8novembre2018 T.Rey Statistiques-´Episode1

Statistiques - ´ Episode 1

T. Rey

lyc´ee Marlioz http://reymarlioz.free.fr

8 novembre 2018

Vocabulaire

Une ´etude porte sur l’´etude decaract`eresd’une population.

Le nombre d’individus de la population est l’effectif total.

Il existe des caract`eresquantitatifs (sur lesquels on peut effectuer des op´erations) et qualitatifs(les autres).

On peut regrouper les individus parclasses (regroupement par caract`eres proches).

Tableau d’effectifs

Les donn´ees d’une ´etude statistique sont g´en´eralement regroup´ees en tableaux d’effectifs :

Valeurxi x1 x2 . . . xp

Effectifni n1 n2 . . . np

Ici la s´erie comporte N=

i=p

X

i=1

n_i =n₁+· · ·+n_p individus.

Les valeurs du caract`ere ´etudi´e prennent p valeurs distinctes : x1, . . .,x_p.

Tableau de fr´ equences

Lafr´equenced’un caract`ere (ou d’une classe) est le quotient de l’effectif par l’effectif total :

f_i = n_i N

On peut aussi pr´esenter les fr´equences en tableau : Valeurxi x1 x2 . . . xp Total Effectifni n1 n2 . . . np N Fr´equence fi n1

N n2

N . . . ⁿ_N^p 1 La somme des fr´equence vaut 1.

Effectifs et Fr´ equences Cumul´ es Croissants

Exemple

Valeurs 3 5 8 10

Effectifs 11 8 12 9

ECC 11 19 31 40

Fr´equences 27,5% 20% 30% 22,5%

FCC 27,5% 47,5% 77,5% 100%

Dans notre population,31 individus ont une valeur inf´erieure ou

´egale`a 8.

Dans la population,47,5%des individus ont une valeurinf´erieure ou ´egale`a5.

Graphique statistique

Il existe une multitudes de graphiques statistiques.

Quelques-uns sont propos´es en exemples sur les diapos suivantes. . .

Nuage de points

Lorsqu’une s´erie comporte (au moins) deux caract`eres quantitatifs :

●

●

●

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●

●

●

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●

●

●

●

●

●

●

●

●

12.0 12.5 13.0 13.5 14.0 14.5 15.0

020406080100

Moyenne des températures d'été

Hauteur maximale

●

Température moyenne et hauteur max. de neige

Diagramme en bˆ atons

Effectifs (en dizaine) des ´el`eves de Terminale selon la s´erie du bac.

Effectif

3 6 9 12

L ES S Autres

Courbe d’effectifs ou d’ECC

ECC des notes au dernier contrˆole

Notes

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Effectifscumuléscroissants

5 10 15 20 25 30

Diagramme circulaire

Histogramme

Taille des ´el`eves du lyc´ee.

150 160 200

200

taille (cm) Les effectifs sont proportionnels auxairesdes rectangles.

Moyenne

D´efinition

Lamoyenne d’une s´erie statistique est le quotient de la somme de toutes les valeurs du caract`ere par l’effectif total :

x = x1+x2+· · ·+xn

n

Moyenne pond´ er´ ee

Lorsque la s´erie est donn´ee par un tableau d’effectifs, on calcule une moyennepond´er´ee par ces effectifs.

Valeurxi x1 x2 . . . xp

Effectifni n1 n2 . . . np

x = n₁×x₁+n₂×x₂+· · ·+n_p×x_p n1+n2+· · ·+np

On ´ecrit plus simplement :

x=

p

X

i=1

ni ×xi

N

Propri´ et´ e

Propri´et´e

On peut aussi calculer la moyenne `a partir du tableau des fr´equences :

x =f1x1+f2x2+· · ·+fpxp=

p

X

i=1

fixi

Exemple

Dans un clapier, si 15% des lapins mesurent 20 cm, 40% mesurent 25 cm et les 45% autres mesurent 30 cm, calculer la taille moyenne des lapins.

x= 0,15×20 + 0,40×25 + 0,45×30 = 26,5cm

Le cas des regroupement par classes

Si les valeurs du caract`ere ´etudi´e sont regroup´ees par classes : Classe [3; 5[ [5; 10[ [10; 20[ [20; 30]

Centre 4 7,5 15 25

Effectifn_i 12 10 8 5

On vacalculerle centrede chaque classe et remplacer chaque valeur de la classe par ce centre. On obtient uneestimationde la moyenne :

x ≈ 12×4 + 10×7,5 + 8×15 + 5×25

35 ≈10,5

M´ ediane

D´efinition

Dans une s´erie statistique de type quantitatif, la m´ediane est une valeur du caract`ere qui s´epare la population en deux groupes de mˆeme effectif : ceux dont la valeur du caract`ere est inf´erieure `a la m´ediane et ceux dont la valeur du caract`ere est sup´erieure `a la m´ediane.

M´ ethode de d´ etermination de la m´ ediane

Deux cas sont possibles :

s’il y a un nombre impair d’observations alors la m´ediane est la valeur du milieulorsqu’elles sont rang´ees par ordre croissant.

s’il y a un nombre pair d’observations alors on convientde prendre comme m´ediane la moyenne des deux valeurs du caract`eredu milieulorsqu’elles sont rang´ees par ordre croissant.

Exemple

S´erie 1 : 3, 5, 5, 6, 7,8, 8, 10, 15, 100, 190 la m´ediane est 8.

S´erie 2 : 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 15, 100, 190 la m´ediane est ⁸⁺⁹₂ = 8,5.

Quartiles

Lesquartiles permettent de partager la population en quatre groupes d’effectifs comparables.

D´efinition

Les premier et troisi`emequartiles(Q1 et Q3) d’une s´erie statistique sont d´efinis par les r`egles ci-dessous :

Q1 est la plus petite valeur de la s´erie telle que au moins 25 % des valeurs de la s´erie soient inf´erieures ou ´egales `a Q<sub>1</sub>; Q<sub>3</sub> est la plus petite valeur de la s´erie telle que au moins 75 % des valeurs de la s´erie soient inf´erieures ou ´egales `a Q₃;

M´ ethode de d´ etermination des quartiles Q

et Q

Exemple

On donne la s´erie suivante :

1,1,2,2,3,5,8,8,7,9,11,15,16,17,17,18,21 On an= 17.

On calcule ⁿ₄ = ¹⁷₄ = 4,25. Pour queau moins 25% de la population ait une valeur inf´erieure ou ´egale`a Q₁, on prend Q₁ =x₅ (la 5^evaleur) : Q₁ =3.

On calcule ³ⁿ₄ = ^3×17₄ = 12,75. Pour que au moins 75% de la population ait une valeur inf´erieure ou ´egale`a Q3, on prend Q3 =x13 (la 13^evaleur) :Q3=16.

Ecart inter-quartile ´

D´efinition

L’´ecart interquartile est la diff´erence entre le 3^e et le 1^erquartile.

Au moins 50% des observations ont une valeur du caract`ere comprise entreQ1 et Q3.

L’intervalle interquartile est l’intervalle Q1;Q3

.

Mode et ´ etendue

Il existe deux autres param`etres vus en classe mais moins

utiles:

Le mode ou valeur modaleest la (ou les) valeur(s) de la variable statistique qui est (sont) le plus souvent observ´ee(s).

L’´etendue d’une s´erie statistique de type quantitatif est la

diff´erence entre la plus grande et la plus petite valeur du caract`ere

´etudi´e.

Fin

Et voil`a ! Vous savez tout ou presque et vous ˆetes prˆet pour le prochain contrˆole.

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