Universit´e Pierre et Marie Curie License LM345 Ann´ee 2010-2011 PIMA
Contrˆole continu 2
Exercice 1.
SoitX une variable exponentielle de param`etreθ >0. On poseY =bXc. D´eterminer la loi deY.
On rappelle que la loi deXposs`ede une densit´eρX(x) =θe−θx1R+∗(x), ∀x∈R.
Pour tout x r´eel la partie enti`ere de x, not´eebxc, est l’unique entier relatif v´erifiantbxc ≤x <bxc+ 1.
Exercice 2.
SoitX etY deux variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes de mˆeme loiN(0,1). D´eterminer la loi de la variable al´eatoire d´efinie (p.s.) par YX. Que peut-on dire deEY
X
?
On rappelle que sous ces hypoth`eses le couple(X, Y)a pour densit´ef(X,Y), f(X,Y)(x, y) = 1
√2πe−x
2
2 1
√2πe−y
2
2 , ∀(x, y)∈R2.
On pourra se servir du changement de variables
]0,∞[×R −→ ?
(x, y) 7→ (u, v),(x,yx).
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