Leçon 246

Universit´e Paris Sud Master 2 F.E.S.

Ann´ee 2020-2021 Pr´eparation `a l’agr´egation

Le¸con 246 : S´eries de Fourier.

Exemples et applications.

1 Quelques rappels sur les courbes param´ etr´ ees

On rappelle qu’une courbe ferm´ee orient´ee de classe C¹ est la donn´ee d’un intervalle ferm´e I = [a, b] et d’une applicationγ = (x, y) : [a, b]→R² continue tels que

— γ est de classeC¹ sur ]a, b[ ;

— γ est injective sur ]a, b[ ;

— γ⁰(t)6= 0 pour toutt∈]a, b[ ;

— γ(a) =γ(b).

L’image Γ =γ([a, b]) est alors la courbe g´eom´etrique associ´ee. Siω=P dx+Qdy est une 1-forme diff´erentielle de classeC¹, on d´efinit l’int´egrale curviligne deω sur Γ par

Z

Γ

P dx+Qdy:=

Z b a

P(γ(t))x⁰(t) +Q(γ(t))y⁰(t) dt.

On d´efinit ´egalement la longueur de l’arc Γ par

`(Γ) :=

Z _b

a

kγ⁰(t)kdt.

Notons que l’int´egrale curviligne et la longueur de l’arc sont des quantit´es ind´ependantes de la param´etrisation.

Formule de Green-Riemann. Soient Ω un ouvert de R² dont la fronti`ere Γ = ∂Ω est une courbe ferm´ee orient´ee de classe C¹ et P dx+Qdy est une 1-forme diff´erentielle de classe C¹. Alors

Z Z

Ω

∂Q

∂x(x, y)−∂P

∂y(x, y)

dx dy= Z

Γ

P dx+Qdy.

2 In´ egalit´ e isop´ erim´ etrique

On souhaite montrer l’in´egalit´e isop´erim´etrique: si Ω un ouvert de R² dont la fronti`ere Γ =∂Ω est une courbe ferm´ee orient´ee de classe C¹, alors

L²(Ω)≤ 1

4π`(∂Ω)²,

o`u L² d´esigne la mesure de Lebesgue dans R², avec ´egalit´e si et seulement si Ω est un disque.

1

1. Montrer que

L²(Ω) = 1 2

Z

Γ

x dy−y dx.

2. (a) Posons, pour tout t∈[a, b]

ϕ(t) = Z t

a

kγ⁰(s)kds.

Montrer queϕr´ealise unC¹ diff´eomorphisme croissant de ]a, b[ sur ]0, L[ o`uL=`(Γ).

(b) En d´eduire que ([0, L],˜γ :=γ◦ϕ⁻¹) est une autre param´etrisation de Γ (qui s’appelle param´etrisation par longueur d’arc) qui satisfaitk˜γ⁰(t)k= 1 pour toutt∈]0, L[.

(c) A partir de ˜γ, d´eterminer une nouvelle param´etrisation ([0,2π],γ) de Γ.ˆ 3. Montrer que

L²(Ω) = 1 2Im

Z 2π

0

ˆ

γ⁰(t)ˆγ(t)dt et en d´eduire que

L²(Ω) =π

+∞

X

n=−∞

n|c_n(ˆγ)|², o`u c_n(ˆγ) d´esignent les coefficients de Fourier de ˆγ.

4. Montrer que

`(Γ)² = 2π Z 2π

0

kˆγ⁰(t)k²dt et en d´eduire que

`(Γ)² = 4π²

+∞

X

n=−∞

n²|c_n(ˆγ)|². 5. En d´eduire l’in´egalit´e isop´erim´etrique.

6. Montrer que l’´egalit´e

L²(Ω) = 1

4π`(∂Ω)². a lieu si et seulement Ω est un disque.

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