Devoir Terminale S du 11/ 02/ 2010
Exercice 1 : (7 points)Dans une kermesse, un organisateur de jeux dispose de 2 roues de 20 cases chacune.
La roue A comporte 18 cases noires et 2 cases rouges.
La roue B comporte 16 cases noires et 4 cases rouges.
Lors d’un lancer d’une roue, toutes les cases ont la même probabilité d’être obtenues.
La règle du jeu est la suivante :
Le joueur mise 1 € et lance la roue A. S’il obtient une case rouge, alors il lance la roue B, note la couleur de la case obtenue et la partie s’arrête.
S’il obtient une case noire, alors il relance la roue A, note la couleur et la partie s’arrête.
1. Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.
2. Soient E et F les événements :
E : « à l’issue de la partie, les 2 cases obtenues sont rouges ».
F : « à l’issue de la partie, une seule des deux cases est rouge ».
Montrer que p(E) = 0,02 et p(F) = 0,17.
3. Si les deux cases obtenues sont rouges, le joueur reçoit 10 € ; si une seule des cases est rouge, il reçoit 2 € ; sinon il ne reçoit rien.
X désigne la variable aléatoire ègale au gain algébrique en euros du joueur.
(Rappel : le joueur mise 1 €)
a) Déterminer la loi de probabilité de X
b) Calculer l’espérance mathématique de X et en donner une interprétation.
4. Le joueur décide de jouer n parties consécutives et indépendantes (n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2)
a) Démontrer que la probabilité pn qu’il lance au moins une fois la roue B est telle que pn = 1 – (0,9)n
b) Justifier que la suite de terme général pn est convergente et préciser sa limite.
c) Quelle est la plus petite valeur de l’entier n pour laquelle pn > 0,9 ?
Exercice 2 : (6 points)
Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O , ,).
1. Soit z un nombre complexe d’argument Proposition 1 : « z100 est un nombre réel ».
2. Soir r la rotation d’angle – et dont le centre A a pour affixe a =2eiπ3 . Proposition 2 :
« L’image du point O par la rotation r a pour affixe 1 – + i(1 + ) ».
3.
Proposition 3 : « Si A a pour affixe a alors le cercle de diamètre [OA] est l’ensemble des points M d’affixe (1+ eiθ) avec θ réel ».
4. On considère l’équation (E) suivante : z2+ 2 cos ()z + 1 = 0.
Proposition 4 : « Cette équation a pour solutions deux nombres complexes de module 1 ».
Exercice 3 : (7 points)
1/ Restitution organisée de connaissance.
Pré requis :
a) Soit x un réel strictement positif, dire que y = ln(x) revient à dire que x = ey. b) ln(x) = + ∞ et xex = 0
Démontrer que ln(x) = – ∞ puis que x ln(x) = 0.
f est la fonction définie sur ] 0 ; +∞ [ par f(x) = x ln(x) – 1 2/ Calculer f(e) et f()
3/ Calculer les limites de la fonction f en 0 et en +∞.
4/ Etudier les variations de la fonction f puis dresse son tableau de variation.
5/ Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution sur ] 0 ; +∞ [.
