Introduction au traitement du signal - application à la sismique

Introduction au traitement du signal - application à la sismique

UM II

C. Champollion

d'après F. Masson

Plan

• Introduction

• Transformée de Fourier

• Convolution

• Corrélation / Autocorrélation

• Echantillonnage

• Transformée de Fourier numérique / Convolution numérique / Corrélation numérique

• Applications

– Le filtrage

Introduction

• Le signal sismique est enregistré sous forme de séries temporelles numériques.

• Le traitement sismique implique la connaissance de

quelques bases de traitement du signal.

Transformée de Fourier

• La transformée de Fourier consiste à décomposer une série temporelle en une suite d ’ondes monofréquentielles.

• Fourier ( 1822 ) a montré qu ’une série de données peut être regardée comme la somme d ’une série de fonctions

sinusoïdales avec :

– Une amplitude – Une phase

– Une fréquence

Transformée de Fourier

• Une amplitude

• Une phase

• Une fréquence

Transformée de Fourier

• L ’analyse de Fourier calcule l ’amplitude et la phase pour

chaque fréquence

Transformée de Fourier

• On peut calculer la transformée de Fourier pour la plupart des fonctions mathématiques et pour l ’ensemble des

signaux « physiques ».

• On peut définir X( ν ) la TF de la fonction x(t) ( ν , la fréquence en Hertz) :

• On peut aussi définir la TF inverse :

X  υ  =TF  x  t = ∫ ^{x  t  e −i2πνt dt}

x  t  =TF ⁻¹  X  ν  = ∫ ^{X  ν  e i2πνt dν}

Transformée de Fourier

• On peut aussi utiliser la notation en pulsation ω = 2π ν :

– Problème : On perd la symétrie des formules

X  ω  =TF  x  t = ∫ ^{x  t  e −iωt dt}

x  t  =TF ⁻¹  X  ω = 1

2π ∫ ^{X  ω  e iωt dω}

Transformée de Fourier

• Amplitude / Phase

X  ν =R  ν  +iI  ν  R  ν  Partie réelle

I  ν  Partie imaginaire

S  ν =  ^{R 2  ν  +I 2  ν } Spectre d'amplitude Φ  ν =arctan I  ν 

 Spectre de phase

Spectres

Transformée de Fourier

• Condition d ’existence de la TF : il faut que

– la fonction x(t) soit bornée

– l ’intégrale de x(t) entre -α et + α ait une valeur finie – les discontinuités de x(t) soient en nombre fini

– <=> x(t) à carré sommable – <=> énergie finie

– Cette condition est toujours respectée dans le cas des fonctions qui représentent un processus physique

Transformée de Fourier

• Théorèmes importants

– Théorème de l ’addition – Si

– Alors

TF  x  t  =X  ν  TF  y  t =Y  ν 

TF  x  t  +y  t  =X  ν  +Y  ν 

Transformée de Fourier

• Théorèmes importants

– Théorème de similarité – Si

– Alors

TF  x  t  =X  ν 

TF  x  at = 1

∣a ∣ X  ν

a 

Transformée de Fourier

• Théorèmes importants

– Théorème du décalage – Si

– Alors

TF  x  t  =X  ν 

TF  x  t − a  =e ^−2πiυa X  ν 

Transformée de Fourier

• Théorèmes importants

– Théorème de la dérivée – Si

– Alors

TF  x  t  =X  ν 

TF  x'  t =2πiνX  ν 

Transformée de Fourier

• Quelques calculs simples

– La fonction Porte (Créneau)

– La fonction Double Porte Symétrique – La fonction de Gauss

– Le Dirac – Le Cosinus – Le Sinus

Transformée de Fourier

• La fonction Porte (Créneau)

Transformée de Fourier

• La fonction Porte (Créneau)

G  ν  =T sin  πνT 

πνT =T sin c  πνT 

sin x= e^ix−e^−ix 

Transformée de Fourier

• La fonction Porte Symétrique

Transformée de Fourier

• La fonction Porte Symétrique

G  ν = 2Tcos  2 πνT

 sin c  πνT 

cosx= e^ix+e^−ix

Transformée de Fourier

• La fonction de Gauss

– La TF d ’une fonction de Gauss est aussi une fonction de Gauss.

– C ’est un exemple de fonction dont le spectre contient toutes les composantes spectrales : C ’est un spectre ‘ continu ’ depuis la fréquence nulle jusqu ’aux très hautes fréquences, celles-ci ayant des amplitudes quasi nulles

g  t  =e ^{− πt}

=> G  υ  =e ^{− πυ}

Transformée de Fourier

• La fonction de Gauss

g  t =e

=> G  υ =e

Transformée de Fourier

• Les Ricker

– On calcule les dérivées première et seconde de cette fonction s₀t =e^{−πk2t 2}=> S₀ν=1

k e

−π ν2 k2

s

 t =−2πk

t exp −πk

t

 S

 ν = 2πiνS

 ν = 2πiν

k exp − π ν

k

 S

 ν =2πiνS

 ν = −4π

ν

k exp − π ν

k



Transformée de Fourier

• Les Ricker

Transformée de Fourier

• Le Dirac

– On appelle Dirac la fonction δ(x) (en fait, c ’est une distribution…) définie par :

δ  x =0 si x ≠0 et par ∫

−∞

∞

δ  x  dx= 1

Transformée de Fourier

• Le Dirac

TF  δ  x =1

Transformée de Fourier

• Le Dirac

• (car si f(t)=1, la seule fréquence dans le signal est la fréquence nulle)

TF ⁻¹  δ  ν =1

Transformée de Fourier

• Le Cosinus

TF

 δ  ν =1 alors TF

 1

2 δ  ν − ν

= 1

2 exp  2πiν

t  et TF

 1

2 δ  ν+ν

= 1

2 exp −2πiν

t  En regroupant :

TF

 1

2  δ  ν+ν

 +δ  ν − ν

=

Transformée de Fourier

• Le Cosinus

Si :

TF

 1

2  δ  ν+ν

 +δ  ν − ν

=

1

2  exp − 2πiν

t exp  2πiν

t = cos  2 πν

t  Alors en prenant la TF

TF  cos  2 πν

t = 1

2  δ  ν+ν

 +δ  ν − ν



Transformée de Fourier

• Le Cosinus

TF  cos  2 πν ₀ t = 1

2  δ  ν+ν ₀  +δ  ν − ν ₀ 

Transformée de Fourier

• Le Sinus

– On peut calculer la TF de la fonction Sinus par 2 méthodes, en partant de la TF de la fonction cosinus :

• Théorème du décalage :

• Théorème de la dérivée :

sin2πν₀t =cos2πν₀t−π/2

sin2πν₀t=− 1

2πν₀ cos2πν₀t'

TF  sin  2 πν

t = 1

2i  δ  ν-ν

 -δ  ν+ν



Applications - le filtrage

• Le filtrage consiste à supprimer certaines fréquences d ’un signal.

– Pour augmenter le rapport signal/bruit

– Pour extraire l’information intéressant un problème particulier

Applications - le filtrage

Le signal d ’origine Le spectre d ’amplitude

Secondes Hertz

Applications - le filtrage

Le spectre ‘coupé ’ Le signal filtré

Hertz Secondes

Applications - le filtrage

Le spectre ‘coupé ’ Le signal filtré

Hertz Secondes

Applications - le filtrage

Le spectre ‘coupé ’ Le signal filtré

Hertz Secondes

Applications - le filtrage

Le spectre ‘coupé ’ Le signal filtré

Hertz Secondes

Convolution

• Définition :

– On appelle produit de convolution de deux fonctions f et g la fonction h telle que :

h  u = ∫

−∞

∞

f  t  g  u − t  dt

h  u  =f  t ∗ g  t 

Convolution

• Propriétés :

– Associative : f*(g*h)=(f*g)*h – Commutative : f*g=g*f

– Distributive par rapport à l ’addition : f*(g+h)=f*g+f*h

• Exemples :

– Convolution de deux créneaux centrés sur 0 de largeur 2T – Convolution d ’un Dirac et d ’une fonction quelconque

– Convolution d ’un peigne de Dirac et d ’un segment de cosinus

Convolution

• Exemples :

– Convolution d ’un peigne de Dirac et d ’un segment de cosinus

Exemple?

Convolution

• TF d ’un cosinus multiplié par une porte

– Si T petit, 1/T est grand

g  t =cos  2 πν

t  P

 t 

=>

G  ν  =TF  cos  2 πν

t ∗ TF  P

 t   G  ν = 1

2  δ  ν+ν

 +δ  ν − ν

∗ 2Tsin c  2 πνT 

Convolution

Applications - Qu’est ce qu ’une trace sismique ?

• Une trace sismique est le résultat de la convolution d ’une source sismique par le log impulsionnel du terrain sous- jacent.

• Le log impulsionnel est une suite de Dirac espacés dans le temps et d ’amplitudes variables

– Espacement : espacement inter-couche (AR) – Amplitude : coefficient de réflexion

Applications - Qu’est ce qu ’une trace sismique ?

Applications - Qu’est ce qu ’une trace sismique ?

• Problèmes :

– Si les réflexions sont très resserrées.

– Si la source est longue

Applications - Qu’est ce qu ’une trace sismique ?

• Le problème des fantômes

* =

Une source Ricker d ’ordre 1, du fait des fantômes de la source et du récepteur, apparaît comme un Ricker d ’ordre 2

Applications - Qu’est ce qu ’une trace sismique ?

• Le problème des fantômes (suite)

* =

Applications - Qu’est ce qu ’une trace sismique ?

• Le problème des multiples

* =

Corrélation / Autocorrélation

• Définition :

– On appelle produit de corrélation de deux fonctions f et g la fonction h telle que :

h  u = ∫

−∞

∞

f  t  g  u+t  dt

h  u  =f  t ∗ g − t 

Corrélation / Autocorrélation

• Définition :

– Normalisation de la fonction de corrélation : On normalise souvent la fonction de corrélation par le dénominateur

– Si f et g sont deux fonctions identiques, alors h(0)/D=1.

D= [

^{∫ f}

^{ τ  dτ ∗}

^{∫ g}

^{ τ  dτ} ]

Corrélation / Autocorrélation

• Autocorrélation :

– On appelle autocorrélation d ’une fonction f la corrélation d ’une fonction par elle-même :

h  u = ∫

−∞

∞

f  t  f  u+t  dt

h  u  =f  t ∗ f − t 

Corrélation / Autocorrélation

• Autocorrélation :

Applications - Le sweep

• Le Sweep et son autocorrélation

Applications - Le sweep

• Corrélation de signal long

Convolution numérique

• En numérique, la convolution de 2 fonctions numériques s

et g

discrétisées avec un pas d ’échantillonnage τ s ’écrit :

c _j =τ ∑

i= 0 n

s _i g _{j− i}

Corrélation numérique

• En numérique, la corrélation de 2 fonctions numériques s

et g

discrétisées avec un pas d ’échantillonnage τ s ’écrit :

r _j =τ ∑

i=0 n

s _i g _j+i

Autocorrélation numérique

• En numérique, l ’autocorrélation d ’une fonction

numérique s

discrétisée avec un pas d ’échantillonnage τ s ’écrit :

a _j =τ ∑

i=0 n

s _i s _j+i

Echantillonnage

• Définition :

– Echantillonner une fonction (on dira souvent un ‘ signal ’) consiste à la représenter par ses valeurs numériques obtenues à des instants infiniment brefs et régulièrement espacés.

– Le temps séparant deux échantillonnages est appelé Pas

d ’échantillonnage, son inverse la fréquence d ’échantillonnage.

Echantillonnage

• Définition :

– Mathématiquement, l ’échantillonnage d ’une fonction peut être décrit comme la multiplication d ’un signal s(t) par la fonction W_τ(t), peigne de Dirac de pas τ.

– On appellera la fonction échantillonnée.

W

 t = ∑

n=−∞

∞

δ  t −nτ 

f   t  =f  t  . W  t 

Echantillonnage

• TF de la fonction W

(t) :

– La transformée de Fourier d ’un peigne de Dirac de pas τ est un peigne de Dirac de pas 1/ τ.

TF  W

 t = 1

τ W

τ

 υ 

Echantillonnage

• TF d ’une fonction échantillonnée :

– Le spectre de la fonction échantillonnée est obtenu par la

convolution entre la TF de la fonction ‘ continue ’ et le peigne de Dirac de pas 1/ τ.

• La convolution autour d ’un Dirac ‘ centre ’ la fonction convoluée

f   t  =f  t  . W _τ  t 

=> TF   f  t  =F  υ ∗ 1

τ W ₁

τ

 υ 

Echantillonnage

• TF d ’une fonction échantillonnée :

– Si F(ν) est à support borné entre [- ν_c , + ν_c] et si le pas τ est inférieur à 1/2ν_c, la TF de la fonction échantillonnée permet de retrouver F(ν) en isolant le motif central.

Echantillonnage

• TF d ’une fonction échantillonnée :

– Par contre si le pas d ’échantillonnage τ est plus grand que 1/2ν_c, il y a recouvrement de spectre au voisinage de +-Nν_c (N entier).

C ’est le phénomène d ’aliasing (repliement de spectre).

Echantillonnage

• Théorème de l ’échantillonnage (Shannon-Nyquist) :

• Le pas d ’échantillonnage maximum que l ’on peut

• retenir pour échantillonner un signal de contenu

• fréquentiel [- ν

, + ν

] est 1/2 ν

.

• (il faut au moins deux échantillons pour représenter

correctement numériquement la plus courte période

contenue dans le signal)

TF numérique

F   υ  =TF   f  t  =F  υ ∗ 1

τ W ₁

τ

 υ 

avec W ₁

τ

 υ = ∑

−∞

∞

δ  υ − n / τ 

TF numérique

• La TF numérique est donc une fonction périodique qui se répète tous les intervalles 1/ τ .

• Si on suppose F( ν ) à support borné [- ν

, + ν

], alors sur cet intervalle de fréquence si τ <1/2 ν

.

• Questions :

– A quelles fréquences ν_i va-t-on évaluer :

• Quel est le pas en fréquence dν ?

• Quelle est la fréquence maximale ν_max?

F   υ  =F  υ 

F   υ 

TF numérique

• Le pas en fréquence :

– La fonction f(t) étant à support borné [0, T], il est impossible

d ’extraire des périodes plus grandes que T. Autrement dit, la plus grande période (ou la plus petite fréquence) accessible à l ’analyse spectrale doit être contenue au moins 1 fois dans la longueur du signal analysé.

• S T est la période maximale accessible, 1/T est la fréquence minimale accessible =>

• 1/T=dν pas en fréquence (T longueur du signal)

TF numérique

• La fréquence maximale:

– On peut calculer entre - ν_c et + ν_c, mais aussi entre 0 et 2ν_c, d ’après la périodicité de (périodicité due à

l ’échantillonnage).

– Pour des raisons pratiques d ’ordre numérique on choisit de

calculer entre 0 et + 2ν_c. On rappelle que ν_c est la fréquence de Nyquist (ν_c=1/2τ).

F   υ 

F   υ 

F   υ 

TF numérique

• Nombre de points de la TF numérique:

– est évaluée entre 0 et 2ν_c=1/τ avec un pas dν=1/T – => Le nombre de points est :

F   υ 

2υ _c

dυ = T

τ =N

N Nombre de points échantillonnés .

Au cas ou?