AD3 – Effets de la force de Coriolis
Doc 1 : Paramètre de Coriolis (LMD Jussieu)
Le mouvement des masses d’air dans l’atmosphère terrestre est influencé par la rotation de la Terre autour de l’axe des pôles. En première approche, on peut supposer que les écoulements atmosphériques sont parfaits et utiliser l’équation d’Euler dans le référentiel terrestre en incluant les forces d’inertie. La force d’inertie d’entraînement est incluse dans le champ de pesanteur, de sorte que l’équation d’Euler s’écrit :
𝜇𝜇 �𝜕𝜕𝑣𝑣⃗
𝜕𝜕𝜕𝜕 +�𝑣𝑣⃗. 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔����������⃗�𝑣𝑣⃗� = −𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔����������⃗𝑝𝑝 + 𝜇𝜇 𝑔𝑔⃗ − 2𝜇𝜇Ω��⃗ ∧ 𝑣𝑣⃗
Où Ω��⃗ est le vecteur rotation de la Terre par rapport au référentiel géocentrique 𝑅𝑅𝑔𝑔, et où 𝑣𝑣⃗(𝑀𝑀, 𝜕𝜕) représente le champ eulérien de vitesse dans le référentiel terrestre R. Pour se repérer au voisinage d’un point O à la surface de la Terre, on utilise une base de coordonnées locales : l’axe Oz est orienté selon la verticale ascendante, l’axe Ox vers le sud et l’axe Oy vers l’est :
Comme les écoulements atmosphériques, les écoulements océaniques peuvent aussi être affectés par la rotation terrestre.
L’étude de l’atmosphère au repos n’a que peu d’intérêt en météorologie, seuls comptent les écarts par rapport à cet état d’équilibre. On note 𝑣𝑣⃗(𝑀𝑀, 𝜕𝜕), p(M, t) et μ(M, t) les champs eulériens de vitesse, de pression et de masse volumique. Les champs qui mesurent l’écart par rapport à l’état d’équilibre hydrostatique sont notés avec l’indice 1 et sont définis comme suit :
�𝑣𝑣����⃗(𝑀𝑀, 𝜕𝜕) = 𝑣𝑣⃗(𝑀𝑀, 𝜕𝜕) − 𝑣𝑣⃗1 𝑒𝑒𝑒𝑒(𝑀𝑀) = 𝑣𝑣⃗(𝑀𝑀, 𝜕𝜕) 𝑐𝑐𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣⃗𝑒𝑒𝑒𝑒 = 0�⃗
𝑝𝑝1(𝑀𝑀, 𝜕𝜕) = 𝑝𝑝(𝑀𝑀, 𝜕𝜕) − 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑒𝑒(𝑀𝑀) 𝜇𝜇1(𝑀𝑀, 𝜕𝜕) = 𝜇𝜇(𝑀𝑀, 𝜕𝜕) − 𝜇𝜇𝑒𝑒𝑒𝑒(𝑀𝑀)
Le tableau suivant donne quelques ordres de grandeur typiques des écoulements atmosphériques.
Vitesse horizontale du vent 𝑈𝑈~10 𝑚𝑚𝑠𝑠−1
Vitesse verticale du vent 𝑊𝑊~10−2 𝑚𝑚𝑠𝑠−1
Gradient horizontal de pression 𝜕𝜕𝑝𝑝
𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑜𝑜𝑜𝑜
𝜕𝜕𝑝𝑝
𝜕𝜕𝜕𝜕 ~ 10−3𝑃𝑃𝑔𝑔 𝑚𝑚−1
Vu la faible épaisseur de la troposphère, on fait usuellement l’approximation de la pellicule mince qui consiste à négliger la courbure de la Terre. On décrit alors l’écoulement de l’air dans un plan tangent à la surface de la terre : sur la figure ci-dessus, il s’agit du plan (Oxy). On utilise de plus l’approximation de Boussinesq qui consiste à supposer, d’une part, que la masse volumique à l’équilibre est uniforme (𝜇𝜇𝑒𝑒𝑒𝑒(𝑀𝑀) = 𝜇𝜇0) et d’autre part que les écarts de masse volumique par rapport à l’état d’équilibre sont faibles |𝜇𝜇1(𝑀𝑀, 𝜕𝜕)| ≪ 𝜇𝜇0. L’équation d’Euler est décomposée alors en deux équations.
L’une décrit les mouvements horizontaux du fluide (c’est-à-dire dans un plan parallèle à Oxy) et l’autre exprime que l’écoulement de l’air perturbe peu l’équilibre hydrostatique vertical.
⎩⎨
⎧ 𝑀𝑀𝑜𝑜𝑜𝑜𝑣𝑣𝑀𝑀𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀𝜕𝜕 𝑣𝑣𝑀𝑀𝑔𝑔𝜕𝜕𝑣𝑣𝑐𝑐𝑔𝑔𝑣𝑣 ∶ 𝜕𝜕𝑝𝑝
𝜕𝜕𝜕𝜕 = −𝜇𝜇𝑔𝑔 𝑀𝑀𝑜𝑜𝑜𝑜𝑣𝑣𝑀𝑀𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀𝜕𝜕 ℎ𝑜𝑜𝑔𝑔𝑣𝑣𝜕𝜕𝑜𝑜𝑀𝑀𝜕𝜕𝑔𝑔𝑣𝑣 ∶𝐷𝐷𝑣𝑣⃗1
𝐷𝐷𝜕𝜕 = − 1
𝜇𝜇0𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔�������������⃗𝑝𝑝ℎ 1− 𝑓𝑓𝑜𝑜����⃗ ∧ 𝑣𝑣𝑧𝑧 ����⃗ (1)1 𝑜𝑜ù � 𝑓𝑓 = 2Ω𝑠𝑠𝑣𝑣𝑀𝑀𝑠𝑠 𝑀𝑀𝑠𝑠𝜕𝜕 𝑣𝑣𝑀𝑀 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑚𝑚è𝜕𝜕𝑔𝑔𝑀𝑀 𝑔𝑔𝑀𝑀 𝐶𝐶𝑜𝑜𝑔𝑔𝑣𝑣𝑜𝑜𝑣𝑣𝑣𝑣𝑠𝑠
𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔ℎ
�������������⃗ = 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑜𝑜����⃗ +𝑥𝑥 𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑜𝑜����⃗ 𝑀𝑀𝑠𝑠𝜕𝜕 𝑣𝑣𝑀𝑀 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑣𝑣𝑀𝑀𝑀𝑀𝜕𝜕 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑀𝑀𝑠𝑠 𝑣𝑣𝑀𝑀 𝑝𝑝𝑣𝑣𝑔𝑔𝑀𝑀 ℎ𝑜𝑜𝑔𝑔𝑣𝑣𝜕𝜕𝑜𝑜𝑀𝑀𝜕𝜕𝑔𝑔𝑣𝑣𝑦𝑦
Doc 2 : Equilibre géostrophique (LMD Jussieu) Le nombre de Rossby
Pour estimer l’importance de la force de Coriolis sur un écoulement atmosphérique, on compare les ordres de grandeur de l’accélération de Coriolis et de l’accélération convective dans l’équation (1).
Le rapport de ces deux ordres de grandeur correspond à un nombre sans dimension, appelé nombre de Rossby, noté Ro :
𝑅𝑅𝑜𝑜 =𝑔𝑔𝑐𝑐𝑐𝑐é𝑣𝑣é𝑔𝑔𝑔𝑔𝜕𝜕𝑣𝑣𝑜𝑜𝑀𝑀 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑀𝑀𝑣𝑣𝑀𝑀𝑐𝑐𝜕𝜕𝑣𝑣𝑣𝑣𝑀𝑀 𝑔𝑔𝑐𝑐𝑐𝑐é𝑣𝑣é𝑔𝑔𝑔𝑔𝜕𝜕𝑣𝑣𝑜𝑜𝑀𝑀 𝑔𝑔𝑀𝑀 𝐶𝐶𝑜𝑜𝑔𝑔𝑣𝑣𝑜𝑜𝑣𝑣𝑣𝑣𝑠𝑠 =
𝑈𝑈 𝑓𝑓0𝐿𝐿
Où U, L et 𝑓𝑓0désignent respectivement les ordres de grandeur de la vitesse horizontale, de l’échelle spatiale horizontale et du paramètre de Coriolis. Lorsque 𝑅𝑅𝑜𝑜 ≪ 1, les effets de la force de Coriolis sont dominants. Le tableau suivant donne l’échelle horizontale au-delà de laquelle 𝑅𝑅𝑜𝑜 ≤ 0,1. On constate que l’accélération de Coriolis ne joue un rôle dominant que lorsque l’échelle spatiale est grande. Les écoulements correspondants sont appelés écoulements de grande échelle. L’échelle spatiale correspondant à 106m est appelée l’échelle synoptique.
𝑓𝑓0(𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑠𝑠−1) 𝑈𝑈 (𝑚𝑚𝑠𝑠−1) 𝐿𝐿 (𝑚𝑚)
10−4 (𝑣𝑣𝑔𝑔𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝑜𝑜𝑔𝑔𝑀𝑀𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑜𝑜𝜕𝜕𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑠𝑠) 10 106𝑚𝑚
10−5 (𝑣𝑣𝑔𝑔𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕𝑜𝑜𝑔𝑔𝑀𝑀𝑠𝑠 é𝑞𝑞𝑜𝑜𝑔𝑔𝜕𝜕𝑜𝑜𝑔𝑔𝑣𝑣𝑔𝑔𝑣𝑣𝑀𝑀𝑠𝑠) 10 107𝑚𝑚
Equilibre géostrophique
Dans le cas d’un nombre de Rossby petit (donc 𝐿𝐿 ≥ 1000 𝑘𝑘𝑚𝑚 aux moyennes latitudes), on est proche d’un équilibre appelé équilibre géostrophique entre les forces de Coriolis et de pression :
𝐹𝐹𝑐𝑐
���⃗ + 𝐹𝐹���⃗ = 0�⃗𝑝𝑝
La valeur du vent qui réalise exactement cet équilibre est appelé vent géostrophique noté 𝑣𝑣����⃗(𝑀𝑀) 𝑔𝑔 et donné par l’équation du vent géostrophique.
1 �������������⃗𝑝𝑝 1 �������������⃗ 𝑝𝑝
Les lignes de courant du vent géostrophique se confondent avec les isobares. La règle de Buys- Ballot donne l’orientation du vent géostrophique : il est dirigé de façon à avoir les zones de haute pression sur sa droite et les zones de basse pression sur sa gauche dans l’hémisphère Nord. C’est l’inverse dans l’hémisphère Sud. L’exemple le plus marquant d’écoulement géostrophique dans l’atmosphère terrestre est celui des jets d’ouest qui soufflent, aux latitudes moyennes, en haute altitude d’ouest en est. En raison du chauffage de l’atmosphère plus important vers l’équateur qu’aux pôles, il existe un gradient de température au sol le long d’un méridien depuis le pôle vers l’équateur. Ce gradient est très prononcé aux latitudes moyennes (de 30° à 60° environ). Considérons deux points A et B, situés sur un même méridien, à deux latitudes différentes 𝑠𝑠𝐴𝐴 𝑀𝑀𝜕𝜕 𝑠𝑠𝐵𝐵> 𝑠𝑠𝐴𝐴. La température moyenne au sol en B est inférieure à ce qu’elle vaut en A : 𝑇𝑇𝐵𝐵< 𝑇𝑇𝐴𝐴. La figure suivante montre la décroissance de la pression avec l’altitude à la verticale des points A et B :
À une altitude z donnée, la pression est donc plus faible vers le pôle que vers l’équateur : il existe donc un gradient horizontal de pression dirigé le long du méridien dans le sens du vecteur 𝑜𝑜����⃗. 𝑥𝑥 L’équation du vent géostrophique montre qu’il se développe un écoulement dans le sens du vecteur 𝑜𝑜����⃗𝑦𝑦, et ce dans les deux hémisphères. Ces vents sont forts en altitude : au sommet de la troposphère (la tropopause), ils soufflent à une valeur moyenne pouvant atteindre 160 𝑘𝑘𝑚𝑚. ℎ−1. L’équilibre hydrostatique vertical et les vents d’ouest constituent la « toile de fond » des phénomènes météorologiques observés aux latitudes moyennes.
Doc 3 : De l’anticyclone vers la dépression
D'après notre analogie pour comprendre la force de pression, l'air, s'il était soumis à cette seule force, « descendrait » en ligne droite de l'anticyclone vers la dépression. Mais dès que l'air est mis en mouvement, il s'y applique une force de Coriolis dirigée vers la droite, ce qui dévie la trajectoire des masses d'air qui ont tendance à contourner la dépression dans le sens contraire des aiguilles d'une montre au lieu de s'y engouffrer directement.
A gauche : différents vents qui s’enroulent autour d’une dépression, à droite : une dépression au-dessus d’une île.
Mais en réalité, les isobares sont rarement rectilignes, mais plutôt des courbes fermées autour de la dépression. Si de l'air suit une isobare, il s'ajoute alors une force centrifuge (ou « force d'inertie d'entraînement ») due à la rotation de l'air autour du centre. Le bilan des forces montre alors que les masses d'air prennent une trajectoire circulaire dans le sens contraire des aiguilles d'une montre (dans l'hémisphère Nord) autour du centre dépressionnaire.
Pour obtenir les trajectoires circulaires le long des isobares, nous avons supposé que les masses d'air sont soumises uniquement à la force de Coriolis, à la force centrifuge et aux forces de pression.
Mais il existe une quatrième force que nous devons prendre en compte pour une description plus complète : il s'agit des forces de frottement ou de friction. En effet l'air est un fluide légèrement visqueux, ce qui se traduit par une force s'opposant au mouvement au voisinage de la zone de friction avec la terre, donc à basse altitude. Ainsi, à une hauteur inférieure à 1 ou 2 kilomètres, les vents sont ralentis par le contact avec le sol. Cette force est d'autant plus grande que le sol est irrégulier : elle est petite au-dessus des océans mais importante au-dessus des forêts, par exemple.
Sans les forces de friction, le vent aurait tendance à tourner en cercle autour du centre de dépression, comme on l'a vu plus haut. Mais, en prenant en compte les frottements à la surface de la Terre, les vents de surface sont ralentis et la force de Coriolis, proportionnelle à la vitesse, diminue.
La force de pression devient dominante, et ainsi l'air a un mouvement en spirale vers le centre de la dépression.
De même, les vents s'éloignent du centre pour un anticyclone. Les frottements entraînent donc une convergence des vents vers le centre pour une dépression (respectivement une divergence du centre pour un anticyclone) pour les vents de surface. Comme les masses d'air ne peuvent pas être aspirées par le centre (il faut bien qu'on retrouve cette masse quelque part), elles s'échappent en montant,
Doc 4 : Le courant Jet (extrait d’Accromath Vol6 – automne 2011)
Un exemple bien connu et très médiatisé de courant géostrophique est le courant jet dont le cœur est typiquement situé entre 7 et 12 km d’altitude et entre 30° et 60° de latitude dans l’hémisphère Nord.
Tous les pilotes d’avion sur les vols reliant les États- Unis ou le Canada à l’Europe consultent les bulletins météorologiques pour s’informer de la position exacte du courant jet tout au long de leur parcours prévu.
Comme le courant jet souffle presque toujours de l’Amérique du Nord vers l’Europe en raison de la force de Coriolis, les vols en partance de l’Amérique vont souvent tâcher de bénéficier de vents favorables en empruntant le courant jet. À l’inverse, les vols partant de l’Europe vont parfois faire des détours pour éviter d’affronter de plein fouet le cœur du courant jet. L’influence du courant jet sur la vitesse relative des avions par rapport au sol est telle que la durée du vol Montréal-Paris prend généralement une heure de moins que le vol Paris-Montréal !
Doc 5 : Transport d’Ekman (extrait d’Accromath Vol6 – automne 2011)
En océanographie, une conséquence importante de la force de Coriolis est que le transport net de masse d’eau causé par la friction du vent à la surface de l’eau se produit à angle droit (90°) par rapport au vent. L’océanographe suédois Vagn Walfrid Ekman (1874-1954) est à l’origine de cette découverte publiée en 1905. Dans l’hémisphère Nord, le transport d’Ekman se fait vers la droite du vecteur vent.
Une conséquence intéressante de ce phénomène est souvent observée près de la côte. En particulier, lorsque la côte se situe du côté gauche par rapport au vecteur vent, les eaux superficielles côtières sont repoussées vers la droite et donc vers le large. Ceci entraîne une baisse du niveau d’eau à la côte et il en résulte un gradient de pression qui cause un mouvement compensatoire des eaux profondes du large vers la côte.
Un exemple de remontée d’eau côtière due au transport d’Ekman spécifique au Québec est illustré dans la figure au bas de la page précédente. On y montre la température de surface de l’eau dans le golfe du Saint-Laurent, le 24 août 2006, lors de la deuxième de trois journées consécutives avec des vents de 10 à 40 km/h provenant de l’ouest et soufflant vers l’est sur toute la portion de la Basse- Côte-Nord du Québec à l’Est de Sept-Îles. Ces vents ont repoussé les eaux de surface chaudes (14° C) vers le large, permettant la remontée compensatoire d’eaux froides (6 à 8° C) riches en nutriments près de la côte. Les eaux profondes sont généralement plus froides que les eaux de surface et beaucoup plus riches en éléments nutritifs tels que les nitrates, phosphates et silicates.
Transport d’Ekman dans l’hémisphère Nord.
Les régions côtières du Pérou et du Chili (hémisphère sud) sont mondialement reconnues pour leurs vents généralement propices aux remontées d’eaux profondes près de la côte, ce qui donne lieu aux sites de pêche les plus productifs du monde.
Questions :
1°) Évaluer le nombre de Rossby correspondant à la vidange d’un lavabo. L’effet de la force de Coriolis est-il sensible ?
2°) Les courants marins ont des vitesses horizontales s’échelonnant du centimètre par seconde au mètre par seconde. À partir de quelle échelle spatiale, la rotation terrestre influence-t-elle les courants marins
?
3°) On note L l’échelle spatiale de variation de la vitesse horizontale, H la hauteur typique de la troposphère, U l’ordre de grandeur de la vitesse horizontale et W l’ordre de grandeur de la vitesse verticale.
a) Donner l’ordre de grandeur de la taille caractéristique d’un système dépressionnaire ou d’un anticyclone. Estimer l’ordre de grandeur du gradient horizontal de pression pour une dépression dont la pression au centre est de 980 hPa. Comparer avec la valeur du document 1.
b) Les observations montrent que la stratification verticale de l’atmosphère est assez stable dans le temps. Que peut-on en déduire pour l’accélération verticale des masses d’air ?
c) En se basant sur une analyse d’ordres de grandeur, justifier que l’équation d’Euler en projection sur la verticale (Oz) peut se mettre sous la forme :
𝜕𝜕𝑝𝑝
𝜕𝜕𝜕𝜕 = −𝜇𝜇𝑔𝑔
4°) Expliquer pourquoi les jets d’ouest ont la même orientation dans l’hémisphère sud.
5°) Expliquer la forme des courbes du document 2 : 𝑝𝑝𝑝𝑝
0 = 𝑓𝑓(𝜕𝜕) en prenant comme modèle une
atmosphère polytropique : 𝑇𝑇(𝜕𝜕) = 𝑇𝑇0(1 − 𝑔𝑔𝜕𝜕)
6°) On considère un écoulement tourbillonnaire, stationnaire, centré en un point O à la surface de la Terre. Dans le référentiel terrestre R, le champ de vitesse horizontal en un point M dans le tourbillon s’écrit : 𝑣𝑣����⃗(𝑀𝑀) = 𝑣𝑣(𝑔𝑔)𝑜𝑜1 ����⃗ 𝜃𝜃 en utilisant la base locale des coordonnées polaires. On considère le cas d’une dépression dans l’hémisphère Nord. Reproduire la figure ci-dessous et y représenter par un vecteur le gradient horizontal de pression au point M. Orienter ensuite les lignes de courant et vérifier la règle de Buys-Ballot.
Reproduire cette construction pour une dépression dans l’hémisphère Sud, pour un anticyclone dans l’hémisphère Nord puis dans l’hémisphère Sud.
7°) De quel hémisphère semble se situer l’île de la photographie page 4 ? 8°)
a) Pourquoi la force de Coriolis est dès fois appelée « force vers la droite » dans l’hémisphère Nord et « force vers la gauche » dans l’hémisphère Sud.
b) Au Chili un courant « El-Niño » fait son apparition après Noël et appauvrit en poissons les côtes chiliennes. A l’inverse du courant habituel « La Niña » qui les enrichit. En déduire le sens Nord-Sud de ces deux courants à l’approche des côtes.
