Cours de mathématiques

Cours de mathématiques

Chapitre 8

Suites numériques

La taille des Dalton suit-elle une loi géométrique ou arithmétique ?

Aymar de Saint-Seine

Année scolaire 2011–2012

1.

Notions de suite

Définition 1 : suite

une suite réelle est une appliation de N (ou une partie de N) dans R.

u :

^N

−→

^R

n 7−→ u n

u 0

^ou

u p

^{est leterme initial de la suite suivant que lasuite ommene à}

0

^ou

p

^.

n

^{est l'indie de}

u n

^.

u n

^{est un terme de lasuite.}

Dénir une suite onsistedon à donnerle moyen de alulerses termes.

Pour ela onpeut envisager plusieurs as .

•

^{On peut donnerune formulepermettantde alulerdiretementl'imagede tout entier}

n

^{. Dans e as, on a une relation du type}

u n = f(n)

^{. On dit que la suite est dénie}

expliitementou dénie par une fontion.

•

^{On peut donner le moyen de aluler le terme}

u n

^{en fontion des termes préédents.}

Dans e as, la onnaissane du ou des premiers termes est indispensable. On dit que

la suite est dénie impliitementou dénie par réurene.

Exerie résolu 1 :

Soit

(u n ) n∈

^{N lasuite dénie par}

u : n 7−→ 2n + 1

^.

Calulerles inqpremiers termesde ette suite.

Solution :

u 0 = 2 × 0+1 = 1

^;

u 1 = 2 × 1+1 = 3

^;

u 2 = 2 × 2+1 = 5

^;

u 3 = 2 × 3+1 = 7

^;

u ₄ = 2 × 4 + 1 = 9

^.

Exerie résolu 2 :

Soit

(v n ) n∈

^{N la suite déniepar}

v 0 = 1

^et

v n+1 = v _n ² + 1

^.

Calulerles quatres premierstermes de ette suite.

Solution :

v 1 = v ₀ ² + 1 = 1 ² + 1 = 2

^;

v 2 = v ₁ ² + 1 = 2 ² + 1 = 5

^;

v 3 = 5 ² + 1 = 26

^;

v 4 = 26 ² + 1 = 677

^.

Remarque : L'inonvénient d'une dénition par réurene est que des termes "éloignés"

du début de la suite sont diiles d'aès : pour aluler

u 100

^{il faut, a priori, aluler}

tous les termes préédents, jusqu'à

u 99

^!!

2.

Sens de variation

2.1.

Généralités

Définition 2 : Sens de variation d’une suite

Dire qu'une suite

(u n ) n ∈

N

est roissante signie quequel que soit l'entier

n

^{, on a}

u n+1 > u n

^.

Dire qu'une suite

(u n ) n∈

^{N est}déroissante signieque quelque soit l'entier

n

^{, on}

a

u n+1 6 u n

^.

Dire qu'une suite

(u n ) n∈

^{N est onstante signie que quel que soit l'entier}

n

^{, on a}

u _n+1 = u n

^.

Dire qu'une suite

(u n ) n ∈

N

est monotone signie qu'elle est soit roissante soit

déroissante.

Remarques :

1

^{. Unesuiteestroissante(resp.}déroissante,resp.onstante)àpartird'unertain rang siil existe unentier naturel

n 0

^{telquepour tout entier naturel}

n > n 0

^,onaie

u _n+1 > u n

^(resp.

u _n+1 6 u n

^{, resp}

u _n+1 = u n

^).

2

^{. Une suite est stritement roissante (resp.} déroissante) si pour tout entier na- turel

n

^{,on a}

u n+1 > u n

^(resp.

u n+1 < u n

^).

3

^{. Il existe des suitesquine sontni}roissantes,nidéroissantes, nimonotones.Exem- ple :

( − 1) ⁿ

^.

2.2. Méthodes

Méthode 1 : Signe de la différence

Pour étudier les variations d’une suite (u n ) n∈

^N

on cherchera à déterminer le signe de la différence u _n+1 − u _n .

Exerie résolu 3 :

Soit

(V n ) _n∈

N

dénie par

V n = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾ ₂

^{. Etudier lesens de variationde ette suite.}

Solution : On alule

V n+1 − V n = ^(n+1)(n+2) ₂ − ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾ ₂ = ^(n+1)(n+2 ₂ ^{− n)} = ^(n+1)(2) ₂ = n + 1 > 0

^.

La suite

(V n ) _{n ∈}

N

est don stritementroissante.

Méthode 2 : suite à termes positifs

Une suite (u _n ) _n ∈

N

à termes positifs non nuls est croissante (resp. décroissante) si et seulement si pour tout entier naturel n, on a

u _n+1 u _n > 1 (resp. ^{u n+1} _u

n 6 1).

Exerie résolu 4 :

Soit

(W n ) _n∈

N

∗

déniepar

W n = _n ¹

^{.Etudier le sens de variationde ette suite.}

Solution : Lestermesde lasuite sonttous stritementpositifs.On peut don aluler

le rapport

W n+1

W n =

1 n+1

1 n

= _n+1 ⁿ = ⁿ⁺¹ _n+1 ^{− 1} = 1 − _n+1 ¹ < 1

^{. La suite}

(W n ) _n∈

N

∗

est don

stritementdéroissante.

Méthode 3 : Fonction et sens de variation Soit f une fonction de

^R

sur

^R

.

• Si f est strictement croissante sur [0; + ∞ [ alors la suite (u n ) n∈

^N

définie par u n = f (n) est strictement croissante.

• Si f est strictement décroissante sur [0; + ∞ [ alors la suite (u n ) n∈

^N

définie par u _n = f (n) est strictement décroissante.

Exemple : Celafournit une autre manièrede répondreà l'exeriepréédent :la fontion

f (x) = 1

x

^étant déroissante, la suite

(W n ) _n∈

N

∗

dénie par

W n = ¹ _n

^est déroissante.

2.3.

Majoration, minoration d'une suite

Définition 3 : majorant-minorant-bornée

Une suite est dite majorée s'ilexiste un réel

M

^{tel que pour tout entiernaturel}

n

^,

on a

u n 6 M

^.

Le réel

M

^{est appelé majorant.}

Une suite est dite minorée s'il existe un réel

m

^{tel que pour tout entier naturel}

n

^,

on a

m 6 u n

^.

Le réel

m

^{est appelé minorant.}

Une suite est dite bornée sielle est à la fois majorée et minorée.

Remarques :

•

^{une suite} déroissanteest majorée par son premier terme.

•

^{une suite roissante est minorée par son premier terme.}

Exerie résolu 5 :

Soit

(u n ) n ∈

N

déniepar

u n = _2n+1 ⁿ

^{. Démontrer que ette suite est bornée.}

Solution : Tout d'abord, onobserve que

u n > 0

^{, lasuite est donminorée par}

0

^.

Pour démontrer que la suite est majorée, érivons

u n = _2n+1 ⁿ = ⁿ⁺ _2n+1 ^{1 2 − 1 2} = ^{1 2 (2n+1)} _2n+1 ^{− 1 2} =

1

2 − _2n+1 ^{1 2}

or laquantité

1 2

2n+1

^{est supérieure à}

0

^don

u n < ¹ ₂

^.

Conlusion : pour tout entier naturel

n

^{, on a}

0 < u n < ¹ ₂

^.

3.

Limite de suite

3.1. Généralités

Définition 4 : Suite convergente

Une suite est dite onvergente si elle admet une limite nie lorsque

n

^{tend vers}

l'inni, 'està dire s'il existeun nombre

L

^{tel que}

n → lim + ∞ u n = L.

Une suite non onvergente est dite divergente.

Remarque : Il existe deux types de divergene :

•

^{soitles suites ontune limitequi est}

+ ∞

^ou

−∞

^{(exemple :}

(u n ) n∈

^N

= n

^).

•

^{soitles suites n'ont pas de limite (exemple:}

(u n ) n ∈

N

= ( − 1) ⁿ

^).

Théorème 1 : Limite de suite monotone

Toute suite roissante et majorée onverge.

Toute suite déroissanteet minorée onverge.

Les suites étant des fontions dénies de N dans R, les propriétés sur les

limites onnues pour les fontions sont aussi valables pour les suites.

Théorème 2 : Limites des suites de référence

Les suites de termes généraux

1 n

^,

1

n ²

^,

· · ·

^et

1

√ n

^{onvergent vers 0.}

3.2.

Opérations sur les limites

Théorème 3 : Suites et relation d’ordre

Si

(u n ) n∈

^{N et}

(v n ) n∈

^{N sont deux suites telles qu'à partir d'un ertain rang}

u n 6 v n

et si

lim

n→ + ∞ u n = l

^et

lim

n→ + ∞ u n = l ^′

^{, alors}

l 6 l ^′

^.

Si

(u n ) n∈

^{N et}

(v n ) n∈

^{N sont deux suites telles qu'à partir d'un ertain rang}

u n 6 v n

et si

lim

n → + ∞ u n = + ∞

^alors

lim

n → + ∞ v n = + ∞

^.

Si

(u n ) n∈

^N,

(v n ) n∈

^{N et}

(w n ) n∈

^{N sont trois suites telles qu'à partir d'unertain rang}

u n 6 w n 6 v n

^{et si}

lim

n→ + ∞ u n = lim

n→ + ∞ v n = l

^{, alors}

lim

n→ + ∞ w n = l

^.

Ce dernier point est souvent appeléle théorème des gendarmes.

Théorème 4 : Opérations sur les limites

Soient

(u n ) n∈

^{N et}

(v n ) n∈

^{N deux suites onvergeant} respetivement vers

l

^et

l ^′

^{. Soit}

k ∈

^R.

•

^{La suite}

(ku n )

^{onverge vers}

kl

^.

•

^{La suite}

(u n + v n )

^{onverge vers}

l + l ^′

^.

•

^{La suite}

(u n × v n )

^{onverge vers}

ll ^′

^.

•

^{Si en plus}

l ^′ 6 = 0

^{et si à partir d'un ertain rang les}

v n

^{ne sont pas nuls, alors la}

suite

u n

v n

onverge vers

l l ^′

^.

4. Suites usuelles

4.1.

Suites arithmétiques

Définition 5 : suite arithmétique

Une suite

(u n ) n∈

^{N est dite} arithmétique de raison

r

s'il existe un réel

r

^{tel que}

pour tout entier

n

^:

u n+1 = u n + r.

Méthode : Prouver qu’une suite est arithmétique

Pour prouver qu’une suite est arithmétique, il faut calculer la différence u _n+1 − u _n et prouver que celle ci est constante.

Exemple :Lestarifsd'unvidéolubsontlessuivants:unabonnementà15

e

puishaque lmà 3,50

e

.

On onsidère la suite de

(P n ) _n∈

N

dénie par :

P n

^{est le prix payé pour la loation du}

n-ième lm.

Ononstatequepourtout

n

^,

P _n+1 − P n = 3, 5

^.Lasuite

P n

^{estdonunesuite}arithmétique de raison

3, 5

^{etde premierterme}

P 0 = 15

^.

Remarque : On aaussi

P n = 3, 5n + 15

^{, e qui dénie lasuite de façonexpliite.}

Théorème 5 : Forme explicite d’une suite arithmétique

Soit

(u n ) n ∈

N

une suite arithmétique de premier terme

u 0

^{et de raison}

r

^{. Pour tout}

entier naturel

n

^{, on a :}

u n = u ₀ + n × r.

u n = u p + (n − p)r.

Théorème 6 : Sens de variation d’une suite arithmétique

Une suite arithmétique de raison

r

^{est :}

•

^{roissante si, et seulement si,}

r

^{est positif,}

•

déroissante si, et seulement si,

r

^{est négatif,}

•

^{onstante si, et seulement si,}

r

^{est nul.}

Démonstration :La suite

(u _n ) _n ∈

N

estunesuite arithmétique,onadon

u _n+1 − u _n = r

^quiest

du signe de

r

^.

Théorème 7 : Somme des premiers termes

Soit

(u n ) n∈

^{N une suite} arithmétique de premier terme

u ₀

^{et de raison}

r

^{. On a :}

Somme des

n

^{premiers entiers naturels :}

S n = 1 + 2 + 3 + · · · + n = n(n + 1) 2 .

Somme de

n

^{termes onséutifs d'une suite} arithmétique :

S =

^{nombre de termes}

×

^{premier terme}

+

^{dernier terme}

2 .

Démonstration : Onadditionnemembreà membre lesdeux égalités suivantes:

1 + 2 + 3 +

^...

+ n − 2 + n − 1 + n = S _n

n + n − 1 + n − 2 +

^...

+ 3 + 2 + 1 = S _n

(n + 1) + (n + 1) + (n + 1) +

^...

+ (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) = 2S n

Autrement dit,

2S n = n × (n + 1)

^etdon

S n = n(n + 1)

2

^.

4.2.

Suites géométriques

Définition 6 : Suites géométriques

Une suite

(u n ) n∈

^{N est dite géométrique de raison q lorsqu'il existe un réel}

q

^tel

que pour tout entier

n

^:

u n+1 = q × u n

Méthode : Prouver qu’une suite est géométrique

Pour prouver qu’une suite est géométrique, il faut calculer le rapport u _n+1

u _n et prouver que celui-ci est constant.

Exemple : Sur un éhiquier, on dispose un grain de blé sur la première ase, 2 sur la

seonde, 4sur latroisièmeet ainsi de suite en doublantà haque fois la mise.

On onsidère lasuite de

(G n ) _{n ∈}

N

∗

déniepar

G n

^{lenombre de grain à lan-ième ase.}

On onstate que pour tout

n

^,

G n+1 = 2 × G n

^{la suite}

G n

^{est don une suite} géométrique de raison2 de premierterme

G 1 = 1

^.

Remarque : On aaussi

G n = 2 ⁿ

^{e qui donnela formeexpliite de la suite.}

Théorème 8 : Forme explicite d’une suite géométrique

Soit

(u n ) n∈

^{N une suite} géométrique de premier terme

u 0

^{et de raison}

q

^{. On a}

•

^{pour tout}

n ∈

^{N, on a}

u n = u 0 × q ⁿ .

•

^{pour tous}

n, p ∈

^{N, on a}

u n = u p × q ^n−p

^.

Théorème 9 : sens de variation d’une suite géométrique

soit

(u n ) n∈

^{N une suite} géométrique à termes stritement positifs.

•

^Si

0 < q < 1

^{alors la suite est stritement} déroissante.

•

^Si

q = 1

^{alors la suite est} stationnaire.

•

^Si

q > 1

^{alors la suite est stritement roissante.}

Théorème 10 : Limite des suites géométriques

Soit

(u n ) n∈

^{N une suite} géométrique de raison

q

^{et de premier terme}

u 0

^.

•

^si

q < − 1

^{alors lasuite n'a pas de limite. Elle osille entre}

+ ∞

^et

−∞

^.

•

^si

q = − 1

^{, la suite n'a pas de limite. Elleosille entre}

u 0

^et

− u 0

^.

•

^si

− 1 < q < 1

^{alors la suite onverge vers 0.}

•

^Si

q = 1

^{, lasuite est onstante de limite}

u ₀

^.

•

^si

q > 1

^{alors la suite diverge vers}

+ ∞

^.

Théorème 11 : Somme des premiers termes

Soit

(u n ) n∈

^{N une suite} géométrique de premier terme

u ₀

^{et de raison}

q 6 = 1

^(sinon

la suite est onstante). Pour tout entier naturel

n

^{, on a :}

u ₀ + u ₁ + · · · + u n = u ₀ 1 − q ⁿ⁺¹

1 − q (q 6 = 1).

Théorème 12 :

Une suite géométrique non-nulle de raison

q

^{est bornée si, et seulement si,}

| q | < 1

^.

Démonstration : Si

| q | < 1

^alors

− 1 < q ⁿ < 1

^{et par} multipliation par

u ₀

^{(peu importe le}

signe de

u ₀

^arl'enadrement est symétrique),onobtient

− u ₀ < u _n < u ₀

^.

4.3.

Suite réurente linéaire d'ordre 1

Définition 7 :

La suite

(u n ) n∈

^{N est dénie par une relation de réurrene linéaire d'ordre 1,}

si pour tout

n ∈

^{N, on a}

u _n+1 = au n + b

^{, ave}

a

^et

b

^{deux réels.}

Ces suites sont aussi dites arithmétio-géométriques.

Remarque : Cas partiuliers :

•

^Si

b = 0

^{,alors on a}

u n+1 = au n

^{. C'est une suite} géométrique de raison

a

^.

•

^Si

a = 1

^{, alors ona}

u n+1 = u n + b

^{. C'estune suite} arithmétiquede raison

b

^.

Théorème 13 : Expression explicite d’une suite arithmético-géométrique

Soit

(u n ) n∈

^{N une suite réurente linéaire d'ordre 1. Si}

a 6 = 1

^alors

u n = a ⁿ

u 0 − b 1 − a

+ b

1 − a .

Démonstration : Supossonsque lalimitedela suite

(u n ) n∈

^{N existe et notonsla}

l

^.

Comme

u _n+1 = au _n + b

^{,onaparpassageàlalimite}

l = al +b

^{d'oùsila limiteexiste,ellevaut}

l = b

1 − a

^ave néessairement

a 6 = 1

^.(Si

a = 1

^,lasuite

(u n ) n∈

^{N est}arithmétiqueetdiverge).

Ononsidère alors lasuite

(v _n ) _n∈

N

dénie par

v _n = u _n − l = u _n − b 1 − a

^.

Cette nouvelle suite estgéométrique. Eneet :

v _n+1 = u _n+1 − b

1 − a = au _n + b − b 1 − a = a

v _n + b 1 − a

+ b − b

1 − a = av _n

^.

Onen déduit que

v n = a ⁿ v ₀ = a ⁿ

u ₀ − b 1 − a

etpar suite :

u _n = a ⁿ

u ₀ − b 1 − a

+ b

1 − a .

Cette démonstrationest trèssouvent utiliséedansles exeries.

Théorème 14 : Convergence

De la forme expliite d'une suite réurente linéaire d'ordre 1, on déduit:

•

^Si

a = 1

^{, alors lasuite est} arithmétique et diverge .

•

^Si

a 6 = 1

^et

u 0 = b

1 − a

^{, alors lasuite est onstante (et don onverge).}

•

^Si

a 6 = 1

^et

u ₀ 6 = b

1 − a

^{, alors la suite onverge vers}

b

1 − a

^si

| a | < 1

^{et elle}

diverge si

| a | > 1

^.

4.4. Suites réurrentes linéaires d'ordre 2

Définition 8 :

La suite

(u n ) n∈

^{N est dénie par une relation de réurrene linéaire d'ordre 2,}

si pour tout

n ∈

^{N, on a}

u n+2 = Au n+1 + Bu n

^{, ave}

A

^et

B

^{deux réelsnon nuls.}

Cette relation peut aussi s'érire sous la forme

au n+2 + bu n+1 + cu n = 0

^.

Définition 9 : équation caractéristique

On appelle équation aratéristiquede ette suite l'équation

ar ² + br + c = 0

^.

On note

∆

^{, le} disriminant qui a pour valeur

∆ = b ² − 4ac

^.

Théorème 15 :

•

^Si

∆ > 0

^{alors l'équation} aratéristique admet deux solutions réelles distintes

r 1

^et

r 2

^et

u n = C 1 r ₁ ⁿ + C 2 r ₂ ⁿ

^{, où}

C 1

^et

C 2

^{sont deuxréels;}

•

^Si

∆ = 0

^{, alors l'équation} aratéristique admet une solution double

r

^et

u n = r ⁿ (C 1 n + C 2 )

^{, où}

C 1

^et

C 2

^{sont deux réels;}

•

^Si

∆ < 0

^{, alors l'équation} aratéristique admet deux solutions omplexes on- jugués

r

^ei

^θ

^et

r

^e

⁻

ⁱ

^θ

^et

u n = r ⁿ [C 1 cos(nθ) + C 2 sin(nθ)]

^{, où}

C 1

^et

C 2

^{sont deux}

réels.

Les réels

C 1

^et

C 2

^{sont à détermineren fontion des valeurs initiales.}

Remarque : L'analogie ave les équations diérentielles de deuxième ordre est plus qu'à

remarquer.

Démonstration : ladémonstration omplètede ethéorème néessitedesnotions quenousne

onnaissons pasenore.Onpeutnéammoins en omprendreles bases.

Onherhe dessolutions sous laforme

r ⁿ

^.

Siune tellesolution existealors nééssairement, ona

r ⁿ⁺² + Ar ⁿ⁺¹ + Br ⁿ = 0

^{d'oùparfatori-}

sation

r ⁿ (r ² + Ar + B) = 0

^.

Pour avoir un produit nul, ilfaut avoir

r = 0

^ou

r ² + Ar + B = 0

^.

Ona repéréun typede solution. Le reste deladémonstration onsiste àmontrerque toutesles

solutions sont formées àpartirde elle-i.

5.

Approximation des zéros d'une fontion

Définition 10 : zéros d’une fonction

Les zéros (ou raine) d'une fontion sont les valeurs

α

^{telles que}

f(α) = 0

^.

Il n'est pas toujours possible de trouverleur valeur exate. Lebut de ettesetion est de

présenter des suites qui onvergent vers es nombres.

5.1. Méthode de Newton

En analyse numérique, la méthode de Newton, ou méthode de Newton-Raphson, est un

algorithme eae pour trouver des approximations d'un zéro (ou raine)d'une fontion

d'une variableréelle àvaleurs réelles.L'algorithmeonsiste àlinéariserune fontion

f

^en

un pointetde prendre lepointd'annulation de ette linéarisationommeapproximation

du zéro reherhé. On réitèreette proédure en l'approximationobtenue.

Autrementdit,partantd'unevaleurapproximatived'unesolutionde l'équation

f (x) = 0

^,

on approxime la fontion par sa tangente en e point. Cette tangente est une fontion

ane dont on sait trouver l'unique zéro. Ce zéro de la tangente sera généralement plus

prohe du zéro de la fontion. En réitérant ette opération,on améliore l'approximation

de lasolution.

La méthode de Newton ne fontionne pas toujours. Il existe des onditions

qui doivent être vériées mais l'étude de es onditions ne font pas partie du

programme.

Exemple : Résolutiond'une équation par la méthode de Newton.

On souhaiteapproximer lasolutionde l'équation

x ³ − x − 1 = 0

^.

Enpartantde

x 0 = 2

^,onobtient

y x 0 = 11x − 17

^{pour l'équationde latangenteen}

2

^,d'où

x 1 = 17

11

^{, puis}

y x 1 = 746

121 x − 11157

1331

^d'où

x 2 = 1157

8206 ≈ 0, 14099

^{et ainsi de suite.}

1 x 2 x 1 x 0

-1 0 1 2 3 4

B 1

B

B ₂

Plus formellement:

1

^{. Une absisse}

x n

^{étant donnée, on herhe l'équation de la tangente à la ourbe en}

e point.Elle admetpour équation

y = f ^′ (x n )(x − x n ) + f(x n )

^.

2

^{. On herhe}

x n+1

^quiest l'intersetion de ettetangenteave l'axedes absisses. On

résout alors

f ^′ (x n )(x n+1 − x n ) + f (x n ) = 0

^{, e qui donne}

x n+1 = − f (x n ) f ^′ (x n ) + x n

^.

3

^{. On réitèreleproédé. Ononstruit alorsunesuite}

(x n )

^{quionverge en généralvers}

la solution.

Théorème 16 : Méthode de Newton

En onlusion, on "résout"

f (x) = 0

^{en formantla suite}







x 0 =

approximation de départ

x n+1 = x n − f (x n ) f ^′ (x n ) .

L'algorithme assoiéà ette méthode est très ourt :

Programme Dihotomie

Variables

a

^,

y

^{,préision: réels}

Funtion

g

^{(x:réel) : réel}

g(x) ← x − f(x)

f ^′ (x)

End

début

lire

a

^{, préision}

While (

| g(a) − a | >

^{préision) do}

y ← g(a)

^;

a ← y

done

Aher

a

n

Algorithm1: Algorithmede la méthode de Newton

5.2. Méthode des séantes

La méthode des séantesonsiste à remplaer

f

^,entre

a

^et

b

^{, par sa orde}

(AB )

^{. On}

prend alors le zéro de ette orde ommeapproximationde lasolution.

Onréitèreleproédéentre

a

^(ou

b

^)etl'approximationobtenuejusqu'àobtenirlapréision voulue.

La méthode des séantes ne fontionne pas toujours. Il existe des onditions

qui doivent être vériées mais l'étude de es onditions ne font pas partie du

programme.

Exemple : Résolutiond'une équation par la méthode des séantes.

On onsidère l'équation

x ³ − 2x − 2 = 0

^{, pour laquelle onherhe une} approximation de la solution entre

x 0 = 0

^et

2

^{. On note}

A

^{le point xe de oordonnées}

A(2; f (2))

^et

M n

l'autre point (variable)de laorde.

Laorde

(AM 0 )

^{apouréquation}

y = 2 − ( − 2)

2 − 0 x − 2 = 2x − 2

^{.Elleoupel'axedesabsisses}

au point

x 1 = 1

^.

Laorde

(AM 1 )

^{apouréquation}

y = 2 − ( − 3)

1 − 0 x − 8 = 5x − 8

^{.Elleoupel'axedesabsisses}

au point

x 2 = 8

5 = 1, 6

^{...et ainsi de suite ...}

Plus formellement:

1

^{. On trae la droite passant par}

A(x A ; y A )

^et

M n (x n ; f (x n ))

^{. Cette droite a pour}

équation

y = y A − f (x n ) x A − x n

x + x A f (x n ) − y A x n

x A − x n

.

2

^{. On herhe}

x n+1

^{qui est l'absisse du point} d'intersetion de

(Ox)

^et

(AM n )

^{. Pour}

ela, on résoutl'équation

0 = y A − f(x n ) x A − x n

x _n+1 + x A f (x n ) − y A x n

x A − x n

d'où

x n+1 = −

x _A f (x n ) −y _A x n

x A −x n

y A − f (x n ) x A − x n

= x A f(x n ) − y A x n

f(x n ) − y A

.

3

^{. On réitèreleproédé. Ononstruit alorsunesuite}

(x n )

^{quionverge en généralvers}

la solution.

1 2

− 1

− 2

− 3

1 2

− 1

x 0 x 1 x 2

A

M 0

M 1

M 2

Théorème 17 : Méthode des sécantes

En onlusion, on "résout"

f (x) = 0

^{en formantla suite}







x 0 =

approximation de départ

x n+1 = x A f(x n ) − y A x n

f(x n ) − y A

.

6. Exeries

6.1.

Généralités sur les suites

8.1

^{Soit quatre suites}

(u n ) _n∈

N

,

(v n ) _n∈

N

,

(w n ) _n∈

N

et

(x n ) _n∈

N

respetivement dénies

par

u n = 7

8 n ² ; x n

^{qui vaut la}

n

^edéimalede

22

7 ;

v 0 = 1

v n+1 = 3v n + 5 ;

w 0 = 1

^et

w 1 = 2 w n+2 = 2w n+1 − 3w n

On demande de aluler :

1

^{. pour haune des quatre suites, ses quatre premiers termes;}

2

^.

u 10+3

^,

u 10 + 3

^,

u 11 ²

^,

u ² ₁₁

^,

w x 3

^;

3

^.

x 16

^et

x 100

^.

8.2

^{Étudier lesens de variation etétudier lalimite, sielle existe, de haune des suites}

suivantes :

1

^.

u n = 2 − 3n

^;

2

^.

u n = (1, 3) ⁿ

^;

3

^.

u n = (0, 2) ⁿ

^;

4

^.

u n = − 1 n + 1

^;

5

^.

u n = 2 − 1

n ²

^;

6

^.

u n = 3n + 4 n + 1

^.

8.3

^{Soit la suite}

(u n ) n∈

^{N dénie par}

u n = 4n − 5 3n + 1

^.

1

^{. Montrer quela suite}

(u n ) n∈

^{N est roissante.}

2

^{. Caluler}

u n − 4

3

^{. En déduireque lasuite est bornée.}

8.4

^{Soit la suite}

(u n ) n∈

^{N telle que}

u n = 1 n!

^.

1

^{. Calulerles sept premierstermes. On donnera les valeurs approhées à}

10 ^{− 3}

^près.

2

^{. Démontrer que lasuite est} déroissante.

8.5

^{Soit la suite}

(u n ) n∈

^{N dénie par}

u n = 3n + 1 n + 2

^.

1

^{. Etudier lesens de variation de la fontiondénie sur}

[0; + ∞ [

^{, par}

f (x) = 3x + 1 x + 2 . 2

^{. En déduirela monotoniede lasuite}

(u n ) n∈

^N.

3

^{. Déterminer deux réels}

a

^et

b

^{tels que :}

u n = a + b n + 2 . 4

^{. Démontrer que pour tout}

n ∈

^N

^∗

^{,on a}

3 − 5

n 6 u n 6 3.

5

^{. Déduire que lasuite}

(u n ) n∈

^{N onverge vers un nombre que l'on} déterminera.

8.6

^Soit

(u n ) n∈

^{N lasuite dénie pour tout entier naturel}

n

^par

u n = 2n + 6 n + 1

^.

1

^{. Caluler}

u 0

^,

u 1

^et

u 2

^.

2

^{. Déterminer deux nombres réels}

a

^et

b

^{tels que pour tout entier naturel}

n

^,

u n = a + b

n + 1 .

3

^{. Montrer quepour tout nombre entier naturelnon nul}

n

^,

2 6 u n 6 2 + 4 n . 4

^{. En déduireque lasuite}

(u n ) n∈

^{N est onvergente etdéterminer sa limite.}

5

^{. Soit}

f

^{lafontion dénie sur}

]0; + ∞ [

^par

f (x) = 2x + 6

x + 1

^.

a

^{. Déterminer}

lim

x7→ + ∞ f(x)

^.

b

^{. Retrouver alors lalimite de}

(u n ) n∈

^N.

6

^{. Montrer quela suite}

(u n ) n∈

^{N est monotone :}

a

^{. en étudiant lesigne de}

u _n+1 − u n

^;

b

^{. en déduisant lesens de variation de}

u n

^{de elui de}

f

^.

6.2.

Suites aritmétiques, géométriques

8.7

^Soit

(x n )

^{la suite} arithmétique de premierterme

x 0 = 9

^{et de raison}

5

^.

1

^{. Donner} l'expression de

x n

^{en fontionde}

n

^.

2

^{. Quelle est la limitede}

(x n )

^?

3

^{. Caluler}

S 25 =

25

X

k=0

x k

^,

S 12 =

12

X

k=0

x k

^puis

25

X

k=13

x k

^.

8.8

^Soit

(y n )

^lasuite géométrique de premierterme

y 0 = 5

^{etde raison}

2

^.

1

^{. Donner} l'expression de

y n

^{en fontion de}

n

^.

2

^{. Quelle est la limitede}

(y n )

^?

3

^{. Caluler}

T =

18

X

k=5

y k

^.

8.9

^Soit

(u n ) n∈

^{N lasuite dénie par}

u n = 2n − 1

^.

1

^.

a

^{. Montrer que la suite}

(u n ) n∈

^{N est une suite} arithmétique dont on déterminera lepremier termeet laraison.

b

^{. Caluler, en fontion de}

n

^{, lasomme}

S n =

i=n

X

i=0

u i

^.

2

^{. Soit}

(v n ) n∈

^{N la suite déniepar}

v n =

^e

^{u n}

^.

a

^{. Montrer que}

(v n ) n ∈

N

est une suite géométrique pour laquelle on préisera le

premierterme etla raison.

b

^{. Caluler, en fontion de}

n

^{, leproduit}

P n =

i=n

Y

i=0

v i = v 0 × v 1 × · · · × v n

^.

8.10

^{Dans et exerie}

(u n )

^{est une suite} arithmétique de raison

r

^{et de premier terme}

u 1

^{, on désignepar}

S n

^{la sommedes}

n

^{premierstermes de la suite.}

1

^{. On donne}

u 1 = ¹ ₂

^et

r = ¹ ₄

^{; aluler}

u 13

^.

2

^{. On donne}

u 72 = 326

^et

r = 2

^;aluler

u 1

^.

3

^{. On donne}

u ₁ = − ³ ₄

^et

r = ¹ ₈

^{; aluler}

u ₂₀

^et

S ₂₀

^.

4

^{. On donne}

u 8 = 28

^et

u 35 = − 53

^{; aluler}

u 1

^et

r

^.

8.11

^{Dans et exerie}

(u n )

^{est une suite} géométrique de raison

q

^.

1

^{. On donne}

u 0 = 7

^et

q = 5

^;déterminer

u 4

^et

u 7

^.

2

^{. On donne}

u ₃ = 3

^et

q = 1

3

^{; déterminer}

u ₀

^et

u ₇

^.

8.12

^{Déterminer laraison etle premierterme de haune des suitessuivantes :}

1

^.

(u n ) _n∈

N

est une suite arithmétique. On donne

u 4 = 7

^et

u 7 = 1

^.

2

^.

(v n ) _n∈

N

une suitegéométrique. On donne

v 4 = 4

^et

v 7 = 108

^.

6.3.

Appliations des suites

8.13

^{Un auteurarabe,}Al-Sephadi, raonteque Sessa, ayantinventé lejeu d'éhes, fut présentéàsonmaîtreroide Perse. Pourleréompenser,elui-iluipromitde luiaorder

e qu'il désirerait. Ce dernier, très modeste, demande de déposer un grain de riz sur la

première ase du jeu, puis deux grains sur la deuxième, puis quatre sur la troisième et

ainsi de suite en doublant le nombre de grains d'une ase à l'autre. Un éhiquier à 64

ases. Pensant s'en tirer à bonompte, leroiaepte.

1

^{. Combien de grains le rois'est-il engagéà donner?}

2

^{. A ette époque, 1024 grains (}

2 ¹⁰

^{) pesaient 100 grammes. Quelle est la masse de}

grains otroyée à et inventeur?

3

^{. Comparer ave la prodution de blé de la Frane en 1989 qui est de 30millions de}

tonnes.

1

^{. Il faut} additionner lesgrains mis sur toutes les ases.

k=63

X

k=0

2 ^k = 1 1 − 2 ⁶⁴

1 − 2 = 2 ⁶⁴ − 1

2

^{. Il y a}

2 ⁶⁴ − 1

2 ¹⁰

^{paquetsde 100 grammes don environ}

2 ⁵⁴ × 100

^{grammes de riz.}

3

^.

2 ⁵⁴ × 100 × 10 ^{− 6}

10 ⁹ = 6 × 10 ¹⁶

^{fois laprodution de la frane en 1989.}

8.14

^{Ondisposede1000boitesdeonservesidentiquespouronstruireunhamboule-}

tout ommel'indique lagure i-dessous. L'étage supérieur ne ontientqu'une boite.

1

^.

a

^{. Un} hamboule-tout ontient 10rangées. Combien a-t-on disposé de boites dans larangée inférieure?

b

^{. Quel est le nombre de boites utilisées pour réaliser e} hamboule-tout?

2

^{. Reprenez les questions préédentes ave un} hamboule-tout omposé de 20 rangées, puis de

n

^rangées,

n

^{nombre entier naturel non nul.}

3

^{. Est-ilpossiblede réaliserun} hamboule-tout ontenant 1000 boites?

4

^{. Chaqueboitefait10mdehauteur.Quelleestlahauteur duplushauthamboule-}

tout réalisableave les 1000 boites?

8.15

^{Un voyageur a fait ent lieues en huit jours etil a fait haque jour trois lieues de}

plus que la veille. On demande ombiende lieues ila fait haque jour.

8.16

^{Uneballe élastiqueest lâhée d'unehauteur de 100 mau-dessus d'une table;elle}

rebondit plusieursfois.

Partie A

On appelle

h n

^{lahauteur en entimètredu n}

e

rebond,et

h 0

^{vaut100. Lahauteur atteinte}

à haque rebond est égale 9/10 de la hauteur du rebond préédent.

1

^{. Caluler}

h 1

^,

h 2

^,

h 3

^et

h 4

^.

2

^{. Quelle est la naturede lasuite}

h n

^{? Exprimer}

h n

^{en fontionde l'entier}

n

^.

3

^{. Calulerà}

10 ^{− 2}

^{près lahauteur du 10}

^e

^rebond.

4

^{. A partir de quel rebond lahauteur} deviendra-t-elleinférieure à1 m?

Partie B

Ahaquerebond,laballene rebonditpasexatementaumêmeendroit.Ladistaneentre

le premier rebond et le deuxième est de 10 m , on appelle

d 1

^{ette distane. A haque}

nouveau rebond, la distane parourue vaut les 2/3 de la distane parourue au rebond

préédent.On onsidère la suite

(d n )

^{des distanes entre haque rebond. On appelle}

l n

^la

distane horizontale parourue par laballe après

n + 1

^rebonds.

1

^{. Quelle est la naturede lasuite}

(d n )

^{? Exprimer}

d n

^{en fontion de}

n

^.

2

^.

a

^{. Caluler}

l ₁

^,

l ₂

^,

l ₃

^et

l ₄

^.

b

^{. Exprimer}

l n

^{en fontionde}

n

^.

c

^{. Calulerà}

10 ^{− 2}

^{près la valeur de}

l 10

^.

REPONSES

Partie A

1

^.

h ₁ = 100

^,

h ₂ = 100 × 0.9 = 90

^,

h ₃ = 90 × 0.9 = 81

^and

h ₄ = 81 × 0.9 = 72.9

^.

2

^.

(h n )

^{is a geometri sequene as we multiply by0.9.}

3

^.

h n = 100 × 0.9 ⁿ

^.

4

^.

h ₁₀ = 100 × 0.9 ¹⁰ = 34.87

^.

5

^{. We want}

100 × 0.9 ⁿ > 1

^so

n > 43

^.

Partie B

1

^{. Thesequene}

(d n )

^{isalsogeometriaswealwaysmulitplyby}

2

3

^.Firsttermis

d ₀ = 15

so

d n = d 1 × q ^{n− 1} = 10 × 2 3

n−1

= 15 × 2 3

n

.

2

^.

a

^.

l 1 = d 0 + d 1 = 15 + 10 = 25

^.

l 2 = d 0 + d 1 + d 2 = l 1 + d 2 = 31.7

^.

l 3 = d 1 + d 2 + d 3 = l 2 + d 3 = 36.1

^.

l 4 = d 1 + d 2 + d 3 + d 4 = l 3 + d 4 = 39

^.

b

^.

l n = P n

k=0 d k = d 0

1 − ( ² ₃ ) ⁿ⁺¹

1 − ² ₃ = 45(1 − ( ² ₃ ) ⁿ⁺¹ )

^.

c

^.

l 10 = 44.47

^{(round to 2DP). Just before the}

11

^{th bound, the total horizontal}

distane traveled by the ball is 44.47 m.

8.17

^{Uneentreprisedeforageestimeleoûtd'unforage:lepremiermètreoûte1000}

e

,

le deuxièmeoûte 1200

e

ethaque mètre supplémentaire oûte 200

e

de plus.

Le pétrole setrouve à 500 mètres sous terre, de quelsrédits a-t-on besoin?

8.18

^{Dansunlyée de3500élèves, unélèveapprend,à7h45quelebaest supprimé.}

Dans le quart d'heure qui suit il en fait part à 5 autres élèves. Chaun de es élèves en

informe à son tour 5 autresdans lequart d'heure suivant,et ainsi de suite.

A quelle heure préise tout lelyée est-il auourant?

8.19

^{An d'aquériretd'aménager une boutique du entre ville,un} investisseur déide

de ontrater un emprunt d'un montant de

100 000

^{euros. Dans le but d'obtenir les}

meilleuresonditions pour e prêt, il aontaté deux banques A et B.

1

^{. LabanqueAluipropose deremboursereprêtsur7ans,en7annuités,haunedes}

annuités étantun des termesonséutifs d'une suitearithmétique de premierterme

u 0 = 15 000

^{euros (montant du premier} remboursement) et de raison

a = 1 800

euros.

a

^{. Caluler le montant de haun des trois versements suivants, notés}

u 1 , u 2

^et

u ₃

^.

b

^{. Quel est le montant du dernier versement, noté}

u ₆

^?

c

^{. Quelleserait lasomme totale nalementremboursée si}l'investisseur aeptait laproposition de labanque A?

2

^{. LabanqueB luiproposeégalementde remboursereprêt sur7ans en7versements}

maisàdesonditionsdiérentesdeellesdelabanqueA.Lepremierremboursement

annuel, noté

v ₀

^{, serait d'un montantde}

20 000

^{euros; les}remboursements suivants notés

v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5

^et

v 6

^{, seraient haun en} augmentationde

2 %

^{par rapport}

au remboursement préédent.

a

^{. Caluler}

v 1

^et

v 2

^.

b

^{. Montrer que}

v ₀ , v ₁ , v ₂ , v ₃ , v ₄ , v ₅

^et

v ₆

^{sont lestermesonséutifs d'unesuite}

géométrique dontvous donnerez la raison

b

^.

c

^{. Quelleserait lasomme totale nalementremboursée si}l'investisseur aeptait la proposition de la banque B? (donner la valeur arrondie à l'euro le plus

prohe).

3

^{. Quelle banque oreà notre emprunteur lasolution laplus} avantageuse?

6.4.

Suites réurentes d'ordre 1

8.20

^Soit

(u n ) n ∈

N

lasuite dénie par

u 0 = 2

^et

u n+1 = 2u n + 1

^.

1

^.

a

^{. Calulerlesquatre premierstermes de la suite.}

b

^. Représenter graphiquementles premierstermes de la suite.

c

^{. Lasuite}

(u n ) n ∈

N

semble-t-elleonvergente?

2

^{. Soit la suite}

(v n ) n∈

^{N déniepar}

v n = u n + 1

^.

a

^{. Calulerlesquatre premierstermes de ette suite.}

b

^{. Démontrer que lasuite}

v n

^est géométrique.

c

^{. Exprimer}

v n

^{en fontion de}

n

^{et déterminer salimite quand}

n

^{tend vers}

+ ∞

^.

d

^{. Endéduire}

u n

^{en fontionde}

n

^{et lalimite de}

(u n ) n∈

^N.

1

^.

a

^.

u 0 = 2

^.

u 1 = 2 × u 0 + 1 = 2 × 2 + 1 = 5

^.

u 2 = 2 × u 1 + 1 = 2 × 5 + 1 = 11

^.

u 3 = 2 × u 2 + 1 = 2 × 11 + 1 = 23

^.

u 4 = 2 × u 3 + 1 = 2 × 23 + 1 = 47

^.

b

^{. Faire à main levée. Attention, il ne faut pas relier les points.}

c

^{. Non, la suite}

(u n ) n∈

^{N ne semble pas} onvergente.

2

^{. Soit la suite}

(v n ) n∈

^{N dénie par}

v n = u n + 1

^.

a

^.

v 0 = u 0 + 1 = 2 + 1 = 3

^.

v 1 = u 1 + 1 = 5 + 1 = 6

^.

v 2 = u 2 + 1 = 2 + 1 = 12

^.

v 3 = u 3 + 1 = 23 + 1 = 24

^.

v ₄ = u ₄ + 1 = 47 + 1 = 48

^.

b

^. Déterminons le rapport entre deuxtermes suessifs.

v _n+1 v n

= u _n+1 + 1

u n + 1 = 2u n + 1 + 1

u n + 1 = 2(u n + 1) u n + 1 = 2.

Comme le rapport entre deux termes est onstant, on en déduit que la suite

(v n )

^est géométrique de rapport

2

^{et de premier terme}

v 0 = 3 c

^{. On a don}

v n = v 0 × q ⁿ = 3 × 2 ⁿ

^.

Puisque quelaraisonest stritementsupérieureà 2,lalimite de

v n

^estl'inni.

d

^{. Comme}

v n = u n + 1

^{, on déduitque}

u n = v n − 1 = 3 × 2 ⁿ − 1

^.

La limite de

(u n )

^{est aussi inni (puisque que 'estelle de}

(lim v n ) − 1

^).

8.21

^Soit

(u n ) n∈

^{N lasuite dénie par}

u ₀ = 0

^et

u _n+1 = 1

2 u n + 1

^.

1

^.

a

^{. Calulerlesquatre premierstermes de la suite.}

b

^. Représenter graphiquementles premierstermes de la suite.

c

^{. Lasuite}

(u n ) n∈

^N semble-t-elleonvergente?

2

^{. Soit la suite}

(v n ) n∈

^{N déniepar}

v n = u n − 2

^.

a

^{. Calulerlesquatre premierstermes de ette suite.}

b

^{. Démontrer que lasuite}

v n

^est géométrique.

c

^{. Exprimer}

v n

^{en fontion de}

n

^{et déterminer salimite quand}

n

^{tend vers}

+ ∞

^.

d

^{. Endéduire}

u n

^{en fontionde}

n

^{et lalimite de}

(u n ) n∈

^N.

1

^.

a

^.

u ₀ = 0

^.

u 1 = ¹ ₂ × u 0 + 1 = ¹ ₂ × 0 + 1 = 1

^.

u 2 = ¹ ₂ × u 1 + 1 = ¹ ₂ × 1 + 1 = ³ ₂

^.

u ₃ = ¹ ₂ × u ₂ + 1 = ¹ ₂ × ³ ₂ + 1 = ⁷ ₄

^.

u 4 = ¹ ₂ × u 3 + 1 = ¹ ₂ × ⁷ ₄ + 1 = ¹⁵ ₈

^.

b

^{. Faire à main levée. Attention, il ne faut pas relier les points.}

c

^{. Non, la suite}

(u n ) n∈

^{N ne semble pas} onvergente.

2

^{. Soit la suite}

(v n ) n∈

^{N dénie par}

v n = u n − 2

^.

a

^.

v ₀ = u ₀ − 2 = − 2

^.

v 1 = u 1 − 2 = − 1

^.

v 2 = u 2 − 2 = − ¹ 2

^.

v ₃ = u ₃ − 2 = − ¹ ₄

^.

v 4 = u 4 − 2 = − ¹ ₈

^.

b

^. Déterminons le rapport entre deuxtermes suessifs.

v n+1

v n

= u n+1 − 2 u n − 2 =

1

2 u n + 1 − 2 u n − 2 =

1

2 (u n − 2) u n + 1 = 1

2 .

Comme le rapport entre deux termes est onstant, on en déduit que la suite

(v n )

^est géométrique de rapport

1

2

^{et de premier terme}

v 0 = − 2 c

^{. On a don}

v n = v ₀ × q ⁿ = − 2 × ( ¹ ₂ ) ⁿ

^.

Puisque quela raison est stritement entre 0 et 1, la suite

v n

^{onverge vers 0.}

d

^{. Comme}

v n = u n − 2

^{, on déduit que}

u n = v n + 2 = − 2 × ( ¹ ₂ ) ⁿ + 2

^.

La limite de

(u n )

^{est la}

lim v n + 2

^{, 'est à dire}

2

^.

8.22

Probabilité et suite.

1

^{. Soit deux urnes}

U ¹

^et

U ²

^{; lapremière ontient6 boules blanhes et4 boules noires,}

la seonde ontient 8boules blanhes et 2boulesnoires.

D'une des urnes, hoisie auhasard (ily aéquiprobabilitépour e hoix), onextrait

une boule que l'on remet dans l'urne : si la boule est blanhe on reommene le

tirage dans le même urne, si elle est noire on reommene le tirage dans l'autre

urne. Cette règle est appliquée à haque tirage et l'on suppose qu'à l'intérieur de

haque urne lestirages sontéquiprobables.

Soit

P n

^laprobabilité pour quele

n

^{ième tirage se fassedans l'urne}

U ¹ (n ∈

^N

^∗ )

^.

a

^{. Déterminer}

P 1

^.

b

^{. Déterminer}

P 2

^.

c

^{. Démontrerqu'ilexiste une relationde réurenevériéepar lasuite}

(P n )

^{de la}

forme:

pour tout

n ∈

^N

^∗ P n+1 = aP n + b

où

a

^et

b

^{sont des réels que l'on} déterminera.