Problèmes aux limites impulsifs.

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Université Djillali Liabes de Sidi Bel Abbès Faculté des sciences

Département de Mathématiques E-mail : derkaouikhdidja248@hotmail.com

Mémoire de Magister

Présenté par : DERKAOUI Khadidja Spécialité : Mathématique

Option : Système Dynamiques et Applications Intétulé

Problèmes aux limites impulsives

Résumé : On s'intérèsse à l'étude des équations diérentielles de second ordre avec impulsions et de trouver des conditions susantes pour l'existence des solutions. On étudie deux problèmes : Le premier est l'équation diérentielle de second ordre avec eet impulsifs

x00= f (t, x, x0) t 6= tk, k = 1, 2, ..., r; t ∈ I = (0, 1) (1)

∆x(tk) = ηk(x(tk)) (2)

∆x0(tk) = θk(x(tk), x0(tk)) (3)

x(0) = x(1) = 0 (4)

Soit I0 _{= I − {t}

k}rk=1, on suppose f : I0×IR2→IR est uniformement continue ηk, θk ∈ C(IR),

r ∈IN∗Ce problème est le cas générale de notre étude,qu'on a traité avec l'alternative non linéaire de Leray-Shaulder et le théorème de Schaefer pour montrer l'existence d'au moins une solution. Le deuxième problème est problème non linéaire périodique au limite impulsif

       x00(t) = f (t, x(t), x0(t)), t ∈ [0, T ] − {tk} k = 1, 2, ..., p x(t+_k) = ηk(x(tk)), x0(t+_k) = θk(x(tk), x0(tk)), x(0) = x(T ) , x0(0) = x0(T ). Où f(t, x, y) ∈ Car([0, T ] × IR2₎_{, η} k, θk∈ C(IR).

On étudié ce problème dans un cas plus compliqué nous supposons qu'il y a seulement sous et sur solutions pour le problème qui sont à l'ordre inverse i.e.

σ1(τ ) > σ2(τ ) pour certaines τ ∈ [0, T ].

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Mots clés : Èquation diérentielle nonlinéaire du second ordre avec impulsions, solutions pério-dique, sous et sur solutions, degré topologique de Leray-Schaulder, l'estimation à priori.

Classication AMS :34B15, 34A45. 2000. 34B37, 34B15, 34C25.

Summary : we intérèsse in the study of the second order dierential equations with impulsive eects and to nd sucient conditions for the existence of the solutions. We study two problems : The rst one is the second order dierential equation with eect impulsive

x00= f (t, x, x0) t 6= tk, k = 1, 2, ..., r; t ∈ I = (0, 1) (5)

∆x(tk) = ηk(x(tk)) (6)

∆x0(tk) = θk(x(tk), x0(tk)) (7)

x(0) = x(1) = 0 (8)

Let I0 _{= I −{t}

k}r_k=1, we suppose f : I0×IR2 →IR is uniformly continuous ηk, θk∈ C(IR), r ∈

IN∗_{. This problem is the case general of our study, which we treated with the nonlinear alternative}

of Leray-Shaulder and Schaefer's theorem to show the existence of at least one solution. The second problem is nonlineair impulsive periodic boundary value problem

       x00(t) = f (t, x(t), x0(t)), t ∈ [0, T ] − {tk} k = 1, 2, ..., p x(t+_k) = ηk(x(tk)), x0(t+_k) = θk(x(tk), x0(tk)), x(0) = x(T ) , x0(0) = x0(T ). Which f(t, x, y) ∈ Car([0, T ] × IR2_{), η} k, θk∈ C(IR).

We studied this problem in a more complicated case we assume that there is only lower and upper solutions to the problem are in reverse order i.e

σ1(τ ) > σ2(τ ) pour certaines τ ∈ [0, T ].

Keywords : Second order nonlinear ordinary dierential equation with impulses, periodic solu-tions, lower and upper funcsolu-tions, Leray-Schauder topological degree, a priori estimates.

Classication AMS :34B15, 34A45. 2000. 34B37, 34B15, 34C25.