Un exercice de concours : Ecricome 2005

ÉCS2

Un exercice de concours : Ecricome 2005

Pourα∈R, on pose,sous réserve d’existence,

J(α)^déf.= Z +∞

0

dt (1 +t²)^α. 1. Donner le domaine de définitionDdeJ.

2. Montrer queJest strictement décroissante surD.

3. a)À l’aide d’une intégration par parties, montrer que, pour tout réelαsupérieur ou égal à1, on a :

R+∞

0

t²

(1+t²)^α+1dt= _2α¹ J(α).

b)En déduire que, pour tout réelαsupérieur ou égal à 1on a : J(α+ 1) = ^2α−1_2α J(α).

4. a)CalculerJ(1).

b) Recopieret compléter la fonction suivante pour qu’elle calculeJ(n), l’entier nétant supposé au moins égal à1 :

function y=J(n) u=%pi/2 for k=2:n

u=...*u end

J=...

endfunction

c)Pournentier supérieur ou égal à1, démontrer queJ(n) = (2n−2)!π 2²ⁿ⁻¹ (n−1)!2. d)On admet la formule de Stirling : n! ∼

n→+∞nⁿe⁻ⁿ√ 2πn.

Montrer que :

J(n) ∼

n→+∞

√π 2√

n. 5. En déduire lim

α→+∞J(α).

6. a)Justifier que :∀t>2, 1

2^αt^2α 6 1 (1 +t²)^α. b)En déduire : lim

α→0J(α) = 0.

7. Pourβ réel positif, on pose : Kβ déf.=

Z π/2

0

cos^β(u)du.

a)Montrer, en effectuant le changement de variableu= arctan(t)dansJ(1 +^β₂), queKβ= J(1 +^β₂).

b)En déduire la valeur de Z π/2

0

cos⁴(u)du.

Lycée HenriPoincaré 1/1 _lo