Description des voisines de $E_7, D_7, D_8,$ et $D_9$

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

D

AVID

-O

LIVIER

J

AQUET

-C

HIFFELLE

Description des voisines de E

7

, D

7

, D

8

, et D

9

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

4, n

o

_{2 (1992),}

p. 273-377

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1992__4_2_273_0>

© Université Bordeaux 1, 1992, tous droits réservés.

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273-Description

des

voisines

de

_{E7, D7, D8,}

et

D9

par DAVID-OLIVIER

JAQUET-CHIFFELLE

RÉSUMÉ - Un article _précédent paru dans le Séminaire de Théorie des

Nombres de Bordeaux contient une _description détaillée des orbites de voisi-nes _pour les représentants des 15 classes de formes parfaites à 7 variables, non _{équivalentes} à E7 et _{qui possèdent plus} de 28 vecteurs minimaux. Le lecteur trouvera ici le résultat _{correspondant pour E7,} ainsi _qu’une

descrip-tion _plus détaillée des voisines de _D7. Ceci termine la classification des formes _parfaites en dimension 7.

Un _premier pas en direction de la classification des formes _parfaites en dimension 8

(resp.

9) est réalisé au travers de la liste exhaustive des classes de formes _parfaites voisines de Dg

_{(resp. D9).}

Pour chacune de ces

classes, un _{représentant} est _donné; on trouvera _également la _description des principaux invariants associés à ces classes de formes _parfaites.

ABSTRACT - A _previous article _published in the Séminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux contains a detailed description of the orbits of

neighbours for the _{représentatives} of the 15 classes of _perfect forms in 7

variables which are non équivalent to E7 and have more than 28 minimal

vectors. The reader will find here the _{corresponding} result for E7 as well

as a more detailed description of the neighbours of D7. This completes the

classification of the _perfect septenary forms.

A first _step in the direction of the classification of _perfect forms in

di-mension 8

_(resp.

₉₎ is realized _through the exhaustive list of the classes of _perfect forms which are adjoining on D8

(resp. D9).

For each of these

classes, a representative is given; one will also find the description of the

main invariants associated to these classes of _perfect forms.

1. Introduction

Soit E un _espace vectoriel réel de dimension _n, muni d’un

_produit

scalaire

. 1.

-

&#x3E;

et q :

~n ~

_R,

une forme

_quadratique

définie

_positive.

À

isométrie

près,

il existe une

unique

base de E _pour

_laquelle

_q soit

_{l’application}

"norme

au

carré",

c’est-à-dire _pour

laquelle

le

diagramme

suivant soit commutatif :

274

fig. l

Si Q

représente

la matrice de Gram de cette

_base,

dx E

_q(x)

=

x’Qx;

on dira _que le réseau

engendré

_par les vecteurs de cette base est un réseau

associé à _q.

Si une autre base de E

engendre

le même

réseau,

la matrice ,5‘ de

change-ment de base

_appartient

à

_GLn(Z).

Deux réseaux sont

_équivalents

s’ils sont semblables

_{(équivalence}

"na-turelle").

Les réseaux de E associés à _q, étant

_{isométriques,}

sont donc

équivalents.

On en déduit une relation

d’équivalence

entre formes

quadra-tiques

définies

_{positives, compatible}

avec

_{l’équivalence}

entre réseaux : deux formes _q et

_q’

sont

_{équivalentes}

s’il existe ,S E telle _{que q} soit

positivement

proportionnelle

à q’o

S.

On obtient ainsi une

_bijection

entre classes de formes

_quadratiques

défi-nies

_positives

et classes de réseaux.

Par

_définition,

le minimum de _g

_(et

de

_Q)

est :

Les

_paires

de vecteurs ~v E Z’ vérifiant

_{q(v) =}

min _{q sont}

_appelées

paires

de vecteurs minimaux de _q

_(et

de

_Q).

_{Géométriquement,}

les vecteurs

minimaux de _q

_{correspondent}

aux

points

d’un réseau associé à _q, les

plus

proches

de

_l’origine.

Le nombre disc _{q =} dét

_Q

est

_appelé

discriminant

_{de Q.}

La racine de

disc q

est

_égale

au volume d’une maille d’un réseau associé à _q.

On définit

_{l’application}

_suivante,

dite invariant d’Hermite :

La

_fonction

est invariante sur les classes de formes

_quadratiques

définies

positives;

elle est directement liée à la densité des

_empilements

de

_sphères

associés aux réseaux. Plus

_{précisément,}

si

_6(q)

_représente

la densité

d’empi-lement de

_sphères

associée à _{q, et w"} le volume de la

_sphère

unité de

_Jaen,

on a la relation suivante :

275

On démontre que, modulo les

homothéties,

les maxima

de M

sont isolés. Les

formes

_quadratiques

définies

_{positives correspondant}

aux maxima locaux de la

_{fonction M}

sont dites extrêmes.

Historiquement,

la recherche des formes extrêmes conduit à l’introduc-tion de la notion de formes

_parfaites.

Une forme

_quadratique

définie

po-sitive est dite parfaite si elle est entièrement caractérisée par la valeur de

son minimum et l’ensemble de ses vecteurs minimaux. Voronoï démontre un

critère,

maintenant

classique,

_pour les formes extrêmes : une

forme

quadratique

définie positive

est extrême si et seulement si elle est

_parfaite

et

_eulactique.

La classification des formes extrêmes est ainsi ramenée à la

classifica-tion des formes

_parfaites.

Voronoï _{montre que pour} n

fixé,

il

n’y

a

qu’un

nombre fini de classes de formes

_parfaites

et il décrit un

_{algorithme général}

permettant

de les énumérer

_{[Vo 1].}

Cependant,

la

_complexité

de cet

_algorithme

croît si

_rapidement

en fonc-tion de la dimension n _que seul

_l’usage

intensif d’ordinateurs

_permit

de

l’appliquer

à la dimension

_sept.

Pour n

_fixé,

la

_{fonction y}

est

_bornée;

on définit

appelée

constante

d’Hermite,

par = _sup

M(q),

lorsque q

_parcourt

l’ensemble des formes

quadratiques

définies

_positives

à n variables. Minkowski _{prouve que pour} n donné

supérieur

à

1,

_{ln est} inférieur à n.

,

On

peut

montrer _que la valeur de yn, est atteinte. Les formes extrêmes

qui

vérifient

_p(q)

=

ln sont dites absolument extrêmes.

On ne connaît les valeurs exactes

_{de -in}

_{que pour n} 8 :

2. Domaine de Voronoï associé à une forme

parfaite

Considérons

_l’espace

des formes

_{quadratiques,}

définies ou non, à n vari-ables.

Cet espace vectoriel est

_isomorphe

à

_qui,

muni du

_produit

scalaire

_(X,

trace

_{(X, Y),}

est un _espace euclidien de dimension N =

276

Soit q une forme

parfaite,

indexons ses

_paires

de vecteurs minimaux :

k =

1,... ,

s.

À

_{chaque paire}

correspond

une forme

quadratique

positive

H

(Vlx)2, et

donc un

point

dans

l’espace

Voronoï.

Appelons

dk

la demi-droite de

_v,

issue de

_l’origine

et

_passant

_par

_vkvl.

L’enveloppe

convexe des

d~

est un cône convexe

saillant,

de dimension

maximale dans

_{V, appelé}

domaine de Voronoï associé à _q

_(et

à

_Q).

Si .

q(x)

=

x’Qx,

_on définit x ~ où

Qo.d

est la matrice

_adjointe

de

_Q.

On dira que q est eutactique si

q"’

peut

s’exprimer

comme combinaison linéaire à coefficients strictement

_positifs

des

Géo-métriquement, si q

est

_parfaite,

cela revient à demander que soit un

point

intérieur du domaine associé à _q.

On

_appelle

face d’un domaine de Voronoï tout cône convexe de

codi-mension 1 obtenu en intersectant ce domaine avec un de ses

_hyperplans

d’appui.

Plus

_{généralement,}

une d-face sera un cône convexe de dimension d obtenu en intersectant des faces du domaine. Les 1-faces sont les arêtes du domaine.

On trouvera dans

_{[Ja 3]}

la démonstration du fait suivant :

Les arêtes d’un domaine de Voronoï sont exactement les s demi-droites dont on a

pris

l’enveloppe

convexe.

Soient _{q et}

_q’

deux formes

_parfaites,

et leurs domaines C et C’ dans

l’espace

de Voronoï. Les domaines C et

C’

sont

_égaux

si et seulement si

les formes q et

q’

sont

positivement proportionnelles.

Cela nous

_permet

de définir une relation naturelle

_{d’équivalence}

entre

_domaines;

on dira _que deux domaines sont

_équivalents

si les formes

_{parfaites correspondantes}

sont

équivalentes.

Si C et C’ sont

_distincts,

leurs intérieurs

_topologiques

sont

_{disjoints; plus}

précisément,

leur intersection est une d-face commune à C et C’ . Si cette

d-face est une face de codimension

_1,

les deux domaines se situent

obliga-toirement de

_part

et d’autre de

_{l’hyperplan d’appui qui}

contient cette face.

On dira que C et

C’

sont des domaines voisins _{et que} les

_{formes q}

et

_q’

sont

des formes voisines.

À

_chaque

face de C

_correspond

_donc,

a

priori,

au

plus

un domaine voisin.

On

_{peut montrer,}

dans le cas

présent, qu’à

toute face d’un domaine

corres-pond

un domaine voisin.

do-277

maines associés aux formes

parfaites

comme un

_graphe

localement

fini;

les domaines

_jouent

le rôle des sommets du

_graphe,

les faces des domaines celui des arêtes. Nous

_appellerons

ce

_graphe

le

_graphe

de Voronoï.

On montre facilement _que le

_graphe

de Voronoï est connexe.

3.

_Algorithme

de Voronoï,

Pour obtenir une énumération

complète,

à

_{équivalence près,}

des formes

parfaites

à n

variables,

l’algorithme

de Voronoï se

base,

d’une

_part,

sur la

connexité du

_graphe

de

_Voronoï,

d’autre

_part,

sur la finitude du nombre de classes

_{d’équivalence}

des domaines associés aux formes

_parfaites.

Partant d’un domaine

_quelconque,

on retiendra sa classe

d’équivalence

et on déterminera tous ses domaines voisins. Certains d’entre eux

n’appartien-dront

_peut-être

_pas à la classe de

_départ.

Dans ce _cas, on obtiendra une liste de nouvelles classes

_{d’équivalence.}

On retiendra ces nouvelles classes

et, pour chacune d’entre

elles,

on choisira un

représentant.

Pour chacun de ces

représentants,

on déterminera à nouveau ses domaines

voisins,

domaines

qui,

à leur tour, caractériseront

_parfois

de nouvelles

_classes,

etc.

La connexité du

_graphe

_{garantit qu’en}

réitérant ce _{processus toutes} les

classes seront

_{atteintes, quel}

_que soit le domaine de

_départ

choisi. La

fini-tude du nombre de classes

_{d’équivalence}

_prouve que

l’algorithme

s’arrête. L’énumération de toutes les classes de domaines associés aux formes

par-faites

_(donc

de toutes les classes de formes

_parfaites)

est

_complète

_lorsque,

pour

chaque

classe connue, les voisins d’un

représentant quelconque

appar-tiennent tous à des classes

_déjà

connues.

Le groupe des

_{automorphismes}

d’une forme

_parfaite

_agit

naturellement

sur l’ensemble des arêtes du domaine de Voronoï associé à cette forme

parfaite

et,

par

conséquent,

sur l’ensemble des faces de ce domaine. On dira

que deux faces sont

équivalentes

si elles

appartiennent

à la même orbite.

On vérifie sans

peine qu’à

deux faces

équivalentes correspondent

deux domaines voisins

_{équivalents.}

Pour

_appliquer

_{l’algorithme}

de

_Voronoï,

il

suffit donc de connaître une face au moins dans

chaque

orbite.

Géométriquement,

cela revient à utiliser les

_symétries

des

_domaines,

ce

qui simplifie parfois

considérablement le

_problème.

Cette

_{simplification}

est illustrée dans

_{[JS 1].}

4. Voisines de

_E7

Les calculs effectués sur une "VAX

8530", pendant plus

de cent

_jours

"CPU",

ont abouti au théorème suivant :

278

THÉORÈME.

Le domaine associé à

E7

possède

exactement 79900912 faces

_qui

se

répartissent

en 157 orbites sous I’action du _groupe des

automorphismes

de

_{E7 .}

°

L’algorithme

utilisé,

appelé algorithme

de

_{l’explorateur}

_{[Ja 3],}

est en fait une

_{généralisation}

de

_{l’algorithme}

de Voronoï aux faces d’un

domaine,

aux faces des faces d’un

_domaine,

etc. Il

_s’agit

en

quelque

sorte d’un

algorithme

de Voronoï

_{appliqué récursivement,}

en

profondeur.

Cet

_algorithme

m’a

_permis

d’énumérer et de caractériser les orbites de faces du domaine associé à

_E7

tout en évitant

d’expliciter

les 79900912 faces de ce domaine ! Les résultats

_ci-après

décrivent

_{précisément}

les 157 orbites de faces du domaine associé à

_E7.

_Couplés

avec les résultats

publiés

dans

[Ja 1],

ils achèvent la classification des formes

_parfaites

à

_sept

variables. L’énumération

_complète

des classes de formes

_parfaites

à

_sept

variables

a _pour corollaire une confirmation immédiate de la valeur de _y7

_et,

via

l’inégalité

de Mordell

_{[Mo 1],}

de la valeur de _{ys .}

Il découle

_également

de cette classification le théorème suivant

_qui

con-firme et

_généralise

_plusieurs

théorèmes dus à Watson

_{[Wa 2] :}

THÉORÈME.

Tout réseau

_parfait

de dimension n

(n 7)

possède

une base de vecteurs

minimaux.

5. Voisines de

_D~

_(n

= 8 _{et n} =

9)

La classification des formes

_parfaites

en dimension 7 étant

terminée,

il

est naturel de s’intéresser aux dimensions suivantes. Dans

_{[JS 1],}

l’étude

générale

de

_D~

_{(n &#x3E; 3)}

effectuée _par Voronoï est utilisée _pour énumérer

les classes de formes

_parfaites

voisines de

_D7.

Une

_approche

_analogue

m’a

permis

d’énumérer,

à

_{équivalence près,}

les formes

_parfaites

voisines de

_Dg

279

La matrice associée à est la suivante :

Toute face F du domaine associé à

_D~

est contenue dans un

hyperplan

d’appui.

Un "vecteur"

_{perpendiculaire}

à cet

_hyperplan

est une matrice réelle

symétrique qui

caractérise F.

La matrice

et les matrices

(où *

vaut 0

_{ou -1 )}

_{caractérisent,}

à

_équivalence

_près,

toutes les faces du

domaine associé à

_D.

Ce résultat dû à Voronoï

_signifie

_que les matrices ci-dessus fournissent une liste suffisante de faces du domaine.

L’ensemble des

_Pn

contient

2"~~~)"~~")/~

éléments. Si l’on identifie les faces

_{équivalentes}

obtenues _par

_permutation

des

_{(n - 2)}

dernières

_variables,

cet ensemble est considérablement réduit. Effectuer ces identifications re-vient en

_quelque

sorte à

_énumérer,

à

_équivalence

_près,

tous les

_graphes

à

(n - 2)

sommets.

Le théorème de

_Polyà

_{[Si 1]}

_permet

de

_compter

le nombre de classes de

graphes inéquivalents,

d’où un contrôle a

posteriori.

Il ne donne

cependant

aucune méthode

_permettant

_{d’expliciter}

une liste de

_{représentants.}

Après

réduction,

l’ensemble des

_Pn

ne contient

_plus

_que 156 éléments

pour n = 8 et 1044 _pour n = 9. La liste suffisante de faces _est alors réduite

280

Pour chacune de ces

faces,

on calcule la voisine

_{correspondante.}

Les voisines ainsi trouvées ont toutes le minimum 2 et admettent la base

cano-nique

de comme base de vecteurs minimaux.

Lorsque

deux voisines coïncident sur les invariants

_classiques

_(invariant

d’Hermite,

nombre de vecteurs

_minimaux,

_spectre),

on recherche une

ma-trice de

_changement

de base ,5’ E

prouvant

l’équivalence

de ces

deux formes. Cette recherche a abouti dans tous les cas. Cela _{prouve que} les invariants

_classiques

sont suffisamment fins _pour

_distinguer

les voisines de

_D,3,

de même _que celles de

D9 .

Ces calculs m’ont donc

_permis

de trouver toutes les classes de formes

parfaites

voisines de

_{Dé3, respectivement}

de

Dg .

La

_description

de ces classes

est fournie

_ci-après.

Il _y a 48 classes de formes

parfaites

voisines de D8 et

226 classes de formes

_parfaites

voisines de

D9.

Pour chacune des classes ainsi

_{découvertes,}

un

représentant

est donné

avec les deux

_grandeurs

_{principales qui}

lui sont associées : son minimum

et son discriminant. On trouvera de même la

_description

des

_principaux

invariants de la classe : invariant d’Hermite

_(avec

8 chiffres

_{significatifs),}

valeur du discriminant

_lorsque

le minimum est normalisé à

_2,

nombre de

paires

de vecteurs

_minimaux,

_{ordre du groupe des}

_{automorphismes.}

Les classes ont été ordonnées _par ordre décroissant de l’invariant

d’Her-mite,

c’est-à-dire _par ordre décroissant de la densité des

_empilements

de

sphères qui

leur sont associés.

Pour des raisons évidentes de

_place,

la liste des vecteurs minimaux du

représentant

choisi ainsi _que le _spectre de ces vecteurs minimaux n’ont _pas été retenus. Il va sans dire

_qu’on

_peut les retrouver sans

peine

à l’aide des

données

_publiées.

Une variante de

_{l’algorithme}

d’identification décrit dans

[Ja 3]

a été

_employée

_pour calculer l’ordre du _groupe des

_{automorphismes.}

En

_général,

avec cette

_variante,

une dizaine de secondes suffisent à un

ordi-nateur "SUN" _pour calculer l’ordre de ce _groupe et en fournir un

système

de

_{générateurs.}

Pour la beauté du

_{problème, j’ai}

cherché à tester non seulement l’eutacti-cité des formes ainsi trouvées mais

_également

leur éventuelle

semi-eutacti-cité. Avec les notations du

_paragraphe

_2,

on dira d’une

_{forme q qui}

n’est

pas

eutactique

_qu’elle

est

_{semi-eutactique,}

₎ si

_{qa.d peut}

_s’exprimer

comme

combinaison linéaire à coefficients

_positifs

ou nuls des _qk.

Géométriquement,

si q

est

_parfaite,

cela revient à demander _que

_Qa.d

soit contenue dans une des

faces du domaine associé à _q. On

qualifiera

de non

_eutactiques

les formes

281

Parmi les classes de voisines de

_Dq,

on rencontre 26 classes de formes extrêmes dont une classe de formes absolument

extrêmes,

6 classes de formes

_{parfaites semi-eutactiques}

et 16 classes de formes

_parfaites

non

eu-tactiques.

En dimension

_9,

_parmi

les classes de voisines de

_{Dg ,}

on ne

rencon-tre que 78 classes de formes extrêmes. Les 148 autres classes se

répartissent

en 14 classes de formes

parfaites semi-eutactiques

et 134 classes de formes

parfaites

non

_eutactiques.

Il est intéressant de

_rappeler

ici

_qu’en

dimen-sion inférieure à

_6,

toutes les formes

_parfaites

sont extrêmes. En dimension

6,

une seule classe de forme

_parfaites

n’a _pas la

_propriété

d’extrémalité. Les formes

_appartenant

à cette classe son

semi-eutactiques.

Il faut aller

jusqu’en

dimension 7 _{pour rencontrer} des classes de formes

_parfaites

ni

eutactiques,

ni

_{semi-eutactiques : parmi}

les trois seules classes de formes

parfaites

non extrêmes dans cette

_dimension,

deux d’entre elles

_regroupent

des formes

_parfaites

non

_eutactiques.

Certains

_{calculs, plus fins,}

réalisés en dimension

_8,

m’ont

_permis

de caractériser les orbites de voisines de D~ sous l’action du groupe des

auto-morphismes

de cette forme. Ces orbites sont au nombre de 55. Six orbites de voisines sont contenues dans la classe de voisines numéro

_1,

celle de

_{Es .}

Deux orbites de voisines sont contenues dans la classe numéro 5. De

_même,

deux orbites de voisines sont contenues dans la classe numéro 8. Les autres

classes de voisines ne contiennent

qu’une

orbite de voisines de

Ds .

En dimension

_8,

le volume de la

_{sphère-unité}

vaut Les densités

d’empilements

de

_sphères

associées aux classes de voisines

D8

varient

en-tre

_{(~ 0, 25366951)}

_pour la classe de

_Es

_{(absolument extrême)}

et

lr4

(’--" 0, 0845565)

pour la classe de En dimension

9,

le

vol-ume de la

sphère-unité

vaut

‘ 45 .

Les densités

_{d’empilements}

de

_sphères

. 945

4

associées aux classes de voisines de

D9

varient entre

4

_{(’-_" 0, 10933116)}

° ,30 2

pour la classe de voisines numéro 1 et _94,Jva

4

(^-_’ 0, 04609806)

pour la classe

de

_A9.

’

Il est facile de voir _que certaines voisines de

Dn,

(n &#x3E; 3)

sont

_{équivalentes}

à

_{D~, .}

En dimension 8

_{(resp. 9),}

on voit _que

_Dg

(resp. D9)

_appartient

à sa classe de voisines numéro 12

_{(resp. 94).}

Bien

_qu’on

ne connaisse _pas encore la valeur exacte de _y9, le réseau

A,.g

[CS

1]

prouve que cette valeur doit être

supérieure

ou

égale

à 2. En

contemplant

les

_résultats,

on _{remarquera que pour} la

_{première fois,}

en

282

BIBLIOGRAPHIE

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170-177. JAQUET-CHIFFELLE David-Olivier Institut de _{Mathématiques} Université de Neuchâtel Chantemerle 20 2007 NEUCHÂTEL SUISSE

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