CONTRÔLE N°5 TS. Vendredi 2 février 2018. 2 heures I.

(1)

CONTRÔLE N°5 TS.

Vendredi 2 février 2018.

2 heures I.

Un laboratoire teste l'apparition d'effets secondaires liés à la prise d'un médicament sur un échantillon de personnes en bonne santé.

Parmi celles-ci, 25 % ont entre 18 et 24 ans, 50% ont entre 25 et 49 ans et 25% ont 50 ans et plus. 9% des personnes qui ont entre 18 et 24 ans et 7 % des personnes qui ont entre 25 et 49 ans sont sujettes à des effets secondaires.

On choisit au hasard une personne ayant participé à ce test. On considère les événements :

A : « La personne a entre 18 et 24 ans » ; B : « La personne a entre 25 et 49 ans » ; C : « La personne a plus de 50 ans » et S : « La personne a des effets secondaires ».

1. Modéliser la situation à l'aide d'un arbre pondéré (on ne peut pas compléter toutes les probabilités)

2. Donner P_A(S).

3. Calculer P(A∩S). Interpréter.

4. On sait de plus que 17% des personnes de plus de 50 ans sont sujettes aux effets secondaires.

Calculer la probabilité que la personne choisie soit sujette aux effets secondaires.

5. On choisit une personne n'ayant pas connu d'effets secondaires.

Quelle est la probabilité qu'elle ait entre 18 et 24 ans ? Donner une valeur approchée au millième.

II.

Partie A

On considère la fonction définie sur par (x) 2(x 1)e^x 1.

1.

a. Calculer les limites de la fonction en et en + .

b. Calculer la dérivée de la fonction , puis dresser le tableau de variation de la fonction sur . Préciser la valeur de (0).

2.

a. Démontrer que l’équation (x) 0 admet exactement deux solutions dans .

b. On note la solution négative de l’équation (x) 0 et la solution positive de cette équation. À l’aide d’une calculatrice, donner la valeur de arrondie au centième. On ne demande pas de valeur approchée de .

Dans la suite, on considère les fonctions f et g définies pour tout réel x par : f(x) e^x et . g(x ) 1 e ^x. Les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthogonal du plan, notées respectivement Cf

et Cg , sont fournies ci-dessous.

(2)

Partie B

Ces courbes semblent admettre deux tangentes communes. Tracer au mieux ces tangentes sur la figure.

Partie C

Dans cette partie, on démontre l’existence de ces tangentes communes, que l’on a admise dans la partie B.

On note E le point de la courbe Cf d’abscisse et F le point de la courbe Cg d’abscisse – (où est le nombre réel défini dans la partie A).

1. Démontrer que la droite (EF) est tangente à la courbe C_f au point E.

2. Démontrer que (EF) est tangente à Cg au point F.

III.

1. Déterminer lim

x 3

sin(x 3) 3x 9

2.

Déterminer lim

x

e^x x² 2x 1

IV.

Soit la fonction définie sur l’intervalle [0 2 ] par f(x) 1 sin(2x) 2cos(x).

1. Montrer que la fonction f est périodique de période 2 .

2. Résoudre dans [0 2 ] l inéquation 2sin(x) 1 0 et l inéquation 2sin(x) 1 0.

3. Sachant que pour tout réel x, cos(2x) 1 2sin²(x), montrer que pour tout x de [0 2 ], f (x) 2(sin(x) 1)(2sin(x) 1)

4. Construire le tableau de variations de f sur [0 2 ]. En déduire, en justifiant par une phrase, le tableau de variations de f sur [0 4 ].

(3)

CORRECTION DU CONTROLE N°5 TS

I.

1. On peut construire l arbre ci-dessous :

2. D après l énoncé, P_A(S) 0,09.

3. P(A∩S) P(A) PA(S) 0,25 0,09 0,0225. La probabilité que la personne choisie ait entre 18 et 24 ans et présente des effets secondaires est 0,0225.

4. A,B et C forment une partition de . D’après la formule des probabilités totales, on a :

P(S) P(A) PA(S) P(B) PB(S) P(C) PC(S) 0,25 0,09 0,5 0,0 7 0,2 5 0,17 0,1.

La probabilité que la personne choisie soit sujette aux effets secondaires est 0,1.

5. P

S(A) P

(

^S ^A

)

P

( )

S

P(A) PA

( )

^S

P

( )

S

0,25 0,91 1 0,1

91

360 0,253. Si on choisit une personne n'ayant pas connu d'effets secondaires, la probabilité qu'elle ait entre 18 et 24 ans est 0,253.

II.

Partie A

On considère la fonction définie sur par (x) 2(x 1)e^x 1.

1.

a. lim

x

x 1 et lim

x

e^x donc lim

x

(x) . lim

x

(x 1) et lim

x

e^x 0 donc on a une FI.

Pour tout réel x, f(x) 2xe^x 2e^x 1.

D après le cours, lim

x

xe^x 0 et lim

x

e^x 0 donc lim

x

(x) 1.

b. est déri vable sur .

Pour tout réel x, (x) 2e^x 2(x 1)e^x e^x(2 2x 2) 2xe^x. On peut donc construire le tableau suivant :

x 0 + 2x

e^x car la fonction exp est strictement positive sur

'(x)

(x) 1 + 1

(0) 2(0 1)e⁰ 1 1 2.

a. Sur ] 0], la fonction est continue et strictement décroissante, lim

x

(x) 1, (0) 1 et 0  ] 1 1[ donc l équation (x) 0 admet une unique solution dans ] 0].

Sur ]0 [, la fonction est continue et strictement croissante, (0) 1, lim

x

(x) et 0  ] 1 [ donc l équation (x) 0 admet une unique solution dans ]0 [.

Ainsi, l’équation (x) 0 admet exactement deux solutions dans . b. ( 1,679) 0 et ( 1,678) 0 donc 1,68.

A

0,25

S 0,09

S 0,91

0,5 B

S 0,07

S 0,93

C 0,25

S

S.

(4)

Partie B

On peut tracer les droites : Partie C

1. E( f( )) et F( g( )), c'est -à-di re E

(

^e

)

^{et F}

(

¹ ^e

)

La tangent e T à Cf au point E a pour équation y f ( )(x ) f( ), c'est-à-dire y e

Par construction, E est un point de T.

Montrons que F est aussi un point de T : Pour x xF : y e ( 2 ) e

Or ( ) 0, c'est-à-dire 2 e 2e 1 0, ou encore 2 e 2e 1

Ainsi, pour x x_F : y 2e 1 e e 1 yF. F est donc un point de T.

T est donc la droite (EF) : la droite (EF) est tangente à la courbe Cf au point E. 2. De même, (EF) est tangente à Cg au point F.

III.

1. lim

x 3

sin(x 3) sin(0) 0 et lim

x 3

(3x 9) 0. On a donc une forme indéterminée.

Pour tout réel x, ^sin(x ³⁾ 3x 9

1 3

sin(x 3) x 3 . On pose h x 3.

lim

x 3

h 0 et lim

h 0

sin(h)

h 1 donc lim

x 3

sin(x 3)

x 3 1 et donc lim

x 3

1 3

sin(x 3) x 3

1

3, c'est-à-dire lim

x 3

sin(x 3) 3x 9

1 3

2.

lim

x

e^x et lim

x

( x² 2x 1) lim

x

x² . On a donc une forme indéterminée

.

Pour tout réel x, e^x x² 2x 1 e^x



 1 ^x^²

e^x 2x

e^x 1 e^x lim

x

^e^x

x² = lim

x

2x

e^x lim

x

e^x donc lim

x 

 1 ^x^²

e^x 2x

e^x 1

e^x =1 et donc lim

x

e^x x² 2x 1 +

IV.

1. Soit x un réel.

f(x 2 ) 1 sin(2(x 2 )) 2 cos(x 2 ) 1 sin(x 4 ) 2cos(x 2 ) Les fonction sin et cos étant 2π-périodiques , on a

f(x 2 ) 1 sin(x) 2 cos(x) f(x). La fonction f est donc périodique de période 2 . 2. 2sin(x) 1 0  sin(x) 1

2 Dans [0 2 ], l ensemble des solutions est







 6

5 6 . 2sin(x) 1 0  sin(x) 1

2 Dans [0 2 ], l ensemble des solutions est







0 

6 



 5

6 2 3. f est dérivable sur [0 2 ].

Pour tout x de [0 2 ], f (x) 2cos(2x) 2sin(x) 2

(

^{1 2sin}²^(x⁾

)

^2sin(x⁾ ^{2 4sin}²^{(x) 2sin(}^x).

D autre part, 2(sin(x) 1)(2sin(x) 1) 4sin²(x) 4sin(x) 2sin(x) 2

2 4sin²(x) 2sin(x) f (x)

Ainsi, pour tout x de [0 2 ], f (x) 2(sin(x) 1)(2sin(x) 1)

4. On peut alors construire le tableau de variations de f sur [0 2 ] :

(5)

0

6

6 2

sin(x) 1 ssi x= dans [0;2 ] D après question 2 2 sin(x) 1 2sin(x) 1 f (x) f(x) 1 3 3 2 3

3 1 3 3 2 La fonction f est 2 -périodique donc sa courbe dans un repère

(

^O ⁱ ^j

)

est invariante par translation de vecteur 2 i. On a alors le tableau : x 0 6 5

6 2 13

6 17

6 4

f(x) 1 3 3 2 1 3 3 2 3

3 3 1 3 3

2 1 3 3 2