6 Exercices 6.1

(1)

6 Exercices

6.1 Oscillateur à résistance négative

On étudie le montage électrique représenté sur la figure suivante. Le facteur 𝛼 est un réel positif qui peut être modifié afin de permettre d’ajuster la valeur de la résistance 𝑅′=^𝑅

𝛼 .

Dans un premier temps, on isole le circuit noté 𝐴, inclus dans le domaine délimité par les traits en pointillés, dont les grandeurs d’entrée, définies sur la figure, sont 𝑢𝑒, 𝑖𝑒 et la grandeur de sortie est 𝑢𝑠.

1) L’amplificateur linéaire intégré

a) Pour un amplificateur linéaire intégré (ALI) idéal, tracer la caractéristique de transfert statique, c’est-à-dire les variations de 𝑢_𝑠 en fonction de 𝜀. On notera 𝑉_𝑠𝑎𝑡 la valeur absolue de la tension de saturation.

b) Cette caractéristique fait apparaître deux domaines. Nommer et défini ces domaines.

c) Définir le modèle « amplificateur linéaire intégré idéal ». Celui-ci sera adopté en ce qui concerne l’ALI de𝐴.

Dans toute la suite, nous admettrons que le comportement de l’ALI, même en régime variable, reste celui du régime statique.

2) Caractéristique d’entrée de 𝐴

On désigne par caractéristique d’entrée les variations de 𝑖_𝑒 en fonction de 𝑢_𝑒.

a) En prenant pour hypothèse |𝑢_𝑠| < 𝑉_𝑠𝑎𝑡, établir la relation (1) liant 𝑢_𝑒, 𝑖_𝑒, 𝛼 et r. Quelle fonction réalise ce montage ?

b facultatif) Etablir les relations (2) et (3), liant 𝑢𝑒 et 𝑖𝑒 lorsque 𝑢𝑠= 𝑉𝑠𝑎𝑡 et 𝑢𝑠 = −𝑉𝑠𝑎𝑡 . Expliciter en fonction des paramètres du problème les deux valeurs 𝐼_𝑚 et −𝐼_𝑚 de 𝑖_𝑒 et les deux valeurs 𝑈_𝑚 et −𝑈_𝑚 de 𝑢_𝑒 correspondant aux limites de validité des relations précédentes ? Représenter la caractéristique globale d’entrée du montage étudié, dans le cas où 𝛼𝑟 < 𝑅. On fera apparaître sur le graphique 𝐼_𝑚 et 𝑈_𝑚.

3) Montage oscillateur : conditions de démarrage des oscillations

Le dipôle d’entrée est désormais connecté au dipôle formé de l’association série d’un condensateur de capacité 𝐶 et d’une inductance 𝐿. Lorsque les dipôles sont connectés, l’intensité circulant dans l’inductance est initialement nulle et le condensateur présente une tension 𝑢_𝐶(𝑡 = 0) = 𝑈₀ suffisamment faible pour que |𝑢_𝑠| < 𝑉_𝑠𝑎𝑡.

a) Montrer que 𝑖_𝑒(𝑡) est solution de l’équation différentielle (𝐸) du second ordre : ^𝑑²^𝑖^𝑒

𝑑𝑡² + 2𝜉𝜔₀^𝑑𝑖_𝑑𝑡^𝑒+ 𝜔₀²𝑖_𝑒= 0 Exprimer l’amortissement 𝜉 et 𝜔₀ en fonction de 𝐿, 𝐶, 𝑅₁, 𝑟 et 𝛼.

b) D’après les conditions initiales, quelles sont les valeurs de 𝑖𝑒(𝑡 = 0) et de ^𝑑𝑖^𝑒

𝑑𝑡 (𝑡 = 0) ? On suppose que |𝜉| < 1.

Expliciter la solution 𝑖_𝑒(𝑡).

c) Que se passe-t-il si 𝑈₀ est nul ? Commenter.

d) On suppose donc que 𝑈₀ n’est pas nul mais de très faible valeur. Quelle est la condition sur 𝜉 puis sur 𝛼 pour que les oscillations de 𝑖_𝑒 présentent une amplitude croissante au cours du temps ? On suppose désormais que cette condition est réalisée.

(2)

Oscillateurs b) Après un régime transitoire que l’on n’étudiera pas, les variations

de 𝑖_𝑒 en fonction du temps suivent un régime périodique établi. La figure suivante montre les évolutions de _𝐼^𝑖^𝑒

𝑚 en fonction de la variable réduite 𝜃 = ^𝑡

𝑇₀. Déterminer les domaines de cette courbe qui se rapportent respectivement aux zones (1) (2) et (3) de la caractéristique d’entrée de𝐴.

c) Comment qualifier les oscillations représentées sur cette figure ? Evaluer la période, puis la fréquence f de ces oscillations ainsi que la valeur maximale de 𝑖_𝑒.

AN : 𝑅 = 2,5𝑘𝛺 𝑒𝑡 𝑉𝑠𝑎𝑡= 15𝑉.

1a) Caractéristique

1b) Domaines

(1) Domaine linéaire et (2) (3) domaines saturés 1c) Modèle ALI idéal

Courants de polarisation nuls (ou résistance d’entrée infinie), gain différentiel infini et résistance de sortie nulle. Soit en régime linéaire : 𝑉⁺= 𝑉⁻

2a) Domaine linéaire

|𝑢_𝑠| < 𝑉_𝑠𝑎𝑡 ⇒ 𝑢_𝑒− 𝑢_𝑠= 𝑅𝑖_𝑒 𝑒𝑡 𝑉⁺= ^𝑟

𝑟+𝑅′𝑢_𝑠= 𝑢_𝑒 ⇒ 𝑢_𝑒= −𝑟^𝑅

𝑅′𝑖_𝑒 ⇒ 𝑢_𝑒= −𝛼𝑟𝑖_𝑒 (1) C’est un montage équivalent à une résistance négative.

2b) Domaine saturé

𝑢_𝑠= 𝑉_𝑠𝑎𝑡 ⇒ 𝑢_𝑒− 𝑉_𝑠𝑎𝑡= 𝑅𝑖_𝑒 ⇒ 𝑖_𝑒=𝑢_𝑒− 𝑉_𝑠𝑎𝑡 𝑅 (2) 𝑢𝑠= −𝑉𝑠𝑎𝑡 ⇒ 𝑢𝑒+ 𝑉𝑠𝑎𝑡= 𝑅𝑖𝑒 ⇒ 𝑖𝑒=^𝑢^𝑒^+𝑉_𝑅^𝑠𝑎𝑡 (3)

𝑢_𝑠= 𝑉_𝑠𝑎𝑡 𝑠𝑖 𝜀 > 0 ⇒ 𝑉⁺− 𝑉⁻> 0 ⇒ 𝑟

𝑟 + 𝑅′𝑉_𝑠𝑎𝑡− 𝑢_𝑒> 0 ⇒ 𝑢_𝑒< 𝑈_𝑚= 𝑟 𝑟 + 𝑅′𝑉_𝑠𝑎𝑡

⇒ 𝑖_𝑒<^𝑈^𝑚^−𝑉^𝑠𝑎𝑡

𝑅 ⇒ 𝑖_𝑒<

𝑟

𝑟+𝑅′𝑉_𝑠𝑎𝑡−𝑉_𝑠𝑎𝑡

𝑅 ⇒ 𝑖_𝑒 < −𝐼_𝑚 = −_{𝑅(𝑟+𝑅′)}^𝑅′ 𝑉_𝑠𝑎𝑡 𝑢_𝑠 = −𝑉_𝑠𝑎𝑡 𝑠𝑖 𝜀 < 0 ⇒ 𝑉⁺− 𝑉⁻< 0 ⇒ − 𝑟

𝑟 + 𝑅′𝑉_𝑠𝑎𝑡− 𝑢_𝑒< 0 ⇒ 𝑢_𝑒> −𝑈_𝑚 = − 𝑟 𝑟 + 𝑅′𝑉_𝑠𝑎𝑡

⇒ 𝑖_𝑒>^−𝑈^𝑚^+𝑉^𝑠𝑎𝑡

𝑅 ⇒ 𝑖_𝑒>⁻

𝑟

𝑟+𝑅′𝑉_𝑠𝑎𝑡+𝑉_𝑠𝑎𝑡

𝑅 ⇒ 𝑖_𝑒> 𝐼_𝑚 =_{𝑅(𝑟+𝑅′)}^𝑅′ 𝑉_𝑠𝑎𝑡

(3)

3a) Equation différentielle Après une loi des mailles : ^𝑑²^𝑖^𝑒

𝑑𝑡² +^(𝑅¹^−𝛼𝑟)

𝐿 𝑑𝑖_𝑒

𝑑𝑡 + ¹

𝐿𝐶𝑖_𝑒= 0 Donc : 𝜔₀= ¹

√𝐿𝐶 𝜉 =^(𝑅¹^−𝛼𝑟)

2 √^𝐶

𝐿 3b) Solution

Conditions initiales : 𝑖_𝑒(𝑡 = 0) = 0 𝑒𝑡 𝑢_𝐶(𝑡 = 0) = 𝑈₀ ⇒ ^𝑑𝑖^𝑒

𝑑𝑡(𝑡 = 0) =^𝑈⁰

𝐿 Equation caractéristique : 𝑟²+ 2𝜉𝜔₀𝑟 + 𝜔₀²= 0 ⇒ 𝛥 = 4𝜔₀²(𝜉²− 1) < 0 Régime pseudo-périodique :

𝑖_𝑒(𝑡) = 𝑒^−𝜉𝜔⁰^𝑡(𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔₀√1 − 𝜉²𝑡) + 𝐵 𝑠𝑖𝑛(𝜔₀√1 − 𝜉²𝑡)) = ^𝑈⁰

𝐿𝜔₀√1−𝜉²𝑒^−𝜉𝜔⁰^𝑡(𝑠𝑖𝑛(𝜔₀√1 − 𝜉²𝑡)) 3c) Tension nulle

Alors le courant est nul et il n’y a pas d’oscillations.

3d) Oscillations d’amplitude croissante

Il faut : 𝜉 < 0 ⇒ 𝑅₁− 𝛼𝑟 < 0 ⇒ 𝛼 >^𝑅¹

𝑟 3e) AN

𝜉 = −0,1 𝑒𝑡 𝑇₀ = 10⁻⁵𝑠

4a) Représentation en domaine linéaire

Oscillation de période T0 d’amplitude croissante jusqu’à ce que |𝑖_𝑒| = 𝐼_𝑚 . On passe alors en régime saturé pour l’ALI.

d’après une loi des mailles : ^𝑑_𝑑𝑡²^𝑖₂^𝑒+^(𝑅¹^+𝑅)

𝐿 𝑑𝑖_𝑒

𝑑𝑡 + ¹

𝐿𝐶𝑖_𝑒= 0 4b) Domaines de la courbe

Domaine (1) quand |𝑖_𝑒| < 𝐼_𝑚 , domaine (2) quand 𝑖_𝑒< −𝐼_𝑚 et domaine (3) quand 𝑖_𝑒 > 𝐼_𝑚 4c) Oscillations

Quasi sinusoïdales de période 𝑇 = 𝑇₀, de fréquence 𝑓 = 100𝑘𝐻𝑧 et d’amplitude max 𝑖𝑚_{𝑒,𝑚𝑎𝑥}

6.2 Oscillateur à pont de Wien

Dans tout l’exercice, on supposera les ALI idéaux, fonctionnant en régime linéaire.

1) On considère le quadripôle de la figure suivante.

a) Déterminer la fonction de transfert 𝐹 =_𝐸^𝑆 en fonction de 𝑅₁ et 𝑅₂ quand l’ALI fonctionne en régime linéaire. Préciser les limitations pratiques que l’on peut rencontrer.

(4)

Oscillateurs 2) Etude du filtre de Wien ci-contre. Vérifier que :

𝐺 =^𝑆′

𝐸′= ^𝐺⁰

1+𝑗𝑄(^𝜔

𝜔0−^𝜔0

𝜔) avec 𝐺₀=¹

3, 𝜔₀= ¹

𝑅𝐶, 𝑄 =¹

3

Quelle est la fonction de ce quadripôle ? Préciser les caractéristiques du filtre (gain maximum, facteur de qualité, pulsation particulière).

3) a) On couple le filtre de Wien avec le montage amplificateur du 1. A partir des expressions 𝐹 et 𝐺, montrer qu’il peut théoriquement exister un signal sinusoïdal sans générateur basse fréquence pour une valeur 𝑟 =

𝑅₂

𝑅₁ et une fréquence 𝑓 particulière à déterminer.

b) En utilisant la relation imposée par l’amplificateur et l’équation différentielle du filtre de Wien, établir l’équation différentielle vérifiée par 𝑠′. Montrer qu’il peut exister un signal sinusoïdal sans générateur BF.

Retrouver les conditions du 3a.

c) Calculer numériquement 𝑓 si 𝑅 = 10𝑘𝛺 𝑒𝑡 𝐶 = 4,8𝑛𝐹. Peut-on légitimement ignorer la réponse fréquentielle de l’ALI ?

d) En pratique, on ne sait pas réaliser exactement la condition 𝑟 =^𝑅²

𝑅₁. A partie de l’équation différentielle précédente, montrer qu’une condition d’apparition des oscillations est 𝑟 =^𝑅²

𝑅₁> 𝑛 (n entier à définir). Si on choisit 𝑅₂ = 10𝑘𝛺, les valeurs disponibles dans les catalogues étant 4,7𝑘𝛺, 5,6𝑘𝛺 et 10𝑘𝛺, quelle valeur doit-on prendre pour 𝑅₁ ?

e) On fait varier la valeur de 𝑅₁ de 10𝑘𝛺 à 1𝑘𝛺 à l’aide d’un potentiomètre. Décrire ce que l’on observe suivant la valeur de 𝑅₁. Donner l’amplitude des oscillations pour 𝑒′(𝑡) et 𝑠′(𝑡). Faire l’application numérique si la tension de saturation de l’ALI vaut 13 V.

1a) Fonction de transfert 𝐹 =^𝑅¹_𝑅^+𝑅²

1

En pratique, l’ALI se comporte comme un filtre passe bas, il faut donc faire attention à la fréquence d’utilisation. Il faut de plus veiller à rester en régime linéaire.

1b) Caractéristique

2) Filtre de Wien

A l’aide d’un pont diviseur de tension : 𝐺 = ¹

3+𝑗𝑅𝐶𝜔+ ¹

𝑗𝑅𝐶𝜔

C’est un filtre passe bande du second ordre de pulsation de résonance 𝜔₀ , de gain maximum 𝐺₀ et de facteur de qualité Q.

3a) Condition de Barkhausen

(5)

La fréquence d’oscillation est donc : 𝑓 = ¹

2𝜋𝑅𝐶 3b) Equation différentielle

𝐸′

𝑆′ 𝐺₀

1 + 𝑗𝑄 (𝜔 𝜔₀−𝜔₀

𝜔 ) 1

𝐹₀₀𝑆′[1 + 𝑗𝑄 (𝜔 𝜔₀−𝜔₀

𝜔 )]

𝑆′

𝐹₀

⇒ 𝑆′[1 𝐹₀+ 𝑗𝑄

𝐹₀(𝜔 𝜔₀−𝜔₀

𝜔) − 𝐺₀] = 0 ⇒ 𝑆′[𝜔²

𝜔₀²− 𝑗(1 − 𝐺₀𝐹₀) 𝜔

𝑄𝜔₀+ 1] = 0

⇒ ¹

𝜔₀² 𝑑²𝑠′

𝑑𝑡²+^1−𝐺⁰^𝐹⁰

𝑄𝜔₀ 𝑑𝑠′

𝑑𝑡 + 𝑠′= 0 ⇒ 𝑅²𝐶^{2 𝑑}²^𝑠′

𝑑𝑡² + 𝑅𝐶 (3 −^𝑅¹^+𝑅²

𝑅₁ )^𝑑𝑠′

𝑑𝑡+ 𝑠′= 0 Il faut annuler : 𝑅𝐶 (3 −^𝑅¹^+𝑅²

𝑅₁ ) soit : 𝑟 =^𝑅²

𝑅₁= 2 La pulsation est alors : 𝜔₀= ¹

𝑅𝐶 3c) AN

f=3,3kHz

C’est inférieur à la fréquence de coupure d’un ALI de l’ordre de 10⁵ Hz.

3d) Apparition des oscillations Il faut : 𝑅𝐶 (3 −^𝑅¹_𝑅^+𝑅²

1 ) < 0 ⇒ 𝑟 =^𝑅_𝑅²

1> 2 Pour 𝑅₂= 10𝑘𝛺, on choisira : 𝑅₁ = 4,7𝑘𝛺 3e) Potentiomètre

Tant que 𝑅₁ est supérieure à 5𝑘𝛺, il ne se passe rien. Dès que 𝑅₁ devient inférieure à 5𝑘𝛺, le montage se met à osciller tout seul. Le signal est d’abord proche d’un signal sinusoïdal, puis plus 𝑅₁ diminue, plus les oscillations se rapprochent d’un créneau. d’amplitude 13 V pour e’ et 13/3 = 8,7 V pour s’.

6.3 Oscillateur réglable

Dans le schéma ci-contre, les tensions 𝑢 et 𝑣 sont constantes. On note 𝑎(𝑡) la tension de sortie de l’ALI de gauche et 𝑏(𝑡) celle de celui de droite.

1) Pourquoi reconnaît-on un oscillateur à relaxation ?

2) Tracer le cycle d’hystérésis du comparateur.

3) Calculer l’équation différentielle qui régit l’évolution de l’autre bloc.

4) Etablir la période de fonctionnement et l’utilité des tensions 𝑢 et 𝑣.

5) Dans quel domaine doit-on choisir 𝑣 afin que le montage oscille convenablement ? Y a-t-il une condition similaire sur 𝑢 ?

1) Oscillateur à relaxation

Composé d’un comparateur et d’un intégrateur 2) Cycle d’hystérésis

Loi des nœuds à l’entrée non-inverseuse : 𝑖₁= 𝑖₂+ 𝑖₊= 𝑖₂ Loi d’Ohm :

(6)

Oscillateurs Avec : {

𝐸₊= 𝑢^𝑅¹^+𝑅²

𝑅₂ + 𝑉_𝑠𝑎𝑡^𝑅¹

𝑅₂

𝐸₋= 𝑢^𝑅¹^+𝑅²

𝑅₂ − 𝑉_𝑠𝑎𝑡^𝑅¹

𝑅₂

3) Equation différentielle 𝑉⁻= 𝑣 = 𝑉⁺=

𝑎 𝑅+𝑗𝐶𝜔𝑏

1

𝑅+𝑗𝐶𝜔 =^{𝑎+𝑗𝑅𝐶𝜔𝑏}

1+𝑗𝑅𝐶𝜔 ⇒ 𝑎 + 𝑅𝐶^𝑑𝑏

𝑑𝑡 = 𝑣 + 𝑅𝐶^𝑑𝑣

𝑑𝑡 = 𝑣 car v est une tension constante. Soit finalement : 𝑅𝐶^𝑑𝑏

𝑑𝑡 = 𝑣 − 𝑎 4) Période de fonctionnement On trace les formes d’onde.

La tension u permet de changer l’amplitude maximale de la tension b sans changer la période de fonctionnement.

La tension v permet de faire varier la période.

Sur une période : a(t)prend les valeurs +Vsat et – Vsat

et b(t) a alors les deux pentes suivantes :

𝑎(𝑡) = 𝑉𝑠𝑎𝑡 ⇒ 𝑏(𝑡) =𝑣 − 𝑉_𝑠𝑎𝑡

𝑅𝐶 𝑡 + 𝑐𝑡𝑒

⇒ 𝑣 − 𝑉_𝑠𝑎𝑡

𝑅𝐶 =𝐸₋− 𝐸₊ 𝑡₁ = −2

𝑉_𝑠𝑎𝑡𝑅₁ 𝑅₂

𝑡₁ ⇒ 𝑡₁= −2

𝑉_𝑠𝑎𝑡𝑅₁ 𝑅₂ 𝑣 − 𝑉_𝑠𝑎𝑡

𝑅𝐶

= 2𝑅𝐶𝑅₁ 𝑅₂

𝑉_𝑠𝑎𝑡 𝑉_𝑠𝑎𝑡− 𝑣 𝑎(𝑡) = −𝑉_𝑠𝑎𝑡 ⇒ 𝑏(𝑡) =𝑣 + 𝑉_𝑠𝑎𝑡

𝑅𝐶 𝑡 + 𝑐𝑡𝑒

⇒ 𝑣 + 𝑉_𝑠𝑎𝑡

𝑅𝐶 =𝐸₊− 𝐸₋ 𝑡₂ = 2

𝑉_𝑠𝑎𝑡𝑅₁ 𝑅₂

𝑡₂ ⇒ 𝑡₂= 2

𝑉_𝑠𝑎𝑡𝑅₁ 𝑅₂ 𝑣 + 𝑉_𝑠𝑎𝑡

𝑅𝐶

= 2𝑅𝐶𝑅₁ 𝑅₂

𝑉_𝑠𝑎𝑡 𝑣 + 𝑉_𝑠𝑎𝑡 𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑇 = 𝑡₁+ 𝑡₂ = 2𝑅𝐶𝑅₁

𝑅₂( 𝑉_𝑠𝑎𝑡

𝑉_𝑠𝑎𝑡− 𝑣+ 𝑉_𝑠𝑎𝑡

𝑣 + 𝑉_𝑠𝑎𝑡) = 2𝑅𝐶𝑅₁ 𝑅₂

𝑉_𝑠𝑎𝑡² 𝑉_𝑠𝑎𝑡² − 𝑣² 5) Condition sur u et v

Il faut que −𝑉_𝑠𝑎𝑡< 𝑣 < 𝑉_𝑠𝑎𝑡 pour avoir des oscillations.

IL ne faut pas non plus de b dépasse Vsat : {

𝐸₊= 𝑢^𝑅¹^+𝑅²

𝑅₂ + 𝑉_𝑠𝑎𝑡^𝑅¹

𝑅₂< 𝑉_𝑠𝑎𝑡

𝐸₋= 𝑢^𝑅¹^+𝑅²− 𝑉_𝑠𝑎𝑡^𝑅¹> −𝑉_𝑠𝑎𝑡 ⇒ {

𝑢 < 𝑉_𝑠𝑎𝑡^𝑅²^−𝑅¹

𝑅₁+𝑅₂

𝑢 > −𝑉_𝑠𝑎𝑡^𝑅²^−𝑅¹