Partie A : « Equilibreuse de roue de voiture »

DM2-2015_CORRIGE

Partie A : « Equilibreuse de roue de voiture »

1. Présentation du mécanisme

La fig.1 donne le schéma cinématique paramètré d’une équilibreuse de roue de véhicule.

R(O, x, y, z) est un repère lié au bâti (S) de la machine.

Le bras (S1) à une liaison pivot d’axe (O,z) avec (S).

Soit R1(O, x1, y1, z) un repère lié à (S1). On pose α(t) = (x,x1).

La roue (S2) à une liaison pivot d’axe (O,x1) avec (S1).

Soit R2(C, x1, y2, z2) un repère lié à (S2) avec OC = r = cste.

On pose β(t) = (z, z2).

Cette machine impose la rotation de S2 par rapport à S1 et lorsque la roue n’est pas équilibrée, les effets dynamiques font varier l’angle α entre deux bornes qui peuvent être mesurées. Afin de supprimer cet effet de balourd, des masselottes appropriées sont placées sur la périphérie de la jante. Une masselotte est assimilée à un point P dont la position dans R2 est définie par :

CP ax cz

r r r

=

1

+

2 (a et c sont des constantes positives)

2. Etude cinématique

Question A-1 : Calculer les vecteurs V (P , 2 / 0 ) et Γ (P , 2 / 0 ) en dérivant le vecteur position

0 0

0

) 0 / 2 , (

R R

R

dt

CP d dt

OC d dt

OP P d

V  





 

 + 

 





 



= 

 





 



= 

2 . 0 / 2 2

1 . ).

( 0 / 1 1

).

) ( 0 / 2 , (

2 1

z dt c

z x dc

a dt r

x a r P d

V

R R

∧ Ω

 +







 

 +  +

∧ Ω

 +







 



 +

=

( ^{. . 1} ) ^{. 2}

1 ).

( . ) 0 / 2 ,

( P z r a x z x c z

V = α ^& ∧ + + α ^& + β ^& ∧

2 . 1 . sin 1

. ) ( ) 0 / 2 ,

( P r a y c x c y

V = + α ^& + α ^& β − β ^&

0

) 0 / 2 , ) (

0 / 2 , (

dt

R

P V P d

 





 



=  Γ

2 ).

( 0 / 2 2

).

(

1 . sin 0

/ 1 1

. 1 sin

. ) ( 0 / 1 1

. ) ) (

0 / 2 , (

2 1 1

y dt c

y c d

x dt c

x c

y d a dt r

y a r P d

R R R

β β

β β α

α α α

&

&

&

&

&

&

−

∧ Ω

 +







 



 −

+

∧ Ω

 +







 

 +  +

∧ Ω

 +







 



 +

= Γ

[ ]

2 ).

( ) 1 . . ( 2 .

1 . sin .

1 . cos sin

1 . ) ( . 1 . ) ( ) 0 / 2 , (

y c x

z y

c

x c

z x c

c y a r z y a r P

β β

α β

β α α

β β α β α α

α α

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

−

∧ +

+

−

∧ + +

+ +

∧ + +

= Γ

[ ]

2 . 1 . cos 2

.

1 . sin 1

. cos sin

1 . ) ( 1 . ) ( ) 0 / 2 , (

2

2 2

z c x c

y c

y c

x c

c x a r y a r P

β β

β α β

β α β

β α β α α

α

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

− +

−

+ +

+ +

− +

= Γ

Fig. 1

1 . cos 2

2 . 2 .

1 . sin 1

. sin 1

. ) ( 1 . ) ( ) 0 / 2 , (

2

2 2

x c

z c y c

x c

x c

x a r y a r P

β β α

β β

β α β

α α

α

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

+

−

−

+ +

+

− +

= Γ

Question A-2 : Calculer les vecteurs V (P , 2 / 0 ) et Γ (P , 2 / 0 ) en appliquant les formules de champ des vitesses et accélérations.

0 / 2 )

0 / 2 , ( ) 0 / 2 ,

( P = V C + PC ∧ Ω

V ^{( P , 2 / 0 ) r . y 1 ( a . x 1 c . z 2 )} ( ^{. z . x 1} )

V = α ^& + − − ∧ α ^& + β ^&

2 . 1 . sin 1

. ) ( ) 0 / 2 ,

( P r a y c x c y

V = + α ^& + α ^& β − β ^&

[ ]

0

0 / 0 2

/ 2 0

/ 2 ) 0 / 2 , ( ) 0 / 2 , (

dt

R

PC d PC

C

P  





 



 Ω

∧ + Ω

∧

∧ Ω + Γ

= Γ

[ ]

0

2

( . . 1 )

) 2 . 1 . ( ) 1 . . ( ) 2 . 1 . ( ) 1 . . ( 1 . 1 . ) 0 / 2 , (

dt

R

x z z d

c x a x

z z

c x a x

z x

r y r

P  





 



 +

∧

−

− + +

∧

−

−

∧ +

+

−

=

Γ α ^{& &} α ^& α ^& β ^& α ^& β ^& α ^& β ^&

[ ]

[ ^{. . 1 . . 1} ]

) 2 . 1 . (

) 1 . . ( 2 . 0 1 . sin 1

. 1

. 1 . ) 0 / 2 ,

(

²

x z x z z

c x a

x z y

c x

c y a x r y r P

β α β α

β α β

β α α

α α

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

∧ + +

∧

−

− +

+

∧ +

+

−

− +

−

= Γ

1 . cos 2

2 . 2 .

1 . sin 1

. sin 1

. ) ( 1 . ) ( ) 0 / 2 , (

2

2 2

x c

z c y c

x c

x c

x a r y a r P

β β α

β β

β α β

α α

α

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

+

−

−

+ +

+

− +

= Γ

Question A-3 : Calculer les vecteurs V (P , 2 / 0 ) et Γ (P , 2 / 0 ) en appliquant les formules de composition des mouvements.

) 0 / 1 ( ) 1 / 2 , ( ) 0 / 2 ,

( P = V P + V P ∈

V

z PC C

V y c P

V ( , 2 / 0 ) = − β ^& . 2 + ( , 1 / 0 ) + ∧ α ^& .

z z

c x a y r y c P

V ( , 2 / 0 ) = − β ^& . 2 + α ^& . 1 + ( − . 1 − . 2 ) ∧ α ^& .

2 . 1 . sin 1

. ) ( ) 0 / 2 ,

( P r a y c x c y

V = + α ^& + α ^& β − β ^&

) 1 / 2 , ( 0 / 1 2 ) 0 / 1 ( ) 1 / 2 , ( ) 0 / 2 ,

( P = Γ P + Γ P ∈ + Ω ∧ V P

Γ

Avec : Γ ( P , 2 / 1 ) = − c β ^{& &} . y 2 − c β ^&

²

. z 2

[ ]

0

0 / 0 1

/ 1 0

/ 1 ) 0 / 1 , ( ) 0 / 1 (

dt

R

PC d PC

C

P  





 



 Ω

∧ + Ω

∧

∧ Ω + Γ

=

∈ Γ

^{Γ ( P ∈ 1 / 0 ) = r α & & . y 1 − r α &}

²

^{. x 1 +} [ ^{α & . z ∧ ( − a . x 1 − c . z 2 )} ] ^{∧ α & . z + ( − a . x 1 − c . z 2 ) ∧ α & & . z}

^{Γ ( P ∈ 1 / 0 ) = r α & & . y 1 − r α &}

²

^{. x 1 +} [ ^{− a α & . y 1 − c α & sin β . x 1} ] ^{∧ α & . z + a α & & . y 1 + c α & & sin β . x 1}

On en déduit :

1 . cos 2

2 . 2 .

1 . sin 1

. sin 1

. ) ( 1 . ) ( ) 0 / 2 , (

2

2 2

x c

z c y c

x c

x c

x a r y a r P

β β α

β β

β α β

α α

α

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

+

−

−

+ +

+

− +

= Γ

En considérant l’essai d’équilibrage suivant : l’angle α est bloqué et la rotation de la roue est commandée par le chronogramme suivant.

Question A-4 : Calculer la norme du vecteur accélération du point P aux dates suivantes : t1 = 1s et t4 = 4s.

Si l’angle α est bloqué, alors : α ^& = α ^{& &} = 0 A la date t1 : β ^& = 10 rd / s ^{et 10 / ²}

2

20 = rd s β ^{& &} =

Sur les 7 termes de l’accélération du point P, il n’en reste que 2 :

( ) ( ) ^{. ² . ² ² .}

^{2 4}

^{. 10}

²

¹⁰

⁴

) / 2 ,

( = + = + = +

Γ P R c β ^{& &} c β ^& c β ^{& &} β ^& c

c R

P ≈ ×

Γ ( , 2 / ) 100 , 5

Pour une roue de 15’’ (r = 0,38 m), on obtient :

² / 38 ) / 2 ,

( P R ≈ m s

Γ

A la date t4 : β ^& = 20 rd / s ^et β ^{& &} = ^{0 rd / s ²}

Sur les 7 termes de l’accélération du point P, il n’en reste qu’un :

( ) ^{c c c}

R

P = = = ×

Γ ( , 2 / ) . β ^& ² . 20 ² 400

Pour une roue de 15’’ (r = 0,38 m), on obtient :

² / 152 ) / 2 ,

( P R ≈ m s

Γ

Question A-5 : Combien de tours la roue a t’elle fait au cours de cet essai ? Il suffit de déterminer l’aire sous la courbe : β ( 10 ) = β ( 0 ) + 8 × 20 = 160 rd

tours 5 , 25 ) 10

( ≈

⇒ β

Partie B : « Ponceuse oscillante »

1. Présentation du système

L’appareil représenté en coupe sur la fig. 4 est une ponceuse utilisée par les professionnels du bâtiment pour les travaux de ponçage surtout pour la finition des angles. L’ajout d’un disque d’équilibrage sur l’arbre d’entraînement a permis de minimiser les vibrations malgré la grande fréquence de rotation du moteur, rendant ainsi l’utilisation de cette ponceuse plus douce et plus agréable.

2. Travail demandé

Pour appréhender la cinématique de cette ponceuse, il faut bien comprendre la forme des pièces constituant le mécanisme de transformation de mouvement : pièces 350, 270 et 330.

t [s]

0

)

β ^& (t

^[rd/s]

2 4 6 8 10

20

Fig. 3

Question B-1 : Dessiner les pièces 270, 330 et 350 en perspective isométrique.

Question B-2 : Tracer le schéma cinématique de la partie mécanique de cette ponceuse.

Dessiner les pièces 270, 330 et 350 en perspective isométrique.

Tracer le schéma cinématique de la partie mécanique de cette ponceuse.

Dessiner les pièces 270, 330 et 350 en perspective isométrique.

Tracer le schéma cinématique de la partie mécanique de cette ponceuse.

Question B-3 : Proposer une autre cinématique pour générer des mouvements de rotation alternatifs à partir d’un mouvement de rotation continu. Décrire cette solution par un schéma

cinématique.

Fig. 4

Partie C : « Exposé sur les matériaux de construction »

But de l’exposé

Vous devez préparer un exposé sur un matériau de construction fréquemment utilisé dans les mécanismes : métaux, céramiques, polymères. Les différents exposés doivent permettre aux auditeurs de comparer les matériaux entre eux concernant les caractéristiques mécaniques, les aspects économiques et les principales utilisations. Les exposés auront lieu le lundi 18 janvier 2016.

Forme de l’exposé :

Il s’agit d’un travail oral en binôme : de 5 à 8 minutes maxi.

Le fond documentaire graphique doit être apporté par un diaporama. Pour être facilement lisible, ce diaporama doit être aux formats suivants : POWERPOINT (.pptx) ou ADOBE (.pdf).

Le nom du fichier doit respecter le format suivant :

GM_Xx-2012(Noms).pptx

Avec * Xx : nom du matériau

* Noms : noms des étudiants

Le diaporama doit se terminer sur les sources utilisées (GDSTI, CES-EDUPAK, INSEE, chambre de commerce et d’industrie, encyclopédies papier ou en ligne, …)

Structure de l’exposé :

Pour que les auditeurs puissent comparer les différents matériaux, tous les exposés doivent suivre le plan suivant : - Aspects économiques : prix indicatif [en €/kg], estimation de la production mondiale [en t/an], …

- Caractéristiques mécaniques : résistance à la rupture [en Mpa], dureté [en HV] et coefficient d’allongement [A en %], module d’élasticité [E en Mpa]

- Aspects physico-chimiques : position dans le tableau périodique (uniquement pour les métaux), température de fusion, densité, …

- De la matière première au matériau utilisable : Quel minerai ? Quel procédé pour obtenir le matériau de base ? - Les alliages : avec quels autres matériaux ? pour quelles utilisations ?

- Quels sont les procédés de fabrications utilisables avec ces matériaux ?

- Exemples de pièces représentatives avec éventuellement les différentes étapes de la fabrication, les cadences de fabrication, le prix de revient

- Les sources d’informations utilisées

Liste des matériaux :

o Les aciers faiblement alliés o Les aciers rapides (à outils) o Les aciers inoxydables o La fonte

o Le cuivre et ses alliages o Le titane et ses alliages o L’aluminium et ses alliages o Le nickel et ses alliages o Le magnésium et ses alliages o Le zinc et ses alliages o Les carbures métalliques

o Le verre minéral o Le béton o Le polyéthylène o Le polyamide o L’ABS

o Le polypropylène o Le caoutchouc o Le polycarbonate

o Les résines polyester et polyuréthane o Le bois (épicéa, chêne ou hêtre) o Le béton