Kapitel I Mechanik- Teil 2

(1)

Mechanik- Teil 2

(2)

1. WIEDERHOLUNG : KRÄFTE I. Mechanik- Teil 2

1 Wiederholung : Kräfte

1.1 Wirkungen einer Kraft

Kräfte selbst kann man nicht sehen. Was man sehen kann, sind ihre Wirkungen.

Eine Kraft kann:

• die Bewegung eines Körpers verändern :dynamische Effekte

• einen Körper verformen :statischer Effekt

Ohne Kraft kann keiner dieser Effekte stattfinden und umgekehrt.

1.1.1 Dynamische Wirkungen

DieBewegung eines Körpers istverändert, wenn der Betrag der Geschwindigkeit verändert wird oder die Bewegungsrichtung verändert wird:

• ein Körper, der sich ursprünglich im Ruhezustand befand, wird in Bewegung gesetzt

• ein Körper beschleunigt

• ein Körper verlangsamt

• ein Körper kommt zum Stillstand

• ein Körper ändert seine Bewegungsrichtung 1.1.2 Statische Wirkung

Kräfte können einen Körper auch verformen.

z.B. Verformung einer Getränkedose mit der Hand

1.2 Darstellung einer Kraft

Kräfte werden mit einem Vektor dargestellt. Ein Vektor hat, genau wie eine Kraft, 4 Eigen- schaften:

• der Angriffspunkt : der Punkt, an dem die Kraft angreift

• die Wirkungslinie : die Gerade, auf der der Kräftevektor aufliegt

• die Richtung

• der Betrag : die Größe / Intensität der Kraft

(3)

Wirkungslinie

b

Betrag

F ~

Richtung

Angriffspunkt

Abbildung I.1: Kräftevektor Achtung !

Das Formelzeichen F~ eines Vektors steht für die Kraft mit all ihren 4 Eigenschaften.

Das Formelzeichen F (ohne Pfeil) bezeichnet nur den Betrag der KraftF~ : F =||F~||

Man darf also F=3,2 N schreiben, nicht aber F~ = 3,2 N.

1.3 SI-Einheit und Messinstrument

Eine Kraft wird mit einem Dynamometer gemessen. Es funktioniert nach dem „Hooke’schen Gesetz”.Die SI-Einheit des Kräftebetrags ist Newton (N).

(4)

2. ZUSAMMENSETZUNG UND ZERLEGUNG VON KRÄFTEN I. Mechanik- Teil 2

2 Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften

2.1 Zusammensetzung von Kräften

Ist ein Körper gleichzeitig mehreren Kräften F~1, F~2, ..., F~_N ausgesetzt, so ist die Wirkung die gleiche, die auftritt, wenn der Körper nur einer einzigen Kraft ΣF~ ausgesetzt ist, die man resultierende Kraft, oder einfach Resultierende nennt.

Die resultierende Kraft, die auf einen Körper wirkt, entspricht der vektoriellen Summe aller Kräftevektoren, die auf den Körper wirken. Dir Kräfte, aus denen die Resultierende besteht, werden Teilkräfte genannt.

XF~ =F~1+F~2+...+F~_N

Um die Resultierende ΣF~ von zwei KräftenF~1 und F~2 zu bestimmen, kann man:

• den zweiten Kräftevektor ans Ende des ersten ansetzen. Man erhält die Resultierende dann, indem man den Angriffspunkt des ersten Vektors mit dem Ende des zweiten Vektors verbindet:

F ~

1

F ~

2

F ~

1

F ~

2

Σ F ~

Abbildung I.2: Addition zweier Kräfte - 1. Methode

• das Kräfteparallelogramm erstellen:

hierbei handelt es sich um das Parallelogramm, dessen Seiten aus den Teilkräften beste- hen. Die Resultierende entspricht dann der Diagonalen dieses Parallelogramms.

(5)

F ~

1

F ~

2

F ~

1

F ~

2

Σ F ~

Abbildung I.3: Addition zweier Kräfte - 2. Methode Achtung !

Im Allgemeinen ist derBetrag der Resultierenden ΣF~ nicht gleich der Summe der Beträge der Teilkräfte F~1 etF~2:

||F~1+F~2|| 6=||F1||+||F2||

||ΣF~|| 6= ΣF

Sonderfall: Zusammensetzung von zwei senkrechten Kräften

F~1

F~2

ΣF~

Abbildung I.4: Zusammensetzung von zwei senkrechten Kräften

In diesem Fall kann der Betrag der resultierenden Kraft durch den Satz des Pythagoras be- stimmt werden:

||ΣF~||=p F1

2+F2 2

(6)

Sonderfall: Zusammensetzen von zwei Kräften, die die gleiche Richtung haben:

F~1

F~2

F~1 F~2

ΣF~

Abbildung I.5: Zusammensetzung von zwei Kräften gleicher Richtung

Haben beide KräfteF~1 undF~2 die gleiche Richtung, so entspricht der Betrag der resultierenden KraftΣF~ der Summe der beiden Teilkräfte:

||ΣF~||=F1+F2

Sonderfall: Zusammensetzung zweier entgegengesetzten Kräfte:

F~1

F~2

F~1

F~2

ΣF~

Abbildung I.6: Zusammensetzung entgegengesetzter Kräfte

Sind zwei Kräfte F~1 und F~2 entgegengesetzt, so entspricht der Betrag der Resultierenden ΣF~ dem absoluten Wert¹ der Differenz der Beträge der beiden Teilkräfte:

||ΣF~||=|F1 −F2|

2.2 Zerlegung von Kräften

Eine einzelne Kraft kann auch in zwei (oder mehrere) Teilkräfte zerlegt werden.

F~ =F~1+F~2

Die Wirkung dieser Teilkräfte zusammen ist gleich der Wirkung der ursprünglichen, einzelnen, Kraft.

Um die Teilkräfte zu bestimmen, müssen zunächst ihre Richtungen festgelegt werden. Anschlies- send wird das Parallelogramm gezeichnet, welches diese Richtungen als Seiten hat und dessen Diagonale der KraftF~ entspricht. Die Seiten stellen die TeilkräfteF~1 und F~2 dar.

1Erinnerung: der Betrag einer Kraft ist immer positiv

(7)

Beispiel :

F~

Zerlegungsrichtungen

F~

F~1

F~2

Abbildung I.7: Zerlegen einer Kraft in 2 Teilkräfte belieber Richtungen Sonderfall : Zerlegung in zwei senkrechte Teilkräfte:

F~ F~1

F~2

α

(8)

Wenn die beiden Teilkräfte senkrecht zueinander sind, kann man ihre jeweiligen Beträge be- rechnen, wenn man den Betrag der zerlegten Kraft kennt sowie den Winkel α zwischen dieser Kraft und der Waagerechten:

Auf der Zeichnung erkennt man, dass:

cosα= F2

F ⇐⇒F2 =F · cosα Auf die gleiche Weise erhält man:

sinα= F1

F ⇐⇒F1 =F · sinα

(9)

3 Einfache Maschinen

Wird ein Körper senkrecht nach oben gehoben, so wirken (wenn man die Reibung vernachläs- sigt) zwei Kräfte auf ihn:

• die Hubkraft F~0

• die Gewichtskraft F~_G

Möchte man den Körper mit konstanter Geschwindigkeit senkrecht nach oben heben, so muss die resultierende Kraft, die auf diesen Körper wirkt, gleich null sein (ansonsten würde sich die Bewegung ja als Wirkung der resultierenden Kraft ändern, sprich sie würde schneller oder langsamer werden oder auch die Richtung ändern).

In dem Fall gilt also:

F~0+F~_G =~0

⇔ F~0 =−F~_G

⇒ F0 =F_G

F~0

F~_G konstante

Geschwindigkeit

Abbildung I.9: Last, die mit konst. Geschw. gehoben wird

Die Kraft, mit der ein Körper mit konstanter Geschwindigkeit senkrecht nach oben gehoben wird hat also exakt den gleichen Betrag wie der seiner Gewichtskraft.

Will man den Betrag der Hubkraft verringern, so kann maneinfach Maschinenzu Hilfe nehmen:

Eine einfache Maschine ist eine elementare mechanische Vorrichtung, mit der man einen Körper mit verringerter Hubkraft heben kann.

(10)

3. EINFACHE MASCHINEN I. Mechanik- Teil 2

3.1 Schiefe Ebene

Eine schiefe Ebene ist eine ebene Fläche, die zur Waagerechten geneigt ist.

Heben wir eine Last mit Hilfe einer schiefen Ebene auf eine Höhe h:

α

h

Abbildung I.10: Heben einer Last mit einer schiefen Ebene

Bewegt man die Last (auf den folgenden Zeichnungen mit einem Punkt dargestellt) auf der schieden Ebene, so ist sie 3 Kräften ausgesetzt:

• der Gewichtskraft F~_G, die senkrecht nach unten gerichtet ist

• der Zugkaft F~, die man anwenden muss, um die Last parallel zur Ebene nach oben zu ziehen

• der Gegenkraft der Oberfläche R, die senkrecht zu dieser Oberfläche ist~ ².

α

b

F~_G R~

F~

Abbildung I.11: Bewegte Last auf einer schiefen Ebene

2Wechselwirkungsprinzip : die Last drückt gegen die Oberfläche der Ebene. Diese wirkt mit der KraftR~ auf die Last zurück.

(11)

Wird die Last mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, so muss die resultierende Kraft, die auf diesen Körper wirkt, gleich null sein (denn wenn die resultierende Kraft nicht null ist, so kann die Bewegung der Last nicht gleich bleiben).

Es gilt also:

ΣF~ =F~ +F~_G+R~ =~0 (∗)

Wir zerlegen die Gewichtskraft F~_G in zwei Teilkräfte : F~_G =F~_G//+F~_G⊥ :

• die Teilkraft F~_G//, parallel zur Oberfläche der schiefen Ebene

• die Teilkraft F~_G⊥, senkrecht zur Oberfläche der schiefen Ebene

α

b

F~_G F~_G//

F~_G⊥

α α

Abbildung I.12: Teilkräfte der Gewichtskraft In den entstandenen rechtwinkligen Dreiecken gilt:

sinα= F_G//

F_G ⇔F_G// =F_G·sinα und

cosα= F_G⊥

F_G ⇔F_G⊥ =F_G· cosα

Ersetzt man in der Gleichung (*) F~_G durch F~_G//+F~_G⊥, so erhält man:

F~ +F~_G//+F~_G⊥+R~ =~0

Die senkrechte Teilkraft des Gewichts, F~_⊥, entspricht dem Teil der Gewichtskraft, mit der die Last gegen die schiefe Ebene drückt. Die Gegenkraft R, mit der die Ebene auf die Last~ zurückwirkt, ist F~_⊥ genau entgegengerichtet (Wechselwirkungsprinzip):

R~ =−F~_G⊥

(12)

Der Betrag von R~ ist also:

R =F_G⊥=F_G· cosα

Setzen wir R~ =−F~_G⊥ in die Gleichung (*) ein, so bleibt:

F~ +F~_G//=~0

⇔ F~ =−F~_G//

⇒ F =F_G//

Um die Last also mit konstanter Geschwindigkeit entlang der schiefen Ebene nach oben zu heben, muss also eine Zugkraft F~ wirken, deren Betrag genau gleich gross ist wie der Betrag der parallelen Teilkraft des Gewichts:

F =F_G// =F_G· sinα

Da 0 < sinα ≤ 1, gilt : F ≤ F_G : die Zugkraft, mit der ein Körper mit der schiefen Ebene gehoben werden kann, ist also kleiner als die Gewichtskraft.

α

b

F~_G F~_G//

F~_G⊥

R~

F~

α α

Abbildung I.13: Last, die mit konst. Geschw. auf einer schiefen Ebene gehoben wird

(13)

Bestimmen wir den Weg x, den die Last zurücklegen muss, um auf die Höhe h zu kommen:

h x

α

Abbildung I.14: Schiefe Ebene : Zusammenhang zw. Weg und Höhe Da sinα= ^h_x, erhält man:

x= h sinα

Da 0<sinα≤1, gilt : x≥h : der zurückzulegende Weg x ist also grösser als die Höhe h.

Um eine Last mit Hilfe einer schiefen Ebene, deren Neigungswinkelαist, mit konst. Geschw, auf eine Höhe h zu heben, wird eine Zugkraft F~ benötigt. Der zurückzulegende Weg ist x.

Es gilt:

F =F_G· sinα x= _sin^h_α

Mit einer schiefen Ebene kann man also die Kraft, die man zum Heben einer Last braucht, verringern. Der zurückzulegende Weg wird hingegen länger.

3.2 Rollen und Flaschenzüge

Definition:

Eine Rolle (Umlenkrolle) ist ein Rad, das auf einer Achse gelagert ist, und über dessen Rand ein Seil verläuft.

3.2.1 Feste Rollen

Eine feste Rolle ist eine Rolle, die nicht mit der zu hebenden Last zusammen bewegt wird.

Heben wir eine Last mit einer festen Rolle:

(14)

F~_G F~

Abbildung I.15: Last an einer festen Rolle

Beim Heben der Last ist das Seil genau zwei Kräften ausgesetzt (wenn die Reibung vernach- lässigt wird):

• F~_G, die Gewichtskraft der Last

• F~, die Zugkraft

Wird die Last mit konstanter Geschwindigkeit gehoben, so bewegt sich auch das Seil mit konst.

Geschwindigkeit. Die resultierende Kraft, die auf das Seil wirkt, muss also gleich null sein:

F~ +F~_G =~0

⇔ F~ =−F~_G

⇒ F =F_G

Vergleicht man die Zugkraft F~ mit der Kraft F~0, die man aufwenden muss, um die Last ohne einfache Maschine zu heben (s.S. 9), so stellt man fest:

• F~ istF~0 genau entgegegengesetzt

• die zwei Kräfte haben den gleichen Betrag : F =F0 =P

Um die Last auf eine Höhe h zu heben, muss das Seilende den Weg x zurücklegen:out de la corde d’une distance

(15)

x=h Zusammenfassend gilt:

Eine feste Rolle verändert die Richtung der Kraft, die man aufwenden muss, um eine Last zu heben. Der Betrag dieser Kraft bleibt jedoch unverändert (verglichen mit dem Betrag der Hubkraft, die ohne einfache Maschine aufgewendet werden muss). Auch der Weg, der zurückgelegt werden muss, bleibt unverändert.

3.2.2 Lose Rollen

Eine lose Rolle ist eine Rolle, die zusammen mit der zu hebenden Last bewegt wird.

Hängen wir unsere Last an eine lose Rolle:

F~_G T~ T~

Abbildung I.16: Last an einer losen Rolle Es wirken 3 Kräfte auf die lose Rolle:

• die Gewichtskraft F~_G der Last

• die Spannkraft T~ des linken Seilstücks

(16)

Bemerkung: Die Spannkraft in einem Seil ist an allen Stellen immer gleich gross.

Wird die Last nun wieder mit konstanter Geschwindigkeit gehoben, so bewegt sich auch die Lose Rolle mit konstanter Geschwindigkeit. Die resultierende Kraft, die auf die lose Rolle wirkt, muss also gleich null sein.

Also gilt:

T~ +T~ +F~_G =~0

Die Spannung in jedem der beiden Seilstücke beträgt also:

T~ =− F~_G

2

Um die Last mit konstanter Geschwindigkeit zu heben, muss als eine Kraft F~ aufgewendet werden, die gleich gross ist wie die Spannung in dem Seilstück, welches man anhebt:

F~ =T~ =−F~_G 2

F~_G F~ T~

Abbildung I.17: Anheben einer Last mit einer losen Rollse

(17)

Vergleicht man die Zugkraft F~, die auf das Seilende ausgeübt werden muss, mit der Kraft F~0, die man braucht, um die Last ohne einfache Maschine zu heben (s.S. 9), so stellt man fest:

• F~ hat die gleiche Richtung wie F~0

• der Betrage der Kraft F~ entspricht der Hälfte des Betrags von F~0 : F = ^F₂⁰ = ^F₂^G. Wird die Last auf eine Höhe h gehoben, so muss das Seilende um den Weg x bewegt werden:

x= 2·h

Eine lose Rolle verändert die Richtung der Kraft, die man zum Heben einer Last braucht, nicht. Der Betrag der anzuwendenden Zugkraft wird halbiert. Der Weg, den das Seilende zurücklegen muss, ist doppelt so lang wie die Höhe, um die die Last gehoben wird.

3.2.3 Kombination aus loser und fester Rolle

F~_G

F~

Abbildung I.18: Kombination aus fester und loser Rolle

(18)

F = F0

2 = F_G 2

Um die Last auf eine Höhe h zu heben, muss das Seilende um den Weg x bewegt werden:

x= 2·h 3.2.4 Flaschenzüge

Ein Flaschenzug ist eine Kombination aus mehreren Rollen.

Ist die Zahl der tragenden Seilstücke gleich n, so gilt:

F = F0

n = F_G

n und x=n·h

Hebt man eine Last mit einem Flaschenzug, so wird der Betrag der Kraft, die man zum Heben braucht, durch die Zahln an tragenden Seilstücke geteilt. Der Weg, den das Seilende zurücklegen muss, wird mit n multipliziert.

Mit einem Flaschenzug kann also der Betrag der Kraft, die man benötigt, um eine Last zu heben, verringert werden. Der zurückzulegende Weg hingegen wird länger.

n=

F=

x=

F~_G

F~

Abbildung I.19: Flaschenzug : Beispiel 2

(19)

n=

F=

x=

F~_G

F~

(20)

n=

F=

x=

F~_G

F~

(21)

4 Drehmoment

4.1 Drehsinn

Um den Drehsinn eines Körpers anzugeben, benutzt man in der Physik die trigonometrische (geometrische) Festlegung der Drehrichtungen.

+ -

Abbildung I.22: Trigonometrischer Drehsinn

Derpositive trigonometrische Drehsinn entspricht dem Drehsinnentgegengesetzt der Bewegung der Zeiger einer Uhr.

Dernegativetrigonometrische Drehsinn entspricht dem Drehsinn der Zeigerbewegung einer Uhr.

4.2 Einführendes Beispiel

Eine Scheibe kann sich frei um eine horizontale Achse bewegen, die sich in ihrem Zentrum befindet. Man kann Wägestückchen an verschiedenen Punkten der Scheibe befestigen.

b b b

b b b b b

b b

b b b b

b b

b b b b b

b b

b b b b b

b b b

b

m1

b

m2

Abbildung I.23: Scheibe - Beispiel 1 Beispiel 1:

Wir hängen zwei Wägestückchen der Massen m1 = m2 = 200 g so an die Scheibe, dass ihre

(22)

4. DREHMOMENT I. Mechanik- Teil 2

Man stellt fest: lässt man die Scheibe los, so bleibt sie im Ruhezustand. Sie befindet sich also im Drehgleichgewicht.

Beispiel 2:

Hängen wir das Wägestückchen m2 etwas weiter nach rechts (Bild I.24):

b b b

b b b b b

b b

b b b b

b b

b b b b b

b b

b b b b b

b b b

b

m1

b

m2

Abbildung I.24: Scheibe - Beispiel 2

Man stellt fest: lässt man die Scheibe los, so beginnt sie, sich in die negative Richtung zu drehen.

Beispiel 3:

Das Wägestückchen m2 wird nun etwas weiter nach links (verglichen mit der Anfangsposition) eingehängt (s. Bild I.25):

b b b

b b b b b

b b

b b b b

b b

b b b b b

b b

b b b b b

b b b

b

m1

b

m2

Wir stellen fest: wird die Scheibe losgelassen, so beginnt sie, sich in die positive Richtung zu drehen.

(23)

Beispiel 4:

Diesmal wird das Wägestückchen m2 etwas unterhalb der ursprünglichen Position eingehängt.

(s. Bild I.26):

b b b

b b b b b

b b

b b b b

b b

b b b b b

b b

b b b b b

b b b

b

m1

b

m2

Man stellt fest: die Scheibe bleibt im Gleichgewicht, auch wenn sie nicht festgehalten wird.

Beispiel 5:

Im letzten Beispiel wird ein Wägestückchen etwas grösserer Masse (m^′₂ = 300 g) an die gleiche Stelle wie ganz zu Beginn eingehängt (s. Bild I.27):

b b b

b b b b b

b b

b b b b

b b

b b b b b

b b

b b b b b

b b b

b

m1

b

m^′2

Abbildung I.27: Disque - Situation 5

Man stellt fest: sobald die Scheibe losgelassen wird, dreht sie sich in die negative Richtung.

(24)

Auswertung:

Fügen den Zeichnungen alle Kräftevektoren hinzu (Massstab : 1 cm ˆ=100 N).

Im Beispiel 1 üben die Wägestückchen gleich grosse Kräfte auf die Scheibe aus (diese Kräfte entsprechen ihrem Gewicht F~_G1 bzw. F~_G2). Beide Kräfte haben den gleichen Betrag und die gleiche Richtung. Die Scheibe befindet sich im Drehgleichgewicht.

In den Beispielen 2 und 3 sind die Kräfte, die auf die Scheibe wirken, immer noch die gleichen.

Da die Scheibe aber nicht mehr im Drehgleichgewicht ist (sie setzt sich in Bewegung), muss die Entfernung zwischen Kraft und Drehachse eine Rolle spielen.

In Beispiel 4 ist die Entfernung zwischen der Gewichtskraft des Wägestückchens m2 und der Drehachse grösser als in Beispiel 1. Trotzdem bleibt die Scheibe im Drehgleichgewicht. Es ist also nicht die Entfernung vom Angriffspunkt der Kraft zur Achse, die einen Einfluss hat.

Die Entfernung zwischen der Wirkungslinie der Kraft ist in beiden Fällen jedoch gleich. Und in der Tat ist die Entfernung zwischen der Wirkungslinie einer Kraft und der Drehachse die Grösse, die beachtet werden muss, wenn man die Drehbewegung eines Körpers analysieren will.

Diese Entfernung wird „Hebelarm” genannt.

In Beispiel 5 ist die Entfernung zwischen den jeweiligen Kräften und der Drehachse gleich gross. Hier hat die Kraft auf der rechten Seite allerdings einen grösseren Betrag! Der Betrag einer Kraft hat also auch einen Einfluss auf die Drehbewegung einer Scheibe.

Zusammenfassung:

Die Versuche haben gezeigt, dass die Drehwirkung einer Kraft auf einen Körper abhängt von:

• dem Betrag der Kraft

• der Entfernung zwischen der Wirkungslinie der Kraft und der Drehachse

4.3 Der Hebelarm

Definition:

Der „Hebelarm” a einer Kraft F~ zur Drehachse ∆ ist definiert als die Entfernung zwischen der Wirkungslinie der Kraft und der Drehachse.

Der Hebelarm entspricht der Länge des Segments, der die Drehachse ∆ mit der Wirkungs- linie der Kraft verbindet, wenn dieses Segment dabei senkrecht zur Wirkungslinie ist.

SI-Einheit

Da der Hebelarm eine Entfernung, also eine Länge ist, hat er die SI-Einheit Meter (m).

(25)

Beispiele:

~F a

F~

∆ ∆ a

F~

a

F~ a=0

Abbildung I.28: Beispiele von Hebelarmen

4.4 Das Drehmoment einer Kraft

Definition:

Man bezeichnet als Drehmoment einer KraftF~ zu einer Drehachse ∆das Produkt aus dem Betrag F dieser Kraft und ihrem Hebelarm a. Formelzeichen: M∆(F~)

M∆(F~) =±F ·a

SI-Einheit:

Da die SI-Einheit des Betrags einer Kraft Newton ist, die des Hebelarms Meter, ergibt sich als SI-Einheit des Drehmoments einer Kraft das „Newton Meter” (N·m ou N m).

(26)

Vorzeichen des Drehmoments

Lässt eine Kraft einen Körper in die positive Richtung drehen, so ist ihr Moment ein positives Drehmoment: M∆(F~) =F ·a

Lässt eine Kraft einen Körper in die negative Richtung drehen, so ist ihr Moment einnegatives Drehmoment: M∆(F~) =−F ·a

∆

F~1

F~2

a2

a1

Abbildung I.29: Positives und negatives Drehmoment Im Beispiel der Zeichnung gilt:

M∆(F~1) =−F1·a1 (negatives Drehmoment) M∆(F~2) =F2·a2 (positives Drehmoment)

Bemerkung: Eine Kraft, deren Wirkungslinie durch die Drehachse verläuft (s. Bild I.28), hat keinen Hebelarm und übt somit auch kein Drehmoment aus. Eine solche Kraft kann keine Drehbewegung erzeugen!

4.5 Drehgleichgewicht

Ist die Summer der Drehmomente aller Kräfte, die auf einen Körpern wirken, positiv, so beginnt der Körper, sich in die positive Richtung zu drehen.

N

X

i=1

M∆(F~_i)>0⇔Drehung im positiven Drehsinn

Ist die Summer der Drehmomente aller Kräfte, die auf einen Körpern wirken, negativ, so beginnt der Körper, sich in die negative Richtung zu drehen.

(27)

N

X

i=1

M^∆(F~_i)<0⇔Drehung im negativen Drehsinn Daraus folgt das „Gesetz für das Drehgleichgewicht”:

Ein Körper, der sich um eine Achse drehen kann, ist im Drehgleichgewicht, wenn die Summer der Drehmomente aller auf ihn ausgeübten Kräfte gleich null ist.

Drehgleichgewicht ⇔

N

X

i=1

M∆(F~_i) = 0

∆

F~1

F~2

F~3

a2 a1

a3

1 cm ˆ=1 N 1 cm ˆ=1 cm

Abbildung I.30: Drehgleichgewicht Im Beispiel auf der Zeichnung I.30:

M^∆(F~1) = −F1·a1 =−4 N·2 cm =−8 N·cm =−0,08 N·m M∆(F~2) = +F2·a2 = 3 N·1 cm = 3 N·cm = 0,03 N·m M∆(F~3) = +F3·a3 = 2,5 N·2 cm = 5 N·cm = 0,05 N·m

3

X

i=1

M∆(F~_i) =−0,08 N·m + 0,03 N·m + 0,05 N·m = 0 Der Körper befindet sich also im Drehgleichgewicht!

(28)

4.6 Hebel

4.6.1 La loi du levier

Ein Hebel ist ein starrer Körper, der sich um eine Achse drehen kann.

Hängen wir ein Wägestückchen der Masse m=200 g an einen Hebel:

1,5 cm

∆

b b b b b b b b b b b b bb

m=200 g

Abbildung I.31: An einem Hebel angehängtes Wägestückchen

Mit dem Dynamometer wird die Kraft gemessen, die nötig ist, um den Hebel im Gleichgewicht zu halten.

Der Körper übt die KraftF~1 (gleich seiner Gewichstkraft :F~1 =F~_G et F1 =F_G) auf den Hebel aus. Der Hebelarm dieser Kraft ist a1.Der Dynamometer übt die Kraft F~0 auf den Hebel aus.

Sein Hebelarm entspricht der Entfernung a0.

∆

b

b b b b b b b b b b b b bb b

m=200 g F~1

F~0

a0

a1

Abbildung I.32: Hebel im Gleichgewicht zweier Kräfte

(29)

Messen wir den Betrag der KraftF~0, die nötig ist, um den Hebel im Gleichgewicht zu halten. Die Messung wird für verschiedene Einhängepunkte des Wägestücks und auch des Dynamometers wiederholt. In anderen Worten: die Hebelarme a0 und a1 werden zwischen den Messungen variiert:

F

0

( N ) a

0

( m ) F

1

( N ) a

1

( m ) M

^∆

( F ~

0

)( N m ) M

^∆

( F ~

1

)( N m ) P

M

^∆

( N m )

Wir stellen fest:

Ein Hebel (genau wie jeder andere drehende Körper) ist dann im Drehgleichgewicht, wenn die Summe der Drehmomente aller Kräfte, die auf ihn wirken, gleich null ist.

Ist ein Hebel also im Drehgleichgewicht zweier KräfteF~0 und F~1, so gilt:

M∆(F~0) +M∆(F~1) = 0

⇔ F0·a0−F1·a1 = 0

⇔ F0·a0 =F1·a1

⇔ F0 =F1·^a_a¹

0

oder auch: ^F_F⁰₁ = ^a_a¹₀

Dies ist das Hebelgesetz !

• ista0 > a1, dann giltF0 < F1 : zum Gleichgewicht muss F0 kleiner sein alsF1

• ista0 =a1, dann giltF0 =F1 : zum Gleichgewicht muss F0 gleich gross sein alsF1

• ista0 < a1, dann giltF0 > F1 : zum Gleichgewicht muss, F0 grösser sein alsF1

(30)

Beispiele:

∆

F~0 F~1

a0 a1

Abbildung I.33: Hebel im Gleichgewicht / a0 =a1 : F0 =F1

∆

F~0

F~1

a0 a1

Abbildung I.34: Hebel im Gleichgewicht / a0 = 2·a1 : F0 = ¹₂·F1

(31)

∆

F~0

F~1

a0 a1

Abbildung I.35: Hebel im Gleichgewicht / a0 = ¹₂·a1 : F0 = 2·F1

4.6.2 Praktische Anwendungen von Hebeln

Im vorigen Versuch war der Hebel im Drehgleichgewicht unter Einfluss der beiden Kräfte F~0

und F~1.

F~1 ist die Kraft, die der Körper auf den Hebel ausübt. Der Körper reagiert (nach dem Wech- selwirkungsprinzip) und übt somit die gleich grosse, aber entgegengesetzte Kraft F~2 auf den Körper aus : F~2 =−F~1 und F2 =F1.

∆

m=200 g

F~1 (Körper auf Hebel) F~2 (Hebel auf Körper)

F~0 (Dynam. auf Körper)

a0

a1

Abbildung I.36: Kräfte zwischen Körper und Hebel Nach dem Hebelgesetz;

(32)

Ist a0 > a1, dann gilt F2 > F0 : aus dem Hebel wurde somit ein Kräfteverstärker ! Beispiele :

1. Die Zange:

Hebe 1

Hebel 2

b ∆

F~0

F~1

F~2

a0 a1

Abbildung I.37: Die Zange Hebel 1 ist im Drehgleichgewicht zweier Kräfte:

• die KraftF~0, die ein Benutzer auf den Zangenarm ausübt

• die KraftF~1, die der Nagel auf den Zangenschnabel ausübt

Die Kraft F~1 wird vom Nagel auf den Hebel ausgeübt, der Hebel reagiert und übt die Kraft F~2 = −F~1 auf den Nagel aus. Schlussendlich ist es diese Kraft F~2, die den Nagel durchtrennt.

Und da a0 > a1, F2 > F0.

(33)

2. Öffnen des Deckels eines Farbeimer mit einem Schraubenzieher:

—FARBE—

F~0

F~1

F~2

b ∆

a0 >> a1 also : F2 >> F0

Abbildung I.38: Öffnen eines Farbeimers mit einem Schraubenzieher Der Schraubenzieher ist im Drehgleichgewicht zweier Kräfte:

• die KraftF~0, die ein Handwerker auf den Griff ausübt

• die KraftF~1 die der Deckel auf die Spitze ausübt

Der Deckel übt die KraftF~1 auf die Spitze aus. Die Spitzereagiert und übt die KraftF~2 =

−F~1 auf den Deckel aus. Schlussendlich ist es diese Kraft F~2, die den Deckel „aufhebelt”.

3. Heben einer Last mit einer Schubkarre:

(34)

b

∆

b

G

F~2

F~1 =F~_G

F~0

a1 a0

Abbildung I.39: Schubkarre

Die Schubkarre befindet sich im Drehgleichgewicht zweier Kräfte:

• die KraftF~0, die ein Handwerker auf die Griffe ausübt

• die KraftF~1, die dem Gewicht der Last auf der Schubkarre entspricht

Die Last übt die Kraft F~1 auf die Schubkarre aus. Diese reagiert und übt die Kraft F~2 = −F~1 auf die Last aus. Schlussendlich ist es diese Kraft F~2, die die Last nach oben hebt.

(35)

4. Der Nussknacker:

b∆ ~F0

F~1

F~2

Hebel 1

Hebel 2 a1

a0

Abbildung I.40: Le casse-noisettes

Der Hebel 1 des Nussknackers befindet sich im Drehgleichgewicht zweier Kräfte:

•

Die KraftF~1wird ausgeübt durch _____________ auf ___________, __________

réagit und übt die Kraft F~2 = −F~1 auf ___________. Schlussendlich ist es diese KraftF~2 qui ______________.

Und da a0 > a1, __________.