7 Questions à choix multiples 1) Parmi les équations suivantes, la(les)quelle(s) est(sont) juste(s) ? a

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7 Questions à choix multiples

1) Parmi les équations suivantes, la(les)quelle(s) est(sont) juste(s) ?

a 𝑥(𝑡) = ∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡 b 𝑥(𝑡) − 𝑥(0) = ∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡

c 𝑥(𝑡) − 𝑥(0) = ∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡

𝑡 0

d 𝑥(𝑡) − 𝑥(0) = ∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡

0 𝑡

2) Parmi les équations suivantes, la(les)quelle(s) est(sont) juste(s) ? On pose : 𝐸_𝑝𝑝= 𝑚𝑔𝑧(𝑡) + 𝑐𝑡𝑒

a 𝑑𝐸𝑝𝑝

𝑑𝑧 = 𝑚𝑔 + 𝑐𝑡𝑒 b 𝑑𝐸𝑝𝑝

𝑑𝑡 = 𝑚𝑔

c 𝑑𝐸_𝑝𝑝

𝑑𝑡 = 𝑚𝑔𝑧̇ d 𝑑𝐸_𝑝𝑝

𝑑𝑡 = 0 3) Soit la fonction mathématique suivante : 𝑠(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)

Parmi les équations suivantes, la(les)quelle(s) est(sont) juste(s) ?

a 𝑑𝑠

𝑑𝑥 = 𝐴𝑘𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) b 𝑑𝑠

𝑑𝑥= −𝐴𝑘𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)

c 𝑑𝑠

𝑑𝑡 = 𝐴𝜔𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) d 𝑑𝑠

𝑑𝑡 = −𝐴𝜔𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) 4) On reprend la fonction mathématique précédente 𝑠(𝑥, 𝑡), comment peut-on écrire sa différentielle ?

a 𝑑𝑠 = 𝐴𝑘𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)𝑑𝑥 b 𝑑𝑠 = 𝐴𝜔𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)𝑑𝑡

c 𝑑𝑠 = 𝐴𝑘𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)𝑑𝑥 − 𝐴𝜔𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)𝑑𝑡 d 𝑑𝑠 = 𝐴𝑘𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)𝑑𝑥 + 𝐴𝜔𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)𝑑𝑡 5) Quelle(s) intégrale(s) représente(nt) la surface latérale 𝑆 d’un cylindre de rayon 𝑟₀ et de hauteur ℎ ?

a 𝑆 = ∫ ∫ 𝑑𝑟

𝑟=𝑟₀ 𝑟=0

𝑑𝑧

𝑧=ℎ 𝑧=0

b 𝑆 = ∫ ∫ 𝑟₀𝑑𝜃

𝜃=2𝜋 𝜃=0

𝑑𝑧

𝑧=ℎ 𝑧=0

c 𝑆 = ∫ ∫ 𝑟0𝑑𝜃

𝜃=2𝜋 𝜃=0

𝑑𝑟

𝑟=𝑟₀ 𝑟=0

d 𝑆 = ∫ ∫ 𝑑𝜃

𝜃=2𝜋 𝜃=0

𝑑𝑧

𝑧=ℎ 𝑧=0

6) Quelle(s) intégrale(s) représente(nt) la surface 𝑆 d’un disque de rayon 𝑟₀ ?

a 𝑆 = ∫ ∫ 𝑑𝑟

𝑟=𝑟₀ 𝑟=0

𝑑𝑧

𝑧=ℎ 𝑧=0

b 𝑆 = ∫ ∫ 𝑟𝑑𝜃

𝜃=𝜋 𝜃=0

𝑑𝑟

𝑟=𝑟₀ 𝑟=0

c 𝑆 = ∫ ∫ 𝑟𝑑𝜃

𝜃=2𝜋 𝜃=0

𝑑𝑟

𝑟=𝑟₀ 𝑟=0

d 𝑆 = ∫ ∫ 𝑑𝜃

𝜃=2𝜋 𝜃=0

𝑑𝑧

𝑧=ℎ 𝑧=0

7) Quelle(s) intégrale(s) représente(nt) le volume V d’un cylindre de rayon 𝑟₀ et de hauteur ℎ ?

a 𝑉 = ∫ ∫ 𝑑𝑟

𝑟=𝑟₀ 𝑟=0

𝑑𝑧

𝑧=ℎ 𝑧=0

b 𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝑟𝑑𝑧

𝑧=ℎ 𝑧=0

𝑑𝜃

𝜃=2𝜋 𝜃=0

𝑑𝑟

𝑟=𝑟₀ 𝑟=0

c 𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝑟

𝑧=ℎ 𝑧=0

𝑑𝜃

𝜃=𝜋 𝜃=0

𝑑𝑟𝑑𝑧

𝑟=𝑟₀ 𝑟=0

d 𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑧

𝑧=ℎ 𝑧=0

𝑑𝜃

𝜃=𝜋 𝜃=0

𝑑𝑟

𝑟=𝑟₀ 𝑟=0

8) Quelle(s) intégrale(s) représente(nt) le volume V d’une sphère de rayon 𝑟₀ ?

a 𝑉 = ∫ ∫ 𝑑𝑟

𝑟=𝑟₀ 𝑟=0

𝑑𝜃

𝜃=𝜋 𝜃=0

b 𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝑟²𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜑

𝜑=2𝜋 𝜑=0

𝑑𝜃

𝜃=𝜋 𝜃=0

𝑑𝑟

𝑟=𝑟₀ 𝑟=0

c 𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝑟

𝑧=ℎ 𝑧=0

𝑑𝜃

𝜃=𝜋 𝜃=0

𝑑𝑟𝑑𝑧

𝑟=𝑟₀ 𝑟=0

d 𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜑

𝜑=2𝜋 𝜑=0

𝑑𝜃

𝜃=𝜋 𝜃=0

𝑑𝑟

𝑟=𝑟₀ 𝑟=0

9) Trouver le(s) développement(s) limité(s) juste(s) à l’ordre 1.

a 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝜃 b 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 1 +𝜃²

2

c 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝜃 d 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 1

10) Trouver le(s) développement(s) limité(s) juste(s) à l’ordre 1.

a ln⁡(1 + 𝑥) = 𝑥 b 1

1 + 𝑥= 1 − 𝑥

c 1

1 − 𝑥= 1 − 𝑥 d ln(1 + 𝑥) = 1 + 𝑥

Réponses au QCM du cours

N° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Réponse(s) c c a, d c b c b b c a, b

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8 Exercices

8.1 Fonction d’une seule variable

8.1.1 Energie interne d’un gaz parfait

On appelle transformation infinitésimale, une transformation au cours de laquelle la variation des fonctions d’état la décrivant varie très peu. Ainsi, au cours d’une transformation infinitésimale, l’énergie interne varie de 𝑑𝑈.

Or, l’énergie interne d’un gaz parfait ne dépend que de la température. On peut alors écrire : 𝑑𝑈 = 𝐶_𝑉𝑑𝑇.

Lors d’une transformation entre un état 1 et un état 2, la température du gaz parfait passe de 𝑇₁ à 𝑇₂. Cette transformation étant la somme de transformations infinitésimales, comment peut-on écrire 𝛥𝑈, variation d’énergie interne entre ces deux états ?

On suppose que la capacité thermique à volume constant 𝐶_𝑉 du gaz parfait est constante.

𝛥𝑈 = 𝑈₂− 𝑈₁= ∫ 𝑑𝑈_𝑈^𝑈2

1 = ∫ 𝐶_𝑇^𝑇2 _𝑉𝑑𝑇

1 = 𝐶_𝑉(𝑇₂− 𝑇₁) = 𝐶_𝑉𝛥𝑇 8.1.2 Cinétique chimique

On s’intéresse à la réaction chimique suivante d’ordre 2 par rapport à 𝐴 : 𝑎𝐴 + 𝑏𝐵 → 𝑐𝐶 + 𝑑𝐷 On rappelle que la vitesse volumique de réaction est définie par : 𝑣 = ¹

𝑉 𝑑𝜉

𝑑𝑡 = 𝑘[𝐴]² 1) Retrouver l’équation différentielle vérifiée par la concentration [𝐴].

Faisons le tableau d’avancement de la réaction :

A B C D

Etat initial (t=0) 𝑛_𝐴(0) 𝑛_𝐵(0) 𝑛_𝐶(0) 𝑛_𝐷(0)

A t qcq 𝑛_𝐴(𝑡) = 𝑛_𝐴(0) − 𝑎𝜉 𝑛_𝐵(𝑡) = 𝑛_𝐵(0) − 𝑏𝜉 𝑛_𝐶(𝑡) = 𝑛_𝐶(0) + 𝑐𝜉 𝑛_𝐷(𝑡) = 𝑛_𝐷(0) + 𝑑𝜉 Donc : 𝜉 =^{𝑛𝐴(0)−𝑛𝐴(𝑡)}

𝑎

Définition de la vitesse de réaction : 𝑣 =_𝑉^1𝑑𝜉_𝑑𝑡 =_𝑉¹_𝑑𝑡^𝑑(^{𝑛𝐴(0)−𝑛}_𝑎 ^𝐴(𝑡)) = −_𝑎𝑉^{1 𝑑𝑛}_𝑑𝑡^𝐴(𝑡)= −¹_𝑎^𝑑[𝐴]_𝑑𝑡 Alors : 𝑣 = −¹

𝑎 𝑑[𝐴]

𝑑𝑡 = 𝑘[𝐴]² ⇒ ^𝑑[𝐴]

𝑑𝑡 + 𝑘𝑎[𝐴]² = 0 2) Exprimer alors [𝐴] en fonction du temps.

𝑑[𝐴]

[𝐴]² = −𝑘𝑎𝑑𝑡 ⇒ ∫_[𝐴]^{[𝐴] 𝑑[𝐴]}_[𝐴]2

0 = −𝑘𝑎 ∫ 𝑑𝑡₀^𝑡 ⇒ −_[𝐴]¹ +_[𝐴]¹

0= −𝑘𝑎𝑡 ⇒ _[𝐴]¹ =_[𝐴]¹

0+ 𝑘𝑎𝑡 8.1.3 Stabilité d’une position d’équilibre

1) Le graphe suivant représente l’énergie potentielle d’un point 𝑀 en fonction de la coordonnée cartésienne 𝑥. En 𝑥 = 𝑥_𝐴 et 𝑥 = 𝑥_𝐵, le point 𝑀 passe par une position d’équilibre, la première instable, la seconde stable.

Comment peut-on retrouver ces positions d’équilibres sans représentation graphique ?

Position d’équilibre : ^𝑑𝐸_𝑑𝑥^𝑝(𝑥_𝑒) = 0 correspond à un extremum Stabilité de l’équilibre : ^𝑑

2𝐸_𝑝

𝑑𝑥² (𝑥_𝑒) > 0 positions d’équilibre stable ; ^{𝑑2𝐸𝑝}

𝑑𝑥² (𝑥_𝑒) < 0 instable 2) On s’intéresse au mouvement de la masse 𝑚 suspendue au bout d’un fil

(cf figure). Son énergie potentielle de pesanteur peut se mettre sous la forme : 𝐸𝑝𝑝 = −𝑚𝑔𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜃 . En déduire alors les positions d’équilibres et leur stabilité relative. Tracer l’énergie potentielle de pesanteur en fonction de 𝜃.

𝑑𝐸_𝑝𝑝

𝑑𝜃 (𝜃_𝑒) = 𝑚𝑔𝑙 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝜃_𝑒= {0 𝜋

𝑑²𝐸_𝑝𝑝

𝑑𝜃² (𝜃_𝑒) = 𝑚𝑔𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜃 > 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝜃_𝑒= 0 : position d’équilibre stable

𝑑²𝐸_𝑝𝑝

𝑑𝜃² (𝜃_𝑒) = 𝑚𝑔𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝜃 < 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝜃_𝑒= 𝜋 : position d’équilibre instable.

8.2 Fonctions de plusieurs variables

8.2.1 Onde plane progressive monochromatique

1) Soit la fonction 𝑓 telle que 𝑓(𝑥, 𝑡) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝜑). Quelles sont les variables de cette fonction ? Donner les expressions des dérivées partielles premières et secondes. Que remarque-t-on ?

𝜕𝑓(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥 = 𝐴𝑘 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝜑) 𝑒𝑡 𝜕𝑓(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡 = −𝐴𝜔 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝜑)

𝜕²𝑓(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥² = −𝐴𝑘²𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝜑) 𝜕²𝑓(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡² = −𝐴𝜔²𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝜑)

𝜕

𝜕𝑡(𝜕𝑓(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥 ) = 𝐴𝑘𝜔 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝜑) = 𝜕

𝜕𝑥(𝜕𝑓(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡 )

Théorème de Schwartz : Si les dérivées partielles secondes 𝑓_𝑥𝑦^″ et sont continues au voisinage de 𝑀₀(𝑥₀, 𝑦₀), on a : 𝑓_𝑥𝑦^″ (𝑥₀, 𝑦₀) = 𝑓_𝑦𝑥^″ (𝑥₀, 𝑦₀)

8.2.2 Loi des gaz parfaits

On étudie un système fermé composé d’un gaz parfait.

1) Exprimer le volume en fonction de variables et de constantes que l’on identifiera.

𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 ⇒ 𝑉 =^𝑛𝑅𝑇_𝑃 avec 𝑛, 𝑅 constantes et 𝑇, 𝑃 variables 2) Donner l’expression de la différentielle du volume, 𝑑𝑉.

𝑑𝑉 = (^𝜕𝑉

𝜕𝑇)

𝑃𝑑𝑇 + (^𝜕𝑉

𝜕𝑃)

𝑇𝑑𝑃 =^𝑛𝑅

𝑃 𝑑𝑇 −^𝑛𝑅𝑇

𝑃² 𝑑𝑃

3) Le gaz parfait subit une transformation isotherme. Exprimer la variation de volume en fonction des pressions à l’état initial 𝑃₁ et final 𝑃₂.

𝑑𝑉 = −^𝑛𝑅𝑇

𝑃² 𝑑𝑃 ⇒ 𝛥𝑉 = 𝑉₂− 𝑉₁= ∫ 𝑑𝑉_𝑉^𝑉2

1 = −𝑛𝑅𝑇 ∫ ¹

𝑃²𝑑𝑃

𝑃₂

𝑃₁ = −𝑛𝑅𝑇 [−¹

𝑃₂+ ¹

𝑃₁] = 𝑛𝑅𝑇 [_𝑃¹

2− ¹

𝑃₁] 8.2.3 Onde plane progressive

On s’intéresse à une onde progressive 𝑠(𝑥, 𝑡) qui se propage d’un point 𝑂 vers un point 𝑀 de coordonnée 𝑥 telle que : 𝑠(𝑥, 𝑡) = 𝑠(𝑀, 𝑡) = 𝑠(𝑂, 𝑡 − 𝑡_𝑟).

Cette onde se propage à une vitesse 𝑣 si bien que 𝑡_𝑟 =^𝑥

𝑣 Alors : 𝑠(𝑥, 𝑡) = 𝑠 (0, 𝑡 −^𝑥

𝑣) = 𝑠 (𝑡 −^𝑥

𝑣)

1) Montrer que : ^𝜕𝑠

𝜕𝑥= −¹

𝑣

𝜕𝑠

𝜕𝑡

Posons 𝑎 = 𝑡 −^𝑥

𝑣 Alors : ^𝜕𝑎_𝜕𝑥= −¹

𝑣 𝑒𝑡 ^𝜕𝑎

𝜕𝑡 = 1

𝜕𝑠

𝜕𝑥= ^𝜕𝑠

𝜕𝑎.^𝜕𝑎

𝜕𝑥= −¹

𝑣

𝜕𝑠

𝜕𝑎 𝑒𝑡 ^𝜕𝑠

𝜕𝑡=^𝜕𝑠

𝜕𝑎.^𝜕𝑎

𝜕𝑡 =^𝜕𝑠

𝜕𝑎 ⇒ ^𝜕𝑠

𝜕𝑥= −¹

𝑣

𝜕𝑠

𝜕𝑡 2) Montrer que 𝑠(𝑥, 𝑡) est solution de l’équation d’onde : ^𝜕2𝑠

𝜕𝑥²− ¹

𝑣²

𝜕²𝑠

𝜕𝑡²= 0

𝜕²𝑠

𝜕𝑥²= ^𝜕

𝜕𝑥(−¹

𝑣

𝜕𝑠

𝜕𝑎) = −¹

𝑣

𝜕

𝜕𝑎(^𝜕𝑠

𝜕𝑎) .^𝜕𝑎

𝜕𝑥= ¹

𝑣²

𝜕²𝑠

𝜕𝑎²

𝜕²𝑠

𝜕𝑡²= ^𝜕

𝜕𝑡(^𝜕𝑠

𝜕𝑎) = ^𝜕

𝜕𝑎(^𝜕𝑠

𝜕𝑎) .^𝜕𝑎

𝜕𝑡= ^𝜕2𝑠

𝜕𝑎² Donc : ^𝜕2𝑠

𝜕𝑥²− ¹

𝑣²

𝜕²𝑠

𝜕𝑡²= 0 ⇒ ¹

𝑣²

𝜕²𝑠

𝜕𝑎²− ¹

𝑣²

𝜕²𝑠

𝜕𝑎²= 0

2020/2021 TSI2, Lycée Jules Ferry 16 8.2.4 Résultante des forces de pression

Un piston comprime un fluide dans une conduite horizontale rectangulaire de hauteur 𝐻 et de largeur 𝐿. On considère dans un premier temps que la pression au sein du fluide est uniforme et égale à 𝑃₁, tandis que la pression à l’extérieur du piston est égale à 𝑃₀.

1) Quelle est la résultante des forces de pression sur le piston ?

𝐹⃗ = (𝑃₀− 𝑃₁)𝐿𝐻𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ _𝑥

2) On considère maintenant le cas d’un barrage vertical de hauteur 𝐻 et de largeur 𝐿. Ce barrage est trop haut pour pouvoir considérer la pression uniforme dans l’eau qu’il retient. Pour un axe 𝑂𝑧 orienté vers le haut et une origine de l’axe prise à la surface de l’eau, la pression dans l’eau varie selon : 𝑃(𝑧) = 𝑃₀− 𝜇𝑔𝑧 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑧 ≤ 0.

Pour pouvoir considérer la pression au sein de l’eau comme uniforme, il faut travailler sur une surface élémentaire sur laquelle la résultante des forces de pression peut s’écrire : 𝑑𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑃(𝑀)𝑑𝑆𝑛⃗⃗ où 𝑛⃗⃗ est la normale extérieure à la _𝑠 surface.

Quelle est la résultante des forces de pression exercées par l’eau sur le barrage ? 𝐹_𝑆

⃗⃗⃗⃗ = ∬ 𝑑𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ∫_𝑆 ∫ (𝑃₀− 𝜇𝑔𝑧)𝑑𝑦𝑑𝑧𝑢⃗⃗⃗⃗⃗_𝑥

𝑧=0

𝑧=−𝐻 𝑦=𝐿

𝑦=0

= ∫ 𝑑𝑦

𝑦=𝐿

𝑦=0

∫ (𝑃₀− 𝜇𝑔𝑧)𝑑𝑧𝑢⃗⃗⃗⃗⃗_𝑥

𝑧=0

𝑧=−𝐻

= 𝐿 [𝑃₀𝑧 −1 2𝜇𝑔𝑧²]

−𝐻 0

𝑢_𝑥

⃗⃗⃗⃗⃗ ⁡ ⇒⁡

𝐹_𝑆

⃗⃗⃗⃗ = 𝐿 (𝑃₀𝐻 +1

2𝜇𝑔𝐻²) 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ _𝑥 Donc : 𝐹⃗ = 𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐹₀ ⃗⃗⃗⃗ =_𝑆 ¹

2𝜇𝑔𝐿𝐻²𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ _𝑥

8.3 Les systèmes de coordonnées

1) Comment définit-on la vitesse d’un point matériel M dans le repère ℜ_𝑐𝑦𝑙(𝑂, 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑢_𝑟 ⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑢_𝜃 ⃗⃗⃗⃗⃗)? En déduire l’expression _𝑧 de l’accélération en coordonnées cylindriques.

𝑣⃗ =𝑑𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑑𝑡 =𝑑𝑟

𝑑𝑡𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑟_𝑟 𝑑𝜃

𝑑𝑡𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ +_𝜃 𝑑𝑧

𝑑𝑡𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ = (_𝑧 𝑟̇

𝑟𝜃̇

𝑧̇

)

ℜ_𝑐𝑦𝑙

𝑎⃗ =𝑑𝑣⃗

𝑑𝑡 =𝑑²𝑟

𝑑𝑡²𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ +_𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑡

𝑑𝜃

𝑑𝑡𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ +_𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝑡

𝑑𝜃

𝑑𝑡𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑟_𝜃 𝑑²𝜃

𝑑𝑡²𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑟 (_𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡)

2

𝑢_𝑟

⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑑²𝑧

𝑑𝑡²𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ = (_𝑧 𝑟̈ − 𝑟𝜃̇² 2𝑟̇𝜃̇ + 𝑟𝜃̈

𝑧̈

)

ℜ_𝑐𝑦𝑙

2) Dans une base cartésienne, le point M parcourt un carré de côté a. Quelle est la distance D parcourue par le point M au bout d’un tour ? On posera un repère adapté (faire un dessin) et on utilisera des intégrales.

𝐷 = ∫ 𝑑𝑥

𝑎 0

+ ∫ 𝑑𝑦

𝑎 0

+ ∫ −𝑑𝑥

0 𝑎

+ ∫ −𝑑𝑦

0 𝑎

= 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 = 4𝑎

3) Dans une base cylindrique, le point M parcourt un cercle de rayon a. Quelle sera la distance D parcourue par le point M au bout d’un tour (utiliser une intégrale) ? Comparer au périmètre du cercle.

𝐷 = ∫₀^2𝜋𝑎𝑑𝜃= 2𝜋𝑎 C’est le périmètre du cercle.

4) Même question en coordonnées sphériques lorsque le point M parcourt un cercle de rayon a dans le plan Oxy.

𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 1 ⇒ 𝐷 = ∫ 𝑎𝑑𝜑

2𝜋 0

= 2𝜋𝑎

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8.4 Surfaces et volumes élémentaires

1) Retrouver l’aire d’un carré de côté 𝒂.

𝑆 = ∬ 𝑑𝑆

𝑐𝑎𝑟𝑟é

= ∫ ∫ 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑎 𝑦=0 𝑎 𝑥=0

= ∫ 𝑑𝑥

𝑎 𝑥=0

∫ 𝑑𝑦

𝑎 𝑦=0

= 𝑎² 2) Retrouver le volume d’un parallélépipède de côté 𝑎 selon 𝑥, 𝑏 selon 𝑦 et 𝑐 selon 𝑧.

𝑉 = ∭ 𝑑𝑉

𝑝𝑎𝑟𝑎

= ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝑐 𝑧=0 𝑏 𝑦=0 𝑎 𝑥=0

= ∫ 𝑑𝑥

𝑎 𝑥=0

∫ 𝑑𝑦

𝑏 𝑦=0

∫ 𝑑𝑧

𝑐 𝑧=0

= 𝑎𝑏𝑐 3) Retrouver l’expression de la surface latérale d’un cylindre de rayon 𝑟₀ et de hauteur ℎ.

𝑆 = ∬_{𝑠𝑢𝑟𝑓 𝑙𝑎𝑡}𝑑𝑆= ∫_𝜃=0^2𝜋 ∫_𝑧=0^ℎ 𝑟₀𝑑𝜃𝑑𝑧= 𝑟₀∫_𝜃=0^2𝜋 𝑑𝜃∫_𝑧=0^ℎ 𝑑𝑧= 2𝜋𝑟₀ℎ 4) Retrouver le volume d’un cylindre de rayon 𝑟₀et de hauteur ℎ.

𝑉 = ∭ 𝑑𝑉

𝑐𝑦𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑒

= ∫ ∫ ∫ (𝑑𝑟)(𝑟𝑑𝜃)(𝑑𝑧)

ℎ 𝑧=0 2𝜋 𝜃=0 𝑟₀ 𝑟=0

= ∫ 𝑟𝑑𝑟

𝑟₀ 𝑟=0

∫ 𝑑𝜃

2𝜋 𝜃=0

∫ 𝑑𝑧

ℎ 𝑧=0

=1

2𝑟₀²2𝜋ℎ = 𝜋𝑟₀²ℎ 5) Que vaut l’intégrale suivante : ∬ 𝑑𝑆_𝛴 ?

∬ 𝑑𝑆

𝛴

= 𝛴

6) Quelle est la surface comprise entre deux cercles concentriques de rayons 𝑟0 𝑒𝑡 𝑟1 ?

∫ ∫ 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃

2𝜋 0 𝑟₁ 𝑟₀

= 𝜋(𝑟₁²− 𝑟₀²) 7) Retrouver le volume d’une sphère de rayon 𝑟₀.

𝑉 = ∭ 𝑑𝑉

𝑠𝑝ℎè𝑟𝑒

= ∫ ∫ ∫ 𝑟²𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝜑

2𝜋 𝜑=0 𝜋 𝜃=0 𝑟₀ 𝑟=0

= ∫ 𝑟²𝑑𝑟

𝑟₀ 𝑟=0

∫ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑑𝜃

𝜋 𝜃=0

∫ 𝑑𝜑

2𝜋 𝜑=0

=1

3𝑟₀³[− 𝑐𝑜𝑠 𝜃]₀^𝜋2𝜋

=1

3𝑟₀³4𝜋 =4 3𝜋𝑟₀³

8) Retrouver la surface d’une sphère de rayon 𝑟₀. 𝛴 = ∬ 𝑑𝑆

𝑠𝑝ℎè𝑟𝑒

= ∫ ∫ 𝑟₀²𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜑

2𝜋 𝜑=0 𝜋 𝜃=0

= 𝑟₀²∫ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑑𝜃

𝜋 𝜃=0

∫ 𝑑𝜑

2𝜋 𝜑=0

= 𝑟₀²[− 𝑐𝑜𝑠 𝜃]₀^𝜋2𝜋 = 𝑟₀²4𝜋 = 4𝜋𝑟₀²