Appendice à l'article d'Eduardo Corel : Calcul des réseaux de Levelt

Bull. Soc. math. France 129(2), 2001, p. 211–213

APPENDICE ` A L’ARTICLE D’EDUARDO COREL : CALCUL DES R´ ESEAUX DE LEVELT

par A.H.M. Levelt

A la m´` emoire de Raymond G´erard R´esum´e. — Un algorithme est pr´esent´e pour calculer en toute g´en´eralit´e le«r´eseau de Levelt»Λ_Lpour un r´eseau Λ donn´e.

Abstract(Computation of Levelt lattices). — An algorithm is presented which com- putes in all generality “Levelt’s lattice” ΛLfor a given lattice Λ.

Avec les notations de l’article de Corel, nous allons ´etudier la situation sui- vante :

• M, r´eseau∇^θ-stable deV (rappelons que lar´egularit´e de la connexion∇ est d´efinie dans l’article de Corel par l’existence d’un r´eseau stable par∇^θ) ;

• N, l’ensemble des sous-r´eseaux dex⁻¹M contenantM;

• N^stable, le sous-ensemble des r´eseaux stables deN;

• M, leC-espace vectorielx⁻¹M/M;

• δ, leC-endomorphisme deM induit par∇^θ;

• φ:x⁻¹M →M, l’application canonique ;

• F, l’ensemble des sous-espaces vectoriels deM;

• F^stable, l’ensemble des ´el´ementsδ-stables deF.

Texte re¸cu le 31 aoˆut 2000

A.H.M. Levelt, Universit´e de Nim`egue, Pays-Bas • E-mail :ahml@sci.kun.nl Classification math´ematique par sujets (2000). — 34A30, 34C20, 34M15, 34M35.

Mots clefs. — Syst`eme diff´erentiel, point singulier r´egulier, r´eseau, exposants, relation de Fuchs.

BULLETIN DE LA SOCI´ET´E MATH ´EMATIQUE DE FRANCE 0037-9484/2001/211/$ 5.00

!c Soci´et´e Math´ematique de France

212 LEVELT (A.H.M.)

Proposition 1. — L’application Φ : N #→(N+M)/M induit une bijection de N surF dontF #→φ⁻¹(F)est l’application inverse. La restriction de Φ`a N^stableest une bijection sur F^stable.

La d´emonstration ´el´ementaire est laiss´ee au lecteur.

Proposition 2. — SoitW unC-espace vectoriel de dimension finie,δun en- domorphismeC-lin´eaire deW etF un sous-espace vectoriel deW. D´efinissons

FL =!

w∈F |δⁱ(w)∈F pouri= 0,1,2, . . ."=#^∞

i=0

(δⁱ)⁻¹(F).

AlorsFL est le plus grand sous-espace δ-stable de F.

Remarque 1. — On voit facilement$∞

i=0(δⁱ)⁻¹(F) =$dim(F)

i=0 (δⁱ)⁻¹(F).

D´emonstration. — Prouvons d’abord l’inclusionδ(FL)⊂FL. Pourw∈FL, on a δⁱ(w) ∈F pour touti. D’o`u δ<sup>i</sup>(δ(w))∈ F pour touti, c’est-`a-dire δ(w) ∈ FL. Ensuite, soit G un sous-espaceδ-stable de F. Alors pour tout w ∈G et tout i, on a δⁱ(w)∈G, donc∈F. Ceci montre que w∈FL et on conclut que G⊂FL.

Th´eor`eme 1. — (Avec les notations et d´efinitions pr´ec´edentes et W =M).

Soit ∇ une connexion r´eguli`ere sur V et Λ un r´eseau de V. Alors il existe un sous-r´eseau stable M de Λ tel que x⁻¹M &⊂Λ. Pour chaqueM ayant ces propri´et´es on d´efinit

F =φ(x⁻¹M∩Λ)etN =φ⁻¹(FL).

AlorsN est un sous-r´eseau stable deΛ v´erifiantM ⊂N ⊂x⁻¹M∩Λ. De plus les ´enonc´es suivants sont ´equivalents :

(i) N =M;

(ii) M est le plus grand sous-r´eseau stable deΛ.

Remarque 2. — Le plus grand sous-r´eseau stable de Λ est appel´er´eseau de Leveltdans [1] et dans l’article de Corel. Notation : ΛL.

D´emonstration. — Par d´efinition,V contient un r´eseau stableP. Pour unr∈Z convenable, on ax^rP ⊂Λ. Prenonsrle plus petit possible ; alorsM =x^rP a les propri´et´es d´esir´ees. En vertu de la proposition 1,N contientM etN est un sous-r´eseau stable de x⁻¹M, mˆeme dex⁻¹M ∩Λ.

Nous allons d´emontrer (i) ⇒ (ii) par l’absurde. Supposons que N =M et que Γ soit un sous-r´eseau stable de Λ qui n’est pas contenu dansM. Rempla¸cant si besoin Γ par Γ +M, on peut supposer queM ⊂ Γ. Il existeg ∈Γ\M tel quexg∈M, doncg∈x⁻¹M∩Γ. Grˆace aux propositions 1 et 2, le sous-r´eseau stable x⁻¹M∩Γ dex⁻¹M∩Λ est contenu dansN, donc contenu dansM et nous avons la contradictiong∈x⁻¹M ∩Γ⊂M.

tome 129 – 2001 – n^o2

APPENDICE : CALCUL DES R ´ESEAUX DE LEVELT 213

L’implication (ii)⇒(i) est triviale.

Le th´eor`eme 1 donne naissance `a un algorithme, nomm´e LSSL (largest stable sub-lattice), calculant ΛLsi la matrice de∇^θpar rapport `a uneO-base de Λ est donn´ee. On calcule d’abordM par l’algorithmeminimal pole de [3] et ensuite une O-base dex⁻¹M∩Λ, une base du C-sous-espace

F = (x⁻¹M∩Λ)/M

deM et une base deFL. Ainsi on obtient unO-base deN. SiN =M, on sait que ΛL =M. Dans le cas contraire on remplaceM parM1 =N et on r´ep`ete la construction pr´ec´edente. Notons qu’alors dimC(Λ/M1) < dimC(Λ/M). Si M1 est le plus grand sous-r´eseau stable de Λ, on a fini. Sinon, on trouve un sous-r´eseau stable M2 ⊂ x<sup>−1</sup>M1 ∩Λ contenant strictement M1. Donc dimC(Λ/M2) < dimC(Λ/M1). ´Evidemment cette proc´edure s’arrˆete apr`es un nombre fini d’´etapes.

L’algorithme LSSL a ´et´e implant´e enMapleet appliqu´e aux exemples de la th`ese de Corel (logiciels disponibles, message ´electronique `a ahml@sci.kun.nl).

BIBLIOGRAPHIE

[1] Corel (E)–Exposants, r´eseaux de Levelt et relations de Fuchs pour les syst`emes diff´erentiels r´eguliers, th`ese, Universit´e Louis Pasteur, Stras- bourg, 28 juin 1999.

[2] G´erard (R.), Levelt (A.H.M.) – Invariants mesurant l’irr´egularit´e en un point singulier d’un syst`eme d’´equations diff´erentielles lin´eaires, Ann. Inst. Fourier, Grenoble,23(1973), 157–195.

[3] Levelt (A.H.M.) – Stabilizing Differential Operators, in Differen- tial Equations and Computer Algebra, M. Singer (´ed.), Academic Press (1991), 181–228.

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