Récurrences $2$- et $3$-mahlériennes

B

ERNARD

R

ANDÉ

Récurrences 2- et 3-mahlériennes

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

5, n

o

_{1 (1993),}

p. 101-109

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1993__5_1_101_0>

© Université Bordeaux 1, 1993, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la revue « Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux » (http://jtnb.cedram.org/) implique l’accord avec les condi-tions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute uti-lisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte-nir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

Récurrences

2- et

3-mahlériennes

par BERNARD

RANDÉ

RÉSUMÉ. On sait _{(Cobham) qu’une} suite 2- et 3-automatique est une suite

rationnelle. Une _question de Loxton et van der Poorten étend ce résultat au cas 2- et _3-régulier. On montre dans cet article que, si une suite vérifie

une récurrence 2- et 3-mahlérienne d’ordre _un, elle est rationnelle.

1. Introduction

Un résultat célèbre de

_Cobham,

_([2]),

aflirme _que si une suite est à

la fois _{p- et}

_{q-automatique,}

_p et _q étant deux entiers

_{multiplicativement}

indépendants,

elle est ultimement

_périodique.

La

_{généralisation}

de ce

résultat, conjecturée

par Loxton et van der

Poorten,

est la suivante : si une série

formelle

à

coefficients

dans un _corps

commutatif vérifie

à la

fois

une

_p-équation

de Mahler et une

_q-équation

de

_Mahler,

_{p et q} étant

multi-plicativement indépendants,

c’est une

fraction

rationnelle. Notons _que van

der Poorten donne une

réponse

à cette

_question

dans

_[4]

_par des méthodes

compliquées,

sous

l’hypothèse

_que le _corps de base est un _corps de nombres.

On _{pourra aussi} lire l’article de J. H. Loxton

_[3].

Notons _que cette

_conjecture

_implique

le théorème de

_Cobham,

ainsi _que la

_{généralisation}

du théorème de Cobham aux suites

_{p-régulières}

conjec-turée _par Allouche et Shallit dans

_[1].

Le résultat _que nous obtenons est en réalité de

portée beaucoup plus

limitée,

mais nous l’obtenons _par des méthodes "élémentaires" : nous

con-sidérons un

élément p

de vérifiant une

p-équation

de Mahler d’ordre un sur

_C(X),

et aussi une

_q-équation

de Mahler d’ordre un sur Il

faut _{noter que p}

_{et q}

sont

_supposés

un _peu

_plus

_que

_{multiplicativement}

indépendants,

à savoir

_premiers

entre eux. Pour la clarté du _propos, on

prend

p = 2

_{et q}

= 3.

Manuscrit reçu le 10 avril 1992.

Les résultats contenus dans cet article ont été _exposés au _{colloque "Thémate",}

2.

_Langages

et notations

Une

_{application f :}

A --~ B est dite presque nulle si l’ensemble

est

_fini;

est

_appelé

_support

de

_{f .}

Si A est un sous-ensemble de

C,

et k un entier

naturel,

on note

Si A =

jal,

on notera

_plus

brièvement cet ensemble. On

_désignera

aussi par

Ak

l’image

de A par x J-1.

Soient à

_présent

deux fractions rationnelles a et b telles _que

et une fonction _~,

méromorphe

_sur le

disque

unité

_ouvert,

telle _que

~(0)

_

1,

et vérifiant de

_plus

les deux

_équations

de Mahler suivantes :

1 q, , 1 , 1 1-1

On désire _{montrer que ~o} est elle aussi une fraction rationnelle.

3. Réduction du

problème

Posons

où

_{f :}

C* - Z est _presque nulle. On obtient alors :

Soit I un

_système

représentatif

de racines carrées des éléments de C*. On

Si,

de

_même,

_{b(x) =}

Il

(C*

(x -

on obtiendra : aec

Grâce aux relations

(1)

et

(2),

et au fait

que p =1

_0,

on a :

ou _encore,

grâce

aux calculs

précédents :

Soit

Grâce à cette

_relation,

nous allons _prouver l’existence d’une

_application

h : C* -

_Z,

_presque

_nulle,

telle _{que :}

Supposons

h

_construite,

et soit

_r(x)

= TI

Q:"

(x -

a)-h(a).

aEc,*

On aura alors :

Donc 0

= °

vérifie la relation :

_0(x’)

=

0(z).

De

plus,

0 n’est _pas

pôle

r

ni zéro de _r, donc 0 est

_holomorphe

au

_voisinage

de 0. Il en résulte _que

B(x)

=

B(0)

puis

que : p = donc _{que p} est une fraction rationnelle.

4. Construction de h sur le

complémentaire

de l’ensemble des

racines de l’unité

LEMME 1. Soit S =

fx

_e

C*, x

non racine de

l’unité}

et F un

Preuve.

Notons I l’ensemble

_précédent;

si

_{(k, 1)}

E

_I,

il existe E

F2’

fl

F3k ,

donc il existe et

_f3k,i

dans F tels _{que :}

On définit ainsi une

application :

Montrons

_qu’elle

est

_injective,

ce

_qui

suHira. Soit

:-Or a n’est _pas racine* de 1

(a

E

_F).

Donc :

.2’e-Î’

=

3~-~~,

soit 1 - .~’ et

k = k’.

Nous _pouvons à

_présent

_{poser :}

Ceci a un _sens, ~

a3k

est

_injective,

et donc = 0 pour k _assez

grand.

De

_plus,

c Z évidemment. Soit a E ,S’. Alors

a3

E-

_S,

et donc :

Montrons

_{que h :}

S - Z est _presque nulle. Notons A =

[ supp(f)

U

supp(g)]

n

S;

A est fini.

Preuve. L’ensemble considéré est

_égal

à :

Si

_{(k, 1)}

est tel _que

Afr

f1

_0,

il existe _{x, y} dans A tels que x =

w2k,

y

= c,~3~ ,

où w E

Afr n A3 .

D’où :

~3~ _ ~~k ,

et

_(~,~)

E 7

_(avec

la notation du lemme

_1).

Finalement :

1

Or,

A étant

_fini,

A 27C est lui aussi fini. Le résultat en découle.

Pour montrer _que h est _presque

_nulle,

il suffit donc de _{montrer que,} si

[ U A -2-K

n

_{[ U A 3T}

alors

_h(a)

= 0.

Supposons

par

exemple

que

’

~~N ~ iEN ’ ~ ’

U

A

Cela

_signifie

_que,

_quel

_{que soit} k dans

_N,

_A,

donc _que

keN

g(a2k)

== 0. Notons

que

l’hypothèse

(H)

entraîne :

et donc _{que :}

puisque

g(a 3k )

= 0 _pour k _assez

grand.

Or il existe k tel _que

h(cx2k )

=

0 ; sinon,

_pour

tout k,

0 et

donc, d’après

la définition même de

_h,

il existe 1

_(dépendant

de

_k)

tel _que 0. Mais k -

o:2k3l

est

_injective,

donc _supp

_{( f )}

est

_infini,

ce

_qui

est contradictoire.

_Finalement,

on a bien

h(a)

= 0.

5. Construction de h sur l’ensemble des racines de l’unité Montrons tout d’abord deux lemmes.

LEMME 3. Soit M

_{= ~}

et x un élément de

C*,

_p un élément de

ycc*

I~V . Alors

où

_Mp.

Preuve. Soit w E On _a, successivement :

et donc :

Sommons ces

égalités

_{pour w} décrivant

x 1 .

On obtient :

avec

₁

M.

Montrons que

l’application :

est

_bijective.

_Compte

tenu de la

_{cardinalité,}

il suffit de montrer

_qu’elle

est

injective.

Or :

Finalement,

on

_peut

réécrire :

Appliquons

cette

_égalité

à _x,

_{x3, ~ ~ ~ ,}

X3P-l ,

et sommons :

avec

pM.

LEMME 4. Soit R =

~x

_E racine de _et P _un sous-ensemble

fini de R. Alors : ’

U

F2 n

est un ensemble fini.

Preuve. Si F =

txl,

alors _U

p2n

est incluse dans le

sous-groupe de C*

nEN

engendré

par x,

qui

est fini. Le résultat

_général

en découle.

Notons B =

_{[supp (f)}

_{U supp}

_(g)]

f1

_R;

l’ensemble B est

_fini,

et

_donc,

d’après

le lemme 4 : U

B2n

est fini.

~eN

Soit à

_présent

a E R.

_Puisque

" U est

_infini,

il existe donc

Posons :

Il convient de vérifier que cette définition ne

_dépend

_que de _{a, pas} de

(x, p).

Soit

_{donc y e’U}

B2n

tel _que

_y3q

= a.

D’après

le lemme 3 :

De même :

Donc :

et ce

quel

_que soit n.

Donc,

faisant tendre n vers _.+cx, on obtient

_{l’égalité}

souhaitée.

~ étant ainsi

_{définie, h-}

est clairement à valeurs entières.

Soit

_{a e}

U

B3n ,

_qui

est un ensemble fini

(lemme 4).

Soient x et p tels

nEN‘

que

x 3P

= _a. S’il existe k .,~ _{p -} 1 tel _que

x3k

_E

B,

alors x3P _E donc

a E

B 3p-h

ce

_qui

est exclu. Donc :

f( x

=

x3

= ... =

x3p 1

=

0,

soit

_h(a)

= 0.

effectivement de définir

_h(a3).

D’où :

THÉORÈME.

Soient _{p, q} deux entiers

_premiers

_{entre eux,} a et b deux

frac-tions rationnelles telles _que

_a(0)

=

b(0)

=

1, p

une fonction

méromorphe

sur un

_voisinage

de 0 telle _que

est une fraction rationnelle.

La

_{généralisation}

consistant à _passer de

_(2,3)

à

_{(p, q)}

ne relève _que du

contenu de la démonstration. En

_outre,

_{l’hypothèse}

_p(0)

= 1 n’est _pas utile

car :

0 ou bien _p

= 0,

et le résultat est

clair,

le ou

_0,

Cxpd N

d =

_0,

donc 0 n’est

0

...

, , ....

ni zéro ni

_pôle

de _{p, et} cp(0 vérifie les mêmes

_hypothèses.

BIBLIOGRAPHIE

[1]

J.-P. Allouche et J. _Shallit, The _{ring of k-regular} sequences, Theor. Comp. Sci. 98

(1992), 1163-197.

[2]

A. _Cobham, On the base-dependence of sets _of numbers _{recognizable by finite} au-tomata, Math. _{Systems Theory} 3 _(1969), 186-192.

[3]

J. H. _Loxton, Automata and _{transcendence,} New advances in transcendence _theory

(Durham 1986), Cambridge University Press _(1988), 215-228.

[4] A. van der _Poorten, Remarks on _{automata, functional equations} and

transcen-dence, Séminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux _{(1986-1987), exposé} n° _27,

27-01-27-11.

Bernard Randé

6 rue des Echevins