Aper¸cu de la preuve de Sullivan de la conjecture d’Adams Aur´elien DJAMENT Octobre 2003

Aper¸cu de la preuve de Sullivan de la conjecture d’Adams

Aur´elien DJAMENT Octobre 2003

On se propose de tracer les grandes ´ etapes de la d´ emonstration (d´ etaill´ ee dans mon m´ emoire de DEA) donn´ ee par Sullivan de la conjecture d’Adams, r´ esultat de pure topologie alg´ ebrique, ` a l’aide de l’utilisation de comparaison avec la g´ eom´ etrie alg´ ebrique. Dans la premi` ere partie, nous mettons en place rapidement les outils n´ ecessaires ` a ´ enoncer ce r´ esultat. Dans la seconde, nous exposons le sch´ ema de la d´ emonstration.

Table des mati` eres

1 K-th´ eorie et ´ enonc´ e de la conjecture d’Adams 2

1.1 Fibr´ es vectoriels et groupe K(X ) . . . . 2

1.2 Op´ erations sur la K-th´ eorie . . . . 3

1.3 Propri´ et´ es de base . . . . 4

1.4 Enonc´ ´ e de la conjecture d’Adams . . . . 5

2 K-th´ eorie profinie et g´ eom´ etrie alg´ ebrique. D´ emonstration de la conjecture d’Adams 6 2.1 Principe. Aper¸cu du th´ eor` eme de comparaison . . . . 6

2.2 Op´ erations sur la K-th´ eorie profinie . . . . 8

2.3 La conjecture d’Adams d’apr` es Sullivan . . . . 9

Nous d´ esignerons dans la suite par le terme g´ en´ erique d’espace tout espace topologique suffisamment

« raisonnable », disons qu’on puisse munir d’une structure de complexe cellulaire

. Un espace fini sera un complexe cellulaire fini

.

Soient X et Y deux espaces. Nous noterons C(X, Y ) l’ensemble des applications continues de X dans Y . Deux

´ el´ ements f et g de C(X, Y ) sont dits homotopes s’il existe une application continue H : X × [0, 1] −→ Y telle que H(x, 0) = f (x) et H (x, 1) = g(x) pour tout x ∈ X . Cela d´ efinit une relation d’´ equivalence sur C(X, Y ) ; l’ensemble quotient sera d´ esign´ e par [X, Y ].

Etant donn´ ´ es deux espaces X, Y et f ∈ C(X, Y ), la composition ` a droite (resp. ` a gauche) par f induit pour tout espace Z des applications f

: [Y, Z] → [X, Z] et f

: [Z, X ] → [Z, Y ] ; celles–ci ne d´ ependent que de la classe d’homotopie de f , de sorte que l’on notera encore de la mˆ eme fa¸con f

et f

pour f ∈ [X, Y ].

On dit que deux espaces X et Y ont le mˆ eme type d’homotopie s’il existe f ∈ C (X, Y ) et g ∈ C (Y, X) tels que les compos´ es f ◦ g et g ◦ f soient homotopes aux applications identiques de Y et X respectivement.

Nous d´ enoterons par K le corps topologique usuel R ou C.

1En fait beaucoup de raisonnements sont agr´eables `a mener en termes d’ensembles simpliciaux, ce qui est essentiellement la mˆeme chose d’un point de vue homotopique.

2Il s’agit d’une hypoth`ese de finitudetopologique(´equivalente `a la compacit´e) ; une autre notion de finitude,homotopique, interviendra de fa¸con cruciale dans la preuve.

1 K -th´ eorie et ´ enonc´ e de la conjecture d’Adams

1.1 Fibr´ es vectoriels et groupe K(X)

D´ efinition 1 Soit X un espace. Un fibr´ e vectoriel (sur K ) de base X est la donn´ ee d’une application continue f : E −→ X (E est appel´ e l’espace total du fibr´ e) et, pour tout x ∈ X , d’une structure de K -espace vectoriel de dimension finie sur la fibre E

= f

( { x } )

de sorte que l’on puisse recouvrir X par des ouverts U pour lesquels il existe un K -espace vectoriel de dimension finie V et un hom´ eomorphisme ϕ : f

(U ) → V × U tels que le diagramme

f

(U ) −−−−→

V × U

⏐ ⏐

⏐ ⏐

U U

commute

et que pour tout x ∈ U ϕ induise un isomorphisme de K-espaces vectoriels entre E

et V

. Un fibr´ e vectoriel est dit de rang n si toutes ses fibres sont des K-espaces vectoriels de dimension n.

D´ efinition 2 Soient X et X

deux espaces, E − →

X et E

−→

X

des fibrations vectorielles. On appelle morphisme de fibr´ es vectoriels de E vers E

tout couple d’applications continues (E − →

E

, X − →

X

) tel que le diagramme

E −−−−→

E

p

⏐ ⏐

⏐ ⏐ X −−−−→

X

commute et que pour tout x ∈ X l’application induite par f entre les fibres E

et E

soit lin´ eaire.

On appelle morphisme de fibr´ es vectoriels de base X tout morphisme du type (f, id

) entre deux telles fibrations (que l’on notera alors simplement f ). Deux fibr´ es vectoriels de base x sont dits isomorphes s’il existe un morphisme de fibr´ es vectoriels bijectif entre eux dont la r´ eciproque est ´ egalement un morphisme de fibr´ es vectoriels

. Un fibr´ e vectoriel est dit trivial s’il est isomorphe ` a un fibr´ e du type X × K

−→ X (projection, avec structure vectorielle ´ evidente) pour un certain entier n.

Fonctorialit´ e : ´ etant donn´ es deux espaces X et Y , une application continue X − →

Y et une fibration vectorielle E − →

Y de base Y , on d´ efinit l’image r´ eciproque de ξ par f , et l’on note f

ξ, le fibr´ e vectoriel

E ×

Y

X = {(e, x) ∈ E × X | ξ(e) = f (x)} −→ X

(restriction de la projection E × X −→ X) de base X , o` u la structure d’espace vectoriel sur les fibres est donn´ ee par l’identification canonique (E ×

Y

X )

E

. On dispose ainsi d’un morphisme de fibr´ es vectoriels ´ evident de f

ξ vers f .

Si ξ est un fibr´ e vectoriel de base X et U un sous–espace de X , la restriction de ξ ` a U est par d´ efinition i

ξ, o` u i est l’inclusion de U dans X . Par d´ efinition, un fibr´ e vectoriel est toujours localement trivial en ce sens qu’on peut trouver un recouvrement de sa base par des ouverts en restriction auxquels le fibr´ e est trivial.

Si Y − →

X et Z

−→

X sont deux fibr´ es vectoriels de base X , on d´ efinit leur somme directe (ou somme de Whitney), not´ ee ξ ⊕ ξ

(ou ξ + ξ

), comme la projection canonique Y ×

X

Z = {(y, z) ∈ Y × Z | ξ(y) = ξ

(z)} −→ X (la structure vectorielle sur les fibres ´ etant donn´ ee par les identifications canoniques (Y ×

X

Z )

Y

⊕ Z

). Cette construction est naturelle en X en ce sens qu’elle est compatible aux images r´ eciproques : f

(ξ ⊕ ξ

) f

ξ ⊕ f

ξ

canoniquement.

3on utilisera par la suite syst´ematiquement cette notation pour d´esigner les fibres.

4o`u la fl`eche verticale de gauche est induite parf et celle de droite est la projection.

5Un tel fibr´e sera souvent not´e par abusE, ouf.

6Il revient au mˆeme de demander qu’existe entre les deux fibr´es un morphisme qui est ´egalement un hom´eomorphisme.

Supposons maintenant que X est un espace fini

.

On note E (X ) (resp. E

(X ), o` u n ∈ N ) l’ensemble

des classes d’´ equivalence de fibr´ es vectoriels (resp. de fibr´ es vectoriels de rang n) de base X . La somme directe des fibr´ es induit sur E (X) une loi (not´ ee ⊕ ou +) associative, commutative et poss´ edant un ´ el´ ement neutre, not´ e 0.

On d´ efinit K(X ) (not´ e K

(X ) s’il y a ambigu¨ıt´ e sur K) comme le groupe ab´ elien obtenu en sym´ etrisant l’addition sur E (X )

; K(X) s’appelle la K–th´ eorie de X. Si f : X −→ Y est une application continue, elle induit un morphisme de groupes f

: K(Y ) −→ K(X) obtenu ` a partir de l’image r´ eciproque par f .

On d´ efinit la K–th´ eorie r´ eduite de X comme le conoyau, not´ e K(X ), du morphisme canonique Z K(∗) → K(X ) (∗ d´ esignant un espace r´ eduit ` a un point) : on « tue » les classes des fibr´ es triviaux dans K(X ). Si X = ∅, tout choix de point de base ∗ → X scinde la suite exacte 0 → Z → K(X ) → K(X ) → 0, d’o` u K(X ) Z ⊕ K(X ).

1.2 Op´ erations sur la K -th´ eorie

Dans ce paragraphe, X d´ esigne un espace fini.

Les groupes ab´ eliens K(X ) sont en fait des anneaux commutatifs (et unitaires) de mani` ere naturelle

; la multi- plication est induite par l’op´ eration de produit tensoriel sur les fibr´ es vectoriels. La construction, standard, que nous ne d´ etaillerons pas, consiste ` a d´ efinir ce produit tensoriel de mani` ere ´ evidente sur les fibr´ es triviaux, puis ` a proc´ eder par recollement ` a l’aide de trivialisations locales. Notons que l’image dans K(X ) d’un fibr´ e en droites (i.e. de rang 1) est inversible (l’inverse est fourni par le dual, d´ efini de mani` ere analogue par recollements).

Le produit tensoriel fournit ´ egalement un morphisme naturel de complexification c : K

(X) → K

(X ) ; on dispose

´ egalement d’un morphisme naturel ´ evident o : K

(X) → K

(X ) d’ « oubli de la structure complexe » sur les fibr´ es.

Proposition 1 Il existe une unique famille de morphismes d’anneaux naturels

ψ

: K(X ) → K(X) (pour k ∈ Z ; en K–th´ eorie r´ eelle comme complexe) tels que :

1. pour toute classe de fibr´ e en droites ξ, ψ

ξ = ξ

, 2. ψ

◦ ψ

= ψ

pour tous entiers k et l,

3. les ψ

sont compatibles ` a la complexification et ` a l’oubli de la structure complexe en ce sens que les diagrammes K

(X )

kR

−−−−→ K

(X ) et K

(X )

Ck

−−−−→ K

(X)

c

⏐ ⏐

⏐ ⏐

⏐ ⏐

⏐ ⏐ K

(X )

kC

−−−−→ K

(X ) K

(X )

Rk

−−−−→ K

(X) commutent pour tout k ∈ Z .

Les ψ

sont appel´ es op´ erations d’Adams.

Nous nous bornons ici ` a indiquer comment l’on construit ψ

pour k > 0.

Pour tout (k, n) ∈ N

, le polynˆ ome

X

∈ Z[X

, . . . , X

]

est sym´ etrique, donc il s’´ ecrit de mani` ere unique sous la forme P

(σ

, . . . , σ

) avec P

∈ Z[X

, . . . , X

], o` u σ

=

I⊂{1,...,n} Card I=i

k∈I

X

(1 ≤ i ≤ n) (1)

On d´ efinit, ξ ´ etant la classe d’un fibr´ e de rang n,

ψ

ξ = P

(ξ, Λ

ξ, . . . , Λ

ξ)

o` u les puissances ext´ erieures Λ

ξ de ξ sont d´ efinies comme le produit tensoriel par recollement.

7Les raisons de cette restriction apparaˆıtront au paragraphe 1.3.

8Il n’est nullement ´evident a priori qu’il s’agisse d’un ensemble ; cela se voit en prouvant des r´esultats que nous admettrons dans 1.3.

9On peut par exemple le construire comme le quotient du groupe ab´elien libreZ^(E(X))par le sous–groupe engendr´e par les c(E) +c(E)−c(E+E), o`uc:E(X)→Z^(E(X))est l’application canonique.

10i.e. de sorte que les morphismesf^∗´evoqu´es ci–avant soient des morphismes d’anneaux.

11i.e. commutant aux images r´eciproques.

1.3 Propri´ et´ es de base

Proposition 2 Soit X un espace fini

. ´ Etant donn´ e un fibr´ e vectoriel ξ de base X, il existe un autre fibr´ e ξ

tel que ξ⊕ξ

soit trivial. En cons´ equence, l’application E(X ) −→ K(X ) compos´ ee des applications canoniques E (X ) −→ K(X) et K(X) −→ K(X) est surjective si X est connexe.

Nous admettrons ce r´ esultat (de mˆ eme que tous les autres de ce paragraphe).

Notons, pour n, k ∈ N, Gr

(ou Gr

s’il y a ambigu¨ıt´ e sur K) la grassmannienne des sous–espaces vectoriels de dimension n dans K

, munie de sa topologie usuelle (qui en fait une vari´ et´ e analytique compacte). Les inclusions

´ evidentes Gr

⊂ Gr

permettent de d´ efinir la r´ eunion Gr

(not´ ee encore Gr

) des Gr

pour k ∈ N

. Cet espace

(que l’on peut ´ egalement voir comme l’ensemble des sous–espaces de dimension n du K-espace vectoriel K

) est ´ equip´ e d’un fibr´ e vectoriel de rang n tautologique ξ

: E

= { (v, V ) ∈ K

× Gr

| v ∈ V } −→ Gr

induit par la deuxi` eme projection (o` u la structure vectorielle est donn´ ee par l’´ egalit´ e ensembliste (ξ

)

= V ).

Proposition 3 Pour tout espace fini X et tout n ∈ N , l’application

C(X, Gr

) −→ E

(X ) f −→ f

ξ

induit une bijection [X, Gr

] −→ E

(X).

(On dit que l’espace Gr

repr´ esente le foncteur E

)

Les inclusions Gr

⊂ Gr

(obtenues en envoyant un sous–espace V de dimension n de K

sur le sous–espace V ⊕K de K

= K

⊕K) permettent de consid´ erer la grassmannienne infinie Gr

(encore not´ ee Gr

), r´ eunion des pr´ ec´ edentes

. L’op´ eration de somme directe de sous–espaces d´ efinit une application continue Gr

×Gr

−→ Gr

qui ` a homotopie pr` es est associative, commutative, et poss` ede un ´ el´ ement neutre. Cette loi induit, pour chaque espace X, une structure de mono¨ıde (en fait, de groupe) naturelle sur [X, Gr

].

Les deux propositions pr´ ec´ edentes permettent d’obtenir :

Proposition 4 Soit X un espace fini et connexe. Le groupe K(X) est naturellement isomorphe ` a [X, Gr

].

Si X est un espace fini (connexe ou non), le groupe K(X ) est naturellement isomorphe ` a [X, Z × Gr

]

. Autrement dit, Z × Gr

repr´ esente le foncteur K, ce qui permet de ramener les propri´ et´ es de la K-th´ eorie aux propri´ et´ es homotopiques de cet espace. Ainsi, les op´ erations d’Adams d´ ecrites pr´ ec´ edemment sont induites par des applications continues (d´ efinies de fa¸con unique ` a homotopie pr` es) de Gr

dans lui-mˆ eme, i.e. par des ´ el´ ements de [Gr

, Gr

]. Comme nous le verrons par la suite, la restriction de ces op´ erations aux classes de fibr´ es de rang 1 est induite par des ´ el´ ements de [Gr

, Gr

] faciles ` a comprendre ; nous exploiterons ce fait pour tous les fibr´ es via la proposition suivante dans le cas complexe, le cas r´ eel s’y ramenant en quelque sorte (en vertu d’un r´ esultat que nous tairons).

Proposition 5 Soient X un espace fini, ξ un fibr´ e vectoriel complexe de base X . Il existe un espace fini Y et une application continue f : Y → X telle que

– f

ξ est une somme directe de fibr´ es en droites, – f

: K

(X ) → K

(Y ) est injective.

(Ainsi, en quelque sorte, toute propri´ et´ e des fibr´ es vectoriels complexes « compatible » aux images r´ eciproques et

`

a la somme directe des fibr´ es est vraie pour tous les fibr´ es si elle est v´ erifi´ ee pour les fibr´ es en droites)

12Cette hypoth`ese est ici essentielle et l´egitime la restriction aux espaces finis.

13que l’on munit de la topologie la plus forte induisant sur chaqueGr_n,kla topologie usuelle.

14quin’estpas fini.

15assimil´e ici `a son image dansEn(X).

16que l’on munit encore de la topologie la plus faible induisant sur chaqueGr_n,k la topologie usuelle.

17o`uZest muni de la topologie discr`ete.

1.4 Enonc´ ´ e de la conjecture d’Adams

Consid´ erons un fibr´ e vectoriel ξ : E −→ X . En en ˆ otant la section nulle (i.e. les origines des fibres pour leur structure d’espace vectoriel), on obtient une application σ : E

−→ X, appel´ ee fibration sph´ erique de base X associ´ ee

`

a ξ, dont les fibres

sont hom´ eomorphes ` a un R

\{0}, qui a le type d’homotopie de la sph` ere S

. On peut d´ efinir en toute g´ en´ eralit´ e la notion de fibr´ e sph´ erique (ind´ ependamment de celle de fibr´ e vectoriel) ; disons simplement que l’on peut d´ efinir une notion de classes d’´ equivalence de fibr´ es sph´ eriques stables de base X (la relation d’´ equivalence est ici l’´ equivalence d’homotopie fibr´ ee

; le terme stable signifie que l’on identifie ´ egalement un fibr´ e sph´ erique avec le fibr´ e de dimension sup´ erieure obtenu par « suspension fibr´ ee » (ce qui est l’analogue de l’ajout du fibr´ e trivial de rang 1 pour les fibr´ es vectoriels)), qui forment un groupe naturellement isomorphe [X, BG

] pour un certain espace BG

, comme pour les fibr´ es vectoriels. L’op´ eration consistant ` a ˆ oter la section nulle induit alors un morphisme de groupes, pour X espace fini connexe

, K(X ) [X, Gr

] −−→

[X, BG

], qui est induit par une application continue, unique ` a homotopie pr` es, de Gr

dans BG

, i.e. par un ´ el´ ement J de [Gr

, BG

].

Nous pouvons d´ esormais ´ enoncer la conjecture d’Adams

:

Proposition 6 Soit X est un espace fini. Pour tous ξ ∈ K(X ) et k ∈ Z, il existe n ∈ N tel que j

(k

(ψ

ξ − ξ)) = 0.

La premi` ere preuve de ce r´ esultat, esquiss´ ee par Quillen et compl´ et´ ee par Friedlander, fait intervenir la g´ eom´ etrie alg´ ebrique via la topologie ´ etale. La preuve de Sullivan, dont nous donnons ici un aper¸cu, utilise ´ egalement la topologie

´ etale, mais de mani` ere diff´ erente : alors que Quillen et Friedlander font usage de la topologie ´ etale en caract´ eristique finie (ils consid` erent le morphisme de Frobenius pour d´ ecrire les op´ erations d’Adams), Sullivan emploie la topologie

´ etale en caract´ eristique nulle, en consid´ erant les vari´ et´ es alg´ ebriques sur K qui interviennent directement pour classifier la K-th´ eorie. D’autres preuves n’utilisent pas la g´ eom´ etrie alg´ ebrique.

18on adopte pour les fibr´es sph´eriques les mˆemes conventions de terminologie et de notation que pour les fibr´es vectoriels, notamment en ce qui concerne les fibres et les images r´eciproques.

19sph`ere unit´e deRⁿeuclidien canonique.

20Unehomotopie fibr´eeentre deux applications continuesf, g:E→F faisant commuter un diagramme E −−−−−→ F

u⏐⏐ ^v⏐⏐

X X

o`uuetv sont deux applications continues fix´ees (en g´en´eral, ce sont des fibrations) est une homotopieh:E×[0,1]→F def `agtelle que pour toutt∈[0,1],h(., t) :E→F fasse encore commuter ce diagramme. La notion d’´equivalence d’homotopie fibr´eese d´efinit comme celle l’´equivalence d’homotopie.

21cette restriction est en fait superflue.

22Adams avait prouv´e sa conjecture pour les images de fibr´es en droites.

2 K -th´ eorie profinie et g´ eom´ etrie alg´ ebrique. D´ emonstration de la conjec- ture d’Adams

2.1 Principe. Aper¸ cu du th´ eor` eme de comparaison

Les grassmanniennes dont la r´ eunion est apparue dans le paragraphe 1.3 sont des objets essentiellement alg´ ebriques : ce sont des vari´ et´ es analytiques que l’on peut obtenir par un atlas d’ouverts d´ efinis par des (in)´ egalit´ es alg´ ebriques, les changements de cartes ´ etant ´ egalement des fonctions rationnelles. On remarque ´ egalement que l’on peut choisir tous les polynˆ omes intervenant dans cette description ` a coefficients dans Q (alors que le corps de base est R ou C). En termes pr´ ecis, une grassmannienne (r´ eelle ou complexe) est la r´ ealisation topologique (r´ eelle ou complexe) d’une vari´ et´ e alg´ ebrique

d´ efinie sur Q . Ce dernier fait permet de faire agir le groupe de Galois Gal( C / Q ) des Q - automorphismes de corps de C sur lesdites vari´ et´ es, dans le cas complexe du moins

. ´ Evidemment, ces automorphismes sont topologiquement ultra–pathologiques (pas du tout continus) et cette action sur les vari´ et´ es alg´ ebriques que sont les grassmanniennes ne fournit directement aucune action topologique sur les espaces que l’on obtient par r´ ealisation topologique complexe et qui nous int´ eressent pour d´ ecrire la K-th´ eorie. Cependant, on peut avec Sullivan utiliser cette action du groupe de Galois pour comprendre les op´ erations d’Adams sur la K-th´ eorie profinie (voir paragraphe suivant), « variante » de la K-th´ eorie o` u la g´ eom´ etrie alg´ ebrique interviendra via le th´ eor` eme de comparaison entre g´ eom´ etrie et topologie alg´ ebriques dont nous allons maintenant donner une rapide id´ ee.

Compl´ etion profinie d’un espace

D´ efinition 3 Un espace X est dit homotopiquement fini si pour tout n ∈ N , π

(X)

est fini. Si p est un nombre premier, X est dit homotopiquement p -fini si de plus les π

(X ) ont pour cardinaux des puissances de p.

D´ efinition 4 1. Un pro–espace est une famille d’espaces (X

)

, o` u I est un ensemble ordonn´ e filtrant ` a gauche (i.e. muni d’un ordre ≥ tel que pour tous a, b ∈ I il existe c ∈ I tel que c ≥ a et c ≥ b), munie d’applications continues f

: X

→ X

pour i ≥ j telles que f

◦ f

= f

pour i ≥ j ≥ k

.

2. ´ Etant donn´ es deux pro–espaces X = (X

)

et Y = (Y

)

, on d´ efinit [X, Y ] = lim

j←−∈J

(lim

i∈I

[X

, Y

]) ; la compos´ ee g ◦ f ∈ [A, C] de f ∈ [A, B] et g ∈ [B, C ] (o` u A, B et C sont des pro–espaces) est d´ efinie de mani` ere ´ evidente (` a partir de la composition des applications).

3. Deux pro–espaces X et Y sont dits homotopiquement ´ equivalents s’il existe f ∈ [X, Y ] et g ∈ [Y, X] tels que f ◦ g et g ◦ f co¨ıncident avec l’identit´ e de Y et X respectivement.

4. Un pro–espace (X

)

est dit p- profini (o` u p est un nombre premier) si tous les X

sont homotopiquement p-finis.

On fait de tout espace X un pro–espace de mani` ere ´ evidente, en consid´ erant la famille r´ eduite au seul ´ el´ ement X . Proposition 7 Soit p un nombre premier. On peut associer naturellement ` a chaque espace X un pro–espace p-profini, not´ e X

et appel´ e compl´ etion p -profinie de X , muni d’une fl` eche naturelle i ∈ [X, X

], v´ erifiant la propri´ et´ e universelle suivante : pour tout espace homotopiquement p-fini Y , i

: [ X

, Y ] → [X, Y ] (d´ efinie en associant ` a f ∈ [ X

, Y ] la compos´ ee f ◦ i) est une bijection.

Le produit des X

pour p parcourant l’ensemble des nombres premiers est appel´ e compl´ et´ e profini de X et not´ e X ; il est muni d’une fl` eche naturelle de [X, X ] v´ erifiant une propri´ et´ e universelle analogue, o` u « homotopiquement p-fini » est remplac´ e par « homotopiquement fini » .

Ce r´ esultat, ici admis, est essentiellement dˆ u ` a Artin et Mazur (qui fournissent du reste une th´ eorie beaucoup plus g´ en´ erale de la compl´ etion homotopique)

.

23qui de plus v´erifie toutes les propri´et´es de«gentillesse»que l’on peut en attendre : irr´eductibilit´e, lissit´e, propret´e etc.

24 le cas r´eel est l´eg`erement plus compliqu´e : la d´emonstration n´ecessite de remplacer les vari´et´es r´eelles (les grassmanniennes) qui interviennent naturellement par d’autres vari´et´escomplexes. Par la suite, nous ne parlerons plus que du cas complexe.

25D´efini comme [Sⁿ, X] mais en imposant aux homotopies de respecter un point de base donn´e.

26Ces applications sont en g´en´eral omises dans la notation d’un pro–espace.

27Il existe plusieurs mani`eres d’obtenir des « compl´etions profinies » homotopiques ; dans mon DEA, je pr´esente une construction diff´erente de celle d’Artin–Mazur.

Topologie ´ etale et th´ eor` eme de comparaison : ` a toute vari´ et´ e alg´ ebrique V on peut associer naturellement un pro–espace V

, appel´ e type d’homotopie ´ etale de V , d´ efini formellement ` a partir de la notion de faisceau ´ etale

. Comme d’habitude, le terme naturellement signifie que l’on peut associer ` a chaque morphisme de sch´ emas f : V −→ W un f

∈ [V

, W

] (en respectant la composition). En particulier, tout σ ∈ Gal(C/Q) induit un σ

∈ [G

, G

], si G est une grassmannienne complexe.

Si V est une vari´ et´ e alg´ ebrique complexe, on peut ´ egalement lui associer naturellement l’espace, not´ e V (C), obtenu par r´ ealisation topologique de V

: c’est cette construction que nous avons ´ evoqu´ ee au d´ ebut du paragraphe dans le cas des grassmanniennes.

Proposition 8 Si V est une vari´ et´ e alg´ ebrique complexe lisse, le pro–espace V

est naturellement homotopiquement

´ equivalent ` a V (C).

La d´ emonstration de ce r´ esultat profond, que nous admettrons totalement, repose d’une part sur des propri´ et´ es formelles de la compl´ etion profinie, d’autre part sur deux th´ eor` emes de comparaison entre topologie usuelle (i.e.

de la r´ ealisation topologique) et type d’homotopie ´ etale : l’un compare les revˆ etements finis, l’autre la cohomologie (la d´ emonstration de ce th´ eor` eme de comparaison utilise le pr´ ec´ edent, des propri´ et´ es formelles des faisceaux et des propri´ et´ es g´ eom´ etriques des vari´ et´ es — notamment la notion de bon voisinage).

L’un des premiers (et des plus faciles) pas pour tous ces r´ esultats r´ eside dans la propri´ et´ e suivante, dont nous donnons une d´ emonstration compl` ete, laquelle est ´ el´ ementaire, mais non imm´ ediate.

Proposition 9 Soit V une vari´ et´ e alg´ ebrique complexe. Le nombre de composantes connexes de V pour la topologie de Zariski est ´ egal au nombre de composantes connexes de sa r´ ealisation topologique V (C).

D´ emonstration : Nous utiliserons les propri´ et´ es suivantes de la r´ ealisation topologique des vari´ et´ es complexes : 1. Si V = ∅, alors V (C) = ∅ ;

2. V

(C) V (C) ;

3. La r´ ealisation topologique commute aux sommes et recollements ;

4. Si V est une vari´ et´ e lisse, V (C) est naturellement muni d’une structure de vari´ et´ e analytique complexe ; 5. La r´ ealisation topologique d’un revˆ etement ´ etale (i.e. d’un morphisme fini et lisse) d’une vari´ et´ e lisse est un

revˆ etement analytique fini de sa r´ ealisation topologique.

2 et 3 sont imm´ ediats ; 1 d´ ecoule du th´ eor` eme des z´ eros de Hilbert, 4 du th´ eor` eme d’inversion local ; 5 est facile via le th´ eor` eme d’Ehresmann selon lequel une submersion propre (entre vari´ et´ es diff´ erentielles) est un revˆ etement.

Grˆ ace ` a 1, 2 et 3, il suffit de montrer que si V est une vari´ et´ e int` egre non vide, V (C) est connexe. Soit n la dimension de V : le corps des fonctions K de V est une extension de C de degr´ e de transcendance n, donc par le th´ eor` eme de l’´ el´ ement primitif, il est de la forme C(X

, . . . , X

)(t) o` u t a un polynˆ ome minimal irr´ eductible (dans C(X

, . . . , X

)[T ]), que l’on peut ´ ecrire sous la forme d’une fraction f /g avec f et g dans C[X

, . . . , X

][T ], premiers entre eux, et f unitaire : f est donc irr´ eductible dans C[X

, . . . , X

][T ], et A = C[X

, . . . , X

][T ]/(f ) est une C[X

, . . . , X

]-alg` ebre int` egre finie de corps des fractions isomorphes ` a K, donc H = Spec A est birationnellement ´ equivalent ` a V , et il existe des ouverts denses M et N de H et V respectivement qui sont isomorphes. Il suffit de prouver que H (C) est connexe : en effet cela entraˆınera que M (C), dont le compl´ ementaire dans H(C) est (topologiquement) de codimension au moins 2, est connexe ; comme N (C) M (C) est dense dans V (C) (son compl´ ementaire est d’int´ erieur vide pour la mˆ eme raison de codimension), cela ach` evera la d´ emonstration.

Notons π le morphisme fini H → A

: par le th´ eor` eme de Bertini, il existe un ouvert dense U de A

tel que si l’on note W = π

(U ), π |

: W → U soit lisse, donc un revˆ etement ´ etale. Cela montre d´ ej` a que W ( C ), donc son adh´ erence H (C), a un nombre fini de composantes connexes — en nombre inf´ erieur ou ´ egal au degr´ e d de A sur C[X

, . . . , X

], que nous noterons C

, . . . , C

. En particulier, pour tout i ∈ {1, . . . , k}, π(C) induit un revˆ etement analytique fini W (C) ∩ C

→ U (C), dont nous d´ esignerons par r

le degr´ e ; cela prouve que si l’on note, pour a ∈ U (C), (σ

(a))

les fonctions sym´ etriques ´ el´ ementaires en les r

ant´ ec´ edents de a par π dans C

(cf. (1)), les σ

sont des fonctions holomorphes sur U(C) (utiliser des trivialisations locales analytiques de π). Si l’on pose

λ

(a) = T

+

j=0

( − 1)

σ

(a)T

∈ C [T ], on a manifestement pour tout a = (a

, . . . , a

) ∈ U( C ) f (a

, . . . , a

, T ) =

λ

(a

, . . . , a

) (2)

28Nous n’entrerons ici pas du tout dans les d´etails de cette construction. Il est d’ailleurs remarquable que la preuve de Sullivan de la conjecture d’Adams n’utilise pratiquement que l’existenced’une telle construction (et le th´eor`eme de comparaison ci–apr`es) dans le cas des grassmanniennes, et non la fa¸con pr´ecise dont on l’obtient.

29L’ensemble sous–jacent est l’ensemble des points de V, et la topologie est celle induite par celle de Cⁿ si V est plong´ee comme sous–vari´et´e de l’espace affine complexe de dimensionn, la topologie s’obtenant en g´en´eral par recollement de vari´et´es affines.

Si l’on ´ ecrit f (X

, . . . , X

, T ) = T

+ P

(X

, . . . , X

)T

+ · · · + P

(X

, . . . , X

), on constate que pour tout (a

, . . . , a

) ∈ C, f (a

, . . . , a

, t) est non nul d` es que |t| ≥ 2d

i=1

|P

(a

, . . . , a

)|, donc tous les σ

sont major´ es polynomialement. On en d´ eduit tout d’abord que les σ

(donc les λ

) se prolongent analytiquement ` a C

tout entier (pour n = 1, le compl´ ementaire de U (C) dans C est isol´ e ; dans le cas g´ en´ eral, pour tout a = (a

, . . . , a

) ∈ C, il existe i tel que parmi les points de C

ayant les mˆ emes coordonn´ ees, sauf peut–ˆ etre la i-` eme, que a, seul un nombre fini ne soient pas dans U ( C ), et l’on est ramen´ e au prolongement d’une fonction holomorphe d’une variable en un point isol´ e hors de son domaine de d´ efinition), puis que la singularit´ e des σ

` a l’infini est alg´ ebrique, ce qui implique que ces fonctions sont des polynˆ omes. Maintenant la relation (2) et l’irr´ eductibilit´ e de f imposent k = 1, ce qu’il fallait d´ emontrer.

2.2 Op´ erations sur la K -th´ eorie profinie

Dans tout ce paragraphe, on se donne un nombre premier p.

D´ efinition 5 Soit X un espace fini. On appelle K -th´ eorie p -profinie de X le groupe ab´ elien K

(X ) = K(X ) ⊗

Z

Z

(le corps de base K ´ etant indiff´ eremment R ou C), o` u Z

d´ esigne l’anneau lim

n←−∈N

Z/p

Z des entiers p-adiques.

Dans toute la suite, on ne s’occupera plus que de K-th´ eorie p-profinie complexe, le cas r´ eel ´ etant analogue, modulo le raffinement ´ evoqu´ e dans la note 24.

Proposition 10 Pour tout espace connexe fini X , on a un isomorphisme naturel K

(X ) [X, (Gr

)

]

Cette propri´ et´ e, que nous admettrons, est une cons´ equence directe de la proposition 4 et de r´ esultats g´ en´ eraux sur la compl´ etion p-profinie.

Afin d’exploiter les consid´ erations du paragraphe pr´ ec´ edent, nous utiliserons le fait suivant (´ el´ ementaire) : il existe une action de Gal(C/Q) sur (Gr

)

compatible ` a son action sur le compl´ et´ e p-profini des grassmanniennes (donn´ ee par l’isomorphisme de la proposition 8

).

Notons α : Gal(C/Q) → Z

(groupe des ´ el´ ements inversibles de l’anneau Z

) le morphisme de groupes obtenu en restreignant, pour chaque n ∈ N, l’action du groupe de Galois au groupe Z/p

Z des racines p

-i` emes de l’unit´ e. Des propri´ et´ es ´ el´ ementaires de th´ eorie de Galois montrent que α est surjectif.

Proposition 11 L’action de Gal(C/Q) sur (Gr

)

se factorise par α, de sorte que Z

agit sur (Gr

)

, donc sur la K-th´ eorie p-profinie par la proposition pr´ ec´ edente. De plus, pour tout entier k premier ` a p, l’op´ eration induite en K-th´ eorie p-profinie par l’op´ eration d’Adams ψ

co¨ıncide avec l’action de l’´ el´ ement k de Z

.

Nous esquissons ` a pr´ esent la d´ emonstration de ce r´ esultat, qui constitue la clef de la preuve de Sullivan de la conjecture d’Adams.

Grˆ ace ` a la proposition 5, il suffit de prouver que l’action de Gal(C/Q) sur (Gr

)

se factorise par α et que k agit par ψ

(en effet, l’action de Gal( C / Q ) est compatible ` a l’addition en K-th´ eorie p-profinie car au niveau des grassmanniennes finies l’addition des sous–espaces est la r´ ealisation topologique de morphismes alg´ ebriques d´ efinissables sur Q ). Cette r´ eduction simplifie grandement notre travail car Gr

= P

( C ) est homotopiquement tr` es agr´ eable : son seul groupe d’homotopie non trivial est le π

, isomorphe ` a Z , i.e. c’est un espace d’Eilenberg–Maclane de type K( Z , 2), d’o` u l’on d´ eduit que (Gr

)

est homotopiquement ´ equivalent au pro–espace (K(Z/p

Z, 2))

(il s’agit d’une propri´ et´ e formelle assez facile de .

). Les propri´ et´ es homotopiques de base des espaces d’Eilenberg–Maclane montrent alors qu’il suffit de prouver que pour tout n ∈ N l’action de Gal(C/Q) sur H

( (P

(C))

; Z/p

Z) se factorise par α et que k y a la mˆ eme action que ψ

. Mais comme l’inclusion P

(C) ⊂ P

(C) induit un isomorphisme entre les π

pour i ≤ 2 et un

´ epimorphisme entre les π

, il suffit de prouver la mˆ eme assertion pour H

( (P

(C))

; Z/p

Z), ou encore, en utilisant le

30A priori, la proposition 8 ne fournit une action que sur le compl´et´e profini d’une grassmannienne ; on en d´eduit une action sur le compl´et´ep-profini car celui–ci peut s’obtenir `a partir du pr´ec´edent par une construction naturelle de«p-localisation (homotopique)».

31Cette suite d’espaces est munie d’une structure de pro–espace car on peut choisir une construction d’espaces d’Eilenberg–Maclane fonctorielle.

th´ eor` eme de comparaison entre cohomologies ´ etale et singuli` ere (l’un des principaux ingr´ edients de la proposition 8) pour la vari´ et´ e complexe lisse P

(droite projective complexe), pour les groupes de cohomologie ´ etale (o` u l’action du groupe de galois devient alors transparente) H

(P

; Z/p

Z)

.

On utilise ensuite la carte usuelle de P

form´ ee de deux ouverts isomorphes ` a la droite affine complexe A

, d’intersection isomorphe ` a ( G

)

= Spec C [X, X

]. La suite exacte de Mayer–Vietoris (en cohomologie ´ etale) nous ram` ene ` a prouver notre assertion sur les groupes de cohomologie H

(( G

)

; Z /p

Z ), (isomorphes ` a Z /p

Z ) ; il est ici agr´ eable de regarder ce groupe comme l’ensemble des classes d’´ equivalence de revˆ etements ´ etales galoisiens de groupe Z/p

Z de (G

)

. Mais pour tout k ∈ N

, (G

)

a un unique (` a isomorphisme pr` es) revˆ etement ´ etale galoisien de groupe Z/kZ, donn´ e par la C[X, X

]-alg` ebre ´ etale standard C[X, X

][T ]/(T

− X )

. Le groupe H

((G

)

; Z/kZ) s’identifie alors au groupe des automorphismes de ce revˆ etement, canoniquement isomorphe au groupe U (k) des racines k-i` emes de l’unit´ e de C (consid´ erer, si ξ ∈ U (k), l’automorphisme de revˆ etement induit par T −→ ξT dans C[X, X

][T ]/(T

−X )). Il est maintenant ´ evident que l’action de Gal(C/Q) sur ce groupe de cohomologie se factorise par le morphisme Gal(C/Q) → Aut U (k)( Z/kZ

), donc que l’action de Gal(C/Q) sur (Gr

)

se factorise par α.

Pour prouver l’assertion relative aux op´ erations d’Adams, il suffit ensuite de constater que ψ

induit dans π

(P

(C)) la multiplication par k (car c’est le cas pour x −→ x

dans π

( C

)).

2.3 La conjecture d’Adams d’apr` es Sullivan

On pose, pour tout espace fini X, K(X) =

K

(X ), p parcourant l’ensemble des nombres premiers (le corps de base ´ etant ici C , conform´ ement ` a la restriction que nous nous sommes fix´ ee) : si X est connexe, on a un isomorphisme naturel K(X) [X, Gr

]. Par la proposition pr´ ec´ edente, K(X) est muni d’une action naturelle du groupe Z

=

Z

(si l’on voit σ ∈ Z

comme un automorphisme homotopique de Gr

, σ agit par l’image r´ eciproque σ

).

J ∈ [Gr

, BG

] (introduit au paragraphe 1.4) se factorise de mani` ere unique par l’´ el´ ement canonique de [Gr

, Gr

] car BG

est homotopiquement fini. Ce point crucial provient de ce que les groupes d’homotopie de BG

sont isomorphes aux groupes d’homotopie stable π

S

(sauf en degr´ e 0 — BG

est connexe), qui sont finis (except´ e pour n = 0) comme Serre l’a montr´ e. On obtient ainsi un ´ el´ ement j de [ Gr

, BG

] ; on peut donc associer ` a tout ´ el´ ement de K(X ) (o` u X est fini connexe) un ´ el´ ement de [X, BG

] que l’on appellera son type d’homotopie fibr´ ee sph´ erique stable.

Le th´ eor` eme qui suit est la forme « abstraite » de la conjecture d’Adams prouv´ ee par Sullivan.

Proposition 12 Pour tout espace fini connexe X , le type d’homotopie fibr´ ee sph´ erique stable des ´ el´ ements de K(X) est constant le long des orbites de Z

.

Lemme Soit γ

: T

−→ Gr

le fibr´ e sph´ erique associ´ e au fibr´ e vectoriel de rang n tautologique ξ

. On a un diagramme commutatif ` a homotopie pr` es

T

−−−−→ Gr

⏐ ⏐

Gr

−−−−→ Gr

o` u la fl` eche verticale de gauche est une ´ equivalence d’homotopie et la fl` eche horizontale du bas l’inclusion.

Le lemme est totalement ´ el´ ementaire : la fl` eche T

= {(x, v) ∈ Gr

× (C

\{0}) | v ∈ x} −→ Gr

est donn´ ee par (x, v) −→ x∩v

(o` u C

est muni de sa structure hermitienne canonique) ; c’est une ´ equivalence d’homotopie d’inverse w −→ (Ce

⊕ s(w), e

), o` u e

(i ∈ N

) est le i-` eme vecteur de la base canonique de C

et s l’endomorphisme de C

donn´ e par e

−→ e

(la compos´ ee T

−→ T

(x, v) −→ (Ce

⊕ s(x ∩ v

), e

) est homotope ` a l’identit´ e comme le montrent les homotopies T

× [0, 1] −→ T

(x, v, t) −→ (Ch

(v) ⊕ s(x ∩ v

), h

(v)) o` u h

(v) = ts(v) + (1 − t)e

, et T

× [0, 1] −→ T

(x, v, t) −→ (i

(x), i

(v)), o` u i

est l’endomorphisme de C

donn´ e par e

−→ te

+ (1 − t)e

).

Reste ` a voir que γ

est homotope ` a la compos´ ee T

−→ Gr

⊂ Gr

(x, v) −→ Ce

⊕ s(x ∩ v

). Pour cela on consid` ere les homotopies T

× [0, 1] −→ Gr

(x, v, t) −→ C(ts(v) + (1 − t)e

) ⊕ s(x ∩ v

) puis

T

× [0, 1] −→ Gr

(x, v, t) −→ i

(x), o` u s et i

ont la mˆ eme signification que pr´ ec´ edemment.

32Le groupe des coefficients ´etant unp-groupe, la localisation parpn’a pas d’effet en cohomologie.

33On utilise ´evidemment ici le th´eor`eme de comparaison des revˆetements ´etales et analytiques finis d’une vari´et´e complexe lisse, l’autre ingr´edient de fond de la proposition 8.

Retour ` a la proposition 12 : En appliquant le foncteur de compl´ etion profinie ., on obtient ` a homotopie pr` es une fibration γ

: Gr

−→ Gr

. ´ Etant donn´ e σ ∈ Z

, consid´ erons le diagramme commutatif (` a homotopie pr` es)

σ

Gr

−−−−→ Gr

−−−−→ Gr

⏐ ⏐

⏐ ⏐

⏐ ⏐ Gr

−−−−→

Gr

−−−−→ Gr

(la commutation du carr´ e de droite provient de la naturalit´ e de l’action de Z

, vu que γ

est homotopiquement

´ equivalent ` a l’inclusion Gr

→ Gr

, qui est un morphisme alg´ ebrique d´ efinissable sur Q).

La compos´ ee σ

Gr

→ Gr

−−→ Gr

induit une ´ equivalence d’homotopie entre les fibres (c’est le cas de chacune des deux fl` eches dont elle est compos´ ee), d’o` u l’on d´ eduit (par une propri´ et´ e g´ en´ erale des fibrations) que σ

γ

a le mˆ eme type d’homotopie fibr´ ee que γ

. Cela entraˆıne que ξ

et σ

ξ

ont le mˆ eme type d’homotopie fibr´ ee sph´ erique stable par un argument g´ en´ eral de topologie reposant essentiellement sur la finitude homotopique de BG

. On conclut ensuite grˆ ace ` a la naturalit´ e de l’action de Z

et au fait que tout ´ el´ ement de K(X ) est combinaison lin´ eaire d’images r´ eciproques des ξ

.

D´ emonstration de la conjecture d’Adams (proposition 6) ` a partir de la proposition 12 : Soient X un espace fini (que l’on peut supposer connexe sans perte de g´ en´ eralit´ e), k ∈ Z et ξ ∈ K(X). On utilise l’´ el´ ement σ

de Z

dont la composante dans Z

est k lorsque le nombre premier p ne le divise pas, 1 sinon. Soit α l’image de ξ dans K(X ) : σ

α a la mˆ eme image dans K

(X ) que l’image β de ψ

α dans K(X) pour p premier ` a k (d’apr` es la description des op´ erations d’Adams en termes de K–th´ eorie profinie donn´ ee dans la proposition 11), donc le diagramme commutatif

K(X ) −−−−→ [X, BG

]

⏐ ⏐

⏐ ⏐

pk

K

(X ) −−−−→ [X, BG

[k

]]

(o` u BG

[k

] d´ esigne le « localis´ e (homotopique) de BG

» obtenu en inversant k) montre que l’image de σ

α − β dans [X, BG

[k

]] [X, BG

] ⊗ Z [k

] (cet isomorphisme d´ ecoule de propri´ et´ es de la localisation homotopique) est nulle, donc pour n ∈ N assez grand, le type d’homotopie fibr´ ee sph´ erique stable de k

(σ

α − β), donc de k

(β − α) par la proposition pr´ ec´ edente, est trivial, soit j

(k

(ψ

ξ − ξ)) = 0, ce qu’il fallait d´ emontrer.

34LesGr_ksont despro–espaces, mais on peut en fait ici raisonner comme s’il s’agissait d’espaces ordinaires, ce que nous continuerons `a faire par la suite.