S´ erie 13

Electrodynamique

S´ erie 13

Exercice 1 Particule dans un champ ´electromagn´etique constant

On consid`ere le mouvement d’une particule de masse m et de charge e dans le champ

´

electromagn´etique d´efini par:

B= (0,0, B)^T etE= (0, E,0)^T, avecB > E/c.

i) Trouver la trajectoire de la charge dans le cas non-relativiste.

ii) Trouver la trajectoire de la charge dans le cas relativiste en utilisant un boost dans un r´ef´erentiel annulant le champ ´electrique.

Exercice 2 Formule de Larmor relativiste

On propose d’appliquer la formule de Larmor relativiste vue au cours. Soient les champs E(r, t) etB(r, t). Calculer l’´energie rayonn´ee par unit´e de temps^dE_dt d’une particule charg´ee en fonction de sa vitesse. Consid´erer pour simplifier les vitesses suivantes:

i) vkE ii) vkB

iii) v k E ×B ; Dans le cas d’un acc´el´erateur circulaire (synchrotron), avec E = 0, v´erifier que les pertes d’´energie sont proportionnelles `a E⁴. [Indication: Utiliser le rayon de Larmor ρ= ^mγv_qB , et l’approximation relativiste v∼c].

Exercice 3 Diffusion Thomson de Radiation

Dans ce probl`eme, on va calculer le section efficace de diffusion de la lumi`ere d`es un particule charg´ee dans la limite non-relativiste. On consid`ere une onde ´el´ectromagn´etique plane monochromatique, d’une seule fr´equenceω, qui incide contre une particule libre de charge eet massem. On peut ´ecrire le champ ´el´ectromagn´etique comme:

E(x, t) =E0e^{i(k·x−ωt)}. (1)

i) Trouver la puissance instantan´ee rayonn´ee par la charge pour unit´e d’angle solide et convertir ce r´esultat en la puissance moyenne temporelle pour unit´e d’angle solide, h^dP_dΩi.

ii) On introduit maintenant le concept de section efficace de diffusion, qui est definie comme:

dσ

dΩ = Energie rayonn´ee/unit´e de temps/unit´e d’angle solide

Flux d’´energie incidente / unit´e de surface/ unit´e de temps, (2) Convertir h^dP_dΩi trouv´e en i) en la section efficace de diffusion et calculer la section de diffusion totale.

iii) G´en´eraliser les r´esultat pr´ec´edent en calculant la section efficace de radiation pour une onde incidente non-polaris´ee. On devrait obtenir la formule de Thomson pour la diffusion de photons d`es une charge libre:

dσ dΩ = 1

2

e²

mc² 2

· 1 + cos²θ

, (3)

o`u θest l’angle entre la radiation rayonn´ee et l’axe de propagation defini park.

iv) Quand est-ce que l’approximation non-relativiste cesse d’ˆetre valide?

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