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Mines Maths MPSI — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sébastien Gadat (ENS Cachan) ; il a été relu par Thomas Chomette (ENS Ulm) et Aurélien Alvarez (ENS Lyon).
Le sujet se compose de deux problèmes indépendants, le premier d’analyse, le se- cond d’algèbre linéaire. Le premier problème est un petit peu plus difficile que le second, mais les questions sont bien enchaînées et progressives, ce qui permet une bonne compréhension de l’énoncé. Le second problème est plus aisé et ne fait inter- venir que des notions de base d’algèbre linéaire.
Dans le problème d’analyse, la première partie s’attache à redémontrer des résul- tats classiques sur les sommes de cosinus. Les deux autres parties proposent le calcul de l’intégrale
I(α) = Z +∞
0
dx 1 +xα
à l’aide de techniques fondées sur les suites de fonctions, intégrations par parties, et fonctions intégrables.
Le problème d’algèbre linéaire est une introduction à l’algèbre des quaternions.
On construit cette algèbre matriciellement avant d’y définir un produit scalaire et une projection orthogonale. On démontre également le résultat suivant : si deux entiers naturels sont somme de quatre carrés d’entiers, il en va de même de leur produit.
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Indications
Premier Problème
1 Utiliser les rappels de trigonométrie donnés en début d’énoncé.
2.b Déduire de la formule trouvée à la question 1 que la suite est constante.
3.a Effectuer un développement limité deg en 0 pour en déduire la continuité.
3.c Appliquer un résultat classique du cours d’analyse sur le prolongement des fonc- tions de classeC1.
5 On pourra calculervnen utilisant la relation de la question 1 et conclure grâce à la question précédente.
6 Utiliser la définition defn pour calculerXn. 7.a Étudier ces intégrales avec le critère de Riemann.
9.a Calculer explicitementσn(t).
10.a CalculerJn(β)−J(β)et utiliser le résultat de la question 9.a.
10.b Utiliser le résultat de la question 6.
10.c Conclure en utilisant les résultats des questions 5, 8 et 10.
Second Problème
11.a Démontrer queσest involutive.
12.c Utiliser la question précédente et raisonner sur le déterminant.
15.b On pourra utiliser les résultats démontrés aux questions 12.c et 15.a.
16 Calculer le déterminant des matricesM(z1, z2).
17.a Se souvenir que H est un espace vectoriel stable par σ et par multiplication matricielle.
17.b Utiliser le résultat de la question 12.b.
19.b S’intéresser à la dimension deF⊥.
19.c Développer A dans la base (I,J,K,L) et montrer que l’on obtient la formule proposée.
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Premier Problème
I. Quelques résultats préliminaires
1 Soient xun réel appartenant à] 0 ;π] et nun entier naturel non nul. Calculons la quantité suggérée par l’énoncé :
sinx
2 fn(x) =
n
P
k=1
sinx
2cos(kx) En utilisant la formulesinacosb=1
2(sin(a+b) + sin(a−b)), on obtient sinx
2 fn(x) = 1 2
n
P
k=1
hsin
(2k+ 1)x 2
+ sin
(1−2k)x 2
i
= 1 2
n
P
k=1
hsin
(2k+ 1)x 2
−sin
(2k−1)x 2
i
= 1 2
n
P
k=1
sin
(2k+ 1)x 2
−1 2
n−1
P
k=0
sin
(2k+ 1)x 2
sinx
2 fn(x) = 1 2
sin
(2n+ 1)x 2
−sinx 2
Enfin,xappartient à] 0 ;π]doncsinx
2 n’est pas nul. On en déduit que
fn(x) =−1 2+
sin
(2n+ 1)x 2
2 sinx 2 En conclusion, ∀x∈] 0 ;π] ∀n∈N∗ fn(x) =−1
2+1
2gn(x) (1)
2.a La fonction fn est continue sur [ 0 ;π], pour tout entier naturel n non nul.
D’après(1), on a
∀x∈] 0 ;π] gn(x) = 2fn(x) + 1 En posantgn(0) = 2fn(0) + 1, il vient
gn(0) = lim
x→0 x>0
gn(x)
On en déduit quegn est prolongeable par continuité sur [ 0 ;π] avec, en conservant la notationgn pour la fonction prolongée,
gn(0) = lim
x→0 x>0
gn(x) = 2fn(0) + 1 = 2n+ 1
Par ailleurs, sinest nul, la fonctiongn est constante égale à1sur] 0 ;π]. Elle est donc également prolongeable par continuité en 0 en prenant g0(0) = 1. Par consé- quent,
Pour tout entier naturel n,gn est prolongeable par continuité en0.
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2.b Soit n un entier naturel. La fonction gn étant continue sur [ 0 ;π], on peut définir son intégrale sur cet intervalle. D’après la relation(1),
un = Z π
0
gn(x) dx
= Z π
0
(2fn(x) + 1) dx
=π+ 2
n
X
k=1
Z π
0
cos(kx) dx
=π+ 2
n
X
k=1
sin(kx) k
π
0
un =π
La suite(un)n∈Nest constante, de valeurπ.
3.a Commençons par remarquer quegest bien définie et continue sur] 0 ;π]. Pour étudier la continuité degen0, utilisons un développement limité. On a
cosx
α= 1− x2
2α2 +o x2
et sinx 2 = x
2 +o(x)
On en déduit g(x) =
x2
2α2 +o x2 x
2 +o(x) = x
α2 +o(x)
d’où lim
x→0 x>0
g(x) = 0 =g(0)
g est continue en0.
3.b La fonctiongétant le quotient de deux fonctions dérivables sur ] 0 ;π]dont le dénominateur ne s’annule jamais, elle est dérivable sur cet intervalle.
∀x∈] 0 ;π] g′(x) =− 1 αsinx
α sinx 2 +1
2
cosx α−1
cosx 2 sin2x
2
Étudions la limite en 0 de cette quantité en utilisant à nouveau des développe- ments limités :
g′(x) =− x2
2α2 +o x2 +1
2
1− x2
2α2 −1 +o x2
x2
4 +o(x2)
=− x2
4α2 +o x2 x2
4 +o(x2) g′(x) =− 1
α2 +o(1)
Il s’ensuit que lim
x→0 x>0
g′(x) =− 1 α2
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