Résolution de problèmes inverses en géodésie physique

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Résolution de problèmes inverses en géodésie physique

Amine Abdelmoula

To cite this version:

Amine Abdelmoula. Résolution de problèmes inverses en géodésie physique. Mathématiques générales

[math.GM]. Université Rennes 1, 2013. Français. �NNT : 2013REN1S155�. �tel-00990849�

THÈSE / UNIVERSITÉ DE RENNES 1

sous le sceau de l’Université Européenne de Bretagne

pour le grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE RENNES 1

Mention : Mathématiques et applications

Ecole doctorale MATISSE

présentée par

Amine Abdelmoula

Préparée à l’unité de recherche INRIA Rennes Bretagne Atlantique

Institut National de Recherche en Informatique et Automatique

Composante universitaire ISTIC

Résolution de

problèmes inverses

en géodésie physique

Thèse soutenue à Rennes

le 20 décembre 2013

devant le jury composé de :

Slim CHAABANE

Professeur à l’Université de Sfax / rapporteur

Juliette LEBLOND

Directrice de recherche à INRIA Sophia-Antipolis /

rapporteur

Amel BEN ABDA

Professeur à l’ENIT, Université de Tunis El Manar /

examinatrice

Jean-Michel LEMOINE

Ingénieur de recherche au CNES Toulouse /

examinateur

Maher MOAKHER

Professeur à l’ENIT, Université de Tunis El Manar /

directeur de thèse

Bernard PHILIPPE

Directeur de recherche émérite à INRIA Rennes

Bretagne Atlantique / directeur de thèse

Jetienstoutd'abordàexprimermare onnaissan eàmesdeuxdire teurs

de thèse,

Monsieur Bernard Philippe dire teur de re her he à l'INRIA pour tous

ses pré ieux onseils, pour sa onan e qu'il m'a donnée, pour son é oute,

pour sa patien e etson soutien.

MonsieurMaherMoakher professeuràl'universitéde Tunispourson oeil

ritique qui m'a permis de stru turer le travail etd'améliorer la qualité des

diérents hapitres.

Je veux vraiment vous remer ier pour votre amitié, pour votre oté

hu-main etpour m'avoira ordé la han ed'être mes dire teurs de thèse.

Je remer ies Madame Amel Benabda, qui m'a fait l'honneur de présider

lejury dethèsede do torat,pourson soutien haleureuxdontelleatoujours

faitpreuve.

Jeremer iemesrapporteurs:MadameJulietteLeblondetMonsieurSlim

Chaabane pour la diligen eet l'attention ave lesquelles ils ont lu mon

ma-nus rit etl'intérêt qu'ils onta ordé àmon travail.

Mesremer iementsvontaussiauxautresmembresdujuryquionta epté

de juger e travail eten parti ulierMonsieur Jean-Mi hael Lemoine.

Je remer ie tous les membres de l'équipe SAGE et en parti ulier eux

ave qui j'ai partagé lespériodes que j'ai passées à Rennes : Jo elyne, Guy,

Caroline,Etienne,Mohammad,Mohammed,Désiré,Frédéri ,Noha,Jennyet

surtout Édouard Canot pour les belles promenades qu'il nous a organisées,

spé ialementMarie-Claude, Céline, Fabienne, Cé ile.

Jetiens àremer ier lesmembresdu LAMSIN, professeurs,do teurs,

do -torants et personnels pour l'atmosphère de travail onvivial et spé ial qu'ils

m'ontfournie.

Enn je veux remer ier ma famille, mon épouse et mes amis les plus

pro hes.

Jeremer iesmesparentspourm'avoirtoujoursapprislesvaleursdelavie,

pour m'avoir supporté et en ouragé sans limites et pour avoir partagé ave

moitous lesbons etlesmauvaismomentsde mon par ours. Qu'ilstrouvent,

dans la réalisation de e travail, l'aboutissement de leurs eorts ainsi que

l'expression de maplus ae tueuse gratitude.

Mer i àmon épouse pour avoir supporté es longuesdernières annéesde

thèse etde savoirmemotiver pour la nir.

Mer iàtoimasoeurpourtonae tion,pourtonsoutien,pourtonamour.

Mer i àmes frères pour votre soutien sans limite.

Mer iàvousmes opainsAdel,Anis,Chaker,Moez,Mohamed,Mohamed

Ali, Rak, Souheil et Tao pour votre soutien pendant tout mon ursus.

Partie I : Détermination d'un géoïde lo al ave

la méthode de ollo ation 11

1 Ce qu'il faut onnaître de la gravimétrie 13

1.1 Introdu tion . . . 13

1.2 Champde gravité terrestre . . . 15

1.3 Champnormal . . . 27

1.4 Relationsentre hamp réel et hamp appro hé . . . 31

1.5 Con lusion . . . 35

2 Méthode de ollo ation par moindres arrées 37 2.1 Introdu tion . . . 37

2.2 Prédi tion par laméthode des moindres arrés . . . 39

2.3 Appli ationdelaméthodedemoindres arrésengéodésie phy-sique . . . 40

2.4 Fon tion ovarian e . . . 46

2.5 Late hnique de retrait-restauration . . . 52

2.6 Con lusion . . . 53

3.2 Fon tion ovarian e . . . 56

3.3 Con lusion . . . 63

Partie II : Résolution d'un problème inverse

lo al en géodésie physique 65

4 Position du problème 67

4.1 Introdu tion . . . 67

4.2 Formulation du problème inverse sur laTerre entière . . . 71

4.3 Formulation du problème inverse sur une zone limitée de la

Terre . . . 73

4.4 Con entration dans une région de forme arbitraire . . . 81

5 Étudedelasolvabilitéduproblèmeinversedespoints-masses 93

5.1 Introdu tion . . . 93

5.2 Problème inverse etexisten e de la solution . . . 93

5.3 Déterminationd'unedistributionde points-massessur unegrille 95

5.4 Ré apitulatifglobal et algorithme orrespondant . . . 102

6 Validation numérique 105

6.1 Choix du domaineet maillage . . . 106

6.2 Étude d'un exemple . . . 108

6.3 Considération d'un point-masseau géo entre . . . 116

7 Con lusion 121

7.1 Étude bibliographique etapportà l'état de l'art . . . 121

7.2 Perspe tives . . . 124

A.3 Harmoniquessphériques . . . 126

A.4 Constru tiond'une base . . . 129

A.5 Sommesde quelques séries harmoniques nies etinnies . . . 134

Dans ette thèse nous nous intéressons à l'étude de deux problèmes de

géodésie physique. Ils sont traités dans deux parties séparées. La première

porte sur le al ul d'un géoïde lo al. Dans la deuxième partie, un problème

inverse pour lare her he despoints-masses est résolu.Pour bien identierle

géoïde lo al, il faut imaginer la Terre sans marées ni intempéries, ave des

o éansaumêmeniveau.Legéoïdeest déni ommeunesurfa e

d'équipoten-tieldu hampdepesanteur.D'aprèsGauss[22℄, 'estlasurfa emathématique

appro hantlaformeréelledelaTerre,o éans ompris.etdontleso éansfont

partie.La re her he du géoïde terrestre est un problème lassique de la

géo-désie physique las ien e qui traite des questions relatives à laforme de la

Terre. Déterminer un géoïde de haute pré ision est un obje tif majeurdans

la ommunautédes her heursengéodésiephysique,auvudel'intérêtqu'ila

a quis depuis sapremière dénition. Du pointde vue s ientique, lerle du

géoïdeest entral.Eneet, ildonnelaformeglobaledenotreplanèteetrend

possible lanavigationinertiellequi permetde al ulerla vitesseetl'altitude

de l'avion (et don sa traje toire) [57℄. Il est indispensable aussi pour

resti-tuer les traje toires des satellites, qui permettent de onstituer des réseaux

mondiaux de stations de référen e, de suivre la inématique de la Terre et

un outilde travailperformantpourse lo alisersur laTerreet onstruire des

artesillustrantles ara téristiquesdes régionsetdes pays. Dupointde vue

é onomique,legéoïdeestune informationtrèsutiliséedansladétermination

des hauteurs orthométriques(appeléessouvent leshauteurs par rapportàla

surfa e de lamer). Ces dernières sont né essaires pour atteindre lapré ision

né essaire à des opérations d'ingénierie (par exemple pour la fondation des

barrages et per ement des tunnels) qui font intervenir des é oulements de

uide.

Déterminer un géoïde aurait était plus fa ilesi la Terre était une sphère

homogène. Dans e as la pesanteur en un point serait entièrement

déter-minée à partir de sa distan e au entre de la Terre. Comme la Terre n'est

ni sphérique ni homogène, la pesanteur doit être al ulée en tout point. Le

géoïdeest par onséquentunesurfa e omplexequine peutpasêtre

détermi-née expli itement. Plusieursméthodes ont été utiliséespour appro her ette

surfa e. Notamment la méthode intégrale de Stokes etla méthode de

ollo- ationparmoindres arrésappelée en oreméthode de moindres arrés

géné-ralisée.Laméthodede Stokes est utiliséepour le al ulde plusieursgéoïdes,

en parti ulier le géoïde Français ave Henri Duquenne [19℄. Cette méthode

suppose que les valeurs de gravité sont onnues sur l'ensemble de la Terre,

e qui n'est pas le as (notamment sur leso éans) mêmeave le

développe-ment des instruments de mesure ave l'arrivée de l'ère spatiale.La méthode

de ollo ation par moindres arrés est la méthode que nous adoptons dans

la présente étude. Son prin ipe est d'appro her, tout d'abord, la Terre par

une surfa e mathématiqueplus simplequi né essite très peu de paramètres.

Cette surfa e est un ellipsoïde de révolution. Il est hoisi par onvention de

potentielpropre, appelé lepotentielnormal.

La valeur du potentiel de pesanteur au géoïde et la valeur du potentiel

normal à l'ellipsoïde sont onstants. En un point quel onque de l'espa e,

la diéren e entre es deux potentiels est appelée le potentiel perturbateur,

T

. Le géoïde os ille autour de l'ellipsoïde, tantt au dessus tantt au des-sous. Ces os illations de quelques mètres de longueur sont appelées les

ondulations du géoïde et sont notées par

N

. Elles sont liées au potentiel perturbateur par laformulede Brun :

N = T /γ

,où

γ

est lagravitépar rap-portàl'ellipsoïdede référen e. Ainsi,lare her he des ondulationsdu géoïde

par rapport à l'ellipsoïde revient à al uler le potentiel perturbateur

T

. La méthode de ollo ation sert à exploiter des mesures du type gravimétrique

ommel'a élérationdepesanteuretlesmesuresdes anglesentre laverti ale

au géoïde et la verti ale à l'ellipsoïde, ou bien des mesures d'autres types

omme elles fournies par le GPS (Global Positioning System) ou la

pho-togrammétrie(une te hnique qui permet d'ee tuer des mesures spatiales à

partir de photos), pour déterminer le potentiel

T

. Lesmesures sontreliées à

T

par des expressions qui résultent d'un pro essus de linárisation sebasant sur desdéveloppementde Taylordu premierordre.Cesexpressions sont

ras-semblées après dans un même modèle. Notre problème est ramené don à

résoudre un problème de moindres arrés généralisé d'in onnue

T

.

La méthode de ollo ation a un aspe t probabiliste vu que les mesures

utilisées sont toujours bruitées. Et 'est pour exprimer les orrélations liant

esmesuresquel'onintroduitlanotiondefon tionde ovarian e.Cette

fon -tionaétéappro héeparplusieursmodèlesdansd'autrestravaux,notamment

le modèle de Markov, le modèle exponentiel et elui de Rapp et Ts herning

unedistribution depoints-masses( ara térisés parleur intensitésetleur

po-sitions)detellemanièrequ'ellegénèreunpotentielquiappro heaumieuxun

potentieldonné.On dénitainsiun problème (inverse) ausensdes moindres

arrés. Sur la sphère unité, e problème est résolu en identiant les termes

desdéveloppementsen harmoniquessphériques desdeux potentiels[3℄.Dans

le as oùseulement unerégion de lasphèreunitéest onsidérée, l'estimation

des paramètres des points-masses utilisant la base des harmoniques

sphé-riques est sus eptible d'erreurs, puisque la propriété d'orthogonalité des

élé-ments de la base n'est plus vériée. Cette ambiguiténous a poussé àpenser

à onstruire une base lo ale orthogonale sur laquelle nous allons résoudre

notreproblèmeinverse. Cettete hniquea étéintroduitedans des travauxde

Slepian et Pollak [50, 51℄, et utilisée essentiellement dans le traitement du

signal[17, 40℄.Lesfon tionsde base lo ale,oufon tionsde Slepian,sontdes

fon tions à bande limitée qui on entrent la majorité de leur énergie dans

larégion onsidérée. Cette base est déterminée en résolvant un problème de

on entrationde Slepiansur une géométriesphérique. Lesfon tionsde ette

base sontorthogonales sur la sphère unitéainsi que sur larégion étudiée.

Plan de la thèse

Nous stru turons e rapport sur deux parties. Nous présentons dans la

première partienos travauxautour de ladéterminationdu géoïde lo alave

la méthode de ollo ation par moindres arrés. Cette partie omporte trois

hapitres. Danslepremiernousprésentonsun brefaperçu sur lagravimétrie

etlamodélisationmathématiquedesesdiérentsaxes,enparti ulierla

méthode aété proposéeen géodésie physiquepar Moritzetimplémentéepar

Ts herning dans le paquet de programmes GRAVSOFT é rit en langage

Fortran. Dans le troisième hapitre nous testons nos odes Matlab qui

tra-duisentplusieurs odes du paquetGRAVSOFT de Ts herning, notamment

eux du al ul de la ovarian e empirique et eux utilisés pour le al ul des

fon tionsde ovarian es. Alan de e hapitrenousprésentons desrésultats

numériques sur le al ul d'un géoïde lo alvia laméthode de ollo ationpar

moindres arrés.

La deuxième partie de ette thèse traite la résolution d'un problème

in-verse en géodésie physique. Il s'agit de de déterminer une distribution de

points-masses qui génère un potentiel équivalentau potentielgravitationnel

terrestre. Cette partie omporte trois hapitres. Dans le premier nous

dé-taillons la mise en ontexte du problème inverse des points-masses sur la

Terre entière et sur une région limitée de la Terre. Dans le deuxième

ha-pitrenousprésentons uneétudedelasolvabilitéduproblème.Unalgorithme

permettant la lo alisation des points-masses sur une région de la Terre est

proposé.Lesrésultatsde esdeuxderniers hapitresontétépubliésdans

CA-RI'08.Lavalidationnumériquede notreméthode de résolutionest présentée

dans le troisième hapitre et soumise pour une publi ation dans Inverse

Détermination d'un géoïde lo al

Ce qu'il faut onnaître de la

gravimétrie

1.1 Introdu tion

Le termede gravimétriedésigneune méthode en géophysique qui apour

but l'étude du potentiel de gravitation terrestre. La gravitation est un

phé-nomène qui a longtemps été onsidéré par l'Homme omme étant un

phé-nomènea quis sans besoin d'expli ations. Quatresiè les avant Jésus-Christ,

le philosophe Aristote a onsidéré que la gravitation est une parti ularité

naturelle des objets qui ause leur hute sur la Terre, et plus la taille de

l'objet est grande plus e phénomène est important. Deux milles ans plus

tard, Galileo Galilée avait mis au monde une expli ation de la gravitation

basée sur l'observation et la théorie. Il était le premier qui a expliqué que

la gravité est l'a élération de toute masse en hute libre. Tous les objets

tombentsurlaTerreave lamêmea élération,niantparsuitel'inuen ede

lamassesur lavitesse de hute d'unobjet.Cetteloiadonnéuneexpli ation

a pu, ensuite grâ e à ses études des orbites planétaires, dé ouvrir d'autres

lois qui préparaient le terrain pour Isaa Newton. Ce dernier a rassemblé

toutes les lois, trouvées pré édemment, dans une seule loi exhaustive plus

simple. L'inuen e de la masse d'un objet est de nouveau présente, non pas

ommeétant autoinuenteseulement mais aussi ommesour e d'attra tion

d'autres objets (sans avoir des expli ations pour e phénomène). La loi de

Newton a permis aussi de reprendre le problème du pendule qui hange de

omportement selon sa position sur la Terre. Par onséquent, on a pu

dé-duire que l'a élération gravitationnelle hange de valeur selon la position

géographiqueetl'altitude.Ainsilagravitationajouéun rleimportantdans

l'apparition et l'évolution des s ien es qui étudient la forme, les dimensions

etl'entouragede laTerre, notamment l'astronomieet lagéodésie physique.

Pendant le 20ème siè le, la mesure de la gravité est devenu un outil

im-portantpour l'exploitationdes hydro arbures etdes minéraux.Les

investis-sements dans es domaines ont poussé l'humanité à reuser dans la théorie

de Newton qui sert omme point de départ pour toute interprétation de la

gravité. Ce fait a favorisé aussi des progrès dans le traitement de plusieurs

nouveaux modèles en géodésie et en géophysique. Ces modèles ont ré lamé

dessystèmesderepéragedesmesuresetdespositionssurlaTerre,telsqu'une

référen e pour les hauteurs, des oordonnées géodésiques, et . Aujourd'hui,

un système de repéragesophistiqué est utiliségrâ e àla onsidération d'une

surfa e mathématique (ellipsoïde de référen e) omme surfa e de référen e

des hauteurs. Les oordonnées d'un point de la Terre relativement à ette

surfa e sont la latitude, la longitude et la hauteur. De telles notions

n'au-raientpaspuvoirlejoursansledéveloppementindustrieldesinstrumentsde

dar et les GPS (Global PositioningSystem) un nouvel aird'observations de

gravitéest apparu. L'interprétationest devenue pluspré isegrâ e à

l'exploi-tationde plusieursobservations pourétudierun seul phénomène.Il est aussi

devenupossibled'observerindire tementlepotentielgravitationnelterrestre

enobservantlatopographiedeso éans quiest unesurfa e équipotentielledu

potentiel terrestre appelée aussi géoïde et qui onstitue en ore une réserve

d'informationsutiles[12℄.Parmilesméthodes utiliséesdansle al ulde ette

surfa e on peut iter la méthode intégrale, la transformation de Fourier

ra-pide (FFT) et laméthode de ollo ationpar moindres arrés.

Ce hapitre est stru turé trois se tions, la première dé rit la gravité

ter-restre. La deuxième se tion est réservée pour présenter le hamp normal.

Dans la troisième se tionnous présentons le hamp perturbateur, qui est le

paramètre en fon tion duquel nous allons é rire les relations entre les

dié-rents paramètresdes deux hamps terrestre et normal.

1.2 Champ de gravité terrestre

1.2.1 La loi de l'attra tion et potentiel gravitationnel

La loide l'attra tionuniverselleétait publiée en 1687 par Isaa Newton.

C'estun ré apitulatifdes observations de Galiléesur la hute libre des orps

et de Kepler sur les orbites des planètes. Selon ette loi : l'attra tion

gravi-tationnelle entre deux points matériels

P

et

P

′

de masses respe tives

m

et

m

′

, est proportionnelleà la masse de ha un des deuxpoints et inversement

proportionnelle au arré de la distan e qui les sépare;

ℓ

:

F = G

mm

′

ℓ

2

,

(1.1) où

G = 6.6742.10

−11

m

3

kg

−1

s

−2

On remarque que l'attra tion exer ée par lepremier point sur le se ond dérivedu potentiel:

V (P

′

) = G

m

ℓ

et

F (P

′

_{) = m}

′

_{∇V (P}

′

_).

1.2.2 Prin ipe de superposition

La loi d'attra tion de Newton (1.1) a été énon ée dans le as de deux

pointsmassesseulement.Laformuledupotentielgravitationnelaétéobtenue

gra e à une propriété importante de la gravitation qui est le prin ipe de

superposition.

Cas dis ret : Ce prin ipe ditque lepotentield'attra tion engendré par un

ensemblede

N

massesest égal à lasomme des potentielsdes masses, i.e.,

V (P ) =

N

X

k=1

V

k

=

N

X

k=1

Gm

k

ℓ

k

où

m

k

est la masse du point-masse, etles

ℓ

k

est la distan e entre le point

P

etle k-ème point masse

P

k

, k = 1 . . . N

.

Lafor ed'attra tionengendrée par et ensemblede pointsest alors

don-née par :

f

=

∇V =

N

X

k=1

∇V

k

=

−G

N

X

k=1

m

k

ℓ

3

k

ℓ

k

.

Supposons querelativementaurepèregéo entrique les oordonnées

sphé-riques des points

P

et

P

k

sont respe tivement

(r, θ, φ)

et

(r

k

, θ

k

, φ

k

)

.

Dénition 1 (Distan e sphérique) La distan esphérique

ψ

k

séparantles deuxpoints

P

et

P

k

, est dénie par :

r

2

r

4

P

1

P

₂

P

4

P

3

P

i

x

y

z

P

dy

dz

dx

P

x

y

z

Ω

Figure 1.1 : Prin ipe de superposition : à gau he, as d'une distribution

dis rète; à droite, as d'une distribution ontinue de points.

Remarque 1. La distan e Eu lidienne

ℓ

k

entre

P

et

P

k

, s'é rit:

ℓ

k

=

q

r

2

_{− 2rr}

k

cos ψ

k

+ r

k

2

.

(1.2)

Lorsque lespoints

P

k

sontdes pointsmassesdela Terre,ona

r

k

< r

pour

1

_{≤ k ≤ N}

. Par onséquent l'inverse de la distan e

ℓ

k

est une fon tion har-monique. Son développement en termes de séries d'harmoniques sphériques

est établi omme suit : Posons par

α

k

= r

k

/r

. Nous avons alors :

ℓ

k

= r

q

1

_{− 2α}

k

cos ψ

k

+ α

k

2

.

(1.3)

Par onséquent

r/ℓ

k

peutse développer en une série d'harmoniques sphé-riques par rapport à

α

k

[27℄ :

r

ℓ

k

=

+∞

X

n=0

α

n

k

P

¯

n

(cos ψ

k

),

(1.4)

1

ℓ

k

=

1

r

+∞

X

n=0

α

n

k

P

¯

n

(cos ψ

k

),

(1.5)

et en utilisant le théorème d'addition des harmoniques sphériques (voir

A.22)

1

ℓ

k

=

1

r

+∞

X

n=0

n

X

m

_=−n

α

n

k

4π

2n + 1

Y

¯

nm

(θ

k

, φ

k

) ¯

Y

nm

(θ, φ).

(1.6) Finalement, l'expression du potentiel élémentaire

V

k

est donnée en un point

P

de l'espa e par :

V

k

(r, θ, φ) =

Gm

k

r

+∞

X

n=0

n

X

m

_=−n

α

n

k

4π

2n + 1

Y

¯

nm

(θ

k

, φ

k

) ¯

Y

nm

(θ, φ),

(1.7)

et par leprin ipe de superposition :

V (P ) =

N

X

k=1

V

k

=

N

X

k=1

Gm

k

r

+∞

X

n=0

n

X

m

_=−n

α

n

k

4π

2n + 1

Y

¯

nm

(θ

k

, φ

k

) ¯

Y

nm

(θ, φ).

(1.8)

Cas ontinu : Dans le as où le potentiel est généré par une distribution

ontinude points

Ω

(un réseauinnide points) dedensité

ρ

,son expression en ontinu est donnée par

V (P ) = G

ZZZ

Ω

dm

r

= G

ZZZ

Ω

ρ(x, y, z)

r

dxdydz,

où

r

est ladistan e entre lepoint

P

etl'élémentde masse

dm

. L'attra tion générée par

Ω

dans e as est donnée par

f

=

∇V = −G

Z ZZ

Ω

r

r

3

dm,

où

r

est le rayonve teur asso ié aupoint

P

.

ξ

’

’

ζ

η

’

Terre

X

Y

(P,m)

(P’,m’)

Z

O

u

_ϕ

ϕ

Figure 1.2 : Attra tiongravitationnelle

1.2.3 Attra tion gravitationnelle terrestre

La dire tionde ette for e est portée par la droite passant par les deux

entres de masse des deux points matériels.

Considèronsun pointmatérielde laTerre

P

′

de masseélémentaire

dm

et de oordonnées

(x

′

_{, y}

′

_{, z}

′

₎

relativementà un repère artésien.

P

est un point de l'espa eexterne à la Terre, de masse unitaire (

m = 1

) et de oordonnées

(x, y, z)

.Lafor ed'attra tion,

F

,exer éeparlepointmatériel

P

′

sur lepoint

matériel

P

peut s'é rire :

F

=

−G

dm

ℓ

2

u

P

′

,

où

ℓ =

p

(x

− x

′

₎

2

_{+ (y}

_{− y}

′

₎

2

_{+ (z}

_{− z}

′

₎

2

et

u

P

′

=

1

ℓ











x

_{− x}

′

y

− y

′

z

_{− z}

′











.

Le hamp

F

dérivedu potentiel

V =

Gdm

ℓ

. En eet, ona :

grad

1

ℓ

=

−

1

ℓ

3











x

− x

′

y

_{− y}

′

z

− z

′

_,











etladémonstrationen dé oule.

V

estlepotentielgravitationnelgénéréparle pointmatériel

P

′

.Lepotentielgravitationnelterrestreestobtenuensommant

sur tous les potentiels élémentaires générés par des points matériels de la

Terre de masse

M

dont une distributionde masse est

ρ

. On a alors :

V =

GM

ℓ

= G

Z

T

dm

ℓ

= G

Z

T

ρ

ℓ

dv,

ave

T

représente i i le volume de la Terre et

ℓ

désigne la distan e entre le point

P

′

et lepointpotentié

P

.

1.2.4 Potentiel entrifuge

Sous l'eet de la rotation diurne de la Terre, un point matériel

P

de masseunitairesubit unefor edite entrifuge quiest expriméeen fon tionde

sadistan e àl'axede rotationde laTerre etde dire tionorthogonaleàl'axe

de rotationde laTerre :

f

= ω

2

(x

2

+ y

2

)u

ϕ

,

où

ω

est la vitesse de rotation de la Terre;

ω = 7, 29210

−5

_rad/s

. La for e

entrifuge

f

dérive d'un potentiel

Φ

, ditpotentiel entrifuge;

Φ(P ) =

1

2

ω

2

_(x

2

_{+ y}

2

_).

1.2.5 Potentiel de pesanteur

Le potentiel de pesanteur terrestre, noté

W

, est la somme du potentiel gravitationnel

V

etdu potentiel entrifuge

Φ

, i.e.,

W = V + Φ.

1.2.6 A élération de pesanteur et oordonnées

astro-nomiques

Pardénition,onappellea élérationdepesanteur terrestre,

onvention-nellement notée

g

,le ve teurégal à

gradW

sur lasurfa e terrestre.

L'a élérationde pesanteur enun pointmatériel

P

est réée par l'attra -tion gravitationnellede la Terre et par l'a élération entrifuge :

g

= gradW = G

ZZ Z

T

ρ

ℓ

2

u

P

′

dv + ω

2

p

_x

2

_{+ y}

2

_u.

où

u

P′

=

−−→

P

′

_P

k

−−→

P

′

_P

_k

et

u

=

x

p

x

2

_{+ y}

2

,

y

p

x

2

_{+ y}

2

, 0

!

.

g

est expriméeen

m/s

2

, ouen gal(

1gal = 1cm/s

2

).Lanormedu ve teur

d'a élération de pesanteur

g

est appelée la gravité de pesanteur, notée

g

. Numériquement, la gravité n'est pas onstante, elle hange d'un lieu à un

autre à ause de plusieurs fa teurs mesurables, tels que les for es de marée,

par exemple à l'équateur

kg

e

k ≈ 9.78m/s

2

et aux ples

kg

p

k ≈ 9.83m/s

2

.

Les mesures de gravité

g

sont faites ave deux types de gravimètres. Le premier al ulelagravitédulieuenmesurantlavitessede hute,àl'aided'un

rayonlaser. Bienque e typede gravimètre fournit des mesures de pré ision

de

0.01

à

0.001 mgal

, il est très her, lourd, et en ombrant. Le deuxième typede gravimètre mesureles hangements relatifsàlagravité

g

entre deux endroits. Cet instrument utilise une masse sur l'extrémité d'un ressort qui

s'étire où la gravité

g

est plus forte. Il fournit une pré ision de

0.01 mgal

en environ 5 minutes. Des mesures de gravité peuvent aussi être prélevées à

partir d'unestation de gravité.

Leve teurunitairenormalaupoint

P

est portéparladire tionde

g

,i.e.,

n

=

₋

g

le entre de laTerre) artésien,

n

sedé ompose :

n

=











cos Λ cos Φ

cos Λ sin Φ

sin Λ











.

(1.9)

Les angles

Λ

et

Φ

sont appelés les oordonnées astronomiques :

Λ

est la latitudeastronomique, et

Φ

est la longitude astronomique.

n

Λ

Φ

équateur

P

méridien local

méridien zéro

||x

||y

||z

Figure 1.3 : Coordonnées astronomiques;

Λ

et

Φ

sur une sphère unité

entrée au point

P

. Ainsi le repère

(P,

k x, k y, k z)

est lo al. Les symboles

kx, ky, kz

indiquentlesparallèlesauxaxesdurepère artésiengéo entrique.

1.2.7 Surfa e équipotentielle et géoïde

Unesurfa eéquipotentielleestl'ensembledespointsayantlamêmevaleur

du potentiel

W

. Les lignes de hamp de pesanteur (ou lesls à plomb) sont les ourbesperpendi ulaires aux surfa es équipotentielles en tout point.

équipoten-Cettesurfa eestappeléelegéoïde. Elleest onsidéréetrèspro he delaforme

de la Terre. Au niveau du géoïdele potentielde pesanteur

W = W

0

= cte

.

Le géoïde est aussi, une surfa e omplexe à ause de l'irrégularité de

la distribution de la masse terrestre. Il est par onséquent impossible de

le déterminer expli itement. Dans la géophysique ette surfa e parti ulière

présente des ondulations qui sont quantiées au moyen des variations de sa

hauteur

N

par rapportàune surfa ede référen e arbitrairement hoisie.On hoisit en généralpour ette surfa e un ellipsoïdede révolution.

g

W=W

₀

P

Surfaces equipotentielles, W= constante

geoide

Fils a plomb

Figure 1.4 : Surfa e équipotentielle du hamp de pesanteur. Ladire tion

du ve teur gravité qui est perpendi ulaire à l'équipotentielle et tangent au

1.2.8 Propriétés du potentiel gravitationnel

1.2.8.1 Potentiel extérieur et équation de Lapla e

Lorsque lepointpotentiéest extérieuràlaTerre, 'est àdirelorsque

ℓ

ne s'annule pas, la fon tion

1

ℓ

est ontinue et admet des dérivées premières et se ondes ontinues.Onpeut parsuite al ulerlesdérivées partiellesse ondes

de

1

ℓ

etmontrer quelepotentiel

V

vérie l'équation de Lapla e

△V = 0

,ou en ore

V

estharmonique.Eneet,si

ℓ

nes'annulepasalors

1

ℓ

estharmonique, eton a:

∂

∂x



1

ℓ



=

₋

x

− x

′

ℓ

3

,

∂

2

∂x

2



1

ℓ



=

−ℓ

2

_{+ 3(x}

_{− x}

′

₎

2

ℓ

5

∂

∂y



1

ℓ



=

−

y

− y

′

ℓ

3

,

∂

2

∂y

2



1

ℓ



=

−ℓ

2

_{+ 3(y}

_{− y}

′

₎

2

ℓ

5

∂

∂z



1

ℓ



=

₋

z

− z

′

ℓ

3

,

∂

2

∂z

2



1

ℓ



=

−ℓ

2

_{+ 3(z}

_{− z}

′

₎

2

ℓ

5

,

ainsi,

∆



1

ℓ



=

∂

2

∂x

2



1

ℓ



+

∂

2

∂y

2



1

ℓ



+

∂

2

∂z

2



1

ℓ



= 0.

Par onséquent, le potentiel gravitationnel

V

peut être représenté à l'aide

d'un développement en harmoniques sphériques [38℄. Dans un repère

géo- entrique où l'origine

O

oïn ide ave le entre de gravité de la Terre et en introduisant l'ellipsoïdede référen e, onpeut é rire :

V =

GM

r

1 +

+∞

X

n=1

a

r



n

X

n

m=0

¯

C

nm

cos mϕ + ¯

S

nm

sin mϕ

¯

P

nm

(cos θ)

!

=

GM

r

1 +

+∞

X

n=1

n

X

m

=−n

a

nm

a

r



n

¯

Y

nm

(θ, ϕ)

!

,

(1.10) où

¯

Y

nm

(θ, ϕ)

sontlesharmoniquessphériquessurfa iquesnormalisées(A.16),

¯a

nm

=











¯

C

nm

si

m

≥ 0

¯

S

nm

si

m

≤ 0,

sont les oe ients du potentiel

gravitation-nelnormalisées,

M

est lamasse de laTerre,

a

est le rayonéquatorial de l'ellipsoïdede référen e,

¯

P

nm

sont des fon tionsde Legendre de première espè e etnormalisées. Dans l'expression du potentielgravitationnel,laquantité onstante

GM

r

(qui est aussi le terme d'ordre

n = 0

dans le développement) représente la valeur moyenne du potentiel

V

. Cette valeur orrespond au modèle d'une masse pon tuelle en

O

. Chaque terme de l'expression du potentiel, présente une déviation par rapport à ette valeur moyenne. Lorsque le potentiel est

supérieuràlavaleurmoyenne,ilyaunex ès demasse,etlorsquelepotentiel

est inférieur à ette valeur, ily a un défaut de masse.

Remarque 2 (Modèle géopotentiel) L'étude des perturbations des

tra-je toiresdessatellitessousl'inuen edel'attra tionterrestre, apermis

d'éla-borer des modèles géopotentielsqui représentent le hamp gravitationnel

ter-restre.Ces modèles sontprésentés sousla forme d'undéveloppement en

har-moniques sphériquesdontles oe ients sontdéterminés grâ eaux missions

spatiales. Soit :

V =

GM

r

Nmax

_X

n=0

a

r



n

X

n

m=0

¯

C

nm

cos mϕ + ¯

S

nm

sin mϕ

¯

P

nm

(cos θ)

!

,

(1.11)

où

N

max

estl'ordre maximaldes termesdu modèle,par exemple,pourle mo-dèle EGM96, obtenu par les re her hes en géodésiespatiale,

N

max

= 360

[2℄.

A tuellement il existe le modèle EGM08 qui est plus pré is et dont l'ordre

maximal est

N

max

= 2160

[1℄.

C

¯

nm

et

S

¯

nm

sont des oe ients sans dimen-sion qui ara térisent la répartition des masses dans le volume de la Terre.

Ilssontobtenus prin ipalement par des mesures depesanteur,des étudesdes

perturbations des mouvements des satellites arti iels et des mesures

d'alti-métrie par satellite.

1.2.8.2 Potentiel intérieur et équation de Poisson

Lorsque le point potentié

P

est à l'intérieur de la Terre, la fon tion

1

ℓ

n'est plus ontinue en

P

. Dans e as les dérivées partielles auvoisinage de

P

ne peuventpasêtre al ulées dire tementet

V

n'estplusune fon tion har-monique[56℄. Soit

B(P, ε)

la boulede entre

P

etde rayon

ε

. Dé omposons levolume de la Terre sous la forme[29℄ :

T = [T \B(P, ε)] ∪ B(P, ε).

Ainsile potentiel

V

s'é rit :

V (x, y, z) = G

ZZZ

T

̺(x

′

_{, y}

′

_{, z}

′

₎

p

(x

− x

′

₎

2

_{+ (y}

_{− y}

′

₎

2

_{+ (z}

_{− z}

′

₎

2

dx

′

_dy

′

_dz

′

= G

ZZZ

T \B(P, ε)

̺(x

′

_{, y}

′

_{, z}

′

₎

p

(x

− x

′

₎

2

_{+ (y}

_{− y}

′

₎

2

_{+ (z}

_{− z}

′

₎

2

dx

′

_dy

′

_dz

′

+ G

ZZZ

B(P, ε)

̺(x

′

_{, y}

′

_{, z}

′

₎

p

(x

_{− x}

′

₎

2

_{+ (y}

_{− y}

′

₎

2

_{+ (z}

_{− z}

′

₎

2

dx

′

_dy

′

_dz

′

_.

Notons par

I

ε

la première intégrale, i.e., elle sur

T \B(P, ε)

et par

J

ε

la deuxième intégrale, i.e., elle sur

B(P, ε)

. Nous her hons maintenant à déterminer leslimites de

∆I

ε

etde

∆J

ε

lorsque

ε

tend vers zéro.

Pour la première ona

lim

ε

_→0

∆I

ε

= G∆

ZZZ

T

̺(x

′

_{, y}

′

_{, z}

′

₎

ℓ

dx

′

_dy

′

_dz

′



= G

ZZZ

T

̺(x

′

, y

′

, z

′

)∆



1

ℓ



dx

′

dy

′

dz

′

= 0.

Pour la deuxième,on obtient

∆J

ε

= G

ZZ Z

B(P, ε)

∆



̺(x

′

_{, y}

′

_{, z}

′

₎

ℓ



dx

′

dy

′

dz

′

= G

ZZ Z

B(P, ε)

̺(x

′

, y

′

, z

′

)∆



1

ℓ



dx

′

dy

′

dz

′

.

De plus ona

∆



1

ℓ



= div



grad



1

ℓ



.

Rappelons laformule de ladivergen e

ZZ Z

Ω

div F dv =

ZZ

S

F

n

ds,

où

Ω

estlevolumeenferméparlasurfa e

S

et

F

n

estlaproje tionduve teur

F

sur la normaleextérieure à lasurfa e

S

(i.e., omposante normalede

F

). Si

F

estlafor ed'é oulementd'unuide,alors

Z Z

S

F

n

ds

estleuxdu uide àtravers

S

par unitéde surfa e. Laquantité

div F

représentelaquantité de uidepar unité de volume.En appliquant ette formuledans notre as nous

obtenons :

∆J

ε

= G

ZZZ

B(P,ε)

̺(x

′

_{, y}

′

_{, z}

′

_)∆



1

ℓ



dv

= G

ZZ

S(P,ε)

̺(x

′

, y

′

, z

′

)

∂

∂n



1

ℓ



ds + G

ZZ

S(P,ε)

1

ℓ

∂

∂n

(̺(x

′

_{, y}

′

_{, z}

′

_))ds.

Sur la sphère

S(P, ε)

ona :



























∂

∂n

=

d

dr

et

l = r = ε,

ds = r

2

_{sin θdθdϕ}

ZZ

S(P,ε)

ds =

Z

0

2π

Z

0

π

r

2

sin θdθdϕ.

Par onséquent,

∆J

ε

= G

ZZ

S(P,ε)

̺(x

′

, y

′

, z

′

)



d

dr



1

r



r=ε

ε

2

sin θdθdϕ

+ G

ZZ

S(P,ε)

1

ε

d

dr

(̺(x

′

_{, y}

′

_{, z}

′

_))ε

2

_{sin θdθdϕ}

=

_−G

ZZ

S(P,ε)

̺(x

′

, y

′

, z

′

) sin θdθdϕ + G

ZZ

S(P,ε)

ε

d

dr

(̺(x

′

_{, y}

′

_{, z}

′

_{)) sin θdθdϕ.}

Enoutre,

lim

ε

_→0

̺(x

′

_{, y}

′

_{, z}

′

_{) = ̺(x, y, z).}

Ainsi,

lim

ε

→0

∆J

ε

=

−G̺

ZZ

S(P,ε)

sin θdθdϕ

|

{z

}

↓4π

=

_−4G̺π.

Théorème 1. A l'intérieur de la Terre,

V

satisfait l'équation de Poisson

∆V (x, y, z) =

_−4G̺π.

1.3 Champ normal

1.3.1 Ellipsoïde de référen e et potentiel normal

La rotation de la Terre autour de son axe, entraîne une déformation au

niveau des ples (aplatissement) et au niveau de l'équateur (gonement).

L'approximation mathématiquela plus dèle à la formede laTerre est, par

onséquent, l'ellipsoïde de révolution qui est une surfa e engendrée par la

rotationd'une ellipse autour de l'axe des ples. Il ara térisé par son demi

grand axe

a

, son demipetit axe

b

et son aplatissement

f = (a

− b)/b

. Il s'é arte d'une distan e du géoïde qui ne dépasse pas

±100m

. Enoutre, l'el-lipsoïde hoisialamêmemasse,lemême entre,lemêmerayonéquatorial,la

mêmevitesse de rotation,lemême axedes ples, etlemême fa teur

d'apla-tissement que la Terre. D'après Clairault (1743) [29℄, l'ellipsoïde dé rit la

Ellipsoïde Année

a

b

f

e

Clarke 1880 6378249.2 6356515.0 0.00340755 0.08248325676

Hayford 1909 6378388.0 6356911.9461 0,003367003 0.08199188998

IAGGRS 1980 6378137.0 6356752.314 0,003352811 0.08181919106

L'ellipsoïdede référen eainsidéni,génèreun hamp,appelé hamp

nor-maletnoté

U

, quiappro hele hamp dupesanteur terrestre

W

.L'ellipsoïde est unesurfa e équipotentielledu hamp

U

,et e dernierest égal,sur l'ellip-soïde,aupotentielde pesanteur surlegéoïde,

W

0

(g.1.5).Le hampnormal

U

est une fon tionharmonique àl'extérieur de l'ellipsoïdede référen e asso- ié.Ilsedé omposeenlasommedupotentielgravitationnel

V

etdupotentiel entrifuge

Φ

(le même que elui de la Terre), i.e.,

U =

V + Φ

. Comme le potentiel de pesanteur, le potentiel normal

U

admet un développement en harmoniques sphériques qui sé rit :

V =

GM

r

"

1 +

∞

X

n=1

a

r



2n

J

2n

P

2n

(cos θ)

#

,

ave

m =

ω

2

_a

2

_b

GM

, e =

√

a

2

_{− b}

2

a

, e

′

₌

√

a

2

_{− b}

2

b

, q

0

=

1

2



1 +

3

e

′2



arctg e

′

₋

3

2e

′

.

et

J

2n

= (

−1)

n+1

3 e

2n

(2n + 1)(2n + 3)



1

_{− n + 5n}

J

2

e

2



,

J

2

=

1

3

e

2



1

−

2

15

me

′

q

0



: l'aplatissement dynamiquede l'ellipsoïde:

J

2

= 108263.0000064 . 10

−8

pour GRS80

J

2

= 108263.000424 . 10

−8

pour WGS84

.

La valeur du potentiel normal sur la surfa e de l'ellipsoïde GRS80 par

exemple est :

DansFig.1.5,nous présentonsl'erreurrelativesurlepotentielde l'ellispoïde

déniepar :

E

rel

=

|U − U

GRS80

|

|U

GRS80

|

,

etl'erreur absolue par rapport à lavaleur du potentiel gravitationnelsur la

l'ellipsoïdedéniepar :

E

abs

=

|U − U

GRS80

|.

−2

−1

0

1

2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

x 10

−6

−

π

/2

≤θ≤π

/2

Erreur relative sur le potentiel normal en m

2

.s

−2

−2

−1

0

1

2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x 10

−14

−

π

/2

≤θ≤π

/2

erreur absolue

Figure 1.5 : L'erreur relative et l'erreur absolue sur le potentiel normal

al uléeàlasurfa ede l'ellispoïdede référen eGRS80.C'est lavariationdu

développement en harmoniques sphériques du hamp normal autour de sa

1.3.2 Gravité normale et oordonnées géodésiques

Le ve teur gravité normale, noté

γ,

est un analogue de l'a élération de pesanteur

g

. En fait,on peut é rire

γ

= grad U =











∂U

∂x

∂U

∂y

∂U

∂z











.

La formule de Somigliana donne le module de la gravité normale sur

l'el-lipsoïde de référen e en fon tion de la latitude géographique géodésique

λ

, l'angle quefait lanoramle àl'ellipsoïdeave leplan equatorial [38℄.

γ =

aγ

e

cos

2

_{λ + bγ}

p

sin

2

λ

(a

2

_cos

2

_{λ + b}

2

_sin

2

_λ)

1

2

,

(1.12)

où

γ

e

et

γ

p

sontrespe tivement lesvaleursde lagraviténormaleàl'équateur etaux ples de l'ellipsoïde. Ellessont al ulées àl'aide des expressions :

γ

a

=

GM

ab

(1

− m −

me

′

_q

′

0

6q

0

),

(1.13)

γ

b

=

GM

a

2

(1 +

me

′

_q

′

0

3q

0

),

(1.14) ave

q

₀

′

= 3



1 +

1

e

′2

 

1

−

1

e

′

arctge

′



− 1.

Aune hauteur

h

au-dessus del'ellipsoïde, lemodulede lagraviténormalese al ule àpartir de :

γ

h

= γ



1

₋

2

a

1 + f + m

− 2f sin

2

_λ

_{h +}

3h

2

a

2



,

où

f =

a

_{− b}

a

,

est l'aplatissementde l'ellipsoïde onsidéré.

Par analogie au as de la gravité de pesanteur (1.9), les oordonnées

normale:

γ

x

=

−γ cos λ cos φ,

γ

y

=

−γ cos λ sin φ,

γ

z

=

−γ sin λ,

(1.15) etdénies par :

λ = arcsin(

₋

γ

z

γ

),

φ = arctg(

γ

y

γ

x

).

(1.16)

Meridien

origine

Meridien

de M

Equateur

Pole sud

Pole nord

ϕ

M

h

λ

Figure 1.6 : Coordonnées géodésiques.

λ

est la latitude,et

φ

est la longi-tude.

Ces oordonnées servent à lo aliser un point sur la Terre. Un point au

dessus de l'équateur a une latitude positive et ré iproquement. Les valeurs

des latitudes varient entre

−90

◦

et

90

◦

. Les lignes de latitudes égales sont

appeléeslesparallèles.Laparallèlelaplusimportanteestlaparallèleorigine

qui est l'équateur. Les longitudes varient entre

−180

◦

et

180

◦

. Les lignes de

1.4 Relations entre hamp réel et hamp

ap-pro hé

1.4.1 Anomalie de gravité

Soient

M

un point quel onque de la surfa e topographique et

P

l'inter-se tion du l à plomb passant par e point ave le géoïde. Notons par

Q

le projeté orthogonal de

M

sur l'ellipsoïde (Fig.1.7). L'anomaliede gravité, notée

∆g,

est ladiéren eentre lesmodulesde lagravitémesurée en

P

etla graviténormale en

Q

, i.e.,

∆g = g

P

− γ

Q

.

(1.17)

Lesanomalies orrespondantau modèle géopotentielEGM96, admettentun

développement en harmoniques sphériques qui s'é rit:

∆g =

GM

r

2

Nmax

_X

n=2

(n

_{− 1)}

a

r



n

X

n

m=0

∆ ¯

C

nm

cos mϕ + ∆ ¯

S

nm

sin mϕ

¯

P

nm

(cos θ),

(1.18)

où

∆ ¯

C

nm

et

∆ ¯

S

nm

sont lesdiéren es entre les oe ients du potentiel ter-restre et les oe ients du potentielnormal relativement au modèle

géopo-tentielEGM96.

1.4.2 Déviation de la verti ale

L'angle entre la normale au géoïde ou le l à plomb -support de

g

- et la normale à l'ellipsoïde-support de

γ

- est appelé déviation de la verti ale. Il a deux omposantes, une dans la dire tion nord-sud

ξ

et l'autre dans la

dire tionEst-Ouest

η

(g.1.7). Nousavons les formules suivantes :

ξ := Λ

− λ,

(1.19)

η := (Φ

_{− φ) cos λ,}

(1.20) où

(Λ, Φ)

sont les oordonnées astronomiques,et

(λ, φ)

sont les oordonnées géodésiques.

1.4.3 Potentiel perturbateur

Ladiéren eentre lepotentieldepesanteurréel

W

etlepotentielnormal

U

est appelée lepotentielperturbateur:

T = W

− U.

Le potentiel

T

est harmonique omme étant diéren e de deux fon tions

harmoniques (

W

et

U

). Il possède alors un développement en harmoniques sphériques [27℄. La formedu développement asso iée aumodèle EGM96 est

donnée par :

T =

GM

r

Nmax

_X

n=2

a

r



n

X

n

m=0

∆ ¯

C

nm

cos mϕ + ∆ ¯

S

nm

sin mϕ

¯

P

nm

(cos θ).

(1.21)

1.4.4 Relation entre potentiel perturbateur et la

dévia-tion de la verti ale

Les omposantes de la déviation de la verti ale s'expriment en fon tion

du potentielperturbateur

T

en un point extérieuràlaTerre

P

souslaforme [38℄ :

ξ

P

=

−

1

γ

Q

r

P

∂T

∂θ

,

(1.22)

ν

P

=

1

γ

Q

r

P

cos θ

P

∂T

∂ϕ

.

(1.23)

γ

_Q

g

_P

P

n

Q

N

n’

ξ, η

W = W

0

U = W

0

Figure 1.7 : Ve teur a élération de pesanteur

g

, ve teur a élération normal

γ

,ondulationdugéoïde

N

etles omposantesNord-SudetEst-Ouest de ladéviationde laverti ale.Notonsaussi que

W (P ),

lavaleur dupotentiel de pesanteur au point

P,

est égale à

U(Q),

la valeur du potentiel normalau point

Q.

1.4.5 Hauteur du géoïde et relation ave potentiel

per-turbateur

La distan e entre

P

et

Q

suivant le l à plomb s'appelle la hauteur du

géoïde

N

(Fig.1.8). La distan e entre

M

et

P

suivant le l à plomb est

appelée lahauteur orthométrique du point

M

. Lahauteur du géoïdeest liée aupotentiel perturbateur

T

par la formulede Brun [27℄ :

W = W

₀

U = U

₀

M

Geoide

Ellipsoide

Surface topographique

g

γ

Q

P

P

Q

N

h

H

Figure 1.8 : Hauteur du géoïde

N

,hauteur orthométrique

H.

N(P ) =

T (P )

γ

.

(1.24)

Par onséquent il est possiblede al ulerlahauteur du géoïdedès que le

potentielperturbateur

T

est onnu.

Lavaleur de lahauteurdu géoïdeasso iéaumodèleEGM96, s'é ritsous

laforme :

N =

T

γ

=

GM

r

Nmax

_X

n=2

a

r



n

X

n

m=0

∆ ¯

C

nm

cos mϕ + ∆ ¯

S

nm

sin mϕ

¯

P

nm

(cos θ).

1.4.6 Relation fondamentale de gravimétrie

Al'aidedes formules (1.17)et(1.24) nousavons larelationfondamentale

de gravimétriequi relie l'anomaliede gravité

∆g

,la hauteur du géoïde

N

et lepotentielperturbateur

T

[27℄ :

∆g =

−

2

r

T

−

∂T

∂r

.

(1.25) 1.5 Con lusion

onséquent, déterminer e hamp perturbateur permet de déterminer

plu-sieurs informations sur le hamp de gravité terrestre à partir des mesures

ee tuées. Dans le hapitre suivant nous détaillons la méthode de de

ollo- ationpar moindres arrés pour ladéterminationdu potentielperturbateur,

Méthode de ollo ation par

moindres arrées

2.1 Introdu tion

La méthode de ollo ationpar moindres arrés(CMC) est une méthode,

baséesurleprin ipedeWiener-Kolmogoro,quisertàdonneruneestimation

linéaire d'un pro essus sto hastique en minimisant les arrés des erreurs.

En géodésie ette méthode permet de faire le lien entre le sens physique et

l'interprétationstatistique des diérentes fon tionsdu hampgravitationnel

terrestre. Ellea été proposée pour la première fois en 1969 par Krarupdans

sa publi ation A Contribution to the Mathemati al Foundation of Physi al

Geodesy, puis illustrée ave détails dans [12, 38℄. C'est une méthode qui a

été utilisée ave su ès dans plusieurs problèmes de géodésie physique. En

parti ulier dans plusieurs appli ationsliées auxmissions spatiales telles que

l'altimétrie par satellite [42℄, la prédi tion des anomalies de gravité, et le

géostatistique (dis ipline qui permet l'interprétation statistique de données

spatialesettemporelles)pour l'exploitationdes observations disponiblessur

unsite de laterreouune régiondonnée.Cette méthode né essite,par

onsé-quent, la ara térisation des orrélations entres les diérentes observations,

et e faitné essite, tout d'abord,la onstru tiond'unvariogramme.Ils'agit

d'unefon tionquidépendseulementde ladistan e quiséparedeuxpointsde

mesures,etnonpasdeleurs oordonnées.Ladéterminationde ettefon tion

permet la dédu tion de la fon tion ovarian e empirique (qui est de grande

importan edans la méthode de CMC) et ré iproquement. On introduit

en-suite une fon tion ovarian e analytique noyau qui peut être modélisée à

partir de la fon tion ovarian e empirique des observations. Les autres

o-varian espourrontêtre déduites grâ e au ouplage du modèleanalytique de

la ovarian e noyau et ertaines lois physiques reliantles quantités étudiées

dans leproblème à résoudre.

Parmi les appli ations les plus intéressantes de la méthode CMC nous

itons le al ul du potentiel perturbateur

T

[38℄.Les relationslinéaires ave d'autres quantités géodésiques telles que les anomalies de gravité

∆g

et les omposantes de la déviationde la verti ale

ξ

et

η

, permettent une détermi-nation pré ise du géoïde lo al ou régional, parmi d'autres informations du

terrainétudié.

Parmi lesavantages de la méthode CMC, on remarquesa apa ité à

ex-ploiter des observations non seulement homogènes mais aussi hétérogènes

pour la détermination d'une quantité in onnue. Les résultats trouvés sont

ompétitifs même lorsque le nombre d'observations est limité.

L'in onvé-nient le plus important de la méthode est numérique. En eet, les tailles

d'observa-informatique et in onvenient s'avère de moinsen moins inquiétant[44℄.

Nous stru turons e hapitre sur quatre se tions. Dans la première nous

présentons la méthode de prédi tion par moindres arrés et son utilisation

pour résoudre ertains problèmes en géodésie physique est abordée dans le

deuxième se tion. Nous onsa rons ensuite la troisième se tion pour les

dé-tails de la fon tion ovarian e qui joue un rle fondamental dans

l'appli a-tion delaméthodede ollo ation.Dansladernière se tionnousdé rivons la

te hniquede retrait-restauration quipermet dedéterminer leshauteursdu

géoïdeentenant omptedelarépartitiondes massesàl'intérieurde laterre.

2.2 Prédi tion par la méthode des moindres

ar-rés

La méthode de moindres arrés (MMC) permetd'ajuster un modèle

ma-thématiqueand'interpréterunensembledemesures expérimentales.

Consi-dérons leproblème général suivant:

Disposant du ve teur de mesures

l

=



l

1

, l

2

, . . . , l

q



t

,

on veut déterminer leve teur signal

s

=



s

1

, s

2

, . . . , s

p



t

qui en dé oule.

l

et

s

sont des ve teurs entrés,i.e.,

E(l) = 0

et

E(s) = 0

,où

E(.)

désignelafon tionespéran edans le sens probabiliste. On suppose que la méthode MMC est la meilleure qui

permettedeprédire esignal.Elle onduitàlameilleure ombinaisonpossible

des observations quelque soit le omportement des erreurs. La résolution de

e problème fait intervenir la onstru tiondes fon tions auto- ovarian edes

ve teurs

s

et

l

dénies par :

C

ll

= cov(l, l) = E(l l

t

),

(2.1)

etla fon tion ross- ovarian edes ve teurs

s

et

l

dénies par :

C

sl

= cov(s, l) = E(s l

t

) = E(l s

t

)

t

.

(2.3)

Ce sont des matri esde plein rang, symétriqueset déniespositives.

Ainsi,trouverle meilleurprédi teur linéaire

s

ˆ

de

s,

revient à déterminer la matri e

H

qui permet d'avoir

s

ˆ

= Hl

. Notons par

ǫ

= ˆ

s

− s

le ve teur d'erreurs sur

s

. La matri e de ovarian e de

ǫ

,

C

ǫǫ

= cov(ǫ, ǫ) = E(ǫ ǫ

t

_{) =}

E((ˆ

s

_{− s)(ˆ}

s

_{− s)}

t

)

. Lestermesdiagonauxde ettematri esont lesvarian es

σ

2

k

des erreurs

s

ˆ

k

− s

k

.Danslesens probabilisteles

σ

2

k

sontaussi appelées les erreursquadratiques.Lamatri ede ovarian edel'erreur

ǫ

pourunematri e

H

arbitraireest établie ommesuit : Ené rivant

ǫǫ

t

= (Hl

_{− s)(Hl − s)}

t

_{= Hl l}

t

_H

t

− s l

t

_H

t

_Hls

t

_{+ s s}

t

_,

onétablit que:

C

ǫǫ

= E(ǫ ǫ

t

) = HE(l l

t

)H

t

− E(s l

t

)H

t

− HE(l s

t

) + E(s s

t

)

= HC

ll

H

t

− C

sl

H

t

− HC

ls

+ C

ss

,

or

C

sl

= C

t

ls

.

Par onséquent,

C

ǫǫ

= C

ss

− C

sl

C

_ll

−1

C

ls

+ (H

− C

sl

C

_ll

−1

)C

ll

(H

− C

sl

C

_ll

−1

)

t

.

La matri e

C

ǫǫ

est la somme d'une matri e indépendante de

H

, notée

I = C

ss

− C

sl

C

ll

−1

C

ls

et d'une matri e qui dépend de

H

notée

D = (H

−

C

sl

C

ll

−1

)C

ll

(H

− C

sl

C

ll

−1

)

t

.

C

ll

est unematri edéniepositiveet

D

est unematri epositivequipeut s'annuler [38℄. Ce fait implique que pour trouver une meilleure estimation