de Park

1.3.2. Ecriture du modèle mathématique biphasée de la machine ...

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1.3.4. Expression du modèle de la machine. . .

1.4. Représentation d'état du modèle de la machine asynchrone 1.5. Simulation du modèle d'état

1.6. Interprétation des résultats de simulation

1.7. Conclusion

11.1. Introduction

CHAPITRE 11

Théorie de la commande par mode de g]issement

11.2. Commande par mode de glissement 11.3. Principe de la commande

11.4. Notions de base

11.4.1. Régime glissant

11.4.2. Système mono variable (SISO)

11.4.2.1. Commande par mode glissant statique

11.4.2.1.1. Surface de glissement

11.4.2.1.2. Condition de convergence ... 11.4.2.1.3. Détermination de la loi de commande 11.4.2.1.4. Expression analytique de la commande 11.4.2.1.5. Définition des grandeurs de commande

11.4.2.1.6. Propriétés de robustesse

11.4.2.1.7. Problème de réticence (chattering) 11.4.2.2. Commande par mode glissant dynamique

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11.4.3.1. Commande par mode de glissement statique

11.4.3.1.1. Surface de glissement ...

11.4.3.1.2. Condition de convergence

11.4.3.1.3. Loi de commande . . .

11.4.3.2. Commande par mode de glissement dynamique 11.4.3.2.1. Surface de glissement

11.4.3.2.2. Loi de commande

11.5. Conclusion

CHAPITRE 111

App]ication de la commande par mode de glissement

à la machine asynchrone

111.1. Introduction

111.2. Application de la commande par mode glissant statique à la machine asynchrone. 111.2.1. Grandeur à régler

111.2.2 Choix des surfaces de glissement

111.2.3. Calcul de la commande par mode de glissement statique ... 111.2.4. Simulation de la commande par mode de glissement statique ...

111.3. Application de la commande par mode glissant dynamique à la machine asynchrone

111.3.1. Grandeur à régler

111.2. Choix des surfaces de glissement ...

111.3.3. Calcul de la commande par mode de glissement dynamique ... 111.3.4. Simulation de la commande par mode de glissement dynamique ... 111.4. Conclusion

Conclusion Générale

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INTRODUCTI0N

GÉNÉRALE

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Introduction Générale

L'automatique a introduit ces dernières années divers outils destinés à l'étude des systèmes linéaires ou non linéaires, soit pour leur analyse, leur commande ou bien leur identification. Ainsi la commande par mode de glissement fait partie des techniques bien ancrées dans le domaine d'électrotechnique où elle nous semble être un cadre naturel pour étudier les systèmes électrique. En fait, à l'instar de beaucoup de techniques, la commande par mode de glissement est utilisée depuis longtemps par les électrotechniciens, dans sa variante la plus simple qui est la commande par hystérésis. La commande par mode de glissement, ou bien la

commande à structure variable, a donc pris beaucoup d'importance tant du point de vue pratique

que théorique. Malgré ses qualités, l'utilisation de la commande par mode de glissement en électrotechnique s'est vue limitée aux applications, en raison, principalement de la technologie existante en matière d'interrupteurs. Ce n'est qu'à partir de la fin des amées 80, que cette technique devient un pôle d'intérêt pour l'électrotechnicien.

L'objectif principal de ce travail, est d'appliquer cette technique de commande sur un système électrique qui est la machine asynchrone. Dans le but d'approfondir chacun des points mentionnés ci-dessus, ce mémoire de fin d'étude est organisé comme suit.

Dans le chapitre 1, on donne les éléments de modélisation, sa représentation dans

différents repères (triphasé et biphasé), et finalement nous terminant par une simulation d'un

système machine électrique asynchrone.

Le chapitre 11 est consacré à la théorie de la commande par mode de glissement, où cette commande est brièvement abordée, notre ambition ici n'est pas de faire une présentation exhaustive, 1a littérature en fait largement part, nous allons seulement donner les deux types de commandes qui nous concerne : 1a commande par mode de glissement statique et sa version amélioré appelée dynamique.

Dans le chapitre 111 nous présentons la stratégie de commande, basée sur une structure variable, qui est la commande par mode de glissement. Celle-ci nous permettra de sumonter un problème d'ambigu.i.té rencontré daiis les approches classique de commande des convertisseur de puissance, nous terminons le chapitre par une simulation de la commande d'un système électrique convertisseur de puissance, avec une comparaison des deux cas, boucle ouverte (sans aucune commande) et boucle fermée (avec loi de commande par mode de glissement).

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CHAPITRE I

Modélisation et simulation

! delamachineasynchrone

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Chapitre l Modélisation et simulation de la machine asynchrone

1.1. Introduction

La machine asynchrone, de part sa simplicité de conception et d'entretien, a la faveur

des industriels depuis son invention par Nikola Tesla en 1890, quand il découvrit les

champs magnétiques toumants engendrés par un système de courants polyphasés. Cette

simplicité s'accompagne toutefois d'une grande complexité physique,1iée aux interactions électromagnétiques entre le stator et le rotor. La modélisation est une étape très importante et nécessaire, que soit pour étudier les comportements ou/et élaborer des commandes des

différentes types des machines (à courant continu DC ou altematif AC).

Dans ce chapitre, nous proposons la modélisation classique de la machine asynchrone en utilisant les transformations de Park, nous citons les propriétés des différents repères et les

équations mathématiques (magnétiques, électriques et mécanique) qui gèrent la machine dans

chaque repère. Puis nous étudions la simulation à vide, en charge et inversion de sens de rotation. 1.2. Modélisation de la machine asynchrone [1]

1.2.1. Hypothèses simplificatrices

Pour établir des relations simples entre les tensions d'alimentation du moteur et ses courants, il

faut s'appuyer sur un certain nombre d'hypothèses :

Le bobinage est réparti de manière à donner une f.m.m. sinuso.i.dale s'il est alimenté par des courants sinuso.i.daux.

Nous supposerons également que nous travaillons en régime non saturé.

Nous négligeons le phénomène d'hystérésis, les courants de Foucault et l'effet de peau. Enfin, le régime homopolaire est nul puisque le neutre n'est pas relié à la terre (isolé).

Ces choix signifient entre autres que :

Les flux sont additifs, les inductances propres sont constantes, il y a une variation sinuso.i.dale des inductances mutuelles entre les enroulements statoriques et rotoriques en fonction de l'angle électrique de leurs axes magnétiques.

1.2.2. Modèle mathématique du moteur asynchrone triphasé

Le modèle mathématique permet principalement d'observer les différentes évolutions des grandeurs électromécaniques d'une part, et d'autre part de prévoir le contrôle nécessaire pour palier aux différents pi.oblèmes qui accompagnent les opérations de variation de charge,

de vitesse. . .etc.

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Chapitre l Modélisation et simulation de la machine asynchrone

La machine est alimentée en tension, les composantes du vecteur de commande de l'équation d'état seront donc des tensions. Les différentes grandeurs seront, dans un premier temps exprimées dans leurs repères respectifs.

Figure (1.1) : Modèle des enroulements statoriques et rotoriques d'une MAS

Les enroulements des trois phases statoriques et des trois phases rotoriques dans l'espace peuvent être représentés comme indiqué sur la Figure (1.1). Les phases rotoriques sont court-circuitées sur elle mêmes. é7 est l'angle électrique entre l'axe de la phase cz statorique et la

phase cz rotorique.

La loi de Faraday permet d'écrire :

v=Ri+d4P_

c7'

(1.1)

1.2.2.1. Au stator

L'écriture matricielle condensée pour les trois phases statoriques est résumé par ces écritures:

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Chapitre l Modélisation et simulation de la machine asynchrone

a. Equation électrique:

[y„bc]=[Æslj"bc]+#Œhc]

Cette notation est l'écriture condensée de :

La résistance statorique étant la même pour les trois phases:

Rs-Ra,s--Rbs-Rcs

b. Equation magnétique :

[®"„]-[£J'.s,aJ+[A4"H,'„..]

Cette notation est l'écriture condensée de :

costo) co(G+¥)

co(o+¥) costo)

co{O+¥) co{O+¥)

Avec :

£j, , Æj, résistance et inductances propre d'une phase rotorique

1.2.2.2. Au rotor a. Equation électrique

[ytic]=[Ær]['.;Übc]+£[®rûbc]

Le rotor étant en court-circuit, ses tensions sont nulles.

(1.2)

(1.3)

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Chapitre l Modélisation et simulation de la machine asynchrone

®,Œ ®,b ®„. De même : Rr -Rar -Rbr -Rcr b. Equation magnétique [®mbci]=[£r]['.mbci]+[A4J['.sabc]

Cette notation est l'écriture condensée de :

lr MrMr Mr lr Mr MrMr lr (1.7) Sachant que : [A4„]=[A4„T=A4o On aura finalement :

cos(O) cos(O+¥) cos(O-¥)

cos(G-¥) cos(G) cos(O+¥)

cos(O+¥) cos(G-¥) cos(G)

[yL`¢c]=[Æs][Z.L,dc]+#([£ù][Z.sabc]+[A4„][Z.ric]) [ymbc]=[Ær]['./Übc]+#([£r][7.mbc]+["/s][Z.bdc])

a.10)

(1.11 )

(1.12)

1.2.3. Modèle mathématique biphasée du moteur asynchrone

Pour réduire l'ordre du système et fait rendre les équations indépendantes du temps on

introduit la transformation de park.

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Chapitre l Modélisation et simulation de la machine asynchrone

1.3.1. Transformation de Park [2]

A cause de la complexité et la non linéarité des équations précédentes il est difficile de simuler le système, alors il est indispensable de transfomer le système triphasé équilibré (c7,6 ,c) en un

système biphasé (d,g) par la transformation de Park. A condition de conserver la force

magnétomotrice et la puissance instantanée.

"gure (1. Z) .. Transf iormation de Park

La transformation de Park normalisée est obtenue à l'aide de la matrice de passage :

b(o)]-#

cos(O) cos(O-¥) cos(O+¥)

-sino -sin(O-¥) -sin(O+¥)

H fl fl

7Ï2 7f2 7f2

Œ.13)

Le changement de variables relatif aux courants, tensions et flux est défini par la transformation :

[d,g] = [p(O)][o b c]

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Chapitre l Modélisation et simulation de la machine asynchrone

La matrice inverse de la transformation de PARK nomalisée a pour expression :

b(O)]'

-cos(O) -sin(é?)

cos(O-¥) -sin(G-¥)

cos(G+¥) -sin(G+¥)

(1.14)

Alors les variables réelles sont obtenues à partir des variables biphasées (d ,g) par

transformation inverse comme suit :

[¢bc]=h(é?)]-[[d,g] avec:

L'angle é? correspond à la position du repère choisi pour la transfomation.

0 = Os : pour le stator (angle entre l'axe od et la phase cz du stator);

é? = 0, : pour le rotor (angle entre l'axe oc7 et la phase c7 du rotor);

La composante homopolaire est nulle, pour un système triphasé équilibré.

1.3.2. Ecriture du modèle mathématique biphasée de la machine

Apres l'introduction de la transformation de Park, les équations électriques et magnétiques

deviement :

a. Equations électriques

Les équations aux tensions deviennent

•[:"" _oO--][::;]

[

v„ et vn7 sont nuls puisque le rotor étant en court-circuit. ocoor représente la pulsation des axes c7g sur des coordonnés arbitraire.

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Chapitre l Modélisation et simulation de la machine asynchrone

b. Equations magnétiques

L'écriture des flux devient:

[::;]-[:s ;s][;;;]+[ï N[;:]

[::]-[:J ;J][;+[ï N[;:;]

Ls__ts_M.,Lr__]r_M.,M=3_2Mo.„=dz#;.„__dz#;.„oor=d#

Pour que le modèle soit complet, on doit lui adjoindre d'équation mécanique.

c. Equation mécanique

L'étude du comportement de la machine asynchrone aux différents régimes de

fonctionnement en particulier, le régime transitoire met en évidence 1'équation du mouvement qui est définie comme suit :

ce-cr-J#+fn

Donc le couple électromagnétique est donné par l'expression suivante:

cL,-P#®nJ.,-v.7."]

(1.19)

(1.20)

1.3.3. Choix du repère

Jusqu'à présent, nous avons exprimé les équations et les grandeurs de la machine dans unrepère ( d,q ) qui fait un angle électrique 06. avec le stator et qui fait également u-n angle électrique Or avec le rotor, mais qui n'est pas défini par ailleurs c'est à dire qu'il est libre.

11 existe trois choix important. On peut fixer le repère ( c7,g ) au stator, au rotor ou au champ toumant. Rappelons que le repère ( c7,g ) est le repère mobile c'est-à-dire qu'il nous appartient de calculer les angles des transformations de Park Oj. et C7,. afin d'effectuer les rotations.

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11 existe différentes possibilités pour le choix de l'orientation du repère d'axe qui dépendent généralement des objectifs de l'application. On peut choisir le référentiel le mieux adapté aux problèmes posés. Le choix se ramène pratiquement à trois référentiels orthogonaux.

> Référentiel des axes (cÏ,4) : système biphasé à axes orthogonaux (0 = 0)

> Référentiel toumant des axes (c7, g) : système biphasé à axes orthogonaux ( é? = é?s ) > Référentiel des axes (x, )/) : système biphasé à axes orthogonaux ( 0 = 0, ).

Avec l'angle 0 est une position quelconque d'observation que l'on peut choisir de trois manières différentes.

a. Référentiel fixe par rapport au stator

Ce système d'axe est immobile par rapport au stator. Dans ce cas :

o-o-t::;)

œcoo,-d2ï-o

c7'

Les équations électriques prennent la forme suivante :

[

-a'r

Ce système peut être utilisé pour régime de démarrage et freinage (dynamique) des machines

asynchrones .

b. Référentiel fixe par rapport au rotor

Ce système d'axes est immobile par rapport au rotor toumant à une vitesse cor .

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Chapitre l Modé]isation et simulation de ]a machine asynchrone

Dans ce cas :

o-Gr-t::;)

dé7r c7'

= 0)r = æcoor

Les équations électriques prennent la fome suivante :

¢.26)

(1.27)

(1.28)

Ce système est utilisé pour étudier les processus transitoires dans les machines synchrones et asynchrones.

c. Référentiel fixe par rapport au champ tournant

Ce système d'axes toume avec la vitesse de champ électromagnétique co6. crée par les enroulements du stator. Dans ce cas :

G-G5-t:::)

dos,

c7'

--o)Coor--o)S9æ--o)Coor-o)r--æS~o)r

Les équations électriques prennent la forme suivante :

¢.29)

(1.30)

(1.31)

Ce référentiel est souvent utilisé dans l'étude de 1'alimentation des moteurs asynchrones à fréquences variables, comme il est utilisé notamment dans la commande des machines électriques dans les systèmes en boucle femée où les grandeurs à contrôler sont obligatoirement continues.

La description de 1'état magnétique des machines à courant altematif dans le référentiel (d, q) nous conduit à un modèle électromagnétique unifié valable pour toutes les machines standards:

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Chapitre l Modélisation et simulation de la machine asynchrone

machine asynchrone à rotor bobiné ou à cage, machine synchrone à pôles lisses ou à pôles

saillants, machines à aimants pemanents et machine à réluctance.

Dans notre cas, nous avons choisi le repère immobile par rapport au stator. et dans ce cas le modèle s'obtient de la manière suivante :

1.3.4. Expression du modèle de la machine

Le modèle de la machine asynchrone sera exprimé, dans notre cas, dans le repère

statique(c¥Æ), et nous allons choisir le flux rotorique ¢rcr ,¢„ comme et le courant statorique z.„ , 7.„ variables d'état, pour cela nous devons effectuer une recherche des équations différentielles qui décrivent ces deux variables et cela à partir du modèle donné par les équations

(1.22), (1.23), (1.24), et (1.25).

• Equations des flux rotoriques ¢„ ,¢„

à partir de (1.23) et (1.25) :

(1.32)

En remplaçant (1.33) dans (1.32), on obtient alors :

M%isa-¥rpra-æpfl

M%isp+Œpra-%Pfl

notant que cz) = p Q .

• Equations des courant statoriques J.„ , 7.„

À partir de dérivée (1.24) et après dérivation :

(1.33)

(1.34)

(1.35)

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de (1.22) on écrit :

#:]=[-:s

En dérivant (1.33), on obtient :

En remplaçant les équations (1.32), (1.34) et (1.35) dans (1.33) :

-yisa+f+bQprp

Æ

-yisp-kppra+frprp

En plus, l'expression de la vitesse est :

d#-p#,(¢rajsp-¢rpjsa)-5Q-CÏ

1.4. Représentation d'état du modèle de la machine asynchrone [3]

Le modèle utilisé dans ce chapitre est un modèle de Park classique pou lequel nous exprimons les grandeurs électriques dans un repère dit « repère fixe lié au stator » ; Le modèle d'état de la machine asynchrone, dans ce référentiel est une représentation non linéaire de la

machine obtenue à partir des équations (1.32), (1.36) et (1.37).11 peut être s'écrit sous la fome :

..=.''=:`EEEE

-yisp-kpç2pra+irprp

+Ërisa-irpra-pçlprp

MTrisp+PQpra-+rprp

#(Pratsp-Prptsa)-

f-ç2-C-JJ

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sous forme condensé :

X - f (x ) + g (x h`

/(x)=

ïtsa_±r®ra_pQ®rp

MTlsp-:-PQ®ra

p#,(®rajsp-®rpjsa)-+-JUÇ2W"

Tr-#;Œ-1-

£,,£r

;y-_+

;

Le vecteur d'état est représenté par quatre grandeurs électriques deux composantes du flux

rotoriques, et deux composantes du courant statorique, et une équation mécanique qui gouveme

la vitesse de rotation.

1.5. Simulation du modèle d'état :

La simulation numérique du modèle mathématique de la machine asynchrone à rotor bobiné

utilisé, pemet d'avoir une idée globale et correcte sur leur performance. La mise sous forme d'équation le modèle de la machine asynchrone permet la simulation de cette demière. L'objectif de l'étude réalisée dans cette section est d'établir un schéma bloc à partir duquel la machine

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asynchrone est alimentée directement par le réseau triphasé [220/380V, 50Hz]. Les paramètres de la machine asynchrone utilisée dans ce travail sont donnés .

Les tensions d'alimentation sont supposées parfaitement sinuso.i.dales d'amplitudes

constantes, où y„ =220 V (Valeur efficace de tension) et œ = 2 7r / avec / =50 Hz (Fréquence

du réseau). Les résultats de simulations sont effectués avec le logiciel MTLAB/SIMULINK 7.3, pour une machine asynchrone dont les caractéristiques sont données par le tableau suivant : Tableau 1.1. Caractéristiques de la machine asynchrone utilisée.

+.+`

`:. paramèt

Moment d'inertie J = 104e -3 |#g.m2]

Coefficient de frottement / = 13e -3

. 1,

'''''''''''''''1-Puissance nominale 1.1 b4;

Courant nominale 2.6/4.3 L4] Tension nominale 400/ 230 [J'] Facteur de puissance cos¢ = 0.85 /0.82 Nombre de paire de pôles 2

Vitesse nominale 1425 /r/min

On va tester le fonctionnement de la machine dans deux cas différents :

1. un démarrage àvide.

2. un démarrage à vide suivi d'une augmentation du couple de 10 N.m à 1'instant t=2.5

seconds.

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Chapitre l Modélisation et simu]ation de la machine asynchrone

2 2.5 3 T®mps (soc) 0 0.5 1 1.5 2 2.6 3 3.5 4 Temps (seo) 2253 Temp8 (sec) 2 2.5 3 T®mps (sec) 0.3 0., Tomps (œc) 2 2.5 ® Tomps (8ec)

Figure Œ.3) : Simulation de la mæhine asynchrone (démamge à vide suivi d'un couple de

charge de C, = 10N.m à l'instant f = 2.5sec

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Chapitre l Modélisation et simulation de la machine asynchrone

2 2.5 3 Temps (sec) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Tomps (9ec) 2 2.5 3 Temps (sec) 2 2.5 3 Temps (sec) 0.3 0.4 Temps (sec) 2253 Temps (œc)

Figure a.4) : Simulation de la machine asynchrone avec un inversement du sens de rotation à

l'instamt/ = 2.5 sec .

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Chapitre l Modélisation et simulation de la machine asynchrone

1.6. Interprétation des résultats de simulation:

Les résultats de simulation donnés par les figures 1.3 et 1.4 (les deux tests) représentent l'évolution des grandeurs fondamentales de la machine asynchrone : les courants statoriques

(J.j), les flux rotoriques (¢rcri¢r,), le module de flux (¢r), la vitesse (Q) et le couple

électromagnétique (C„ ) .

> Démarrage à vide suivi d'une charge, figure (1-3) : A l'instant (/ = 2.5sec) on a appliqué un couple de charge(Cr =1W.m), pendant le régime transitoire, le couple électromagnétique est fortement pulsatoire par contre en régime stationnaire, le couple électromagnétique tend à compenser les perte par frottement, après le régime transitoire les flux rotoriques ¢„ ef ¢,4 prends des forme sinuso.i.dales, l'allure de la vitesse Q ne reste pas constante, c'est à dire, l'introduction d'un couple de charge provoque une diminution de la vitesse, les courants statoriques (J.„ J.s4 ) présentent des dépassements excessifs avec faible vitesse mais il disparaissent (dépassement dues au régime transitoires) au bout de quelques altemances et on obtient une forme sinuso.i.dale d'amplitude constant.

> Démarrage à vide suivi d'une charge et inversement du sens de rotation : Lorsqu'on inverse deux phases (/ = 3 sec) , et sachant que la machine est déjà chargé avec un couple résistant de (C, = 1W.7%) appliqué à l'instant (/ = 1.5sec) , les même remarques du teste précédent peuvent être tirées et en plus nous pouvons remarquer que la vitesse de la machine diminue jusqu'à zéro et démarre à nouveaux dans le sens contraire, cet inversement du sens de rotation à provoqué la création d'un régime transitoire et crée un fort couple électromagnétique d'environ Ccw =-30N.m à cause de l'inertie de la machine.

1.7. Conclusion :

Dans ce chapitre nous avons pu établir un modèle mathématique de la machine asynchrone triphasée dont la complexité à été réduite, en utilisant un certain nombre d'hypothèses

simplificatrices, en appliquant la transformation de Park pemet de passe du système triphasé

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Chapitre l Modélisation et simu]ation de la machine asynchrone

vers le système biphasé de Park. Cette modélisation nous a pemis essentiellement de simulé la

machine asynchrone dans le but de voire le comportement et les perfomances lors d'un

démarrage à vide suivi d'une introduction de couple résistant et d'un inversement de sens de rotation, bien sur, avec une interprétation des résultats retrouvée. Lorsqu'on introduit le couple résistant, la vitesse de rotation diminue, ce qui nécessite la régulation de la vitesse par une loi de commande.

La machine est alimentée directement à partir du réseau triphasé équilibré, de fréquence et

d'amplitude des tensions constantes, ce qui impose une vitesse de synchronisme constante.

[ 1 I 1 1 I I I 1 1 I I I I I I 1 1

CHAPITRE 11

Théorie de la commande

par mode de glissement

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Chapitre ll Théorie de la commande par mode de glissement

11.1. Introduction

Dans ce chapitre, une présentation générale d'une approche de la commande non linéaire, à savoir, la commande par mode de glissement est brièvement abordée, notre ambition ici n'est pas de faire une présentation exhaustive, la littérature en fait largement part, nous allons

seulement donner leurs principes respectifs avec quelques notions et définitions nécessaires à leurs applications.

11.2. Commande par mode de glissement

Pour la commande des systèmes non linéaires plusieurs méthodes de commande ont été développées : commande adaptative, commande par mode glissement ,... etc., dans ce contexte, la technique de commande par mode de glissement est spécialement utilisée pour les systèmes incertains.

La commande par mode de glissement est un mode de fonctionnement particulier d'un

système de réglage à structure variable. 11 est caractérisé par une commutation continue et périodique entre deux états et, par conséquence, une méthode de réglage non linéaire.

La commande à structure variable a été inspirée par les travaux du mathématicien j4. F.

PÆ/zPov sur la résolution des équations différentielles à second ordre discontinue, et développée, par la suite, par de nombreux chercheurs (Emilianov, Utkin, Soltine, Young, Harashima . . .etc),

[3] et [4].

Ce chapitre est divisé en deux grandes parties :

•:. le premier est consacré à 1'élaboration d'une loi de commande par mode glissant statique ou on est confronté au problème de « chattering ».

•:. la deuxième partie propose une solution pour ce problème de chattering par

l'introduction de la dynamique dans la loi de commande, cette idée est la base du concept du mode glissant dynamique.

Pour ces deux parties,1'étude est faite pour les systèmes mono variables et les systèmes multi variables.

11.3. Principe de la commande

Les modes glissants pour les systèmes non linéaires ont été largement étudiés et développés depuis leur introduction. L'objectif de la méthode est, à l'aide d'une commande discontinue, de contraindre et forcer le système à évoluer, au bout d'un temps fini, et se

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Chapitre ll Théorie de la commande par mode de glissement

maintenir, sur une surface, dite surface de glissement, ou le comportement résultant correspond

aux dynamiques souhaitées.

Le régime du système ainsi commandé est appelé mode glissant et la dynamique de celui-ci peut être rendue insensible aux variations paramétriques, aux erreurs de modélisation et certaines perturbations extemes. La loi de commande par mode glissant est de conception relativement simple et elle présente des qualités de robustesse vis-à-vis de perturbations. Cependant, il existe quelques problèmes comme le phénomène de réticence et la brutalité de la

commande discontinue, ces inconvénients peuvent être vraiment néfastes pour le systèmes en provoquant un souci important dans les modes de fonctionnement, mais aussi, en excitant des

dynamiques de hautes fréquences non modélisées, [3].

11 existe, cependant, différentes méthodes pour diminuer ce phénomène dont 1'une consiste à remplacer la fonction « sign » par une approximation continue au voisinage de la surface de glissement. Une autre méthode consiste à utiliser les modes de glissements dynamiques.

L'idée directrice de la commande à structure variable (commande par mode glissant) est donc

de:

•:. Définir une surface de glissement, fonction de l'état du système.

<. Générer une loi de commande qui commute d'une expression à une autre suivant que l'on se trouve, d'un coté ou d'un autre, de la surface de glissement dans le but de

ramener le système sur cette surface.

Le système sera alors plongé dans l'état d'un système réduit déterminé par la surface de

glissement, [4].

11.4. Notions de base

11.4.1. Régime glissant

On distingue deux sortes de régime glissant, idéal et réel.

> Régime glissant idéal

En théorie, l'organe de commutation est supposé idéal, insensible au bruit, et la trajectoire en régime glissant décrit parfaitement l'équation s(x) = 0 , d'où le régime glissant idéale, [3].

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Chapitre ll Théorie de la commande par mode de glissement

Le régime glissant idéal correspond à une oscillation de fréquence infinie et d'amplitude nulle, le point représentatif de 1'évolution du système glisse parfaitement sur l'hypersurface de

commutation S .

Figure 11.1 : Glissement idéal, la fréquence de commutation est infinie avec amplitude nulle.

> Régime glissant réel

En pratique, 1'organe de commutation est réalisé à partir de relais (pour quelques applications tels que les machines électriques) qui présentent des imperfections, comme les retards de commutation, [9].

La trajectoire de phase en régime glissant reste au voisinage da la surface de

commutation, domant naissance à des oscillations indésirable qui diminuent la précision du

système, en gardant néanmoins la stabilité.

Figure 11.2: Glissement réel, la fréquence de commutation finie, amplitude non nulle.

11.4.2. Système mono variable (SISO)

Considérons le système dynamique mono variable suivant :

x(") = /(x) + A/(x) + (g(x) + Ag(x))% x(") = /(x) + g(x)cz + A(x)

(11.1)

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Avec X = [x,* ,..., x("])] : vecteur d'état, x(n la n'éme dérivée dex .

A(x) : Les incertitudes sur le système supposées bomées par une connue Z .

L'objectif de commande consiste à synthétiser une loi de commande par la technique du

mode glissant, assurant la poursuite pour 1'état x d'une trajectoire désirée xd .

xd=[xd,*d (11.2)

Pour que la tache de poursuite soit satisfait dans temps fini,1'état initial désiré doit être tel que :

xd (0) - j¥(0)

11.4.2.1. Commande par mode glissant statique

11.4.2.1.1. Surface de glissement

Le premier objectif d'une commande a mode glissant est de diriger les états du système commandé vers une surface S définie et de maintenir le système sur cette surface. Cette surface

S contribue à définir une fonction linéaire S(j¥) appelée fonction de commutation (swz.fcÆz.#g

/z472cf7.o#) telle que :

e=x-xd L'erreur poursuite de la variablex, et E=x-xd =[e,é ,..., e("[)] le

vecteur de l'erreur de poursuite.

On définit la surface variante dans le temps, dans l'espace d'état Rn , par l'équation

scalaire suivante S(x)= 0 ou :

s",-(;+À)`„1'.e- (113,

S(x,f)=e(" + g(„ï)e(" + ... +9ie=0

À : Constante strictement positive, choisit de façon à assuré la rapidité et la stabilité du système.

En se basant sur la condition initiale, le problème de poursuite x = xd est équivalent à celui de rester sur la surfaces(/)=0 ; Vt>0. En effet S(x)=O représente une équation différentielle linéaire dont la solution unique est e = 0 , avec la condition initiale, [6].

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Donc le problème de poursuivre d'un vecteur xd de dimension 7? peut être réduit à celui de maintenir la quantité scalaire S à zéro.

11.4.2.1.2. Condition de convergence

Les conditions de convergence permettent aux dynamiques des systèmes de converger

vers les surfaces de glissement. Nous retenons de la littérature deux conditions, celle qui correspondent au mode de convergence de l'état d'un système [5], [6] et [1] :

> Fonction directe de commutation

C'est la première condition de convergence, elle est proposée par UfÆJ.#. Elle s'exprime

sous la fome suivante:

S(x)S(x) < 0 (11.4)

Dans cette condition, il faut introduire pour S(x) et sa dérivée, les valeurs justes à gauche et à droite de la surface de commutation, [1].

> Fonction de Lyapunov

11 s'agit de fomuler une fonction scalaire positive y(S) > 0 pour les variables d'état du système, et de choisir la loi de commande qui fera décroître cette fonction [5].

Cette fonction est généralement utilisée pour garantir la stabilité des systèmes non

linéaires.

En définissant la fonction de Lyapunov par :

y(s,-is2(x,

Sa dérivée est donnée par :

y(S) - S(x)S(x)

(11.5)

(11.6)

Pour que la fonction de lyapunov décroisse, il suffit d'assurer que sa dérivée soit négative. Ceci est vérifié si :

V = SS < 0 (11.7)

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Chapitre ll Théorie de la commande par mode de glissement

Remarque

Pour une convergence en temps fini vers la suface de glissement, la condition d'attractivité définie précédemment (les deux conditions de convergence), qui ne garantit qu'une convergence en temps infinie, est remplacée par une condition plus finie, dite condition de 77 attractivité, domer par :

7-sj=-„lsl-%(s)s

h(s)--vS

Ou:

(11.8)

(11.9)

7, y : Constante strictement positive.

Essentiellement cette équation signifie que la distance entre les états et la surface, mesurée par S2 diminue le long de toutes les trajectoires du système. Donc on contraint les trajectoires de pointer vers la surface S comme illustré dans la figure suivante, [9] :

ËE

Figure 11.3 : Condition de glissement.

La commande a/ est construite de façon à ce que les trajectoires du système soient amenées vers la suface de glissement et soient ensuite maintenues dans un voisinage de celle-ci. Le a/ est une loi de commande à structure variable définie comme suit:

•,-<!::;::::::

si S/x,'' = 0

si S/x,'' < 0

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Chapitre ll Théorie de ]a commande par mode de glissement

c/+ Et 2Æ- étant des fonctions continues. 11 est à noter que c'est le caractère discontinu de

la loi de commande qui permet d'obtenir une convergence en temps fini sur la surface, ainsi que

des propriétés de robustesse vis-à-vis de certaines perturbations, [4].

11.4.2.1.3. Détermination de la loi de commande

Une fois la surface de glissement est déterminée, 1e prochain pas est de concevoir une loi

de commande qui rend la surface de glissement attractive à l'état du système, d'une autre

manière, 1a loi de commande doit être capable de pousser l'état du système vers la surface de glissement.

Si l'état du système reste sur la surfaces,1a stabilité asymptotique de glissement assurera la convergence vers zéro de l'erreur de poursuite.

Dans la théorie de la commande par mode de glissement (commande à structure

variable), il y a différentes manière de choisir les paramètres pour définir une logique de

commutation.

Dans la littérature il y a trois types de structures très répandues, [6], [5] et [1] : - La commande par contre-réaction linéaire à gain commuté.

- Lacommandeparrelais. - Et la commande équivalente.

Les deux demière approches, sont les préférées dans la commande des convertisseurs et les machines par ce qu'elles son plus appropriées.

Pa8e 25

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11.4.2.1.4. Expression analytique de la commande

Nous intéressons au calcul de la commande équivalente et par la suite au calcul de la commande attractive définie dans 1'espace d'état par 1'équation (11.1),1e vecteur de commande #

est composé par deux grandeurs #eq et #g„ il s'agit de trouvé l'expression analytique de la commande 2Æ(/) .

Le vecteur de commande # pemet de régler la dynamique à deux modes de fonctionnement,

[4]:

<. Permet d'influer sur le mode approche.

•:. Ou bien sur le mode de glissement.

Nous avons :

s.(„=#-gt-,+g(x-eg¢,)+#tg("A„)

11.4.2.1.5. Définition des grandeurs de commande

La structure d'un contrôleur comporte deux parties, un premier concerne la linéarisation

exacte et une deuxième pour la stabilité.

Cette dernière est très importante dans la technique de commande non linéaire, car elle est utilisée pour éliminer les effets d'imprécision du modèle et les perturbations extérieures, [13]. Nous posons :

U--Ueq+Ug|iss

#=_g(x)-[(/(x)+v+kos(x)+Æisz.g#(S))

Notant que la fonction sz.g77 donne le signe de S :

Les coefficients Æ o et Æ ] sont positifs.

Si le gain de commande g(x) est différent de zéro le long de la trajectoire d'état du système, la surface S converge exponentiellement vers zéro.

(11.14)

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"eg --g(x ,-10 (x ) + v)

u gi,ss ---g (x r' (k § (x ) + k Ïsign(S ))

(11.16)

#eq : Correspond à la commande équivalente proposer par PÆ/zPov e/ C//Æz.7?, [5]. Cette

commande est considérée comme la commande la plus directe et la plus simple.

Elle est calculée on recomaissant que le comportement du système durant le mode de

glissement est décrite par : S. (x ) = 0 .

La commande équivalente peut être interprétée comme la loi de commande continue qui

permet de maintenir la condition j(x) = 0 dans le cas des dynamiques comues, [6] et [12].

La commande z/g„, est déteminée pour garantir l'attractivité de la variable à contrôler

vers la surface et satisfaire les conditions de convergence, en d'autre terme, elle définit le

comportement dynamique du système durant le mode de convergence.

11.4.2.1.6. Propriétés de robustesse

De nombreuses techniques de commande ont été développées de façon à être robustes vis-à-vis des incertitudes sur les systèmes considérés, la plupart d'entre elles sont basées sur des méthodes adaptatives, reposant aussi bien sur 1'identification ou 1'observation, ou sur des méthodes impliquant la stabilité absolue. Bien souvent, elles conduisent à des lois de commande relativement compliquées dont l'implantation se révèle lourde en matière de calculs et de matériels. D'un autre côté, les modes glissants, et ceci peut expliquer l'intérêt croissant pour ces techniques ces demières armées, permettent d'associer qualités de robustesse et réalisation relativement simple, [4].

Reprenons le système (II.1)que l'on suppose maintenant soumis à des perturbations p

pouvant représenter des incertitudes paramétriques sur le terme nominal de dérivé / ou des

perturbations extemes indépendantes de l'état :

x`n) - f (x) + g(x)u + p x`n) - f (x) + g(x)u + p

Le théorème suivant permet d'avoir une description des incertitudes auxquelles le régime

glissant sera insensible et a été donné dans sa forme première par Drazenovic, [9].

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Théorème 11.1 :

Un régime glissant surs, du système perturbé (11.17), est indépendant du signal de

perturbation p , si et seulement si il vérifie :

p € yec'tg(x))

La condition (11.18) est appelée condition de recouvrement ou « matching condition ».

11 faut noter que le système est insensible à de telles perturbations seulement en régime glissant, mais qu'il reste affecté pendant le régime transitoire, avant que la surface de glissement ne soit atteinte.

Preuve: Puisque la condition (11.18) est vérifiée alors il existe une fonctionç telle

que p - g(x)Ç .

La preuve découle simplement de la fonction de projection H qui annule toute Contribution des

vecteurs engendrés par g(x) à la dynamique de la trajectoire en mode glissant.

Nous remarquons ici que, si le régime en mode glissant n'est pas affecté par des

perturbations vérifiant la condition de recouvrement, il n'en reste pas moins que celles-ci agissent toujours lors de la phase d'établissement du mode glissant. La robustesse est alors assurée par l'amplitude de la commande discontinue qui « écrase» les perturbations, si celles ci sont bomées.

11.4.2.1.7. Problème de réticence (chattering)

En pratique, la présence de la fonction discontinue s7.g77(S) dans la commande z4 implique que 1'état du système ne peut pas glisser le long de la surface. Mais il oscille le long de la surface de glissement avec la fréquence d'échantillonnage. En générale les réticences ne sont pas un phénomène désiré depuis qu'ils impliquent la haute activité de la commande et qu'ils peuvent exciter des dynamiques de haute fréquence négligées lors de la modélisation [5], [4]

S-_O

Figure 11.5: phénomène de réticence.

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En effet, ce phénomène a plusieurs effets indésirables sur la qualité de la commande et sur

le système, [10], à savoir : diminution de la précision, produire une grande perte de la qualité des signaux électriques, et provoquer 1'échauffement des systèmes et la fatigue des parties mécaniques mobiles pour les cas des systèmes d'entraînement tels que les machines électriques.

Afin de réduire ces réticences, la fonction §7.g#(S) est remplacée par une fonction

continue de la fome :

Sat(Sl®,-Figure 11.6: Fonction de saturation « sat ».

(11.19)

L'effet de la fonction de saturation est, d'ajouter une couche de limite autour d'une surface

S. la loi de commande poussera encore l'état du système vers la couche de limite. Plus tard, il n'y aura aucun aiguillage violant dans l'action de la commande à l'intérieure da la limite d'où le broutement ne passera pas. Cependant la condition de glissement n'est plus garantie, en plus si l'état du système est loin de l'état de la cible (surface) la commande peut être saturée et le

contrôleur ne peut pas être capable de garder l'état du système sur la surface. Quand la saturation

se passe, la surface glissante n'est plus garantie pour être attirante, [3].

Pour quelques systèmes, la saturation peut affecter considérablement les perfomances et

pour remédier ce problème de la saturation, il peut être évité en utilisant une autre solution au problème de réticence.

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Cette solution est la commande par mode de glissement dynamique. Autres, la saturation peut même causer l'instabilité.

Une autre solution pour lisser la commande au voisinage de la surface de

glissements = 0 , est de remplacée dans la bande |S(/)| < 0 , la fonction discontinue s7.g# (S) par une fonction continue [3].

Cont(S)--Avec : Ô > 0

Cette fonction de commutation peut se représentée par la figure suivante :

Figure 11.7 : Fonction d'adoucissement « cont ».

(11.20)

11.4.2.2. Commande par mode glissant dynamique

Dans le but de réduire les oscillations, nous allons présenter une solution qui repose sur la variation de la commande u de façon à diminuer ou éliminer l'effet de la fonctiomz.g7?(S) , origine du CÆc7//erz.#g. Les étapes d'élaboration de la commande par mode glissant dynamique sont les mêmes que dans le cas statique, [3].

11.4.2.2.1. Surface de glissement

Le chois de la surface de glissement est identique a celui de la commande statique, [7] et [16], de l'équation correspondante, on à :

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s(x"-(f+À)`„''-o

S(x,/)=e("[)+C¥(„])e(" + ... +C¥|e=o

(11.21)

À : Constante strictement positive

11.4.2.2.2. Loi de commande

Dans cette section on veut élaborer une loi de commande par mode de glissement sans

chattering. Si les incertitudes sont connues, les objectifs de la commande peuvent être atteints en choisissant, pour le système (11.21) la loi de commande idéale suivante :

2/ * = -g (x )-] Œ (x ) + v + A + ÆS )

Preuve :

En prenant une fonction de £};c7pz/#oi; de la fome :

y-ls2

V -_ s S

S -f +v + A+ gu

Substituant 1'expression de la commande zt(/) , dans (11.26) On trouve :

V---ks2

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Dans le but de rendre y négatif, il suffit que le coefficient Æ vérifier : Æ > 0

Ce qui implique que S + 0 quand / + œ et ce fait #* pemet d'atteindre les objectifs de commande.

Par la suite on note :

„o = _g (x )-` Œ (x ) +v + ÆS )

La commande idéale peut s'écrire sous la fome suivante :

u*--uo-A,

(11.27)

(11.28)

#o : représente une commande nominale dans le cas ou les incertitudes son nulles.

Du fait que les incertitudes sont mal connues,1'implantation de la loi de commande idéale 2Æ* est impossible pour cela, notre but est d'approcher la partie qui contient des incertitudes dans la commande idéale eÆ* par un autre teme noté#s . Dans ce cas, la nouvelle commande

prend la fome :

u -- u o + u s

Avec :

#o : Commande nominale du système sans incertitudes.

c/s : Partie de la commande à calculer de telle sorte que la commande 2/ converge vers la surface

de commande2Æ* .

Le problème posé consiste à développer une procédure systématique de synthèse de la

commande #s de façons à compenser l'effet de A] . Pour se faire, on définit une surface de

glissement convenable S„ , par :

Su-u-u*

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Chapitre ll Théorie de la commande par mode de glissement

De 1'équation (11.28) et (11.29) , (11.30) , l'équation (11.30) devient :

Su--us+A\

Pour cette surface, on définie la fonction de £yczp##ov y(S„) candidate suivante :

y(s+is2"

Sa dérivée temporelle est donner par :

V(Su)=SuSu

La dérivée de (JJ.31) peut s'écrire sous la fome :

S" -2;s + Al

Avec A[ est supposée bomer par :

ÀIl s Ô(¥,",

(11.31)

(11.32)

(11.33)

(11.34)

Ou Ô(x, #) est une fonction positive donnée.

On principe, chaque terme en fonction de z/* est difficile à êtres utiliser dans la commande, c'est pourquoi, on est obliger de chercher pour S„ une nouvelle fomulation indépendante de 2/* , si

on ajoute et on retranche gz4* dans (11.25) on aura :

S =f + gu +v + A+ gu* -gu* S =f + g(u -u*)+v + A+ g

S---ks+gsu

[-àŒ+-A+Æ„]

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D,où :

sign(Su) = sign (11.37)

Remarque 11.2 :

Le calcule de l'amplitude de la commande # n'est possible sauf si le gain g(x) est non nul sur toute la trajectoire de x .

Remarque 11.3 :

Dans ce cas,1'effet de la fonction fz.g# est réduit après intégration de c/s , car 1'intégration se comporte comme un filtre passe bas.

11.4.3. Système multi variable (MIMO)

Cette section présente l'extension du développement antérieur aux systèmes multi

variables, considérons un système non linéaire multi variables de la fome :

* = F(x) + G(x)e{ + A(x) Avec : F(r) = [/i(X) ,... /m(X)] G(x)= [G„(x)], avec i=1 ... m j=1 ... m Z-kl ... Zm] w -[" ,... "m] lAi(x,lsAi et (11.38) (11.39) (11.40)

Le vecteur d'état x est composé de x, et leur premier dérivée sont exprimés à 1'aide de la notation (7z,. -1) , on peut alors écrire le système sous la forme suivante, [10] :

X,("=Z(X)+Az(x)+£b,,(x)#„i=1...metj=1...m /'=1

Nous nous intéressons toujours au problème de poursuite d'une trajectoire désirée x = xd .

(11.41)

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11.4.3.1. Commande par mode de glissement statique 11.4.3.1.1. Surface de glissement

Soit : e, (/), i = 1 „ ..., m , l'erreur de poursuite est donnée par :

ei -xi -xd,

Soit un vecteur S de composante S,. donné par :

s,("-(f+4)`„-''.e,

S,(x,/)=e,("J-])+e,,(„,_])e,("J -2)e,("J-[) + ... +Œue, =0, 4 >0, J.=1 ,... m

(11.42)

11.4.3.1.2. Condition de convergence

Comme dans le cas mono variable on cherche une loi de commande zj vérifiant la condition de glissement suivante :

y = lsrs > o

2

v-_sTs=Ë\s,S,<-o

(11.43)

Remarque 11.4:

Pour assuré une attractivité dans un temps fini on définie la condition de convergence de la manière suivante :

7=£S,j,S-£(7,|S,|+Æ,(S)S,)

Considérons la surface S = [Sï ... Sm]r définie par l'équation (11.42) et soit la loi

de commande #(/) :

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Chapitre ll Théorie de la commande par mode de glissement

#=-G(x)-[[F(x)+y+ÆoS+ÆiJz.g#(S)] (11.45)

Où:

JZ.8#(S)=[JJ.8#(Si)...SZ.8#(Sm)]

y-[y,...ym]r

Si la matrice G(x) est réversible, la surface S est globalement attractive et invariante, [12].

Preuve :

Soit la fonction de £};czpz47?ov définie par :

y=lsrs

2

Où:

S=[Si...Sm]r

Sa dérivée temporelle est donc :

V -_ s T S

(11.46)

(11.47)

De plus, la dynamique j,. est explicitée de la relation de la surface de glissement (11.42) ce qui conduit à : +Œ,'„,-1eJ`"+...+C¥J,1e, -x£:J)+Œ„]e,("'-[)+...+Œ,,]e, Prenons y,--x!;,,+Œ„leJ`„,-1'+...+ŒJ'1é,y, (11.48) Pa8e 36

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Chapitre ll Théorie de la commande par mode de glissement

Donc : (11.48) devient :

s, -x:i +vl

j, =Z(X)+y,(x)+A,(x)+£b,,(x)#, pourz.=1 ... m

/=1

En remplacent x,("'.) par son expression obtenue de (11.41) , la relation précédente, ou encore sous la forme matricielle, devienne:

S = F(x) + V(x) + A(x) + G(x)#

En choisissant la loi de commande domée par 1'expression(II.45) , c-à-d :

#=G(x)-ï[F(x)+y(x)+ÆoS+kïsz.g#(S)]

La dynamique de la surface exprimée par (11.52) se réduit à :

S = A(x) -kos -kisign(S)

11.4.3.2. Commande par mode de glissement dynamique

11.4.3.2.1. Surface de glissement

Considérons la surface S = [S[ ... Sm]r décrite par :

s,("-(f+4)`„1'€(x,-o

S,¢,/)=e,("J -])+e„„,_L)e,("J -2)+ ... +Œ„e, =0, À, >0, 7. =1 ,..., m (11.52)

(11.53)

(11.54)

(11.55)

11.4.3.2.2. Loi de commande

Si les incertitudes A(x) dans (11.38) sont comus la loi de commande idéale suivant

assurera les objectifs de commande

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Chapitre ll Théorie de la commande par mode de glissement

# * = Û (x )-[ [F(x ) +V + A(x ) + ks ] Avec : "*-[",*

s=[sl

Æ - diag_{[ki ... km], Æ,>O Pour z.=1 ... m}

y-[y,...ymF

Preuve :

Considérons la fonction de £ycrpz/#ov candidate suivante :

y-isrs

Sa dérivée temporelle est exprimée par :

V -_ s T S

En utilisant la relation (11.52) , la dérivée temporelle de S est alors donner par :

S = F(x ) +y (x ) + A(x ) +G (x )2/ (11.56) (11.57) (11.58) (11.59) Avec :

Si la commande # prend la valeur de #* , formulée par la relation (11.56) , la dynamique se

réduit alors à la fome :

S = -ks

En introduisant (JJ.60) dans (JJ.58) , celle-ci prend l'expression finale :

(11.60)

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Chapitre ll Théorie de la commande par mode de glissement

V = -ksT s

' _(11.61)

Ce implique que S, + 0 quant t + oo par conséquence e, et toutes ses dérivées jusqu'à l'ordre # tendent vers zéro. On peut écrire cette loi de commande dans une forme réduite comme suit :

#,._i Convergent vers zéro.

u*--uo-A,

"o -[„ol ... „om r

Ai = [Aii ... AimT Où: Avec :

{Z°i=G--Ç(-;;Z)([xî(X")+ÆS]

zÆo : représente la commande nominale (glissement) dans le cas ou les incertitudes sont nulles. La réalisation de cette loi de commande est impossible car les incertitudes sont mal

comues, pour cette raison, on doit approcher la partie qui contient ces incertitudes par une

commande %s , ce qui implique une nouvelle forme de la commande, soit :

u-uo+us Avec :

t

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Chapitre ll Théorie de la commande par mode de glissement

Le problème posé consiste à développer une procédure systématique de synthèse de la commande #s de façon à compenser les effets de A,. , pour se faire, [10], on définit une surface de glissement convenable S„ , telle que :

Su-u-u*

De (11.65) et (11.64), l'expression (11.62) devient : s" - [s„ ... s" ]r

Su = Us + Ai

Pour cette surface, on définie la fonction de £yczp#77ov y(S„) candidate suivante :

y(s",-is„rs"

Sa dérivée temporelle est donnée par :

v.(s„,-is"7j"

La dérivée de (11.66) peut être écrite sous la forme :

S" = 2;s + A1

Avec :

À[ est supposée bomer par :

|Ài,.|SÔz(X,w), i=1 ... m Ô(x,%)=[Ô]...Ôm]retô,desfonctionspositiventdomées. Où: (11.65) (11.66) (11.67) (11.68) (11.69) (11.70) Pa8e 40

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Chapitre ll Théorie de la commande par mode de glissement

11.5. Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté et développé la stratégie de la commande par mode

de glissement statique et dynamique pour une classe des systèmes non linéaires mono variable et multi variables.

Les deux approches sont caractérisées par la simplicité de mise en œuvre qui se fait dans trois étapes :

• Choix d'une surface convenable.

• Etablissement des conditions de convergence.

• Détemination de loi commande qui assure l'attractivité de la surface.

Dans la stratégie de commande par mode de glissement statique, la présence de la fonction « signe » dans la loi de commande cause des oscillations haute fréquences appelées « réticences » pour remédier ce problème et réduire les oscillations, dans la seconde et la troisième approche ; 1e problème de réticence est résolu, par la modification de la loi de commande de telle sorte que la fonction discontinue « signe » intervient dans la loi de

commande à travers une fonction intégrale qui se comporte comme un filtre passe bas.

Dans le troisième chapitre, nous allons essayer d'appliquer la commande par mode de glissement sur notre système électrique, qui est une machine asynchrone, la charge est considérée comme perturbation sur le modèle .

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CHAPITRE 111

Application de la

commande par mode de

glissement à la machine