De DEL à EDL ou comment illustrer la puissance des événements inverses

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De DEL à EDL ou comment illustrer la puissance des événements inverses

Guillaume Aucher, Andreas Herzig

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Guillaume Aucher, Andreas Herzig. De DEL à EDL ou comment illustrer la puissance des événements inverses. 2007. �hal-00192061�

De DEL à EDL ou comment illustrer la puissance des événements inverses

Guillaume Aucher^? aucher@irit.fr

Andreas Herzig^? herzig@irit.fr

?IRIT, Université Paul Sabatier, 31062 Toulouse Cedex (France) Résumé :

La logique épistémique dynamique (DEL) intro- duite par Baltag et col. et la logique proposition- nelle dynamique (PDL) proposent différentes sé- mantiques aux événements. La seconde se prête fa- cilement à l’introduction d’événements inverses et de relations d’accessibilité épistémiques. Nous ap- pelonsEDLle formalisme résultant. Nous mon- trons alors queDELpeut être traduit dansEDL grâce à cet emploi d’événements inverses. Il s’en- suit queEDLest plus expressive et générale que DEL.

Mots-clés :Logique dynamique épistémique, lo- gique propositionnelle dynamique

Abstract:

Dynamic epistemic logic (DEL) as viewed by Bal- tag et col. and propositional dynamic logic (PDL) offer different semantics of events. It turns out that converse events and epistemic accessibility rela- tions can be easily introduced inPDL. We call EDLthe resulting formalism. We then show that DELcan be translated intoEDLthanks to this use of converse events. It follows thatEDLis more ex- pressive and general thanDEL.

Keywords:dynamic epistemic logic, propositional dynamic logic

1 Introduction

But : raisonner sur la perception d’événements.

Rendre compte des modes variés de per- ception d’événements est le but d’une famille de systèmes formels appelés lo- giques épistémiques dynamiques. Ces sys- tèmes ont été proposés dans une série de publications, principalement par Plaza, Baltag, Gerbrandy, van Benthem, van Dit- marsch et Kooi [9, 7, 6, 13, 15, 16]. Les lo- giques épistémiques dynamiques ajoutent du dynamisme à la logique épistémique d’Hintikka en transformant les modèles épistémiques.

La logique épistémique dynamique se concentre sur des événements particuliers appelés updates. Les updates peuvent être vus comme des annonces faites aux agents.

La forme la plus simple d’update est l’annonce publique à la Plaza ; quand le contenu de l’annonce est propositionnel une telle annonce correspond à l’opéra- tion d’expansion d’AGM [1]. Un autre example d’update est l’annonce de groupe à la Gerbrandy [6, 7]. Notons que DEL- updates différent des Katsuno-Mendelzon- updates qui sont étudiés dans la littérature IA [8].

Dans [2, 4, 3] et ailleurs, Baltag et col. pro- posèrent une logique épistémique dyna- mique qui eut beaucoup d’influence. Nous faisons référence à cette logique par le terme DEL. Il a été montré que leur ap- proche subsume toutes les autres logiques épistémiques dynamiques, ce qui justifie notre acronyme. La sémantique de DEL est basée sur deux types de modèle : un modèle statique M^s (appelé “state mo- del” par Baltag) et un modèle dynamique fini M^d (appelé modèle d’action épisté- mique par Baltag).M^smodèlise le monde réel et les croyances des agents s’y rap- portant. Ce n’est rien d’autre qu’un bon vieux modèle épistémique à la Hintikka.

M^d modèlise l’événement réel qui a lieu et les croyances des agents s’y rapportant.

Les croyances des agents peuvent être in- complètes (l’événement a a eu lieu mais l’agent ne peut pas distinguer l’occurence de a de celle de a⁰) et même erronées (l’événementa a eu lieu mais l’agent l’a perçu comme étant a⁰ par erreur). M^s et M^dsont alors combinés par une construc-

tion par produit restreint qui définit la si- tuation après que l’événement réel a eu lieu, c’est à dire le monde réel résultant et les croyances des agents s’y rapportant.

Sémantique des événements : produits ver- sus relations d’accessibilité. Naturellement, nous serions intéressés d’exprimer dans DELqu’une actionaa eu lieu, c’est à dire de donner une sémantique à l’événement inverse a⁻ dans le cadre de DEL. Cela n’est pas clair comment on pourrait le faire précisément. La seule approche dont nous ayons connaissance est celle de Yap [18]

qui ne parvient pas à obtenir une caractéri- sation complète.

D’un autre côté, dans PDL, les événe- ments sont interprétés comme des relations de transition entre mondes possibles, et pas comme des produits restreints de mo- dèles comme dans DEL. Les événements inversesa⁻peuvent être facilement inter- prétés en inversant la relation d’accessibi- lité associée àa. La logique résultante est appelée l’extension temporelle dePDL.

A cela nous ajoutons un opérateur épis- témique. Nous appelons Logique Dyna- mique Epistémique (temporelle) EDL la combinaison de la logique épistémique et dePDLavec inverse.¹

Une sémantique en terme de relations d’accessibilités est plus flexible que la sémantique par produit de DEL : nous avons plus d’options concernant l’interac- tion entre les événements et les croyances.

Notre contribution essentielle dans cet ar- ticle est de rendre compte de cette interre- lation délicate grâce à des contraintes sur les relations d’accessibilité : une contrainte de no-forgetting, une contrainte de no-

1EDLest liée à la logique dynamique doxastiqueDDL [11, 12]. Jusqu’à maintenant la recherche dansDDLse concen- trait principalement sur sa relation avec la théorie de la révision des croyances d’AGM, et étudiait des événements particuliers de la forme+ϕ(expansion parϕ),∗ϕ(révision parϕ), et−ϕ (contraction parϕ).EDLetDDLcoïncident en ce qui concerne les annonces propositionnelles.

learning et une contrainte de déterminisme épistémique.

TraduireDELdansEDL. Afin de démon- trer la puissance de notre approche nous proposons une traduction de DEL dans EDL : nous exprimons la structure d’un DELmodèle dynamiqueM^dpar une théo- rie non logique Γ(M^d) of EDL, et nous prouvons qu’une formuleϕest valide dans DEL si et seulement si c’est une consé- quence logique deΓ(M^d)dansEDL.

Ainsi, contrairement à DEL nous évi- tons de faire référence à une structure sémantique (c’est à dire le DEL mo- dèle dynamique M^d) dans la définition même du langage. On réussit à encoder la structure du DEL modèle dynamique en une théorie non logique Γ(M^d)grâce aux événements inverses. Par example [a]B_i(ha⁻i>∨hb⁻i>)exprime que l’agent i perçoit l’occurence de a comme étant celle deaoub.

Organisation de l’article. Cet article est or- ganisé comme suit. Dans la section 2 nous introduisons un langage portant sur les croyances, les événements et les événe- ments inverses. Dans la section 3, nous proposons une sémantique pour ce lan- gage, et définissons notre logique EDL.

Dans la section 4 nous exposons la sé- mantique par produit restreint de Baltag pour le fragment du langage sans événe- ment inverse, et exposons sa logiqueDEL.

Dans la section 5 nous associons une théo- rie Γ(M^d) à chaque modèle dynamique M^d, et prouvons que les conséquences de Γ(M^d)dans EDL correspondent aux va- lidités de DEL. Cela laisse à penser que EDL est plus expressive et générale que DEL, et nous nous concentrerons sur ce point pour conclure dans la section 6.

De DEL à EDL ou comment illustrer la puissance des événements inverses___________________________________________________________________________

2 Les langages

Nous supposons donné un ensemble de symboles propositionnels PROP = {p, q, . . .}, des symboles d’agentsAGT = {i, j, . . .}, et des symboles d’événements EVT = {a, b, . . .}. Tous ces ensembles peuvent être infinis (alors que dans DEL AGT etEVT doivent être finis). A partir de ces ingrédients, le langage multi-modal est construit de façon standard à l’aide des opérateurs booléens¬et∧, d’une famille d’opérateurs épistémiques B_i, pour tout i∈AGTet d’une famille d’opérateurs dy- namiques[a]et[a⁻], poura∈EVT. La formuleB_iϕse lit “l’agenticroit que ϕ”.[a]ϕse lit “ϕest vrai après n’importe quelle execution possible de l’événement a”. Les opérateurs modaux duauxBˆ_i,hai and ha⁻i sont définis de façon usuelle : Bˆ_iϕabrège¬B_i¬ϕ;haiϕabrège¬[a]¬ϕ; ha⁻iϕabrège¬[a⁻]¬ϕ.

Le langage L_EDL de EDL est le lan- gage entier. Le langage L_DEL de DEL est l’ensemble des formules de L_EDL qui ne contiennent pas d’opérateur in- verse [a⁻]. Enfin, le langage épistémique L_EL est l’ensemble des formules qui ne contiennent pas d’opérateur dynamique, c’est à dire construits à partir dePROP, les opérateurs booléens et l’opérateur B_i uniquement. Par exemple [a]B_i[a⁻]⊥ est uneL_EDL-formule (qui n’appartient pas à L_DEL).

3 EDL : logique dynamique épistémique avec inverse

Quand on construit des modèles qui traitent des notions de croyance et d’évé- nement, le problème central est de rendre compte de l’interaction entre ces diffé- rentes notions. Dans notre sémantique ba- sée sur PDL, ce problème est résolu en proposant des contraintes sur les relations d’accessibilité respectives.

3.1 Sémantique

LesEDL-modèles sont de la formeM = hW,V,{A_a}_a∈EVT,{B_i}_i∈AGTioùW est un ensemble de mondes possibles, V : PROP −→2^Wune valuation, et lesA_a⊆ W ×W et B_i ⊆ W ×W sont des re- lations d’accessibilité sur W. La relation A⁻¹_a est l’inverse de A_a. On considère parfois les relations d’accessibilité comme des applications qui associent un ensemble de mondes à un monde, et écrivons par exempleA⁻¹_a (w) ={v:hw, vi ∈ A⁻¹_a }= {v:hv, wi ∈ A_a}.

Nous supposons que lesEDL-modèles sa- tisfont les contraintes suivantes appelésno forgetting,no learningetepistemic deter- minism:

(nf) Siv(A_a◦ B_i◦ A⁻¹_b )v⁰alorsvB_iv⁰. (nl) Si(A_a◦B_i◦A⁻¹_b )(v)6=∅alors(B_i◦

A_b)(v)⊆(A_a◦ B_i)(v).

(ed) Si w₁, w₂ ∈ A_a(v)alorsB_i(w₁) = B_i(w₂).

Informellement, le principe no-forgetting (aussi connu sous le nom de perfect re- call [5]) nous dit que chaque monde, tel que l’occurence d’un événementbdans ce monde donne comme résultat une alter- native possible pour l’agent i après l’oc- curence dea, est une alternative possible pour l’agent i avant l’occurence de a.

Formellement, supposons que w résulte de l’occurence de l’événement a dans le mondev; si dans le mondew, le mondew⁰ est une alternative pour l’agenti, etw⁰ré- sulte de l’événementbdans un mondev⁰, alors v⁰ était déjà possible pour l’agent i dans le mondev.

(nf) : v^{0 Ab //}w⁰ v Aa

//

Bi

OOÂÂÂ

w

Bi

OO

Pour comprendre le principe no-learning (aussi connu sous le nom de no miracle

[14]), supposons que l’agent i perçoit l’occurrence de a comme étant celle de b₁,b₂,. . . oub_n. Alors, informellement, le principeno-learningnous dit que chaque monde résultant de l’occurrence de b₁, b₂,. . . oub_n dans une des alternatives pos- sibles de l’agent i avant l’occurrence de a est bien une alternative possible après apour l’agenti. Formellement, supposons que l’agentiperçoitbcomme une alterna- tive possible dea((A_a◦B_i◦A⁻¹_b )(v)6=∅).

Si dans le mondevle mondew⁰est un ré- sultat possible de l’occurrence de b pour l’agenti, alors le mondew⁰est une alterna- tive possible pour l’agentidans un monde w∈ A_a(v).

(nl) : . ^Ab //w⁰ . ^{Ab //}.

v ^{Aa //}

Aa ++

DH

K OR T W

Bi

EE

.

Bi

OO

w

Bi

UU

·

»

¾

Â

#

&

*

Pour comprendre (ed), supposons que nous avons vA_aw₁ et vA_aw₂. Alors (ed) impose aux états épistémiques dew₁etw₂ d’être identiques :B_i(w₁) = B_i(w₂). Cela découle de note hypothèse que les évé- nements sont feedback-free (aussi connus sous le nom d’ uninformative events [?]) : les agents ne peuvent pas distin- guer entre leurs différents résultats non- déterministes. Ce sont des événements dont les agents apprennent seulement leur occurrence, mais pas leur résultat. Un exemple de tel événement est l’action de jeter une pièce de monnaie sans regar- der le résultat. Un exemple d’événement non feedback-free est l’action de jeter une pièce de monnaie et regarder le résultat : ici la contrainte de déterminisme épisté- mique est violée.

La valeur de vérité d’une formuleϕdans un monde w d’un modèle M est notée

(ed) : w⁰

v ^{Aa //}

Aa ''

w₁

Bi

OO

w₂

Bi

WW

³¸½ Â$

.)

M, w |= ϕ et est définie comme d’habi- tude par :

M, w|=pssiw∈V(p) M, v|=B_iϕ ssiM, v⁰|=ϕpour tout

w⁰∈ B_i(v)

M, v|= [a]ϕ ssiM, w|=ϕpour tout w∈ A_a(v)

M, w|= [a⁻]ϕ ssiM, v|=ϕpour tout v∈ A⁻¹_a (w)

La valeur de vérité d’une formuleϕdans unEDL-modèleMest notéeM|=ϕet est définie par :M, w|=ϕpour toutw ∈W. SoitΓun ensemble deL_EDL-formules. La relation de conséquence (globale) est défi- nie par :

Γ|=_EDLϕ ssi pour toutEDL-modèleM, siM|=ψpour toutψ∈ΓalorsM|=ϕ.

Par exemple nous avons

{[b]ϕ,haiB_ihb⁻i>} |=_EDL[a]B_iϕet

|=_EDL(B_i[b]ϕ∧ haiB_ihb⁻i>)→[a]B_iϕ. (*) Considéronsϕ = ⊥dans (*) :B_i[b]⊥si- gnifie que la perception de l’événementb était inattendue pour l’agenti, tandis que haiB_ihb⁻i>signifie que l’agenti perçoit en réalité l’occurrence dea comme étant celle deb.

De notre contrainte no-forgetting, il s’en- suit que [a]B_i⊥ (ce qui est possible car nous n’avons pas supposé que la relation d’accessibilitéB_iétait sérielle).

De DEL à EDL ou comment illustrer la puissance des événements inverses___________________________________________________________________________

En fait, il serait préférable d’éviter que les croyances des agents deviennent inconsis- tantes : dans de telles situations l’on de- vrait effectuer une révision des croyances.

3.2 Complétude

L’axiomatique deEDL est composée des principes de la logique multimodale K pour tous les opérateurs modauxB_i,[a]et [a⁻], plus les axiomes (Conv₁), (Conv₂), (NF) et (NL) ci-dessous :

(Conv₁) `<sub>EDL</sub>ϕ→[a]ha<sup>−</sup>iϕ (Conv<sub>2</sub>) `_EDLϕ→[a⁻]haiϕ (NF) `_EDLB_iϕ→[a]B_i[b⁻]ϕ

(NL) `_EDL haiBˆ_ihb⁻i> → ([a]B_iϕ → B_i[b]ϕ)

(ED) `_EDLhaiB_iϕ→[a]B_iϕ

(Conv1) et (Conv2) sont les axiomes d’in- version standards de la logique temporelle et de converse PDL. (NF), (NL) et (ED) axiomatisent respectivement no forgetting, no learning et epistemic determinism.

Nous écrivonsΓ`_EDLϕquandϕest prou- vable à partir de l’ensemble de formulesΓ dans ce système axiomatique.

EDLpossède la complétude forte : Proposition 3.1 Pour tout ensemble de L_EDL-formulesΓetL_EDL-formulesϕ,

Γ|=_EDLϕsi et seulement siΓ`_EDLϕ.

Proof.La preuve découle du théorème de Sahlqvist [10] : tous nos axiomes (NF), (NL), (ED) sont de la forme requise, et cor- respondent respectivement aux contraintes sémantiques (nf), (nl), (ed). QED

4 DEL : modèles statiques, mo- dèles dynamiques, et leurs produits

Nous présentons ici la version sans itéra- tion de la logique épistémique dynamique DELde Baltag [4, 3].

4.1 Sémantique

LesModèles Statiquessont juste des mo- dèles de la forme M^s = hW,V,{−→^s _i }_i∈AGTi, oùWest un ensemble arbitraire, V : PROP −→ 2^W une valuation et les

−→s _i⊆W×Wsont des relations d’acces- sibilité surW.

LesModèles dynamiquessont de la forme M^d = hEVT,Pre,{−→^d _i}_i∈AGTi, où Pre : EVT −→ L_EL est une fonction de précondition associant des formules épis- témiques aux événements, et les −→^d _i ⊆ EVT×EVT sont des relations d’accessi- bilité surEVT. Par exemple l’événement atel quePre(a) =>correspond au ‘skip’

(rien ne se passe) de PDL etPre(b) = p correspond à l’action d’apprendre que p est vraie. Quand nous avons−→^d _i (a) = {b}alors l’occurrence deaest perçue par l’agenticomme celle deb.

Nous rappelons que EVT est l’ensemble des événements atomiques. Dans DEL il est supposéfini. De plus, tout−→^d _iest sup- posé êtresériel: pour touta ∈EVT il y a au moins unb∈EVT tel quea −→^d _ib.

(Rappelons que nous n’avons pas supposé la sérialité pour les relations d’accessibilité statiques.)

Etant donnésM^s =hW,V,{−→^s _i}_i∈AGTi et M^d = hEVT,Pre,{−→^d _i}_i∈EVTi, leur produitM^s⊗M^d est un modèle statique décrivant la situation après que l’événe-

ment décrit parM^da eu lieu dansM^s: M^s⊗M^d=hW⁰,V⁰,{−→^s _i⁰}_i∈AGTi où le nouvel ensemble de mondes pos- sibles est W⁰ = {hw, ai : M^s, w |= Pre(a)}, la nouvelle valuation estV⁰(p) = {hw, ai : w ∈ V(p)}, et les nouvelles relations d’accessibilité statiques sont dé- finies par

hw₁, a₁i−→^s _i⁰hw₂, a₂issiw₁−→^s _iw₂et a₁−→^d _ia₂.

Alors que la condition de vérité pour l’opé- rateur épistémique est identique à celle de la logique épistémique d’Hintikka et celle d’EDL, la construction par produit res- treint donne une sémantique à l’opérateur [a]qui est bien différente de celle dePDL etEDL:

M^s, w|= [a]ϕ ssi M^s, w|=Pre(a) impliqueM^s⊗M^d,hw, ai |=ϕ Finalement, la validité deϕdansDEL(no- tée|=_DELϕ) est définie comme d’habitude comme la vérité dans tous les mondes de tous lesDEL-modèles. Notons que la va- lidité signifie la validité par rapport à un modèle dynamiqueM^dfixé.

La condition de vérité pour l’opérateur dy- namique met en valeur le fait que DEL est une extension dynamique de la logique épistémique tandis queEDLest une exten- sion épistémique dePDL.

4.2 Complétude

Supposons donné un modèle dynamique M^d. L’axiomatique deDELest composée des principes de la logique multimodaleK pour les opérateurs modauxB_iet[a], plus les axiomes ci-dessous [4, 3].

(A1) `_DEL[a]p ↔ (Pre(a)→p)

(A2) `_DEL [a]¬ϕ ↔ (Pre(a) →

¬[a]ϕ)

(A3) `_DEL [a]B_iϕ ↔ (Pre(a) → B_i[b₁]ϕ∧. . .∧B_i[b_n]ϕ) oùb₁, . . . , b_n est la liste de tous lesbtels quea−→^d _ib.

On note`_DELϕlorsqueϕest prouvable à partir de ces principes.

5 De DEL à EDL

Dans cette section nous montrons que DELpeut être injecté dansEDL. Nous le faisons en construisant une EDL-théorie particulière qui capture un DEL mo- dèle dynamique M^d donné et simule la construction produit.

Definition 5.1 Soit M^d = hEVT,Pre,{−→^d _i}_i∈AGTi un modèle dynamique. L’ensemble des formules Γ(M^d)associé àM^d(‘la théorie deM^d’) est constituée des axiomes non-logiques suivant :

(1) p → [a]p et ¬p → [a]¬p, pour tout a∈EVT etp∈PROP;

(2) hai> ↔ Pre(a), pour touta∈EVT; (3) [a]B_i(hb⁻₁i> ∨. . .∨ hb⁻_ni>),

oùb₁, . . . , b_nest la liste de tous lesbtels quea−→^d _ib;

(4) Bˆ_iPre(b) → [a] ˆB_ihb⁻i>, pour tout ha, bi ∈−→^d _i.

Notons queΓ(M^d)est finie car dansDEL l’ensemble des événements EVT et l’en- semble des agentsAGTsont tous les deux

finis. ¢

L’axiome de déterminisme est en fait une conséquence logique deΓ(M^d)dansEDL.

Lemma 5.2 Pour tout L_EDL-formule ϕ nous avonsΓ(M^d)|=_EDLhaiϕ→[a]ϕ.

Nous avons alors le résultat essentiel sui- vant.

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Theorem 5.3 SoitM^dunDELmodèle dy- namique. Soit ψ une formule de L_DEL. Alors

|=_DELϕ ssi Γ(M^d)|=_EDLϕ

Il s’ensuit que

`<sub>DEL</sub>ϕ ssi Γ(M<sup>d</sup>)`_EDLϕ Cela fournit donc une nouvelle axiomati- sation des validités deDEL.

6 Discussion et conclusion

Nous avons présenté une logique dyna- mique épistémique EDL dont la séman- tique diffère de de celle de la logique épis- témique dynamiqueDELde Baltag et col.

Nous avons montré queDELpeut être in- jectée dans EDL. Ce résultat nous per- met de conclure que EDL est une alter- native intéressante à la logique de Bal- tag et col. Cependant, EDL est plus ex- pressive queDELcar elle permet de par- ler d’événements passés. Un autre de ses avantages est que l’on peut décrire partiel- lement un événement ayant lieu et quand même en tirer des conséquences, alors que dansDELle modèle d’action doît tout spé- cifier. Plus généralement,EDLsemble être plus flexible pour décrire des événements.

Cela permet de modéliser des événements qui ne peuvent pas être modélisés dans DEL.

Nous allons démontrer ce dernier point par un exemple. Considérons la situation où il y a deux agents i et j, et il y a deux annonces privées possibles a et b avec pour préconditions respectives p et

¬p. Supposons que les agents ne savent rien de ce qui s’est passé excepté que a oubont eu lieu, c’est à dire formellement queha⁻i> ∨ hb⁻i>est connaissance com- mune. De cela nous devrions en conclure que les agents ne savent rien du tout de la perception que l’autre agent a de l’évé- nement (ce qui est en fait vrai en réalité).

Nous pouvons modéliser ce dernier point comme suit. D’abord on défini récursive- ment l’ensemble suivant de formules.

– Φ⁰_i = Φ⁰_j ={ha⁻i>,hb⁻i>}

– Φⁿ_i = {B_iϕ_j : ϕ_j ∈ Φⁿ⁻¹_j } ∪ {V

{ϕj:ϕj∈Φⁿ⁻¹_j }Bˆ_iϕ_j} Par exemple on a

Φ¹_i = {Biha⁻i>,Bihb⁻i>,Bˆiha⁻i> ∧ Bˆihb⁻i>}et

Φ²_j = {BjBiha⁻i>,BjBihb⁻i>,Bj( ˆBiha⁻i> ∧ Bˆihb⁻i>)} ∪ {BˆjBiha⁻i> ∧ BˆjBihb⁻i> ∧ Bˆ_j( ˆB_iha⁻i> ∧Bˆ_ihb⁻i>)}.

Naturellement, nous affirmons que l’en- semble de tous les((W

Φⁿ_i)∧(W Φⁿ_j)re- présente le fait que les agents ne savent rien à propos de la perception qu’a l’autre agent de l’événement. Nous pouvons alors prouver par induction surnque{ha⁻i> ∨ hb⁻i>} `_EDL (W

Φⁿ_i)∧(W

Φⁿ_j)pour tout n.²Cela nous indique que la connaissance incomplète des agents de ce qui se passe est correctement représentée par{ha⁻i>∨

hb⁻i>}.

De telles situations ne peuvent pas être dé- crites dansDELcar cela nécessiterait une infinité d’événements atomiques, et le mo- dèle dynamiqueM^ddevrait être infini.

Une autre approche qui associe DELà la logique dynamique propositionnelle avec automate est [17]. Il n’a pas recours aux événements inverses et traduit les modèles dynamiques par une transformations sur les programmes de PDL. Comme nous l’avons dit dans la section 1, Yap a in- troduit les événements inverses dansDEL mais elle n’est pas arrivée à donner des axiomes de réduction pour l’opérateur mo- dal inverse. Comme nous, elle ne traite pas de la révision des croyances et nous

2L’observation clé est que`_EDLBi(ha⁻i> ∨ hb⁻i>)→ (Biha⁻i> ∨Bihb⁻i> ∨( ˆBiha⁻i> ∧Bˆihb⁻i>))

repoussons l’intégration de tels mécha- nismes à de futurs travaux.

Références

[1] Carlos Alchourrón, Peter Gärdenfors, and David Makinson. On the logic of theory change : Partial meet contrac- tion and revision functions.J. of Sym- bolic Logic, 50 :510–530, 1985.

[2] Alexandru Baltag. A logic of epis- temic actions. Technical report, CWI, 2000. http://www.cwi.

nl/~abaltag/papers.html.

[3] Alexandru Baltag and Lawrence S.

Moss. Logics for epistemic pro- grams. Synthese, 139(2) :165–224, 2004.

[4] Alexandru Baltag, Lawrence S.

Moss, and Slawomir Solecki. The logic of public announcements, common knowledge, and private suspicions. InProc. TARK’98, pages 43–56. Morgan Kaufmann, 1998.

[5] Ronald Fagin, Joseph Y. Halpern, Yo- ram Moses, and Moshe Y. Vardi.

Reasoning about knowledge. MIT Press, 1995.

[6] Jelle Gerbrandy. Bisimulations on Planet Kripke. PhD thesis, Univer- sity of Amsterdam, 1999.

[7] Jelle Gerbrandy and Willem Groene- veld. Reasoning about information change. J. of Logic, Language and Information, 6(2), 1997.

[8] Hirofumi Katsuno and Alberto O.

Mendelzon. On the difference bet- ween updating a knowledge base and revising it. In Peter Gärdenfors, edi- tor, Belief revision, pages 183–203.

Cambridge University Press, 1992.

[9] J. A. Plaza. Logics of public com- muncations. In M. L. Emrich, M. Z.

Pfeifer, M. Hadzikadic, and Z. W.

Ras, editors, Proc. 4th Int. Sympo- sium on Methodologies for Intelligent Systems, pages 201–216, 1989.

[10] H. Sahlqvist. Completeness and cor- respondence in the first and second order semantics for modal logics. In Stig Kanger, editor,Proc. 3rd Scandi- navian Logic Symposium 1973, num- ber 82 in Studies in Logic. North Hol- land, 1975.

[11] Krister Segerberg. Belief revision from the point of view of doxastic lo- gic.Bulletin of the IGPL, 3 :534–553, 1995.

[12] Krister Segerberg. Two traditions in the logic of belief : bringing them to- gether. In Hans Jürgen Ohlbach and Uwe Reyle, editors,Logic, Language and Reasoning : essays in honour of Dov Gabbay, volume 5 ofTrends in Logic, pages 135–147. Kluwer Aca- demic Publishers, Dordrecht, 1999.

[13] Johan van Benthem. One is a lonely number : on the logic of communica- tion. In Z. Chatzidakis, P. Koepke, and W. Pohlers, editors, Logic Col- loquium’02, pages 96–129. ASL &

A.K. Peters, Wellesley MA, 2006.

Tech Report PP-2002-27, ILLC Am- sterdam (2002).

[14] Johan van Benthem and Eric Pacuit.

The tree of knowledge in action : To- wards a common perspective. InAd- vances in Modal Logic, pages 87–

106, 2006.

[15] Hans P. van Ditmarsch. Descrip- tions of game actions. J. of Logic, Language and Information (JoLLI), 11 :349–365, 2002.

[16] Hans P. van Ditmarsch, Wiebe van der Hoek, and Barteld Kooi.

Dynamic Epistemic Logic. Kluwer Academic Publishers, 2007.

[17] Jan van Eijck. Reducing dynamic epistemic logic to pdl by program transformation. Technical Report SEN-E0423, CWI, 2004.

[18] Audrey Yap. Product update and loo- king backward. prepublications PP- 2006-39, ILLC, 2006.

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