MATHEMATIQUES 1

Les calculatrices sont autoris´ees.

Notations : On note :

• Nl’ensemble des entiers naturels.

• Rl’ensemble des r´eels etR⁺ l’intervalle[0,+∞[.

Pour tout entier naturelnon noten!la factorielle denavec la convention0! = 1. Objectifs :

L’objet de ce probl`eme est d’expliciter la valeur d’une fonction (not´ee ψ) d´efinie par une int´egrale.

Dans lapartie I, on ´etudie une fonctionf et l’on propose un proc´ed´e de calcul de la limite de f en +∞. La partie IIest consacr´ee `a l’´etude de deux fonctions (not´eeshetϕ) qui seront utilis´ees dans lapartie III.

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SESSION 2013 PSIM102

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI ____________________

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures ____________________

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

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Partie I

Etude d’une fonction et de sa limite

I.1 Etude de la fonctionf

On notef la fonction d´efinie surRpar : f(x) =

_x

0 exp(−t²)dt= _x

0 e^−t2dt.

I.1.1 Montrer quef est une fonction impaire d´erivable surR.

I.1.2 Montrer quef est ind´efiniment d´erivable surR. Pour tout entiern∈ N^∗, on notef⁽ⁿ⁾ la d´eriv´een-i`eme def. Montrer qu’il existe une fonction polynˆomepn, dont on pr´ecisera le degr´e, telle que pour toutx∈R:

f⁽ⁿ⁾(x) = pn(x) exp(−x²).

I.1.3 Que peut-on dire de la parit´e depn?

I.1.4 D´emontrer quef admet une limite finie en+∞(on ne demande pas de calculer cette limite). Dans toute la suite du probl`eme, on noteΔcette limite.

I.2 D´eveloppement en s´erie def

I.2.1 Montrer que pour toutx∈R, on af(x) = ^+∞

n=0

(−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹ n!(2n+ 1).

I.2.2 Expliciterpn(0). I.3 Calcul deΔ

Pour tout entiern, on note :

Wn= _π/2

0 cosⁿx dx.

I.3.1 Montrer que pour tout r´eelu, on ae^u ≥1 +u. I.3.2 Soitnun entier naturel non nul. Montrer que :

(1−u)ⁿ≤e^−nu si u≤1 e^−nu ≤ _(1+u)¹ n si u >−1

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I.3.3 D´emontrer que pour tout entiernnon nul, on a : ₁

0

1−x²_n dx≤

_+∞

0 e^−nx2dx≤ _+∞

0

dx (1 +x²)ⁿ.

I.3.4 En d´eduire que pour toutn∈N^∗: W2n+1 ≤ √Δ

n ≤W2n−2. En admettant queWn ∼

+∞

_π

2n, calculerΔ.

Partie II

Etude de deux fonctions

II.1 Etude de la fonctionh

II.1.1 Justifier l’existence, pour tout r´eelb, de l’int´egrale : h(b) =

_+∞

0 cos(2bt) exp(−t²)dt.

On noteωla forme diff´erentielle d´efinie surR²par :

ω(x, y) = e^−(x2−y2)(cos(2xy)dx+ sin(2xy)dy).

II.1.2 La forme diff´erentielleωest-elle exacte surR² ?

II.1.3 Etant donn´es deux r´eels strictement positifs a et b, on noteP le pav´e de R² d´efini par :0≤ x≤aet0≤y ≤b. On noteγ le bord deP orient´e dans le sens trigonom´etrique.

Quelle est la valeur de l’int´egrale curviligne

γω ?

II.1.4 En ´evaluant l’int´egrale curviligne deωle long des segments qui formentγ, d´eterminer h(b)en fonction debetΔ.

II.2 Etude de la fonctionϕ

II.2.1 Montrer que l’on d´efinit une fonctionϕpaire et continue surRen posant : ϕ(x) =

_+∞

0 exp

−t²− x² t² dt.

II.2.2 Montrer queϕest de classeC¹ sur]0,+∞[.

3/4

II.2.3 D´eterminer une constanteαtelle que pour toutx∈]0,+∞[on ait : ϕ(x) =αϕ(x).

II.2.4 Expliciterϕ(x)pourx∈]0,+∞[, puis pourx∈R.

Partie III

Calcul d’une int´egrale

III.1 Etude de la fonctionψ

III.1.1 V´erifier que l’on d´efinit une fonctionψ, continue surR, paire en posant : ψ(x) =

_+∞

0

cos(2xt) 1 +t² dt.

III.1.2 Calculerψ(0).

III.2 Soitp∈N^∗etjp la fonction d´efinie surRpar : jp(x) =

_p

0 yexp

−

1 +x² y²

dy.

Montrer que(j_p)_p∈Nest une suite de fonctions continues qui converge simplement surR. Expliciter sa limite.

III.3 D´esormais,ad´esigne un r´eel. Soitn∈N^∗ etknfonction d´efinie surR⁺par : kn(y) =

_n

0 yexp

−y²x²

cos(2ax)dx.

Montrer que (kn)n∈N^∗ est une suite de fonctions continues qui converge simplement sur R⁺. Expliciter sa limite.

III.4 Soitun,p= _n

0 jp(x) cos(2ax)dxavecn∈N^∗ etp∈N^∗. III.4.1 Justifier l’existence de lim

p→+∞un,pet l’expliciter sous forme d’une int´egrale.

III.4.2 Montrer queun,p = _p

0 kn(y) exp

−y² dy.

III.5 Justifier l’int´egrabilit´e sur[0,+∞[de la fonctiony→kn(y) exp (−y²). III.6 Calculerψ(x).

Fin de l’´enonc´e 4/4

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