L.S.M6
Série Système et Matrice
2013-2014
Mr.Hajji 4
emeEco& G es
Système et Matrice 1
Exercice N
01:
1-a)-Donner l’écriture matricielle du système : (S)
5x + 2y = 1 4x + y = 3
b) - En déduire que la matrice inverse de =
5 2
A 4 1
2)- En déduire la solution du système (s).
Exercice N
02:
Soit la matrice M=
1 2 1 1 3 2 1 8 5
1- a)- Calculer le déterminant de M.
b)- La matrice M est elle inversible ? c)- Montrer que M-1 =1
2
1 2 1
3 4 1
5 6 1
2- a)- Donner l’écriture matricielle du système (s):
x + 2y - z = -1.
x + 3y - 2z = -1.
x + 8y - 5z =1.
b) Résoudre dans IR² le système S.
Exercice N
03:
Soit la matrice M=
2 -4 1 0 1 -1 -1 1 1
1- a)- Calculer le déterminant de M.
b)- La matrice M est elle inversible ? c)- Montrer que M-1 =
2 5 3 1 3 2 1 2 2
2- a)- Donner l’écriture matricielle du système (s):
2x - 4y + z = 2.
y - z = 2.
-x + y + z = 4.
Système et Matrice 2
b)- En déduire la solution du système (s).
Exercice N
04:
Soit la matrice M=
2 -1 3 -3 1 -1 1 1 1
1- a)- Calculer le déterminant de M.
b)- La matrice M est elle inversible ? 2- Montrer que M-1 = 1
10
2 4 2
2 1 7
4 3 1
3- a)- Donner l’écriture matricielle du système (s):
2x - y + 3 z = 1.
-3x + y - z = 1.
x + y + z = 1
b)- En déduire la solution du système (s).
Exercice N
05:
Soit la matrice M=
0 1 1 1 0 1 1 1 0 1- Calculer M2
2- a)- Vérifier que M2- M-2I3 =0
b)- En déduire que la matrice M est elle inversible et donner l’expression de M-1? 3- Résoudre dans IR3 le système (S) :
y z 3 (S) x z 2 x y 1
Exercice N
06:
Soit la matrice M=
- 15 10 8 - 8 6 4 - 24 15 13 1- Calculer M2
2- a)- Vérifier que M2-3M+2I3 =0
b)- En déduire que la matrice M est elle inversible et donner l’expression de M-1? 3- Résoudre dans IR3 le système (S) :
Système et Matrice 3
15x 10y 8z 1 (S) 8x 6y 4z 2
24x 15y 13z 3
Exercice N
07:
Soit la matrice A=
1 1 1 1 1 1 1 1 1
et la matrice B=
- 3 1 1 1 -3 1 1 1 - 3 1- Vérifier que A=B+4I3
2- Trouver une relation entre A et A2. 3- Trouver une relation entre B, B2 et I3.
4- Montrer que B est inversible et déterminer B-1 . 5- Résoudre dans IR3 le système (S) :
3x y z 5 (S) x 3y z 2
x y 3z 1
Exercice N
08:
I- Soit la matrice M=
1 1 1 17 14 16
2 1 4
1- a)- Vérifier que M est inversible.
b)- Déterminer la matrice inverse de M.
2- Résoudre dans IR3 le système (S) :
x y z 5
17x 14y 16z 78 2x y 4z 10
II- Le service informatique de gestion d’une entreprise occupe un grand bureau. Sa masse salariale est de 78 MDT par mois et ce service utilise 5 ordinateurs pour la gestion totale. On restructure ce service en trois bureaux b1, b2 et b3de x,y et z personnes respectivement. Chaque personne du bureau b1 reçoit en moyenne 17 MDT par mois, travaille avec un ordinateur et s’occupe 10% de la gestion totale.
Chaque personne du bureau b2 reçoit en moyenne 14 MDT par mois, travaille avec un ordinateur et s’occupe 5% de la gestion totale.
Chaque personne du bureau b3 reçoit en moyenne 16 MDT par mois, travaille avec un ordinateur et s’occupe 20% de la gestion totale.
1-Traduire les informations ci-dessus en un système de trois équations à trois inconnues x, y et z.
Système et Matrice 4
2-Déterminer le nombre de personnes dans chaque bureau.
Exercice N
09:
Soit la matrice M=
- 15 10 8 - 8 6 4 - 24 15 13 1- Calculer M2
2- a)- Vérifier que M2-3M+2I3 =0
b)- En déduire que la matrice M est elle inversible et donner l’expression de M-1? 3- Résoudre dans IR3 le système (S) :
15x 10y 8z 1 (S) 8x 6y 4z 2
24x 15y 13z 3
Exercice N
010:
Soit la matrice A=
1 1 1 1 1 1 1 1 1
et la matrice B=
- 3 1 1 1 -3 1 1 1 - 3 1-Vérifier que A=B+4I3
2-Trouver une relation entre A et A2. 3-Trouver une relation entre B, B2 et I3.
4- Montrer que B est inversible et déterminer B-1 . 5- Résoudre dans IR3 le système (S) :
3x y z 5 (S) x 3y z 2
x y 3z 1
Exercice N
011:
(Bac 2013 S.P)On donne les matrices A et B ci-contre A=
2 5 3 1 3 2 1 2 2
;B=
2 -4 1 0 1 -1 -1 1 1 1- a)- Calculer le déterminant de la matrice A.
b)- En déduire que la matrice A est inversible ? c)- Calculer BxA .
d)- En déduire que B est la matrice inverse de A.
2- Un concessionnaire d’automobiles expose trois modèles M1 ,M2 et M3. Le tableau suivant indique les commandes de trois sociétés :
Société 1 Société 2 Société 3
Modèle 1 2 1 1
Système et Matrice 5
Modèle 2 5 3 2
Modèle 3 3 2 2
Prix total en milliers de dinars tunisiens
270 165 140
Déterminer, en milliers de dinars tunisiens, les prix unitaires des modèles M1 ,M2 et M3.
Exercice N
012:
(Bac 2012 S.P)1- On donne les matrices A et B ci-contre A=
1 1 1 3 2 1 - 3 1 0
;B=
-1 1 -1 -3 3 2 9 -4 -1 a)- Calculer AxB .
b)- En déduire que A est inversible et donner sa matrice inverse A-1.
2- Soit la fonction f définie sur IR par f(x)=ax3+bx2+cx ou a,b et c sont des réels et (C)
sa courbe représentative dans un repère (O,i,j) du plan .On suppose que : . la tangente à(C) au point d’abscisse 1 a pour équation y=4x-4.
. (C) admet un point d’inflexion d’abscisse -1 . a)-Montrer que a,b et c vérifiant le système (S) :
a b c 0 3a 2b c 4
3a b 0
b)-Résoudre, dans IR3 ,le système (S) puis en déduire l’expression de f(x).
Exercice N
013:
(Bac 2013 S.C) On donne les deux matrices : A=
3 -1 1 2 0 1 -2 1 0
;I 3=
1 0 0
0 1 0
0 0 1 1- a)- Calculer le déterminant de la matrice A.
b)- En déduire que la matrice A est inversible.
2- a)- Calculer A(A-2I3) .
b)- En déduire que A-1= 2I3- A, puis vérifier que la matrice A-1=
-1 1 -1 -2 0 -1 2 -1 2
3- Résoudre dans IR3 le système (S) :
x y z 1 2x 2y z 1 2x y 2z 1
Déterminer les valeurs des trois réels strictement positifs u,v et w vérifiant le système
Système et Matrice 6
(S’) : {
ln u ln v ln w 1
v2
ln 2 1
u w
u w2 2
ln 1
v
Exercice N
014
Soit la matrice M=
- 15 10 8 - 8 6 4 - 24 15 13 1- Calculer M2
2- a)- Vérifier que 𝑀2− 3𝑀 + 2𝐼3 = 0
b)- En déduire que la matrice M est elle inversible et donner l’expression de M-1? 3- Résoudre dans IR3 le système (S) :
15x 10y 8z 1 (S) 8x 6y 4z 2
24x 15y 13z 3 Exercice 12
Soit la matrice A=
1 1 1 1 1 1 1 1 1
et la matrice B=
- 3 1 1 1 -3 1 1 1 - 3 1-Vérifier que A=B+4I3
2-Trouver une relation entre A et A2. 3-Trouver une relation entre B, B2 et I3.
4- Montrer que B est inversible et déterminer B-1 . 5- Résoudre dans IR3 le système (S) :
3x y z 5 (S) x 3y z 2
x y 3z 1
