Spé Travail maison 4 2011-2012
EXERCICE 1 : Le chiffrement de Lester HILL.
Dans ce chiffrement, la fonction de codage agit sur des couples de nombres choisis dans {0,1, ...,25}: f : (x1, x2)7−→(y1, y2)
Posons par exemple :
y1≡5x1+ 11x2(26) y2≡8x1+ 3x2(26) (1)
AInsi le mot « KL », correspondant au couple (10,11)=(x1, x2) est codé par (y1, y2)=(15,9), soit « PJ ».
1. Coder le mot « REQUIN »en détachant les trois blocs de deux lettres.
2. Décodage
(a) Montrer que six1,x2,y1 ety2vérifient (1), alors :
−3y1+ 11y2≡73x1(26) 8y1−5y2≡73x2(26) (b) Résoudre dansZ×Zl’équation :
73x+ 26y= 1,avec 06x625.
(c) Décoder le mot « YWFSLBNT ».
EXERCICE 2 :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O;−→u;−→v) ; unité graphique : 8 centimètres.
On considère la transformationf du plan qui à tout pointM d’affixez associe le pointM′ d’affixez′ telle que z′=
√2
4 (−1 + i)z.
1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformationf.
2. On définit la suite de points (Mn) de la façon suivante : M0 est le point d’affixe z0 = 1 et, pour tout nombre entier natureln, Mn+1=f(Mn). On notezn l’affixe du pointMn.
(a) Justifier que, pour tout nombre entier natureln, zn=
1
2 n
ei(3nπ4 ) (b) Construire les pointsM0, M1, M2, M3et M4.
3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative meme non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Soientnetpdeux entiers naturels. À quelle condition surnetples pointsMnetMpsont-ils alignés avec l’origine O du repère ?
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