Chapitre V : Les syst � � � � mes centr � � � � s
I – G����n����ralit����s :
Nous avons toujours consid�r� dans les chapitres pr�c�dents des syst�mes optiques comme des surfaces sph�riques ou planes, r�fringentes ou r�fl�chissantes de la lumi�re. En r�alit� ces syst�mes optiques sont le pus souvent une association de plusieurs types de surfaces ayant m�me axe principal. La formation des images � travers ces syst�mes passe alors par plusieurs �tapes interm�diaires.
1. D����finition :
Un syst�me centr� est un ensemble de milieux transparents s�par�s par des surfaces planes ou sph�riques dont l’axe principal est celui de toutes les surfaces du syst�me centr�.
On distingue deux types de syst�mes centr�s :
• Syst�mes dioptrique : compos�s seulement de dioptres
• Syst�mes catadioptrique : compos�s de miroirs et de dioptres
1. Exemples :
• Une lentille est une association de deux dioptres sph�riques
• Une � boule est une association d’un dioptre plan et d’un dioptre sph�rique
• Un oculaire est une association de deux lentilles
• Une � boule argent�e sur sa face sph�rique ext�rieure est une association d’un dioptre plan et d’un miroir sph�rique concave.
• Une loupe …….
3- Stigmatisme des syst����mes centr����s :
Il serait bien difficile de parler d’un stigmatisme parfait dans le cas d’un syst�me centr�. Pour le stigmatisme approch� il peut se r�aliser uniquement si les rayons sont paraxiaux
" conditions d’approximation de Gauss. Pour satisfaire ces conditions on utilise des syst�mes optiques de faibles ouverture et les objets sont autour de l’axe principal. La correspondance d’un objet plan, de petite dimension et situ� sur l’axe optique est alors une image plane et perpendiculaire � l’axe principal.
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II– Etude d’un syst����me centr�������� foyer :
Un syst�me est dit a foyer si ses foyers objet et image ne sont pas rejet�s � l’infini.
1. Plans principaux :
a) D�finition
Ce sont deux plans conjugu�s P et P‘ pour lesquels le grandissement est �gale � 1. Un objet AB appartenant � P aura une image A‘B‘ appartenant � P‘ et de m�me longueur que AB. P et P‘ sont appel�s les plans principaux objet et image.
b) Explications
o Un rayon incident SI �merge au foyer image F‘ du syst�me centr�. o L‘�mergent J‘S‘ // � l‘axe principale correspond � l‘incident passant par le
foyer F.
o Le prolongement des 2 rayons SI et FJ donne le point objet virtuel B.
o Le prolongement des 2 rayons J‘S‘ et F‘I‘ donne le point image virtuel B‘.
Nous avons consid�r� un objet plan et perpendiculaire � l‘axe principal. La
correspondance de plan � plan dans les conditions d’approximation de Gauss pour les syst�mes centr�s, donnera une image plane et perpendiculaire � l’axe principal. On peut montrer par construction g�om�trique que pour tout syst�me centr�� foyer si l’objet virtuel HB est situ� sur le plan P alors on aura une image H’B’ virtuelle situ�e sur un plan P’
tel que le grandissement �gale � 1.
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o H est le point d‘intersection du plan principal objet avec l‘axe principal o H‘ est le point d‘intersection du plan principal image avec l‘axe principal
On d�finit dans toute la suite la distance focale objet f par f = et la distance focale image par f ‘ = ’. On appellera ainsi les points cardinaux d‘un syst�me centr� l‘ensembles des points ( F, F‘, H et H‘ ).
1. Construction de l’image d’un objet AB ���� travers un syst����me centr���� :
On consid�re un syst�me centr� de points cardinaux (F, F‘, H et H‘) et soit un objet AB r�el situ� sur l‘axe principale du syst�me.
o BI incident // � l‘axe principal, �merge en passant par le foyer image F‘.
o BFJ incident passant par le foyer objet F, �merge // � l‘axe principal.
o B‘ est l‘image de B, obtenue en joignant l‘intersection des 2 rayons I‘F‘ et JJ‘.
1. Formule de conjugaison d’un syst�me centr� :
On consid�re les triangles semblables ( BIJ) et (HFJ), nous avons : JH/JI = HF/IB avec IB = HA donc HF/HA = HJ/IJ On consid�re les triangles semblables ( H’F’I’) et (J’B’I’), nous avons :
H’F’/J’B’ = H’I’/J’I’ avec J’B’ = H’A’ donc H’F’/H’A’ = HI/JI donc : HF/HA + H’F’/H’A’ = HJ/IJ + HI/JI = (HJ – HI) / IJ = IJ / IJ = 1 en d�finitif on aura :
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C’est la relation de conjugaison des syst�mes centr�s � foyers avec origine aux points principaux H et H’. Si on pose f = HF et f’ = H’F’ alors cette formule devient :
Nous avons aussi : tg u = AB/AF = HJ/HF = H’J’/HF Γ = A’B’/AB = f / AF tg u’ = A’B’/A’F’ = H’I’/H’F’ = AB / f ’ Γ = A’F’/ f’
Remarque :
La donn�e des points cardinaux d�finit compl�tement le syst�me centr�. 2. La vergence d’un syst�me centr� :
Soit un syst�me centr� repr�sent� par ses points cardinaux (F, F’, H et H’). On consid�re un objet AB situ� sur le plan focal objet PF du syst�me.
tg u = AB/AH = AB/FH # u et tg u’ = H’I’/H’F’ # u’
n . sin u = n’. sin u’
f / f ’ = - n / n’
C’est une relation valable quelque soit le syst�me centr�. On d�finit la vergence d’un syst�me centr� par :
• Un syst�me centr� est convergent si Vs > 0
• Un syst�me centr� est divergent si Vs < 0 Remarques :
Dans une construction g�om�trique :
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le plan principal image est le lieu des points d’intersection des rayons incidents // � l’axe principal avec les �mergents correspondants ( qui passent par F’).
le plan principal objet est le lieu des points d’intersection des rayons incidents passent par le foyer objet avec les �mergents correspondants ( qui sont // � l’axe ).
IV– Association de deux syst�mes centr�s � foyers : 1. Association de deux syst�mes dioptriques :
Quand on associe deux syst�mes centr�s de mani�re � ce que leurs axes principaux soient confondus on obtient un seul syst�me centr��quivalent. On d�termine pour le syst�me
�quivalent les points cardinaux ( H, H’, F et F’).
Soient 2 syst�mes centr�s S1 et S2 de points cardinaux ( H1, F1, H’1, F’1 ) et ( H2, F2, H’2, F’2 ) respectivement, dispos�s comme sur la figure ci-dessous.
a) Construction g�om�trique : On pose : f1 = H1F1 f2 = H2F2 f ’1= H’1F’1 f ’2 = H’2F2
Explications :
o L’incident II1 // � l’axe principal �merge en I’1F’1� la travers�e du syst�me S1. I’1F’1I2 est alors un nouveau incident qui va �merger en I’2F’ // � G’2F’2,
o Le rayon J’2J’ // � l’axe principal est l’�mergent d’un faisceau incident J’1F’2J2
traversant le syst�me S2. J’1F’2J2 est un �mergent d’un incident FJ1, qui est // � F1K1, incident passant par le foyer objet de S1.
- On appelle l’intervalle optique ∆ du syst�me �quivalent S, la quantit� ∆ = F’1F2.
- On appelle l’�paisseur du syst�me �quivalent S, la quantit� e = H’1H2.
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On montre que :
∆ = e + f
2– f ’
1b) M�thode analytique :
Si on revient aux figures pr�c�dentes : F’1
F’ � travers S2 F F2� travers S1
En utilisant la relation de Newton f.f ‘ – FA.F’A’ = 0 pour les couples de points pr�c�dents, pour S1 et S2, on peut �crire alors :
o Pour le couple (F’
1,F’) nous avons en utilisant le syst�me S2 :
f2. f ‘2 – F2F’1.F’2F’ = 0 ce qui donne : F’2F’ = - f2.f ‘2 / ∆ o Pour le couple (F,F
2) nous avons en utilisant le syst�me S1 :
f 1.f ’1 – F1F.F’1F2 = 0 ce qui donne : F1F = f 1.f ‘1/? ∆
Ces deux relations donnent les positions des foyers image F’ et objet F du syst�me centr�
�quivalent des deux syst�mes S1 et S2, en fonction des distances focales de S1 et de S2 et de l’�paisseur e du syst�me.
On peut aussi montrer une relation importante pour les foyers objets et images du syst�me
�quivalent :
D�monstration de l’expression de f ‘ :
Soient les triangles semblables ( J’H’F’) et ( H’2G’2F’2) :
H’F’/F’2H’2 = H’J’/G’2H’2 = - f ‘/ f ‘2
Soient les triangles semblables (F2G2F’1) et ( H’1I’1F’1) :
F’1F2/H’1F’1 = G2F2/H’1I’1 = G’2H’2/H’J’ = ∆ f’1 On multiplie les deux relations pr�c�dentes entre elles et on obtient :
f ‘ = H’F’ = - f ‘2 f ‘1 / ∆
La Vergence du syst�me S �quivalent :
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Vs = n’ / f ‘ = - n / f = - n’. ∆ / (f '1.f ' 2) On montre aussi que :
Vs = Vs1 + Vs2 – e. Vs1.Vs2 / ni
appel� formule de Gullstrand, avec e �paisseur et ni l’indice du milieu 1. Syst�mes catadioptriques :
Un syst�me catadioptrique r�sulte de l’association d’un syst�me dioptrique et d’un miroir.
Si le miroir est sph�rique le syst�me catadioptrique poss�de alors un foyer et le syst�me
�quivalent est un miroir sph�rique unique. On peut aussi parler de l’association d’une lentille et d’un miroir plan, d’un dioptre plan et d’un miroir sph�rique, d’un miroir plan et d’un dioptre sph�rique etc…..
a. El�ments du miroir �quivalent :
Si l’une des surfaces est sph�rique, le syst�me est �quivalent � un miroir sph�rique dont le sommet, le foyer et le centre sont � d�terminer.
C1 C � travers le syst�me dioptrique
S1 S � travers le syst�me dioptrique
Le foyer F est tel que : SF = SC/2
b. Justification :
Pour un miroir sph�rique, le foyer F et F’ sont confondus et H, H’ sont aussi confondus en S.
Donc si on consid�re un syst�me form� d’un dioptre et d’un miroir sph�rique :
SI1 incident // � l’axe principal, r�fl�chi sur la surface du miroir en I1F’1I2 et se r�fracte en I3F’I’ ( � travers le dioptre). Si on utilise le chemin inverse de la lumi�re on aura un faisceau passant F’ qui sortira // � l’axe principal. On peut alors dire que le syst�me �quivalent est un syst�me catadioptrique �quivalent � un miroirs sph�rique :
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F1F’1 C’est � dire F’ = F C1
C Centre du miroir �quivalent S1
S = H =H’ Sommet du miroir �quivalent V– Les lentilles :
1. Les lentilles �paisses : a) D�finition :
Une lentille est un syst�me form� par l’association de deux dioptres dont l’un au moins est sph�rique. C’est un syst�me centr� d’axe la droite joignant les deux centres de ces deux dioptres. Plusieurs formes de lentilles sont possibles.
b) Dispositions :
L’�paisseur d’une lentille est donn�e par : e = S1S2. Une repr�sentation simplifi�e des lentilles convergentes et divergentes peut se faire comme suit :
c) Stigmatisme :
Le stigmatisme approch� des lentilles est li�� celui des dioptres formant ces lentilles. Les conditions de stigmatisme seront r�alis�es dans l’approximation de Gauss :
o Lentille de faibles ouverture
o Objet plan et perpendiculaire � l’axe optique o Objet de faible �tendue
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d) El�ments cardinaux des lentilles �paisses :
Sachant qu’une lentille L peut-�tre trait�e comme association de deux dioptres dont l’un au moins est sph�rique, on peut �tablir les points cardinaux de ce syst�me centr� ( si l’un des deux dioptres est plan, il suffit de faire tendre son rayon vers l‘infini dans la relation obtenue).
Soient deux dioptres D1 et D2 tels que C1 et C2 soient les centres respectifs de ces dioptres.
F1 et F’1 sont les deux foyers objet et image de D1 ; F2 et F’2 sont les deux foyers objet et image de D2. Nous rappelons aussi que pour les dioptres D1 et D2, nous avons H1= H’1= S1 et H2 =H’2= S2. On pose :
f1 = S1F1 f2 = S2F2 f ‘1= S1F’1 f ‘2= S2F’2∆ = F’1F2 et e = S1S2
On consid�re que les points H, H’, F et F’ sont les points cardinaux de la lentille L. On peut alors calculer :
S2F’ = f ‘2 – f2.f ‘2 / ∆?
or S2H’ = S2F’ – H’F’ = f ‘2 – f2.f ‘2 / ∆ + f ‘2.f ‘1 / ∆
de la m�me fa�on on calcul S1F et S1H et ensuite HH’, si on part de f ‘ = - f ‘2.f ‘1 / ∆ et puisque :
f ‘1 = n.S1C1 / (n-1) = n.R1 / (n-1)
f ‘2 = R2 / (1-n) = - f2 / n
f2 = n R2 / (n-1)
On obtient alors : H’F’ = n.R1.R2 / { (n-1)[ n(R2-R1) + e(n-1)] }
On d�finit la quantit�, avec R1 = S1C1 et R2 = S2C2, de la convergence par :
e) Centre optique d’une lentille :
Le centre optique est le point de l'axe principal tel que tout rayon passant par ce point �merge parall�lement � sa direction initiale (figure 1).
On d�montre que ce point est le centre de l'homoth�tie faisant correspondre un dioptre � l'autre.
Par exemple, pour une lentille plan-concave ou plan-convexe le centre optique est confondu avec le sommet de la face courbe (figure 2).
Dans l'approximation des lentilles minces et pour des rayons peu inclin�s, on admet que le centre optique est � l'intersection du plan de la lentille et de l'axe optique (figures 3 et 4).
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On g�n�ralise ces r�sultats en disant que tout rayon dont la r�fraction � l’int�rieur passe par le centre optique, ressort par cette lentille // � sa direction d’incidence.
1. Les lentilles minces :
a) G�n�ralit�s :
Les lentilles minces sont particuli�rement importantes dans l’�tude de plusieurs syst�mes optiques. On se limitera au cas ou les deux faces de la lentille sont baign�es dans un
m�me milieu, g�n�ralement l’air d’indice 1. Une lentille est dite mince si son �paisseur est faible par rapport aux rayons de courbure.
On peut montrer que pour une lentille mince :
o e << R1, R2 et e <<
R1 - R2
o S1, S2, H et H’ sont aussi confondus avec O pour une lentille mince
o Un rayon qui passe par le centre O d’une lentille mince traverse sans d�viation
o b) Formules :
Fig.1 Fig. 2 Fig.
3
Fig. 4
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Une lentille mince est un syst�me centr� qui poss�de H, H’, F et F’, or les milieux extr�mes sont les m�mes, c’es � dire : f = HF = - f ‘ = - H’F’.
Soit un objet AB r�el situ� devant la face d’entr�e d’une lentille mince L. On d’abord distingue deux types de lentilles minces :
o Lentille mince convergente ayant une distance focale image f ‘ > 0 et peut
�tre repr�sent�e comme sur la figure suivante.
o Lentille mince divergente ayant une distance focale image f ‘ < 0 et peut �tre repr�sent�e comme sur la figure suivante.
Soit un objet AB r�el situ� devant la face d’entr�e d’une lentille mince L ( voir figure ci- dessous). L’image de AB � travers le dioptre D1 est A1B1, une image interm�diaire ; A1B1
donne � travers le dioptre D2 une image A’B’ finale. On utilise les relations de conjugaisons des dioptres sph�riques dans les conditions d’approximation de Gauss : on consid�re que S = S1 = S2
D1 : 1/SA – n/SA1 = (1 - n) / SC1 = (1 - n) / R1
D2 : n/SA1 – 1/SA’ = (n -1) / SC2 = (n - 1) / R2
Γ = A’B’/AB = ?
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o pour D1 :
Γ1 = A1B1 / AB = SA1 / n SA
o pour D2 :
Γ2 = ?n SA’ / SA1
On d�duit : 1/SA – 1/SA’ = (n -1) { 1/R2 - 1/R1} et Γ = SA’/SA
avec la notation S # O, on peut �crire les deux relations de conjugaison d’une lentille mince :
On appelle C = 1 / f ‘ convergence d’une lentille mince.
c) Les doublets de lentilles minces :
On appelle doublet une association de deux lentilles minces plac�es dans le m�me milieu.
Les lentilles peuvent �tre convergentes ou divergentes tel que leurs axes optiques sont confondus. On repr�sente un tel doublet par le symbole (m, p, q) avec la condition suivante :
e : �paisseur ; f ‘1 et f ‘2 sont les distances focales image des lentilles L1 et L2. On repr�sente un doublet de lentilles convergentes comme sur la figure ci-dessous :
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Exemple :
Soit un doublet (L1,L2) de symbole (1,2,-3) et d’�paisseur 4 cm.
a/ Calculer f ‘1, f ‘2.
b/ Placer sur un sch�ma � l ‘�chelle les points foyers objets et images de ce doublet.
c/ D�terminer de deux mani�res diff�rentes les points cardinaux du syst�me �quivalent � l’association de ces deux lentilles.
