COLLECTION MATHÉMATIQUE ΣΥΝΑΓΩΓΉ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΉ

(1)

ΣΥΝΑΓΩΓΉ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΉ

1. PROBLEMS ABOUT

THE LEMOINE's POINT

1

Jean - Louis AYME ²

A

B C

E

D A'

C'

0

Sa Ta

Pb

Résumé. L'article présente une compilation non exhaustive, appelée à être complété

1 Allégorie et personnification de la Géométrie tenant un compas…

2 St-Denis, Île de la Réunion (Océan indien, France), le 30/09/2019 ; jeanlouisayme@yahoo.fr

(2)

par de nouveaux problèmes, concernant "des points remarquables sur une symédiane". Ce regroupement de problèmes autour d'un même thème permet à l'auteur de trouver quelques liens entre eux.

Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.

Abstract. he article presents a non-exhaustive compilation, to be supplemented by new problems, concerning "remarkable points on a symedian". This grouping of problems around the same theme allows the author to find some links between them.

The figures are all in general position and all cited theorems can all be shown synthetically.

Resumen. El artículo presenta una compilación no exhaustiva, que se complementará con nuevos problemas, relativos a "puntos notables sobre un symedian". Esta agrupación de problemas alrededor del mismo tema permite al autor encontrar algunos vínculos entre ellos.Las figuras están todos en posición general y todos los teoremas mencionados pueden todos ser demostrados sintéticamente.

Zusammenfassung. Der Artikel präsentiert eine nicht erschöpfende Zusammenstellung, die durch neue Probleme ergänzt werden soll, die "bemerkenswerte Punkte auf einem Symedian" betreffen. Diese Gruppierung von Problemen rund um das gleiche Thema ermöglicht es dem Autor, einige Verbindungen zwischen ihnen zu finden.

Die Figuren sind alle in einer allgemeinen Position und alle genannten Lehrsätze synthetisch nachgewiesen werden können.

Sommaire

A. Problèms on the Lemoine's point (in English) 3 1. An unlikely concurrence on a symmedian 3

2. Schlömilch – Schwatt's line 5

3. A Kostas Vittas problem 7

4. K is the centroid of it pedal triangle 9 5. The symmedian point in a right-angled triangle 12 6. Deux parallèles

B. Lexique Français-Anglais

(3)

A. PROBLEMS ABOUT

THE LEMOINE's POINT

1. An unlikely concurrence on a symmedian

Jean-Louis Ayme (2003)

VISION

Figure :

A

B C

E

D A'

C'

0

Sa Ta

Pb

Features : ABC a triangle,

0 the circumcircle of ABC,

D, E the feet of the A, B-altitudes of ABC resp., A', C' the midpoints of BC, AB resp.,

Ta the tangent to 0 at A, Sa the A-symmedian of ABC

and Pb the parallel to Ta passing through B.

Given : Sa, Pb, DE and A'C' are concurrent.³

VISUALIZATION

3 Ayme J.-L., Crux Mathematicorum, (Canada) 8 (2003) 511-513 ; http://math.ca/crux/ ; An unlikely concurrence, G.G.G. vol. 4 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

(4)

A

B C

M E

D

N

T

S A'

C'

L 0 Ta

Tb Pb Tc

1

Pn

• Note Ta, Tb, Tc the tangents to 0 at A, B, C resp.,

L, M the points of intersection of Pb with AC, DE resp., N the point of intersection of Tb and Tc,

Pn the parallel to Ta passing through N and S, T the intersections of Pn with AC, AB resp..

• According to ''La figure de Chasles comme matrice'' et ''définition d'une symédiane'' ⁴, Sa= AN.

• According to Boutin's theorem ⁵, B, C, S and T lie on a circle having ST for diameter and N for center ;

we have, CT ⊥ ACS ;

but since, ACS ⊥ BE ;

we have, CT // BE.

• According to Carnot's theorem ⁶, Tc // DE.

• Since, Pb// Ta and Ta // Pn, we get : Pb // Pn.

• According to Thalès-Desargues's theorem ⁷

applied to the homothetic triangles BME and TNC, M, N and A are collinear.

• According to ''Symmedian and antiparallel'' ⁸, M is the midpoint of BL ;

consequently, A', M et C' are collinear.

• Conclusion : Sa = AN, Pb, DE and A'C' are concurrent.

4 Ayme J.-L., About the symmedian's line * History, A. 3 et A. 5., G.G.G. vol. 62, p. 6-9, 11 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

5 Ayme J.-L., A propos du théorème de Boutin, G.G.G. vol. 1 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

6 The sides of the orthic triangle are parallel to the tangents to the circumcircle at the vertices.

7 If two triangles have an axis of perspective (here the line at infinity), they have a center of perspective.

8 Ayme J.-L., About the symmedian's line * History, A. 7., G.G.G. vol. 62, p. 13-15 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

(5)

2. Schlömilch – Schwatt's lines

Oscar Xavier Schloemilch (1860)

VISION

Figure :

A

B I C

M K

A'

A' the foot of the A-altitude of ABC, M the midpoint of the segment AA', I the midpoint of the side BC et K the Lemoine's point of ABC.

Given : I, K and M are collinear.⁹

VISUALIZATION

9 Schloemilch O., Uebungsbuch zum Studium des höheren Analysis I, 33 (1860) ; Schwatt I. J., Educational Times 67 (1897)

(6)

A

B C

U

B'

A' I

E

K

M D

V 1

2

3

4

5 6

• Note E, D the midpoints of CA, AB resp.,

A', B' the feet of the A, B-altitudes of ABC resp.

et U, V the points of intersection of IE and A'B', of A'B' and DE resp..

• According to A. 1. Un unlikely concurrence on a symmedian, (1) AU goes through K

(2) AV goes through K.

• According to Pappus d'Alexandrie "La proposition 139" ¹⁰, KIM is the pappusian line of the hexagon AUEVBA'A.

• Conclusion : I, K et M are collinear.

Remark : triangular vision

A

B I C

M K

A'

10 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d’Alexandrei, G.G.G. vol. 6, p. 10-17 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

(7)

Traditional result:

the line joining

the midpoint of a side of a triangle to the midpoint of the corresponding altitude goes through

the symmedian point of that triangle.

Note historique: dans les Nouvelles Annales de 1887, Ernesto Cesàro ¹¹ attribue ce résultat à Oscar Scloemilch qui serait tombé par hasard sur cette situation, la nature du point de concours ayant été identifiée par Franz Wetzig ¹² en 1863 selon le docteur von Emmerich. Ce résultat a été republié en 1873 ou 1874 comme l'indique Maurice d'Ocagne et Émile Vigarié ¹³ dans le Journal de Mathématiques Élémentaires de 1886.

Émile Lemoine ¹⁴ donnera à nouveau ce résultat sans en donner une preuve dans les Nouvelles Annales de 1884. Enfin, Isaac Joachim Schwatt publiera en 1897 un article concernant cette situation dans Educational Times.

Remark : IM is the "A-Schlömilch - Schwatt's ine of ABC".

Exercise or direct application : Symmedian intersection ¹⁵ on Mathlinks.

11 Césaro E., Nouvelles Annales (1887) 223

12 Wetzig F., Journal de Crelle 62 (1863) 349-361

13 Ocagne (d') M., Vigarié E., Note sur la symédiane, Journal de Mathématiques Élémentaires (1886) 180

14 Lemoine E., Nouvelles Annales (1884) 27

15 Symmedian intersection, Mathlinks (03/04/2006) ;

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=82294.

(8)

3. A Kostas Vittas problem

Kosta Vittas (Grèce) (2010)

VISION

Figure :

A

B D C

A'

A"

E

F

P

D the foot of the A-altitude of ABC, A' the midpoint of BC,

A" the symmetric of A wrt A',

E the foot of the perpendicular to BA" through A, F the symmetric of E wrt B

and P the point of intersection of A"D and CF.

Given : AP is the A-symmedian of ABC.¹⁶

VISUALIZATION

16 Vittas K., Prove that AP is the A-symmedian of ABC, Art of Problem Solving (01/09/2010) ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=364698.

(9)

A

B

C

D A'

A"

E

F P

B' D' C'

• Note B', D', C' the symmetrics of A wrt B, D, C.

• Remarks : (1) B'C' // BC

(2) AD' is the A-altitude of the triangle AB'C' (3) D is the midpoint of the segment AD' (4) A" is the midpoint pf the segment B'C'

(5) F is the midpoint of the B'-altitude of AB'C'

• According to A. 2. Schlömilch- Schwatt's lines", P is the Lemoine's point of AB'C' ;

consequently, AP is the A-symmedian of AB'C'.

• Conclusion : ABC and AB'C' being homothetic, AP is the A-symmedian of ABC.

Historical note : this very aesthetic proof comes from Luis Gonzalez.

(10)

4. K is the centroid of it pedal triangle

Ernst Wilhem Grebe (Cassel- Allemagne) (1847)

VISION

Figure :

A

B C

R K

Q

P

Features : ABC a triangle, K un point

and PQR the triangle K-pedal of ABC.

Given : K is the symmedian point of ABC if, and only if, K is the centroid of PQR. ¹⁷

NECESSARY VISUALIZATION

17 Grebe E. W. (Cassel- Allemagne), Grunert's Archiv des Mathematik, IX (1847) 250-259

L'éternel point de Lemoine, Les-Mathematiques.net ; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,2050680

(11)

A

B A' C

C'

B'

P"

K' K

P

Q

R

P'

• Note P" the A-exsymmedian point of ABC and A'B'C' the P"-pedal triangle of ABC.

• According to ''An exsymmedian point, vertex of a parallelogram'' ¹⁸, the quadrilateral P"A'B'C' is a parallelogram.

• Note K' the midpoint of the diagonals B'C' and A'P".

• According to ''La figure de Chasles comme matrice'' et ''définition d'une symédiane'' ¹⁹, A, K et K' are collinear.

• Remarks : P"B' // KQ and P"C' // KR.

• According to "the Thalès- Desargues theorem" ²⁰

applied to the perspective triangles P"B'C' et KQR, B'C' // QR.

• Note P' the point of intersection of KP and QR.

• Scolie : P"K' // KP'.

• According to "the Thalès-Desargues theorem" ²¹

applied to the homothetic triangles P"K'C' and KP'R, A, L' et I' are collinear.

• According to "The complete trapeze" applied to B'QRC', P' is the midpoint of QR.

• Partial conclusion : PK is the P-median of PQR.

• Mutatis mutandis, we would prove that (1) QK is the Q-median of PQR

(2) RK is the R-median of PQR.

• Conclusion : K is the centroid of PQR.

18 Ayme J.-L., Remarkable points on a symmedian, A. 1, G.G.G. vol. 62, p. 3-6 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

19 Ayme J.-L., About the symmedian's line * History, A. 3 et A. 5., G.G.G. vol. 62, p. 6-9, 11 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

(12)

SUFFICIENT VISUALIZATION

A

B A' C

C'

B'

P"

K

P

Q

R

M

• Notons P" the A-exsymmedian point of ABC, A'B'C' the P-pedal triangle of ABC

and M the point such as RKQM is a parallelogram.

• According to ''An exsymmedian point, vertex of a parallelogram'' ²², the quadrilateral P"B'A'C' is a parallelogram.

• According to "the Thalès-Desargues theorem" ²³,

applied to the homothetic triangle P"A'C' et KMR, P"K, A'M and C'R are concurrent.

• According to "The Thalès-Desargues theorem" ²⁴,

applied to the homothetic triangles P"A'B' et KMQ, P"K, A'M and B'Q are concurrent ;

consequently, P"K, A'M, C'R and B'K are concurrent at A.

• Partial conclusion : K is on the A-symmedian of ABC.

• Mutatis mutandis, we would prove that (1) K is on the B-symmedian of ABC

(2) K is on the C-symmedian of ABC.

• Conclusion : K is the symmedian point of ABC.

Commentaires : une preuve directe basée sur une approche métrique est présentée par Ross

Honsberger ²⁵ et par Emil Donath ²⁶. Une preuve réciproque basée sur une approche trigonométrique est donnée par Darij Grinberg.

22 Ayme J.-L., Remarkable points on a symmedian, A. 1, G.G.G. vol. 62, p. 3-6 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

23 If two triangles have an axis of perspective (here the line at infinity), they have a center of perspective

25 Honsberger R., Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, MAA, New Mathematical Library (1995)

72-73

26 Donath E., Die merkwürdigen Punkte und Linien des ebenen Dreiecks, Berlin (1976)

(13)

Note historique : ce résultat trouvé métriquement par Ernst Wilhelm Grebe en 1847, a été redécouvert par C. F. A. Jacobi en 1851, par Eugène Catalan ²⁷ lors d'un calcul d'extrema en 1852, par Émile Lemoine, et proposé au concours de l'Agrégation en 1874. Il a aussi été démontré en 1875 par C. Chadu ²⁸, professeur au lycée de Mont-de-Marsan et par Émile Vigarié ²⁹ en 1885.

Énoncé traditionnel :

le point symédian d'un triangle est le point médian de son triangle pédal.

Archive :

27 Catalan E., Théorèmes et problèmes de Géométrie Élémentaire, 1^e édition (1852), 6e édition, Dunod, Paris, (1879) Livre III, problème LI, p. 230

28 Chadu, Nouvelles Annales (1875) 175

29 Vigarié E., J.M.E. (1885) 76

(14)

5. The symmedian point in a right-angled triangle

VISION

Figure :

A

B A" C

K

Features : ABC a A-right-angled triangle, A' the foot of the A-altitude of ABC and K the midpoint of the segment AA".

Given : K is the symmedian point of ABC. ³⁰

VISUALIZATION

• Remarks : AA" is the A-symmedian of ABC.

A

B A" A' C

B' B"

Tb

0

• Note B' the midpoint of the segment AC, B" the foot of the B-symmedian of ABC 0 the circumcircle of ABC

and Tb the tangent to 0 at B.

• Remark : AA" is parallel to Tb.

30 Art of problem Solving (12/01/2005) ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=49&t=23491

(15)

• According to ''Symmedian et antiparalléle'' ³¹, K is on BB'.

• Conclusion : according to ''Le point de Lemoine'' ³², K is the symmedian point of ABC

31 Ayme J.-L., About the symmedian's line * History, G.G.G. vol. 62, p. 13-15 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

32 Ayme J.-L., About the Lemoine's point, A. 2, G.G.G. vol. 63, p. 5-8 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

(16)

6. Two parallels ³³

Jean-Louis Ayme (2021)

VISION

Figure :

A

B C

K

0

X 1a

Y R G

Features : ABC a triangle, (O) the circumcircle,

K, G the Lemoine's point, the median point, (Oa) the circumcircle of the triangle KBC,

X, Y the second points of intersection of AK wrt (O), (Oa)

and R the point of intersection of the parallel to BC through G and AB.

Given : BY is parallel to RX.

VISUALIZATION

33 Two parallels, AoPS du 11/03/2020 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h2483643_two_parallels Deux parallèles, Les-Mathematiques.net ; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,2198530

(17)

A

B C

K

0

1a R G

T

1

• Notons T le second point d'intersection de (CG) avec 0.

• Le cercle 0, les points de base A et T, les moniennes naissantes (BAR) et (CTG), les parallèles (BC) et (RG), conduisent au théorème 0'' de Reim ; en conséquence, A, T, R et G sont cocycliques.

• Notons 1 ce cercle.

A

B C

K

0

1a X

R G T

U

V 1

Tt

• Notons Tt la tangente à 1 en T

et U le second point d'intersection de Tt avec 0.

• Les cercles 1 et 0, les points de base T et A, les moniennes (TTU) et (GAV), conduisent au théorème 3 de Reim ; il s'en suit que (TG) // (UV).

• K étant l'isogonal de G relativement à ABC, (XV) // (BC).

(18)

A

B C

K

0

1a X

R G T

U

V 1

Tt

1

2

3 4

5

6

• D'après Aubert-Pascal ''Hexagrama mystucum'' ³⁴,

appliqué à l'hexagone cyclique BUVXTCB, (BU) // (TX).

A

B C

K

0

X 1a

Y G R

T

U

1 Tt

• Une chasse angulaire :

* par ''Angles alterne-interne'', <UBX = <TXB

* par ''Angles inscrits'', <TXB = <TCB

* par une autre écriture, <TCB = <GCB

* K étant l'isogonal de G, <GCB = <ACK

34 Ayme J.-L., Hexagramma mysticum, G.G.G. vol. 13, p. 14-16 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

(19)

* par transitivité de =, <UBX = <ACK.

• D'après ''Une transversale à deux cercles sécants'' ³⁵, (BU) passe par Y.

• Conclusion : (BY) est parallèle à (RX).

Scolie : un rapport

A

B C

K

0

X 1a

Y R G

A'

• Notons A' le pied de la A-médiane.

• Une chasse de rapports :

* d'après Thalès de Milet, AX/AY = AR/AB

* d'après Thalès de Milet, AR/AB = AG/AA'

* d'après Archimède de Syracuse, AG/AA' = 2/3.

• Conclusion : par transitivité de =, AX/AY = 2/3 ou encore AX = 2.XY. ³⁶

35 Ayme J.-L., Une transversale à deux cercles sécants, G.G.G. vol. 46 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

36 Er Jkl, Problem 7489 (26/02/2020); Romantics of Geometry ;

https://www.facebook.com/photo/?fbid=491720565324441&set=gm.3767498946697117

(20)

B. LEXIQUE FRANÇAIS - ANGLAIS

A

aligné collinear

annexe annex

axiome axiom

appendice appendix

adjoint associate

a propos by the way btw

acutangle acute angle

axiome axiom

B

bissectrice bisector

bande strip

C

centre incenter

centre du cercle circonscrit circumcenter

cercle circonscrit circumcircle

cévienne cevian

colinéaire collinear

concourance concurrence

coincide coincide

confondu coincident

côté side

par conséquence consequently

commentaire comment

D

d'après according to

donc therefore

droite line

d'où hence

distinct de different from

E

extérieur external

F

figure figure

H

hauteur altitude

hypothèse hypothesis

I

intérieur internal

identique identical

i.e. namely

incidence incidence

L

lemme lemma

lisibilité legibility

M

mediane median

médiatrice perpendicular bissector

milieu midpoint

N

Notons name

nécessaire necessary

note historique historic note

O

orthocentre orthocenter

ou encore otherwise

P

parallèle parallel

parallèles entre elles parallel to each other

parallélogramme parallelogram

pédal pedal

perpendiculaire perpendicular

pied foot

point de vue point of view

postulat postulate

point point

pour tout for any

Q

quadrilatère quadrilateral

R

remerciements thanks

reconnaissance acknowledgement

respectivement respectively

rapport ratio

répertorier to index

S

semblable similar

sens clockwise in this

order

segment segment

Sommaire summary

symédiane symmedian

suffisante sufficient

sommet (s) vertex (vertice)

T

trapèze trapezium

tel que such as

théorème theorem

triangle triangle

triangle de contact contact triangle triangle rectangle right-angle triangle