TP 9 SCILAB

Université de Strasbourg

TP 9 SCILAB

Agrégation Externe de Mathématiques Année 2012-2013

FFT pour l’équation de la chaleur

On considère l’équation de la chaleur

∂u

∂t −∂²u

∂x² = 0dans[0,2π[, u(0, x) = sin(x),

avec des conditions aux limites périodiques, i.e. on suppose que la solutionu(t, x)est périodique de période2πenx. On rappelle que la solution exacte vautu(t, x) =e^−tsinx.

En raison des conditions aux limites périodiques, les matrices obtenues par discrétisation de ce problème sont circulantes. On peut alors résoudre le problème dans la base de diagonalisation des matrices circulantes, le passage dans cette base pouvant être implanté à l’aide de la transfor- mée de Fourier discrète rapide (FFT). Rappelons que les valeurs propres d’une matrice circulante C(c₀, c₁, . . . c_N−1)sont données par

λ_k=

N−1

X

j=0

c_je^2iπjkN k= 0, . . . , N−1.

1. Ecrire une fonction Scilab qui pour des valeurs dec0, c1, cN−1 données retourne un vecteur contenant lesN valeurs propres de la matrice circulanteC(c0, c1,0, . . . ,0, cN−1).

2. Utiliser la technique du passage dans la base de diagonalisation pour faire une simulation pour les discrétisations suivantes.

(a) Schéma explicite centré en espace : uⁿ⁺¹_j =uⁿ_j + ∆t

∆x²(uⁿ_j+1−2uⁿ_j +uⁿ_j−1).

On prendra _∆x^2∆t2 = 0,9(cas stable) puis _∆x^2∆t2 = 1,1(cas instable). On vérifiera dans le cas stable que le schéma est d’ordre 2 si on garde _∆x^∆t2 constant et dans le cas instable que le mode oscillant fini par dominer.

(b) Schéma implicite centré en espace : uⁿ⁺¹_j − ∆t

∆x²(uⁿ⁺¹_j+1 −2uⁿ⁺¹_j +uⁿ⁺¹_j−1) =uⁿ_j.

Vérifier que le résultat donné par cette méthode est identique visuellement à celui obtenu en utilisant directement la matrice de transfert du schéma. Vérifier que le schéma est stable pour des pas de temps du même ordre de grandeur que le pas d’espace (au lieu de

∆x²pour le schéma explicite.

(c) Schéma de Crank-Nicholson centré en espace d’ordre 2 en temps et en espace : uⁿ⁺¹_j − ∆t

2∆x²(uⁿ⁺¹_j+1 −2uⁿ⁺¹_j +uⁿ⁺¹_j−1) =uⁿ_j + ∆t

2∆x²(uⁿ_j+1−2uⁿ_j +uⁿ_j−1).

Vérifier que le schéme est d’ordre 2 en temps et en espace.

1