les suites ATTENTION! Parfois les suites ne commencent pas à 0! Dans l énoncé, il peut être marqué :

(1)

Maths 2ème BAC

Cours 1

Introduction :

Nous allons voir ici quelque chose que tu as normalement déjà vu en 1

bien sûr il y aura des choses nouvelles. Nous allons donc commencer par des rappels de 1 Ce chapitre est important parce qu’on le retrouve dans d’

intégrales.

Les bases des suites

Déjà une suite, qu’est-ce-que c’est ? C’est un peu comme une fonction mais qui ne serait définie que pour les entiers, c’est

u0, u1, u2, u3…

Par exemple un = 8n + 4 donc u0 = 8 x 0 + 4 = 4 u1 = 8 x 1 + 4 = 12 …

Ensuite il faut savoir qu’il y a 2 façons de décrire une suite : – La formule explicite : on a un

Si je te demande de calculer u200

u200 = 8 x 200 + 4 = 1604, pas de problème ! – La formule récurrente : là on a u

Attention ! Pour calculer u22

Pour calculer u22, tu remplaces donc n par 21 : u Mais il faut donc calculer u21 ! Mais pour calculer u

compris que ce n’est pas pratique pour calculer un terme éloigné par contre on s’en servira tout à l’heure

ATTENTION ! Parfois les suites ne commencent pas à 0 ! Dans l’énoncé, il peut être marqué : Pour tout n ≥ 2, on définit un par patiti patata… A ce moment

Il est possible de commencer à 1, 2, 3,

Attention aussi que le n est TOUJOURS positif !!! Tu ne verras jamais u On utilisera le fait que n est positif plus tard.

Dernière remarque : il ne faut pas confondre u

Dans les calculs tu mets un sans parenthèse car il s’agit d’un terme de la suite, par exemple Par contre dans les phrases tu mets (u

par exemple (un) est croissante, (u

les suites

Nous allons voir ici quelque chose que tu as normalement déjà vu en 1^ère, les suites, mais bien sûr il y aura des choses nouvelles. Nous allons donc commencer par des rappels de 1 Ce chapitre est important parce qu’on le retrouve dans d’autres chapitres, notamment les

que c’est ? C’est un peu comme une fonction mais qui ne serait définie que pour les entiers, c’est-à-dire qu’il n’y aurait que f(0), f(1), f(2), f(3)… Sauf qu’on écr

Ensuite il faut savoir qu’il y a 2 façons de décrire une suite : en fonction de n, comme un = 8n + 4

200, tu remplaces n par 200 :

= 8 x 200 + 4 = 1604, pas de problème !

La formule récurrente : là on a un+1 en fonction de un, comme un+1 = 3un + 2.

—

22, tu remplaces n par 21, puisque c’est n+1 qui doit valoir 22…

—

, tu remplaces donc n par 21 : u22 = u21+1 = 3 x u21 + 2 (puisque u

! Mais pour calculer u21 il faut u20, et pour calculer u compris que ce n’est pas pratique pour calculer un terme éloigné de u0 comme u par contre on s’en servira tout à l’heure

—

ATTENTION ! Parfois les suites ne commencent pas à 0 ! Dans l’énoncé, il peut être marqué : par patiti patata… A ce moment-là u0 et u1 n’existent pas, et tu dois

alors commencer à u2.

Il est possible de commencer à 1, 2, 3, 4…

—

Attention aussi que le n est TOUJOURS positif !!! Tu ne verras jamais u -1 ou u ça n’existe pas !

On utilisera le fait que n est positif plus tard.

—

Dernière remarque : il ne faut pas confondre un et (un) (avec et sans parenthèse

sans parenthèse car il s’agit d’un terme de la suite, par exemple un = 4

Par contre dans les phrases tu mets (un) avec parenthèses car il s’agit de la suite (u ) est croissante, (un) est minorée, (un) est convergente etc…

—

2018/2019

, les suites, mais bien sûr il y aura des choses nouvelles. Nous allons donc commencer par des rappels de 1^ère.

autres chapitres, notamment les

que c’est ? C’est un peu comme une fonction mais qui ne serait dire qu’il n’y aurait que f(0), f(1), f(2), f(3)… Sauf qu’on écrit

, tu remplaces n par 21, puisque c’est n+1 qui doit valoir 22…

+ 2 (puisque un+1 = 3un + 2) , et pour calculer u20… Tu as

comme u35 par exemple,

ATTENTION ! Parfois les suites ne commencent pas à 0 ! Dans l’énoncé, il peut être marqué : n’existent pas, et tu dois

ou u– 4 par exemple,

) (avec et sans parenthèse).

sans parenthèse car il s’agit d’un terme de la suite, par exemple ) avec parenthèses car il s’agit de la suite (un) en entier,

) est convergente etc…

(2)

Maths 2ème BAC

Cours 1

Représentation graphique

Dans un plan, on représente la suite par des points, puisque la suite n’est définie que pour 0, 1, 2, 3… contrairement à une fonction.

Construction graphique Pour les suites récurrentes (un+1

la suite ! Cela est souvent demandé. Profites n’y a quasiment rien à savoir !

Le principe est très simple, on va prendre un petit exemple : un+1=√(un)+6, et u0=4.

On trace alors f(x) = √(x)+6 (généralement on te donne la fonction déj tracer la droite d’équation y = x (qui est la diagonale). Puis tu places le u compliqué

Ensuite comme c’est un peu plus compliqué (enfin un tout petit peu^^), on a préféré te faire une belle animation en vidéo pour que tu comprennes mieux

les suites

Dans un plan, on représente la suite par des points, puisque la suite n’est définie que pour 0, 1, 2, 3… contrairement à une fonction.

n+1 en fonction de un), il est possible de construire graphiquement la suite ! Cela est souvent demandé. Profites-en ce sont des points gagnés très facilement, il Le principe est très simple, on va prendre un petit exemple :

(x)+6 (généralement on te donne la fonction déjà tracée). Il te suffit de tracer la droite d’équation y = x (qui est la diagonale). Puis tu places le u0 : jusque

lus compliqué (enfin un tout petit peu^^), on a préféré te faire une belle animation en vidéo pour que tu comprennes mieux

2018/2019

Dans un plan, on représente la suite par des points, puisque la suite n’est définie que pour 0, 1,

), il est possible de construire graphiquement en ce sont des points gagnés très facilement, il

à tracée). Il te suffit de : jusque-là, rien de lus compliqué (enfin un tout petit peu^^), on a préféré te faire

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Maths 2ème BAC

Cours 1

Les suites de base

Tu dois savoir qu’il y a 2 types de suites que l’on utilise souvent : les suites géométriques e les suites arithmétiques. Un petit tableau récapitulatif ne fera pas de mal

FORMULE SUITES ARITHMÉTIQUES Explicite un = u

Récurrente un+1

Somme

Formules à connaître

(la somme sera expliqué un peu plus loin^^)

ATTENTION ! Les formules des suites explicites ne sont valables que si les suites commencent Si une suite commence à p, les formules sont alors :

Par exemple : (un) est une suite arithmétique de 1er terme u

Mais ce genre de situation se retrouve rarement dans les exercices, et les suites commencent souvent à n = 0.

les suites

Tu dois savoir qu’il y a 2 types de suites que l’on utilise souvent : les suites géométriques e les suites arithmétiques. Un petit tableau récapitulatif ne fera pas de mal

SUITES ARITHMÉTIQUES SUITES GÉOMÉTRIQUES

= u0 + nr un = u

= un + r un+1 = u

xpliqué un peu plus loin^^)

—

ATTENTION ! Les formules des suites explicites ne sont valables que si les suites commencent à n = 0.

Si une suite commence à p, les formules sont alors :

—

) est une suite arithmétique de 1er terme u2 = 5, et de raison r =

Mais ce genre de situation se retrouve rarement dans les exercices, et les suites commencent

2018/2019

Tu dois savoir qu’il y a 2 types de suites que l’on utilise souvent : les suites géométriques et

SUITES GÉOMÉTRIQUES

= u0 x qⁿ

= un x q

ATTENTION ! Les formules des suites explicites ne sont valables que si les suites commencent

, et de raison r = – 7. Alors :

Mais ce genre de situation se retrouve rarement dans les exercices, et les suites commencent

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Cours 1

Si les formules explicites et récurrentes ne devraient pas poser problème, la dernière ligne demande peut-être quelques explications… mais un petit exemple ce sera mieux

Prenons un = 6 – 5n, pour n ≥ 0.

On voit clairement que un est une suite arithmétique de raison On cherche alors à calculer :

Autrement dit on cherche à calculer la somme des 1ers termes jusqu’à n : on applique donc la formule de la 3ème ligne du tableau

ATTENTION !! Si la somme va de 0 à n, il y a n + 1 termes !!!! Et non pas n termes.

Par exemple, de 0 à 4, il y a 0, 1, 2, 3, 4, ce qui fait 5 termes !!

Par contre si la somme va de 1 à n, là oui il y a n termes.

La formule nous donne :

Ici comme un est une suite arithmétique on applique la formule pour les suites arithmétiques, mais bien sûr si elle était géométrique on aurait

ATTENTION ! Beaucoup de personnes pensent que la formule pour une suite géométrique est :

Mais cela n’est valable que s’il y a n termes et que le 1er terme vaut 1 !!

Au numérateur, c’est bien q puissance «

Et il ne faut pas oublier le 1er terme avant la fraction, il ne faut donc pas aller trop vite^^

les suites

Si les formules explicites et récurrentes ne devraient pas poser problème, la dernière ligne être quelques explications… mais un petit exemple ce sera mieux

≥ 0.

est une suite arithmétique de raison -5 et de premier terme 6.

alculer la somme des 1ers termes jusqu’à n : on applique donc la formule de la 3ème ligne du tableau

—

est une suite arithmétique on applique la formule pour les suites arithmétiques, mais bien sûr si elle était géométrique on aurait appliquer l’autre formule.

—

Au numérateur, c’est bien q puissance « nombre de termes

oublier le 1er terme avant la fraction, il ne faut donc pas aller trop vite^^

—

2018/2019

Si les formules explicites et récurrentes ne devraient pas poser problème, la dernière ligne être quelques explications… mais un petit exemple ce sera mieux

5 et de premier terme 6.

alculer la somme des 1ers termes jusqu’à n : on applique donc la

est une suite arithmétique on applique la formule pour les suites arithmétiques,

nombre de termes ».

oublier le 1er terme avant la fraction, il ne faut donc pas aller trop vite^^

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Maths 2ème BAC

Cours 1

Par ailleurs, pour montrer qu’une suite est arithmétique ou géométrique, c’est facile En Terminale, surtout au bac, on utilise très souvent cette méthode pour montrer qu’un est géométrique.

Dans ces annales de bac sur les

En Terminale on se sert surtout des formules pour la so

artihmétiques et géométriques, mais ce n’est pas bien méchant^^

Avec ces exercices sur les suites

comment appliquer certaines formules vues plus haut.

Monotonie

Quand dans un énoncé on te demande « étudier la monotonie de la suite », il faut chercher si la suite est croissante ou décroissante, tout simplement !

Tu dois alors savoir que :

Du coup, pour savoir si une suite est croissante ou décroissante, on fait quoi

Et bien on calcule un+1 – un et on regarde le signe : si c’est positif, la suite est croissante, si c’est négatif, la suite est décroissante

Petite subtilité : si tu veux montrer que la suite est STRICTEMENT croissante, il faut montrer que u

Et si tu veux montrer que la suite est STRICTEMENT décroissante, il faut montrer que u

Suite majorée, minorée, bornéeUne suite majorée c’est quoi ?

C’est tout simplement une suite qui est inférieure à un nombre : pour tout n, un≤ M, où M est un réel.

Une suite minorée c’est l’inverse, elle est plus grande qu’un certain nombre : pour tout n, u m, où m est un réel.

Et une suite bornée ? Tout bêtement, c’es

On verra des exemples plus loin car ils font souvent intervenir le principe de récurrence que l’on verra tout à l’heure

les suites

Par ailleurs, pour montrer qu’une suite est arithmétique ou géométrique, c’est facile En Terminale, surtout au bac, on utilise très souvent cette méthode pour montrer qu’un

suites , tu as pas mal d’exemples d’application de cette méthode.

En Terminale on se sert surtout des formules pour la somme et des propriétés des suites artihmétiques et géométriques, mais ce n’est pas bien méchant^^

suites arithmétiques et ces exercices sur le suites géométriques comment appliquer certaines formules vues plus haut.

dans un énoncé on te demande « étudier la monotonie de la suite », il faut chercher si la suite est croissante ou décroissante, tout simplement !

Du coup, pour savoir si une suite est croissante ou décroissante, on fait quoi

et on regarde le signe : si c’est positif, la suite est croissante, si c’est négatif, la suite est décroissante

—

Petite subtilité : si tu veux montrer que la suite est STRICTEMENT croissante, il faut montrer que un+1 – un est STRICTEMENT positif.

Et si tu veux montrer que la suite est STRICTEMENT décroissante, il faut montrer que u un est STRICTEMENT négatif.

Il faut donc bien lire la question.

—

Suite majorée, minorée, bornéeUne suite majorée c’est quoi ?

out simplement une suite qui est inférieure à un nombre : pour tout n,

Une suite minorée c’est l’inverse, elle est plus grande qu’un certain nombre : pour tout n, u Et une suite bornée ? Tout bêtement, c’est une suite à la fois minorée et majorée : m

On verra des exemples plus loin car ils font souvent intervenir le principe de récurrence que

2018/2019

Par ailleurs, pour montrer qu’une suite est arithmétique ou géométrique, c’est facile

En Terminale, surtout au bac, on utilise très souvent cette méthode pour montrer qu’une suite , tu as pas mal d’exemples d’application de cette méthode.

mme et des propriétés des suites

géométriques, tu verras

dans un énoncé on te demande « étudier la monotonie de la suite », il faut chercher si la

Du coup, pour savoir si une suite est croissante ou décroissante, on fait quoi ??

et on regarde le signe : si c’est positif, la suite est croissante, si c’est

Petite subtilité : si tu veux montrer que la suite est STRICTEMENT croissante, il faut montrer Et si tu veux montrer que la suite est STRICTEMENT décroissante, il faut montrer que un+1 –

out simplement une suite qui est inférieure à un nombre : pour tout n,

Une suite minorée c’est l’inverse, elle est plus grande qu’un certain nombre : pour tout n, un≥ t une suite à la fois minorée et majorée : m ≤ un≤ M On verra des exemples plus loin car ils font souvent intervenir le principe de récurrence que

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Maths 2ème BAC

Cours 1

Tout comme les fonctions, les suites ont des limites ! Et là c’est règles sont les mêmes

Par exemple, +∞ × +∞ = +∞

+∞ × 0 = forme indéterminée, etc… Nous t’invitions

Une remarque importante cependant pour les suites : LA LIMITE D’UNE SUITE SE FAIT TOUJOURS EN +∞ !!!!!

C’est-à-dire quand n tend vers + Donc n’écris JAMAIS

ou

c’est une erreur monumentale !!

Surtout qu’on a dit avant que n était toujours positif, donc ce serait bizarre qu

∞…

Du coup quand on te dit de calculer la limite de u :

ATTENTION cette limite n’existe pas toujours : si la suite a une limite, on dit qu’elle est Si une suite n’a pas de limite (e

un = cos(n) par exemple n’a pas de limite, donc cette suite diverge.

ATTENTION aussi (décidemment y’a plein de attention dans ce chapitre convergente, il faut que la limite soit un nombre, c

Si la limite est +

Attention enfin à ne pas confondre : quand on dit qu’une suite est divergente, elle ne tend pas Quand elle diverge, ça veut dire qu’elle n

Propriété importante sur les limites

Une petite propriété à connaître car on l’utilise souvent : les limites des suites géométriques :

La règle est simple :

les suites

Les limites

Tout comme les fonctions, les suites ont des limites ! Et là c’est assez simple, puisque les

× 0 = forme indéterminée, etc… Nous t’invitions à revoir le cours sur les limites e cependant pour les suites : LA LIMITE D’UNE SUITE SE FAIT dire quand n tend vers +∞.

c’est une erreur monumentale !!

Surtout qu’on a dit avant que n était toujours positif, donc ce serait bizarre qu

Du coup quand on te dit de calculer la limite de un, c’est sous-entendu quand n tend vers +

—

ATTENTION cette limite n’existe pas toujours : si la suite a une limite, on dit qu’elle est CONVERGENTE.

Si une suite n’a pas de limite (en +∞ bien sûr), on dit qu’elle est DIVERGENTE.

= cos(n) par exemple n’a pas de limite, donc cette suite diverge.

—

ATTENTION aussi (décidemment y’a plein de attention dans ce chapitre

convergente, il faut que la limite soit un nombre, comme 5, 12, √8, π/2… mais pas ± !!

Si la limite est +∞ ou -∞, la suite est divergente.

—

Attention enfin à ne pas confondre : quand on dit qu’une suite est divergente, elle ne tend pas forcément vers l’infini !

Quand elle diverge, ça veut dire qu’elle n’a pas de limite ou qu’elle tend vers ±

— Propriété importante sur les limites

2018/2019

assez simple, puisque les

limites e cependant pour les suites : LA LIMITE D’UNE SUITE SE FAIT

Surtout qu’on a dit avant que n était toujours positif, donc ce serait bizarre qu’il tende vers – entendu quand n tend vers +∞

ATTENTION cette limite n’existe pas toujours : si la suite a une limite, on dit qu’elle est ûr), on dit qu’elle est DIVERGENTE.

= cos(n) par exemple n’a pas de limite, donc cette suite diverge.

ATTENTION aussi (décidemment y’a plein de attention dans ce chapitre ) : pour être /2… mais pas ±∞ !!

Attention enfin à ne pas confondre : quand on dit qu’une suite est divergente, elle ne tend pas

’a pas de limite ou qu’elle tend vers ±∞.

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Cours 1

Et si q = 1, qⁿ = 1, donc la limite vaut 1 mais ce n’est pas très intéressant…

C’est le prermier cas, c’est-à-dire si

fréquent, et celui dont tu auras le plus besoin.

Pour s’en rappeler c’est très simple :

Si -1 < q < 1 par exemple ½, et bien quand on multiplier ½, on divise par 2. Donc si on prend un gâteau et qu’on n’arrête pas de le diviser par 2, les parts seront minuscules à la fin, donc la limite est 0.

Si q > 1, par exemple 2, on multiplie par 2 à chaque fois, donc forcément ça va tendre vers + Si q ≤ -1, et bien c’est alternativement + et

si q = -2, (-2)³ = -8 et (-2)⁴ = 16, ( de signe, donc il n’y a pas de limite.

ATTENTION A TOUJOURS BIEN JUSTIFIER CELA !!

Il faut bien dire : comme

Si tu ne justifies pas tu n’auras pas les points !! En plus tu auras souvent ce genre de limites à calculer, don

Fais attention aussi à bien mettre STRICTEMENT compris entre égal et supérieur ou égal c’est tout faux !!

Théorème sur les limites

Il y a deux théorèmes très importants à retenir sur les limites car on les utilise souvent :

les suites

= 1, donc la limite vaut 1 mais ce n’est pas très intéressant…

dire si -1 < q < 1, qu’il faut absolument retenir car c’est le plus fréquent, et celui dont tu auras le plus besoin.

appeler c’est très simple :

1 < q < 1 par exemple ½, et bien quand on multiplier ½, on divise par 2. Donc si on prend un gâteau et qu’on n’arrête pas de le diviser par 2, les parts seront minuscules à la fin, donc la

2, on multiplie par 2 à chaque fois, donc forcément ça va tendre vers + 1, et bien c’est alternativement + et -, par exemple :

= 16, (-2)⁵ = -32, etc… on a donc une suite qui augmente en changeant n’y a pas de limite.

—

ATTENTION A TOUJOURS BIEN JUSTIFIER CELA !!

Par exemple, si tu dois calculer

Il faut bien dire : comme -1 < 5/8 < 1

Si tu ne justifies pas tu n’auras pas les points !! En plus tu auras souvent ce genre de limites à calculer, donc prends bien l’habitude de toujours justifier.

—

Fais attention aussi à bien mettre STRICTEMENT compris entre -1 et 1, si tu mets inférieur ou égal et supérieur ou égal c’est tout faux !!

—

2018/2019

1 < q < 1, qu’il faut absolument retenir car c’est le plus

1 < q < 1 par exemple ½, et bien quand on multiplier ½, on divise par 2. Donc si on prend un gâteau et qu’on n’arrête pas de le diviser par 2, les parts seront minuscules à la fin, donc la

2, on multiplie par 2 à chaque fois, donc forcément ça va tendre vers +∞. 32, etc… on a donc une suite qui augmente en changeant

Si tu ne justifies pas tu n’auras pas les points !! En plus tu auras souvent ce genre de limites à c prends bien l’habitude de toujours justifier.

1 et 1, si tu mets inférieur ou

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Maths 2ème BAC

Cours 1

Pour ne pas confondre les 2, utilise la logique ! Si elle est croissante (en gros « elle monte ») il faut qu’elle ne dépasse pas un

qu’elle soit minorée n’apporte rien. C’est bien sûr le contraire si elle est décroissante.

Souvent les énoncés sont rédigés de la sorte : a) Etudier la monotonie de la suite

b) Montrer que la suite est majorée (ou minorée ça dépend)

c) Montrer que (un) est convergente, ou Conclure sur la convergence de la suite Là ils t’aident beaucoup avec le numéro des questions

En effet, dans le a) tu montres que la suite est croissante ou décroissante, dans l montres qu’elle est minorée ou majorée, et en c) tu conclus avec la propriété!

Rédige bien pour montrer que tu utilises la propriété, dis par exemple :

On a vu que (un) est croissante et majorée. Or on sait qu’une suite croissante et majorée est convergente, donc (un) est convergente. Et voilà, tout bête

ATTENTION ! Ce n’est pas parce qu’une suite est majorée ou minorée par 2 qu’elle tend vers 2 Elle peut très bien être minorée par

Si on prend un = 1/n, on a bien u

Au contraire puisque (u Théorème des gendarmes / théorème d’encadrement

Le théorème des gendarmes (qu’on appelle aussi théorème d’encadrement, c’est le même) est très simple :

Cela semble assez logique : un

forcément vers L aussi…

Souvent tu auras à démontrer que u

vn inférieur à un pour appliquer la propriété. Mais le plus simple est de dire que u supérieur à 0 ! Puisque 0 tend vers 0… Cela est souvent assez simple.

Par exemple tu as un = 1/(n+2). Un exemple un peu bête puis vers 0 mais c’est pour montrer le principe

On peut montrer facilement que u

Il suffit de montrer que un est positif… ce qui n’est pas compliqué, puisque n est positif, donc n+2 aussi, donc 1/(n+2) aussi

Du coup 0 ≤ un≤ 1/n et 1/n tend vers 0, donc d’apr

! Trop facile

Le théorème des gendarmes est bien sûr également valable pour les fonctions, pas seulement les suites^^

Entraîne-toi avec ces exemples Suites adjacentes

les suites

Pour ne pas confondre les 2, utilise la logique ! Si elle est croissante (en gros « elle monte ») il faut qu’elle ne dépasse pas un certain niveau pour être convergente, donc majorée, le fait qu’elle soit minorée n’apporte rien. C’est bien sûr le contraire si elle est décroissante.

Souvent les énoncés sont rédigés de la sorte : a) Etudier la monotonie de la suite

e est majorée (ou minorée ça dépend)

) est convergente, ou Conclure sur la convergence de la suite Là ils t’aident beaucoup avec le numéro des questions

En effet, dans le a) tu montres que la suite est croissante ou décroissante, dans l montres qu’elle est minorée ou majorée, et en c) tu conclus avec la propriété!

Rédige bien pour montrer que tu utilises la propriété, dis par exemple :

) est croissante et majorée. Or on sait qu’une suite croissante et majorée est ) est convergente. Et voilà, tout bête

—

ATTENTION ! Ce n’est pas parce qu’une suite est majorée ou minorée par 2 qu’elle tend vers 2

!!!

Elle peut très bien être minorée par -5 par exemple et tendre vers 0.

bien un≥ -5 puisque un est positif, et ce n’est pas pour ça que (u vers -5 !

Au contraire puisque (un) tend vers 0…

— Théorème des gendarmes / théorème d’encadrement

s (qu’on appelle aussi théorème d’encadrement, c’est le même) est

n est compris entre wn et vn qui tendent vers L, donc u

Souvent tu auras à démontrer que un≤ wn, et tu sauras que wn tend vers 0. Il faudra trouver le pour appliquer la propriété. Mais le plus simple est de dire que u

supérieur à 0 ! Puisque 0 tend vers 0… Cela est souvent assez simple.

= 1/(n+2). Un exemple un peu bête puisqu’on voit directement que ça tend vers 0 mais c’est pour montrer le principe

On peut montrer facilement que un < 1/n, et on sait que 1/n tend vers 0 en +∞

est positif… ce qui n’est pas compliqué, puisque n est positif, donc 1/n et 1/n tend vers 0, donc d’après le théorème des gendarmes, u

Le théorème des gendarmes est bien sûr également valable pour les fonctions, pas seulement sur le théorème des gendarmes.

2018/2019

Pour ne pas confondre les 2, utilise la logique ! Si elle est croissante (en gros « elle monte ») il certain niveau pour être convergente, donc majorée, le fait qu’elle soit minorée n’apporte rien. C’est bien sûr le contraire si elle est décroissante.

) est convergente, ou Conclure sur la convergence de la suite

En effet, dans le a) tu montres que la suite est croissante ou décroissante, dans le b) tu montres qu’elle est minorée ou majorée, et en c) tu conclus avec la propriété!

) est croissante et majorée. Or on sait qu’une suite croissante et majorée est

ATTENTION ! Ce n’est pas parce qu’une suite est majorée ou minorée par 2 qu’elle tend vers 2 5 par exemple et tendre vers 0.

est positif, et ce n’est pas pour ça que (un) tend

s (qu’on appelle aussi théorème d’encadrement, c’est le même) est

qui tendent vers L, donc un tend tend vers 0. Il faudra trouver le pour appliquer la propriété. Mais le plus simple est de dire que un… est

qu’on voit directement que ça tend

∞

est positif… ce qui n’est pas compliqué, puisque n est positif, donc ès le théorème des gendarmes, un tend vers 0 Le théorème des gendarmes est bien sûr également valable pour les fonctions, pas seulement

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Maths 2ème BAC

Cours 1

Des suites adjacentes, qu’est-ce

vn), on dit toujours « ces 2 suites sont adjacentes », d

ne veut rien dire… Bon ensuite il faut savoir les propriétés que doivent vérifier les suites pour être adjacentes, c’est tout simple, il faut que :

(un) soit croissante (vn) soit décroissante vn-un tende vers 0 :

Et voilà, c’est tout ! Bien sûr on peut dire que c’est (v

décroissante ça revient au même, du moment que l’une est croissante et l’autre décroissante.

Il y a alors quelques propriétés intéressantes, surtout celle

(un) et (vn) sont convergentes et convergent vers la même limite !! :

De plus, un≤ L ≤ vn

Graphiquement, ça donne cela :

On voit que (un) est croissante et tend vers L, tandis que (v On trouve peu souvent les suites adja

souvent le principe de récurrence ! La récurrence

Haut de page

Une des choses les plus importantes à savoir faire avec les suites, c’est la récurrence.

de raisonnement se retrouve très fréquemment dans les énoncés.

Une récurrence se fait en 2 étapes : l’initialisation, et l’hérédité. Nous allons faire l’analogie avec une échelle : l’initialisation, c’est montrer que tu es capable de monter sur le

barreau. L’hérédité, c’est montrer que si tu es sur un barreau, tu es capable de monter sur le suivant. Le principe te dit alors que tu es capable de monter toute l’échelle. Logique quoi Le but d’une récurrence est de montrer qu’une propriété P(

voir un petit exemple, tu comprendras mieux Soit P(n) : « pour tout x positif, (1+x)

Ici n commence à 1, l’initialisation consiste alors à montrer que la proposition est vraie pour n

= 1, c’est-à-dire que P(1) est vraie. C’est généralement l’étape la plus facile Il y a cependant un principe fondamental à rete

Pour l’initialisation, il faut calculer SEPAREMMENT les deux membres, puis montrer que l’égalité ou l’inégalité est bien vérifiée.

Ici, on calcule donc (1+x)¹ et SEPAREMMENT on calculer 1 + 1 × x (on remplac (1+x)¹ = 1 + x et 1 + 1 × x = 1 + x, donc (1+x)

Les 2 expressions sont égales (donc on peut dire que l’une est supérieure ou égal à l’autre).

les suites

ce-que c’est ? Déjà ce sont forcément 2 suites (par exemple u ), on dit toujours « ces 2 suites sont adjacentes », donc écrire « la suite un

ne veut rien dire… Bon ensuite il faut savoir les propriétés que doivent vérifier les suites pour être adjacentes, c’est tout simple, il faut que :

Bien sûr on peut dire que c’est (vn) qui est croissante et (u

Il y a alors quelques propriétés intéressantes, surtout celle-là : ) sont convergentes et convergent vers la même limite !! :

Graphiquement, ça donne cela :

) est croissante et tend vers L, tandis que (vn) est décroissante et tend vers L.

On trouve peu souvent les suites adjacentes dans les exercices, par contre on trouve très souvent le principe de récurrence !

Une des choses les plus importantes à savoir faire avec les suites, c’est la récurrence.

de raisonnement se retrouve très fréquemment dans les énoncés.

Une récurrence se fait en 2 étapes : l’initialisation, et l’hérédité. Nous allons faire l’analogie avec une échelle : l’initialisation, c’est montrer que tu es capable de monter sur le

barreau. L’hérédité, c’est montrer que si tu es sur un barreau, tu es capable de monter sur le suivant. Le principe te dit alors que tu es capable de monter toute l’échelle. Logique quoi Le but d’une récurrence est de montrer qu’une propriété P(n) est vraie pour tout n. Nous allons voir un petit exemple, tu comprendras mieux

pour tout x positif, (1+x)ⁿ≥ 1 + nx », pour tout n ≥ 1

Ici n commence à 1, l’initialisation consiste alors à montrer que la proposition est vraie pour n dire que P(1) est vraie. C’est généralement l’étape la plus facile

Il y a cependant un principe fondamental à retenir : P(n) est souvent une égalité ou inégalité.

Pour l’initialisation, il faut calculer SEPAREMMENT les deux membres, puis montrer que l’égalité ou l’inégalité est bien vérifiée.

et SEPAREMMENT on calculer 1 + 1 × x (on remplac

= 1 + x et 1 + 1 × x = 1 + x, donc (1+x)¹ = 1 + 1 × x.

Les 2 expressions sont égales (donc on peut dire que l’une est supérieure ou égal à l’autre).

2018/2019

que c’est ? Déjà ce sont forcément 2 suites (par exemple unet est adjacente » ça ne veut rien dire… Bon ensuite il faut savoir les propriétés que doivent vérifier les suites pour

) qui est croissante et (un)

) est décroissante et tend vers L.

centes dans les exercices, par contre on trouve très

Une des choses les plus importantes à savoir faire avec les suites, c’est la récurrence. Ce type Une récurrence se fait en 2 étapes : l’initialisation, et l’hérédité. Nous allons faire l’analogie avec une échelle : l’initialisation, c’est montrer que tu es capable de monter sur le premier barreau. L’hérédité, c’est montrer que si tu es sur un barreau, tu es capable de monter sur le suivant. Le principe te dit alors que tu es capable de monter toute l’échelle. Logique quoi

n) est vraie pour tout n. Nous allons

Ici n commence à 1, l’initialisation consiste alors à montrer que la proposition est vraie pour n nir : P(n) est souvent une égalité ou inégalité.

Pour l’initialisation, il faut calculer SEPAREMMENT les deux membres, puis montrer que et SEPAREMMENT on calculer 1 + 1 × x (on remplace n par 1) Les 2 expressions sont égales (donc on peut dire que l’une est supérieure ou égal à l’autre).

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Maths 2ème BAC

Cours 1

On a donc bien (1+x)¹≥ 1 + 1 × x, donc P(1) est vraie !

Et voilà, l’initialisation est terminée, il ne reste plus qu’à passer à l’hérédité.

Cette étape est un peu plus délicate, car les raisonnement sont différents. Nous te présenterons différentes manières dans la partie j

toujours le même : il faut supposer que P(n) est vraie, et montrer alors que P(n+1) est vraie.

Ici on va donc supposer que (1+x)

(1+x)ⁿ⁺¹≥ 1 + (n+1)x, c’est-à-dire la même propriété

Pour ce cas-là, nous allons partir de ce qu’on suppose, donc (1+x) on multiplie par (1+x) pour avoir (1+x)

(on ne change pas le sens de l’inégalité car 1+x > 0)

Donc P(n+1) est vraie : P(n) est donc hér Et ben voilà, on est arrivé à ce qu’on voulait

puis de développer, mais parfois c’est bien plus dur. Seul l’entraînement t’aidera à trouver rapidement et facilement comment faire pour montre

Il y a cependant un principe que tu ne dois jamais oublier : quand tu fais l’hérédité, il faut OBLIGATOIREMENT que tu utilises P(n) : il faut qu’à un moment ou à un autre tu dises

« d’après P(n) », sinon il y a un problème dans ton raisonneme

comme dans l’exemple ou bien au milieu ou à la fin de la démonstration.

Au niveau de la rédaction il faut également faire attention. Au début, tu dis : soit P(n) : « … »

Ensuite, pour l’initialisation, si n commence à 1 par

ton calcul. A la fin du calcul, tu conclus : donc P(1) est vraie (si ça commence à 3 tu dis bien sûr « donc P(3) est vraie )

C’est là qu’il faut faire attention pour l’hérédité, beaucoup disent « tout n ». Si tu dis ça il n’y a plus rien à montrer !!

Il faut plutôt dire : « soit n appartenant à N, supposons P(n), et montrons P(n+1) Tu fais alors ton calcul comme au

(n appartenant à N si n

Et enfin la conclusion : on sait donc que P(n) est héréditaire et que P(1) est vraie, donc d’après le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout n.

Avant quelques exercices en vidéo, nous al l’hérédité.

Méthodes de calcul pour l’hérédité

Nous allons voir ici trois grandes méthodes de calcul pour l’hérédité, il y en a d’autres bien sûr mais celles-ci sont fréquemment utilisées.

les suites

1 + 1 × x, donc P(1) est vraie !

Et voilà, l’initialisation est terminée, il ne reste plus qu’à passer à l’hérédité.

Cette étape est un peu plus délicate, car les raisonnement sont différents. Nous te

présenterons différentes manières dans la partie juste en-dessous. Le principe est cependant toujours le même : il faut supposer que P(n) est vraie, et montrer alors que P(n+1) est vraie.

Ici on va donc supposer que (1+x)ⁿ≥ 1 + nx, et il faut montrer

dire la même propriété mais avec n+1 à la place de n.

là, nous allons partir de ce qu’on suppose, donc (1+x)ⁿ≥ 1 + nx on multiplie par (1+x) pour avoir (1+x)ⁿ⁺¹

(on ne change pas le sens de l’inégalité car 1+x > 0)

Donc P(n+1) est vraie : P(n) est donc héréditaire !

Et ben voilà, on est arrivé à ce qu’on voulait Ici c’était assez simple, il suffisait de multiplier puis de développer, mais parfois c’est bien plus dur. Seul l’entraînement t’aidera à trouver rapidement et facilement comment faire pour montrer l’hérédité.

Il y a cependant un principe que tu ne dois jamais oublier : quand tu fais l’hérédité, il faut OBLIGATOIREMENT que tu utilises P(n) : il faut qu’à un moment ou à un autre tu dises

», sinon il y a un problème dans ton raisonnement. Cela peut se faire au début comme dans l’exemple ou bien au milieu ou à la fin de la démonstration.

Au niveau de la rédaction il faut également faire attention. Au début, tu dis :

Ensuite, pour l’initialisation, si n commence à 1 par exemple, tu dis : pour n=1, … et là tu fais ton calcul. A la fin du calcul, tu conclus : donc P(1) est vraie (si ça commence à 3 tu dis bien

—

C’est là qu’il faut faire attention pour l’hérédité, beaucoup disent « Supposons P(n) vraie pour

». Si tu dis ça il n’y a plus rien à montrer !!

soit n appartenant à N, supposons P(n), et montrons P(n+1) Tu fais alors ton calcul comme au-dessus, et à la fin tu dis : donc P(n+1) est vraie.

ppartenant à N si n ≥ 0 mais si n ≥ 1, tu diras N^*, etc…)

—

Et enfin la conclusion : on sait donc que P(n) est héréditaire et que P(1) est vraie, donc d’après le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout n.

Avant quelques exercices en vidéo, nous allons voir quelques méthodes de calcul pour

Méthodes de calcul pour l’hérédité

Nous allons voir ici trois grandes méthodes de calcul pour l’hérédité, il y en a d’autres bien sûr ci sont fréquemment utilisées.

2018/2019

Cette étape est un peu plus délicate, car les raisonnement sont différents. Nous te

dessous. Le principe est cependant toujours le même : il faut supposer que P(n) est vraie, et montrer alors que P(n+1) est vraie.

mais avec n+1 à la place de n.

Ici c’était assez simple, il suffisait de multiplier puis de développer, mais parfois c’est bien plus dur. Seul l’entraînement t’aidera à trouver Il y a cependant un principe que tu ne dois jamais oublier : quand tu fais l’hérédité, il faut OBLIGATOIREMENT que tu utilises P(n) : il faut qu’à un moment ou à un autre tu dises

nt. Cela peut se faire au début

exemple, tu dis : pour n=1, … et là tu fais ton calcul. A la fin du calcul, tu conclus : donc P(1) est vraie (si ça commence à 3 tu dis bien

upposons P(n) vraie pour soit n appartenant à N, supposons P(n), et montrons P(n+1) ».

dessus, et à la fin tu dis : donc P(n+1) est vraie.

, etc…)

Et enfin la conclusion : on sait donc que P(n) est héréditaire et que P(1) est vraie, donc d’après lons voir quelques méthodes de calcul pour

Nous allons voir ici trois grandes méthodes de calcul pour l’hérédité, il y en a d’autres bien sûr

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Maths 2ème BAC

Cours 1

1ère méthode : on part de P(n)

On va reprendre l’exemple ci

Pour tout a réel positif, et n ≥ 1, soit P(n) : «

Initialisation : pour n = 1 on a vu que ça marche, pas de souci.

Maintenant l’hérédité : soit n appartenant à N (N^* car n ≥ 1)

Et là, ON VA PARTIR DE P(n) PUIS CONSTRUIRE

Maintenant il faut CONTRUIRE P(n+1)

Il est alors fortement conseillé d’écrire P(n+1) pour savoir à quoi on veut arriver à la fin : on veut montrer P(n+1) : « (1+a)

2 solutions : multiplier par 1+a pour avoir (1+a) droite.

La première solution est ici à privilégier, la deuxième ne permettant pas de faire grand chose par la suite…

Il faut alors bien justifier que comme a l’inégalité !!!

et biens sûr il faut se débrouiller pour qu’à droite on retrouve 1 + (n+1)a, puisque c’est ce qu’il faut avoir !

On remarque qu’il y a le na² en trop, mais ce n’est pas gr dire que :

Et on reprend alors notre équation du dessus, qui nous donne :

Et là, Ô miracle !! On retrouve P(n+1) !!

En conclusion : souvent pour des INEGALITES, il faut partir de P(n) et construire P(n+1) en faisant des opérations sur l’inégalité (addition, multiplication…). Ecris P(n+1) au brouillon pour savoir ce que tu dois démontrer, ça t’aidera grandement

les suites

1ère méthode : on part de P(n)

On va reprendre l’exemple ci-dessus mais avec « a » à la place de x, c’est pareil

≥ 1, soit P(n) : « (1+a)ⁿ≥ 1 + na » Initialisation : pour n = 1 on a vu que ça marche, pas de souci.

Maintenant l’hérédité : soit n appartenant à N^*, supposons P(n).

ON VA PARTIR DE P(n) PUIS CONSTRUIRE P(n+1) :

CONTRUIRE P(n+1), c’est-à-dire que l’on veut n+1 à la place de n.

Il est alors fortement conseillé d’écrire P(n+1) pour savoir à quoi on veut arriver à la fin : (1+a)ⁿ⁺¹≥ 1 + (n+1)a » (on a remplacé n par n+1)

2 solutions : multiplier par 1+a pour avoir (1+a)ⁿ⁺¹ à gauche, ou ajouter a pour avoir 1 + (n+1)a à La première solution est ici à privilégier, la deuxième ne permettant pas de faire grand chose

ier que comme a ≥ 0, 1+a ≥ 0, donc on ne change pas le sens de

et biens sûr il faut se débrouiller pour qu’à droite on retrouve 1 + (n+1)a, puisque c’est ce qu’il

en trop, mais ce n’est pas grave, car na² est positif, et on peut donc

Et on reprend alors notre équation du dessus, qui nous donne :

Et là, Ô miracle !! On retrouve P(n+1) !!

En conclusion : souvent pour des INEGALITES, il faut partir de P(n) et construire P(n+1) en faisant des opérations sur l’inégalité (addition, multiplication…). Ecris P(n+1) au brouillon pour savoir ce que tu dois démontrer, ça t’aidera grandement

2018/2019

» à la place de x, c’est pareil

dire que l’on veut n+1 à la place de n.

Il est alors fortement conseillé d’écrire P(n+1) pour savoir à quoi on veut arriver à la fin : à gauche, ou ajouter a pour avoir 1 + (n+1)a à La première solution est ici à privilégier, la deuxième ne permettant pas de faire grand chose

0, 1+a 0, donc on ne change pas le sens de

et biens sûr il faut se débrouiller pour qu’à droite on retrouve 1 + (n+1)a, puisque c’est ce qu’il

est positif, et on peut donc

En conclusion : souvent pour des INEGALITES, il faut partir de P(n) et construire P(n+1) en faisant des opérations sur l’inégalité (addition, multiplication…). Ecris P(n+1) au brouillon pour

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Maths 2ème BAC

Cours 1

2ème méthode : on part d’une partie de P(n+1)

Nous allons prendre l’exemple suivant :

Et il faut montrer que pour tout n

Pour l’initialisation c’est facile, pour n = 0 :

Donc P(0) est vraie.

Soit n appartenant à N, supposons P(n).

Il faut montrer

On ne va pas partir de P(n) comme tout à l’heure. Ici, on va partir d’une partie de ce qu’on montrer : on va partir du membre de gauche (u

commence donc par exprimer u

Et c’est maintenant que l’on utilise P(n) en remplaçant u

les suites

2ème méthode : on part d’une partie de P(n+1)

Nous allons prendre l’exemple suivant :

montrer que pour tout n ≥ 0

Pour l’initialisation c’est facile, pour n = 0 :

Soit n appartenant à N, supposons P(n).

On ne va pas partir de P(n) comme tout à l’heure. Ici, on va partir d’une partie de ce qu’on montrer : on va partir du membre de gauche (un+1) pour arriver au membre de droite, on commence donc par exprimer un+1 :

Et c’est maintenant que l’on utilise P(n) en remplaçant un

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2ème méthode : on part d’une partie de P(n+1)

On ne va pas partir de P(n) comme tout à l’heure. Ici, on va partir d’une partie de ce qu’on veut ) pour arriver au membre de droite, on

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Maths 2ème BAC

Cours 1

Il ne faut pas oublier de dire « D’APRES P(n) On calcule alors pour retrouver ce que l’on veut :

Et voilà, on a P(n+1) !!

La différence avec l’exemple précédent, c’est qu’on n’a pas utilisé P(n) dès le début du calcul.

Au contraire, on est parti d’une partie de P(n+1), à savoir u calcul pour retrouver ce que l’on veut.

Cette technique est principalement utilisée quand on a des égalités mais cela marche aussi parfois avec des inégalités.

les suites

D’APRES P(n) » !!!!!

le alors pour retrouver ce que l’on veut :

Au contraire, on est parti d’une partie de P(n+1), à savoir un+1, et on a utilisé P calcul pour retrouver ce que l’on veut.

Cette technique est principalement utilisée quand on a des égalités mais cela marche aussi

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, et on a utilisé P(n) APRES dans le Cette technique est principalement utilisée quand on a des égalités mais cela marche aussi

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Maths 2ème BAC

Cours 1

3ème méthode : quand on a des sommes

Cette méthode s’applique quand on a des s

Initialisation : pour n = 1 :

donc P(1) est vraie.

Hérédité : soit n appartenant à N, supposons P(n).

On veut montrer :

Ici on va partir, un peu comme l’exemple d’avant, d’une partie de P(

1 à n+1.

L’astuce c’est qu’il faut enlever le terme « :

et là on remplace la somme de 1 à n en utilisant P(n) :

les suites

3ème méthode : quand on a des sommes

Cette méthode s’applique quand on a des sommes dans P(n). Par exemple, si on a pour n

et

donc

Hérédité : soit n appartenant à N, supposons P(n).

Ici on va partir, un peu comme l’exemple d’avant, d’une partie de P(n+1), à savoir la somme de L’astuce c’est qu’il faut enlever le terme « n+1 » de la somme pour retrouver la somme de 1 à n

et là on remplace la somme de 1 à n en utilisant P(n) :

2018/2019

3ème méthode : quand on a des sommes

ommes dans P(n). Par exemple, si on a pour n ≥ 1:

n+1), à savoir la somme de

» de la somme pour retrouver la somme de 1 à n

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Maths 2ème BAC

Cours 1

d’après P(n) :

Et voilà ! On a retrouvé notre P(n+

Ici c’est qu’il retenir c’est ça :

Il faut couper la somme en 2 pour pouvoir retrouver P(n) et l’appliquer.

Evidemment, pour choisir la bonne méthode, il faut BEAUCOUP d’entraînement ! Ces

sur la récurrence te permettront d’appliquer les différentes méthodes, et bien sûr d’en découvrir d’autres

Annales de bac

Pour que tu sois encore plus à l’aide avec t’entraînes à faire ces annales de

L’idéal étant que tu cherches toi Intérêt des suites

Le principal intérêt des suites, c’est de modéliser des phénomènes qui ont lieu à intervalles réguliers, puisque le n est un entier.

On peut citer par exemple tout ce qui est lié à la banque, avec les taux d’intérêts et les annuités entre autres. Les suites sont donc très utilisées dans la finance.

Les suites permettent également de trouver la val π, voire des fonctions.

C’est ainsi que l’on retrouve les suites dans la méthode d’Euler en physique, que l’on voit en terminale S, qui sert à approcher une fonction de manière très précise.

les suites

d’après P(n) : donc

Et voilà ! On a retrouvé notre P(n+1)

Il faut couper la somme en 2 pour pouvoir retrouver P(n) et l’appliquer.

Evidemment, pour choisir la bonne méthode, il faut BEAUCOUP d’entraînement ! Ces

te permettront d’appliquer les différentes méthodes, et bien sûr d’en découvrir

Pour que tu sois encore plus à l’aide avec les suites, il est fortement recommandé que tu de bac en vidéo !

L’idéal étant que tu cherches toi-même la solution avant de regarer la correction

Le principal intérêt des suites, c’est de modéliser des phénomènes qui ont lieu à intervalles réguliers, puisque le n est un entier.

On peut citer par exemple tout ce qui est lié à la banque, avec les taux d’intérêts et les annuités ntre autres. Les suites sont donc très utilisées dans la finance.

Les suites permettent également de trouver la valeur approchée de certains nombres comme C’est ainsi que l’on retrouve les suites dans la méthode d’Euler en physique, que l’on voit en terminale S, qui sert à approcher une fonction de manière très précise.

2018/2019

Evidemment, pour choisir la bonne méthode, il faut BEAUCOUP d’entraînement ! Ces exercices te permettront d’appliquer les différentes méthodes, et bien sûr d’en découvrir

les suites, il est fortement recommandé que tu même la solution avant de regarer la correction

Le principal intérêt des suites, c’est de modéliser des phénomènes qui ont lieu à intervalles On peut citer par exemple tout ce qui est lié à la banque, avec les taux d’intérêts et les annuités

eur approchée de certains nombres comme C’est ainsi que l’on retrouve les suites dans la méthode d’Euler en physique, que l’on voit en