Examen Probabilités et Statistiques - S3 - 2014
Le seul document autorisé pour l’examen est une feuille format A5 recto-verso manuscrite. Tous les autres documents sont interdits. Les calculatrices, ordinateurs, PDA, téléphones,... sont interdits. Les exercices peuvent être traités dans l’ordre de votre choix. La présentation et la rédaction sont des éléments d’appréciation des réponses.Le sujet comporte une page.
Exercice 1
1. Qu’est-ce qu’une variable aléatoire ?
2. Qu’est-ce que la variance d’une variable aléatoire ?
3. Quand dit-on que deux variables aléatoires sont indépendantes ? 4. Qu’est-ce qu’une loi de Bernouilli ?
5. Qu’est-ce qu’une loi Binomiale ?
Exercice 2 On considère l’univers{0,1,2,3}, muni de la loi uniforme.
1. On considère la variable aléatoire définie parX(s) =s3, pours∈ {0,1,2,3}. CalculerE[X].
2. Si on tire au sort10fois un élément de l’univers, quelle est la probabilité d’obtenir exactement 8 fois un2?
Exercice 3 On considère une urne contrant 3 balles rouges, 3 balles vertes et 4 balles bleues. Sur les balles rouges est inscrit le numéro 2, sur les balles vertes le numéro 4 et sur les balles bleue le numéro 1.
1. On considère l’expérience (dite Expérience 1) consistant à tirer au sort une seule balle. On considère la variable aléatoireXqui, dans cette expérience, associe à chaque balle le numéro inscrit dessus. Que vautE[X]?var(X)? 2. On considère l’expérience (dite Expérience 2) consistant à tirer au sort une balle, puis la remettre dans l’urne, puis titrer une seconde balle. On considère la variable aléatoireY qui, dans cette expérience, associe la somme des numéros des balles tirées. Que vautE[Y]?var(Y)?
3. Dans l’expérience 2, quelle est la probabilité de tirer deux balles vertes ? deux balles bleues ? deux balles rouges ? 4. Dans l’expérience 2, on considère la variable aléatoire Z qui vaut 0 si les deux balles tirées ne sont pas de la même couleur, et le numéro inscrit sur les balles si elles ont la même couleur (par exemple 2 si elles sont toutes les deux rouges). Que vautE[Z]?var(Z)?
5. On considère l’expérience (dite Expérience 3) consistant à tirer au sort en même temps deux balles. On considère la variable aléatoireT qui, dans cette expérience, associe la somme des numéros des balles tirées. Que vautE[T]? var(T)?
6. Dans l’expérience 3, quelle est la probabilité de tirer deux balles vertes ? deux balles bleues ? deux balles rouges ? 7. Dans l’expérience 3, on considère la variable aléatoire U qui vaut 0 si les deux balles tirées ne sont pas de la même couleur, et le numéro inscrit sur les balles si elles ont la même couleur (par exemple 2 si elles sont toutes les deux rouges). Que vautE[U]?var(U)?
Exercice 4 On lance un dé équilibré à 8 faces (numérotées de1à8)nfois de suite. On noteSla somme des résultats obtenus.
1. Que vautE[S]?
2. En utilisant l’inégalité de Markov, majorerP(S≥7n).
3. Que vautvar(S)?
4. En utilisant l’inégalité de Tchebychev, majorerP(S≥7n).
Exercice 5 On considère un groupe de sportifs, contenant des hommes (événementH) et des femmes (événementF), des joueurs/joueuses de tennis (événementT), des joueurs/joueuses de basket (événementB) et des pratiquant(e)s du judo (événementJ). On suppose que chacun pratique un et un seul de ces trois sport. On choisit au sort uniformement une personne du groupe.
1. On suppose que P(J) = 1336 etP(T) =125. Que vautP(B)?
2. On sait que 133-ième des judokas sont des hommes, un tiers des joueurs de tennis sont des hommes et qu’il y a autant de joueurs de basket que de joueuses de basket. Que vautP(B |H)?
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