Sur le pouvoir refroidissant d'un courant liquide ou gazeux

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Submitted on 1 Jan 1902

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Sur le pouvoir refroidissant d’un courant liquide ou gazeux

J. Boussinesq

To cite this version:

J. Boussinesq. Sur le pouvoir refroidissant d’un courant liquide ou gazeux. J. Phys. Theor. Appl., 1902, 1 (1), pp.71-75. �10.1051/jphystap:01902001007101�. �jpa-00240665�

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71 contre le corps, ^ens’adjoignant ^surleur côté extérieur le fluide laté- ral qu’ils échauffent en cliemin ; après quoi ils s’étendent très loin nn-dessus du corps, ^ens’y continuant, ^à^{raison de}^leur^vitesseacquise,

i»ié>me après ^s’êtrepresque entièrement refroidis.

SUR LE POUVOIR REFROIDISSANT D’UN COURANT LIQUIDE OU GAZEUX ; Par M. J. BOUSSINESQ.

1. Lancée qui précède ^{a eu}^pourobjet ^lephénomène de convection

calorifique ^leplus ordinaire, ^{dans les} circonstances où l’on évite toute cause de courants autre que l’excédent n>ême a de température

du corps chauffé ^surla masse fluide indéfinie qui l’entoure. Mais il existe un autre cas de convec tion non moins fréquent, ^etparaissant

un peu plus simple, savoir : le cas contraire où un corps chaud a sa

chaleur, que l’on renouvelle ^sanscesse, emportée ^d’unemanière per- manente par ûn^courantfluide, îndéfiniên^toussens, âusein duquel

on le suppose immergé, ^courantrectiligne et uniforme (d’une ^vitesse

connue v), ^auxdistances du corps ^assezgrandes pour que les pertur- bations causées par ^saprésence ^nes’y ^étendentpas.

Supposons ^alors^lavitesse, v, du courant suffisante pour ^annihiler

l’effet, ^sur^lesmouvements visibles, ^{de la}petite modification pye ^du poids spécifique ^dufluide, ^due^àréchauffement 0. Nous _pourrons faire _y⁼o dans les équations indéfinies (1) ^du^mouvement(1); mais,

par contre, ^lestrois d’entre les relations définies (4) qui ^concernent

les valeurs de 2~, v, ^zuà l’infini deviendront moins simples ^{et seront}

~1?) (aux distances infinies de l’origine) (u ⁼vl, ^v⁼vm, te ⁼v>1,

si l, m, n désignent les trois cosinus directeurs du courant général

de vitesse v.

II. Dès lors, ^leséquations ^tantindéfinies, que définies, ^relatives^à

u, 1:, w, P, ^setrouveront entièrement sé~c~rée.~~ ^de^celles qui ^con-

cernent la température 0, ^ouseront les mêmes que si l’on avait ^{c~ = o,}

6 - o ; de sorte que les mouvements du fluide autour du corps chaud

se détermineront uniquement par les données relatives au courant

général ^et^{à la}configuration ^{du corps.}

(1) Equations ^{de la}précédente ^note.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:01902001007101

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D’aillcurs, les vitesses _Zc,v, iv seront partout proportionnelles ^{à v,}

et la pression ^nonhydrostatique P, proportionnelle à pV2. ^Eneifet, si, pour embrasser, ^deplus, ^le^{cas de}corps semblables, ^{oû i}^dési-

gnera le rapport ^desimilitude, ^et^dontl’équation ^commune^sera

nous posons, par analogie ^avecsept des formules (5),

les équations, ^tantindéfinies que définies, ^relatives à zc, ^{r. ic,}P,

deviendront :

Elinsi, ^autour^de^tous^les corps semblable, immergés ^dans^des

courants de même orientation par rapport ^à^eux^et ^derapidités

diverses _v,les vitesses _{2~, v,}Zc seront les produits ^de^vpar les ^mêmes fonctions U, V, BB1, ^desvariables ;, ’1, 1, c’est-à-dire des rapports,

t _l _t ~, ₂ définissant, ^cheztous, ^lespoints homologues ; ^et^lapression

non hydrostatique ^P^seraégalement, ^autourd’eux, ^leproduit ^depv’

par ^unemême fonction II de ces rapports.

111. Mais voyons maintenant ^ceque donneront les équations ^en^0,

devenues

et où U, V, ^1~’^seront^troisfonctions, ^censées^connuesdésormais, de

~, "11, ~.

Ces équations ^sontlinéaires, ^avectrois coefficients U, V, ^W généralement variables. Malgré ^cette^dernièrecirconstance, ^elles^se

trouvent évidemment plus simples que celles de la note précédente.

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73 On voit, ^enles divisant par a, qu’elles contiennent seulement le

rapport 0;

^et,d’ailleurs, ^iln’y figure, pour ^tousles corps semblables,

a

que ^leparamètre K ^il^en^seraitde même si la température ^{de la}

Vl

surface _{du corps,}au lieu d’être uniformément _a, était le produit

d’une valeur moyenne, a, par ^unefonction donnée li de Z, -1, ~ ^Ainsi:

l’on _aura,en appelant ⁸^une^certaine^fonction ^dequatre variables,

liée à F,

IV. Le flux calorifiques ~, émis par ^l’unité d’aire des corps considérés, admettra dès lors, ^auxpoints hornologues

de tous ces corps, l’expression

Le flux émis varie donc d’une manière généralement complexe ^avec

le produit ^{Cv de la}capacité calorique ^C^du^courantpar ^savitesse _v, et avec le

quotient K

_l- ^de^saconductibilité K par le rapport ⁱ^de^simi- litude; mais, ênrevanche, îlêstsimplenîent ~~ro~nortionnel ^{Ù l’excés}

a de température du corps.

C’est ce qu’avait ^sans^doutepressenti ^Newtondans l’énoncé de sa

loi de refroidissement; ^car^{il la}^réduisaitexpressément ^au^cas^des

-corps exposés ^à^un^courant^d’air^{uni forme.}

V. Les équations (15) ^{en 0}^étantlinéaires, ^onpeut espérer ^les intégrer, du moins dans quelque ^cas.

Le plus simple ^de^ceux-ciêst ^celui^d’unplateau mince, ^limité d’un _{côté par}un bord, îndéfinisuivant les autres sens et parallèle âu

courant, qui l’atteindra _parson bord et que ^noussupposerons d’abord le parcourir perpendiculairement ^à^ce^bord,rectiligne pour Hxer les idées. En prenant ^{le bord}même pour. ^axedes _J,un axe

des normal au plateau êt^l’axe^des^suivant^le^courant,^leplateau couvrira, ^{de z =}ô^{à z}== 00 , le plan ^x,ⁱ^{o ;}êt,^le^courant^n’étant

évidemment pas troublé, ^lescomposantes ^{u, v, w}^de^sa^vitesse^seront partout 0, 0, ^v.^L’on^aura^{donc U =}o, V = _o,W ⁼1. Si l’on

appelle d’ailleurs aF (.~), ^entreles limites ⁼o, z = oo , la ten1pé-

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rature donnée ⁹du plateau, ^et,^de⁼^"oc^{à ~}⁼^o,^latompéra[ure,

sensiblement, nulle, ^{du fluide}^sur^leprolongement ^amont^duplan ^du plateau, ^leséquations (15), ^0(’1 ^nousremettrons x, y, ^{z au}lieu de Ïl r~, ~, ^seront

Considérons ce système d’équations ^du^côté,par exemple, ^des^,x~

positifs; êtsupposons, ênoutre, la vitessev ducourant suffisante pour limiter l’échauffement (sensible) ⁰^{du fluide}âuxpetites ^distances^~’^du plateau, ^de^sorteque la dérivée seconde de 0 ^{en z}soit négligeable ^à

côté de la dérivée analogue ^de⁰^enx.^Alorsl’intégrale ^bien^connue(’)

du système (18) ^est,^sous^formed’intégrale définie,

On en déduit, notamment,

~% I. Prenons cette dernière formule à la limite x = _o,pour l’intro-

duire dans 1 expression ^--^K

d9

_cc~9 du flux F émis par l’unité d’aire ^du

plateau. ^Si^nouschoisissons, ^aulieu de la variable d’intégration ^x,^la

variable

et me1me, enfin, ^unenouvelle variable Z, définie par la relation

.~ -- p2 ⁼Z, nous aurons successivement

Ce flux F est donc, ^toutes^choseségales d’ailleurs, ~~°o~o~°tion~ze~

(1) Voir, par exemple, ^le^{tome Il}(Co7npLé~ne~aCs, p. 1~69*) ^de^mon^Coicosd’Analyse- infrnilésima~e pour lcc 3~c~~/~Mee~~ Physique.

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75 à l’excès moyen, a, de températur’e ^ducorps ^età la racine carrée du

produit ^de^laconductibilz’té K du courant par ^lacapacité ccclori~~~,ce

C de ^sonunité de volume et par ^savitesse v.

Considérons la dernière expression (20) ^de^{p’ ; et,}appelant 90 l’excès

aF (Z) ^detempérature ^duplateau, ^ou^dufluide dans son plan, ^tout

le long ^{de la}parallèle d’abscisse Z à son bord, observons que aF’ (Z) ^dZ^estl’accroissement dfjo qu’éprouve ^latempérature ^{sz~~° te} plan ^duplateau, entre cette parallèle ^situéeà la distance ô ⁼.~ ^-Z

j en amont de la parallèle ^mêmed’abscisse z , ^surlaquelle ^on^évalue

le flux F, ^et^laparallèle ^suivante,d’abscisse Z + dZ. Le flux peut

donc encore s’écrire ^°

et chaque ^sautd~~ que ^{fait la}température ^surle plan ^ditplateau, ^en

aînont du point ^considéré^{où l’on}^évalue^{le flux}F, ^contribue^{àcefl u1,}

pour ûnepart proportionnelle âu^sautc19~ ^lui-mêmeêtinverse de la racine carrée de la distance ~ à laquelle îl^seproduit.

VII. Si, ^{l’axe des}^étanttoujours pris ^sur^leplateau, ^dans^le^sens

du courant, êt^{l’axe des}^~~^suivant^lanormale, ^leplateau âvait^son bord, ^nonplus parallèle âux^y,^maisdécoupé ^d’une^manièrequel-

conque, ^et^satempérature 6~,, ^nonplus ^constante^sur^touteperpen- diculaire au courant, ^maisvariable avec y, ^ouque, ^{en un}mot, ^{la ,}^..

fonction aF (z) devint aF (y, .~) (en s’annulant toujours pour

.~ ^--x ), ^les^formules(19), (~0), (21) resteraient les mêmes, ^àpart

la présence ^du~arar~aètre accessoire y dans la fonction F ^etdans sa

dérivée F’ relative à sa variable principale. Alors, ^eneffet, ^au^second

membre de la premièré équation (18~, ^laparenthèse ~29 s’accroit de la dérivée seconde de 0 en y ; mais celle-ci n’y êstpas moins négli- geable que ^ladérivée analogue ^de⁸ên^.~. Êtl’intégration approchée

du système (18) ^continue^à^se^faire,^danschaque plan ^mené^suivant

le courant normalement au plateau, ^sansqu’on ^{ait à}^savoir^cequi ^se

passe à côté.

La formule (21) ^{du flux}^F^contient^donc^encore,^d’unepart, ^les

accroissements successifs, cl9,, ^detempérature du filet fluide al>ou- tissant ^aupoint pour lequel ^onl’évalue, et, ^d’autrepart, les parcours

respectifs, ^~,^du^mêmefilet, depuis ^lesêndroitsôù^seproduisent, ên

amont de ce point, ^lesaccroissements dont il s’agit, jusqu’à ^son

arrivée à celui-ci.

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