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3
EXERCICE 2
Soit la représentation graphique d’une fonction f définie sur [1 ; +∞ [.
On a représenté ci-dessous 3 courbes. Parmi celles-ci, une seule est celle d’une primitive de f sur [1 ; +∞ [.
Préciser laquelle, en justifiant votre réponse.
courbe 1 courbe 2 courbe 3
EXERCICE 3
Pour chacune des fonctions suivantes, en donner une primitive.
1) f ( x ) = 3x4+ 12 x ² +5 2) g( x )= 3x + 5
𝑥
3) h ( x )= 12 e 2x+5
4) i ( x )= (2x + 4 ) ( x ² + 4x +7) 5 5) j( x )= 4 𝑥
3+1 (𝑥4+𝑥 )²
EXERCICE 4
On considère l’intégrale
14(2x−1)dx.1) Calculer
14(2x−1)dx en utilisant une primitive.2) Retrouver le résultat de 1) par un calcul d’aire.
EXERCICE 5
On considère la suite u définie par : U0 =120 et un+1= 1,14un ─ 7
Bonus : Une suite est définie par V0 = 10 et V n+1= 3 V n ─ 8.
Déterminer le nombre α tel que la suite W définie par Wn = Vn─ α soit géométrique et en déduire V nen fonction de n.
La fonction est continue et positive, donc l’intégrale correspond à l’aire en unité d’aire conprise entre la courbe de f, l’axe des abscisses, et les droites d’équation x =2 et x=4.
Ici une unité d’aire correspond à un carreau.
2
3
Ou encore :
lnx > 0 donc eln x > e0 donc x > 1
EXERCICE 2
Soit la représentation graphique d’une fonction f définie sur [1 ; +∞ [.On a représentée ci-dessous 3 courbes. Parmi celles-ci, une seule est celle d’une primitive de f
sur [1 ; +∞ [. Préciser laquelle, en justifiant votre réponse.
courbe 1 courbe 2 courbe 3
F est une primitive de f sur [1 ; +∞ [ signifie que sur [1 ; +∞ [ F' = f
Or le signe de F' donne les variations de F. On cherche donc le signe de f (x) qui permettra de déduire les variations de F et donc de choisir parmi les 3 courbes données celle qui convient :
x 1 3 +∞
Signe de f (x) +
|
0 | ‒
Variations de F
EXERCICE 3
Pour chacune des fonctions suivantes, en donner une primitive.
1) f ( x ) = 3x4+ 12 x ² +5 F ( x ) = 3 × 1
5 x5 + 12 ×1
3 x3 +5× x
F ( x ) = 𝟑
𝟓 x5 + 4 x3 +5 x 2) g ( x ) = 3x + 5
𝑥
G ( x ) = 3×1
2 x² + 5 × ln x
G ( x ) = 𝟑
𝟐 x² + 5 ln x
3) h ( x ) = 12 e 2x+5 H ( x ) = 12 × 𝟏
𝟐 e 2 x +5 H ( x ) = 6 e 2 x +5
4) i ( x ) = (2x + 4 ) ( x ² + 4x +7) 5 i est du type u’ × u5
On pose u(x) = x ² + 4x +7 u’(x) = 2x + 4
donc i = u’ × u5 donc I = 1
6 u6
I ( x ) = ( x ² + 4x +7)6
5) j( x ) = 4 𝑥
3+1 (𝑥4+𝑥 )²
j est du type 𝑢′
𝑢²
On pose u(x) = x4 + x u’(x) = 4 x 3 + 1 donc j = 𝑢′
𝑢² donc J = −1
𝑢
J( x ) = −𝟏
𝒙𝟒+𝒙
On pose f(x) = 2x ─ 1 on peut donc prendre F( x) = 2× 𝟏
𝟐 x² ─ x = x² ─ x.
F(4) = 4 ² ─ 4 = 16 ─ 4 = 12 et F(1) = 1 ² ─ 1 = 1 ─ 1 = 0
On a donc
14(2x−1)dx= F(4) ─ F(1) = 12 ─ 0 = 12
2) Retrouver le résultat de 1) par un calcul d’aire.
Calculer
14(2x−1)dx. On explicitera la méthode.Soit f (x) = 2x ‒ 1
f est une fonction affine et de plus f (1) = 1 et f (4) = 7
f est continue et positive sur [1 ; 4] donc
14(2x−1)dxest l’aire, en unités d’aire, du domaine limité par Cf, l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x = 1 et x=4.Il s’agit de l’aire en unités d’aire du trapèze colorié ci-contre.
On a donc :
14(2x−1)dx = (1 + 7) × 3 2 = 12EXERCICE 5
On considère la suite u définie par : U0 =120 et un+1= 1,14un ─ 7
Bonus : Une suite est définie par V0 = 10 et V n+1= 3 V n ─ 8.
Déterminer le nombre α tel que la suite W définie par Wn = Vn─ α soit géométrique et en déduire V n en fonction de n.
Wn+1 = Vn+1 ─ α
= 3 Vn ─ 8─ α
= 3 ( Wn + α ) ─ 8─ α
= 3 Wn + 3 α ─ 8─ α
= 3 Wn + 2 α ─ 8
Pour que Wsoit géométrique il faut donc que :
Sa raison soit égale à 3 et que 2 α ─ 8=0 (cela permet d’avoir Wn+1 = 3 W n ) Or 2 α ─ 8= 0 signifie
α = 4
On a alors W est géométrique donc Wn = W0 × qn or W0 = V0 ─ α = 10 ─ 4 =6 Donc Wn = 6 × 3n
Et comme Wn = Vn ─ α on a donc
V
n = W n + α= 6 × 3
n+ 4
