Exemple :(Ordre / Degré)

Un graphe est un schéma constitué de : sommets dont certain sont reliés par des arêtes, ou non, ou reliés par une boucle.

Vocabulaires : Sommets/Arrêtes/boucles Ordre( graphe) / degré(sommet) Graphe Simple / Graphe Complet Sommets adjacent /Sommet Isolé

Chaine /Cycle Graphe Connexe/Complet

Définition 1

Exemple :(Ordre / Degré)

A D

C

B

Le graphe est d’ordre 4 car on a 4 sommets {A,B,C,D}.

- A est de degré 4.

- B est de degré 3.

- C est de degré 4.(La boucle se compte 2).

- D est de degré 1.

Le graphe contient une boucle en C donc n’est pas un graphe simple.

Un graphe estsimple si au plus une arête relie deux sommets et s’il n’y a pas de boucle sur un sommet.

Activité 3 :p86 Activité 4 :p86 Exemple :.

G

A B

C

D

E F

Les sommets du graphe (g) sont :{A,B,C,D,E,F,G}

Les Arrêtes du graphe (g) sont :{A,B},{A,C},{A,D}....

Boucles :une seule boucle en F {F} Ordre de (g) :C ar d({A,B,C,D,E,F})=6

Exemple des sommets adjacent :A et B sont adjacent mais B et D non Exemple des sommets isolé :G, F

Exemple de Chaine :A−B−C−E, ....

Exemple de Cycle :A−B−C−A,....

Le graphe est-il Simple ? ...

Pour le graphe extrait (G^′)={A,B,C,D,E}

Sommets: A B C D E

Degrés :

Total :La somme des degrés = 2×nombres des arrêtes ( Dans le cas d’un graphe Simple) NT=3+2+3+2+2=12=2×6

Théorème 1.1 (Lemme des poignées de mains) La somme des degrés des sommetsd’un graphe est égale àdeux fois le nombre d’arêtes.

Exercice1

Montrez qu’un graphe simple a un nombre pair de sommets de degré impair.

Réponse :1

...

... . Exercice2

Est-il possible de relier 15 ordinateurs de sorte que chaque appareil soit relié avec exactement trois autres ? Réponse :2

...

3 2

1

4 5

Un graphe estcompletsi chaque sommet du graphe est relié directement à tous les autres sommets.

Propriétés 1

Exemple :(Chaine / Cycle)

Unechaînedans G, est une suite ayant pour éléments alternativement des sommets et des arêtes, commençant et se terminant par un sommet, et telle que chaque arête est encadrée par ses extrémités.

-La longueur de la chaîneest le nombre d’arêtes qui la compose.

- On dit qu’une chaîne est fermée si ses extrémités coïncident.

- Uncycleest une chaîne fermée dont les arêtes sont toutes distinctes.

Propriétés 2

Exemple :

A B

C D

E Dans le graphe ci-contre,

•A−B−C−D−Eest une chaîne de longueur 4.

•A−B−E−D−B−Aest une chaîne fermée de longueur 5.

•B−C−D−E−Best un cycle de longueur 4.

Sommets: A B C D E

Degrés : 2 4 3 3 2

Activité 1 :p88

- Unechaîne eulérienned’un graphe G est une chaîne qui contient une fois et une seule toutes les arêtes du graphe G.

- Uncycle eulérienest une chaine eulérienne fermée.

Définition 2

Exemple :

A

B C

D E

Une chaîne eulérienne peut être tracée d’un trait continu sans repasser par une arête déjà tracée. C’est le cas du célèbre jeu de l’enveloppe où l’on doit tracer l’enveloppe sans lever les stylo ni repasser sur un trait déjà tracé :

La chaîne :B−A−D−B−C−D−E−A−Cest par exemple une chaine eulérienne.

admis 1 : (EULER)

Un graphe connexe G admet une chaine eulérienne, si et seulement si, tous ses sommets sont de degré pair ou deux uniquement de ses sommets sont de degré impair(ce sont les extrémités de la chaine).

Théorème: 1

admis 2 : (EULER)

Un graphe connexe G admet un cycle eulérien, si et seulement si, tous ses sommets sont de degré pair.

Théorème: 2

2

Exemple :

D E

C

A B

D E

C

A B

D E

C

A B

Dans ce graphe on aune chaine Eulérienne Dans ce graphe Dans ce graphe par exempleA−C−E−D−B−C−D−A−B ni chaine Eulérienne Plusieurs Cycle Eulérien

Mais pas de cycle Eulérien ni Cycle Eulérien Exemple :A−C−E−D−B−C−D−A−B−E−A Les degrés :

Sommet A B C D E

Degrés 3 3 4 4 2

Sommet A B C D E

Degrés 3 3 3 3 4

Sommet A B C D E

Degrés 4 4 4 4 4

Deux de degrés impair A et B 4 sommets de degrés impair tous de degrés pair une chaine Eul (pas de chaine/pas de cycle eule) on a chaine/cycle eul On résumée on a :

Graphe

2 autre

Sommets de degrés impairs

0

Graphe Eulérien

Chaine Eulérienne

Ajout d’une arréte reliant deux sommets de degré impair

Un graphe estconnexes’il est possible, à partir de n’importe quel sommet, de re- joindre tous les autres en suivant les arêtes.

Ce graphe n’est pasconnexe. Le graphe :V ={1,2,3,4,5,6}

L’ensemble des arrêtes de (V) :E={{1,3},{1,4},{2,3},{3,4},{5,6}}

Sur le graphe ci-contre, les composantes connexes sont {1,2,3,4} et {5,6}.

Exemple :(Connexe)

3 2

4 1

5 6 Propriétés 3

Exemple de situation :

Dans la ville de GRAPHE, on s’intéresse aux principales rues permettant de relier différents lieux ouverts au public, à savoir la mairie (M), le centre commercial (C), la bibliothèque (B), la piscine (P) et le lycée (L).

Chacun de ces lieux est désigné par son initiale.

Le tableau ci-dessous donne les rues existant entre ces lieux.

B C L M P

B × × ×

C × × ×

L × ×

M × × × ×

P × ×

1. Dessiner un graphe représentant cette situation

2. Montrer qu’il est possible de trouver un trajet empruntant une fois et une seule toutes les rues de ce plan. Justifier.

3. Proposer un tel trajet.

4. Est-il possible d’avoir un trajet partant et arrivant du même lieu et passant une fois et une seule par toutes les rues ? Réponses :

a) Un graphe représentant la situation : P

M

B C L

b) Trouver un trajet empruntant une fois et une seule toutes les rues du plan revient à chercher une chaîne eulérienne.

D’après le théorème d’Euler, le graphe étant connexe, il faut trouver deux sommets exactement dont le degré est impair.

- M est de degré 4.

- B et C sont de degré 3.

- P et L sont de degré 2.

On en déduit que le graphe admet une chaîne eulérienne dont les extrémités sont B et C.

c) Étape 1 : On choisit une chaîne d’extrémités B et C :B−P−M−L−C

Cette chaine contient toutes les arêtes marquées en rouge.

P

M

B C L

Étape 2 : On choisit un cycle contenant des arêtes non contenues dans la chaîne précédente et d’extrémité un sommet de la

chaine précédente (M par exemple) :M−B−C−M P

M

B C L

Étape 3 : On insère ce cycle dans la chaîne à la place du sommet précédemment choisi.

B−P−M−L−C⇒B−P−M−B−C−M−L−C

B−P−M−B−C−M−L−Cest une chaîne eulérienne possible.

Remarque : Cette méthode est un algorithme de recherche d’une chaîne eulérienne. Si au terme de l’étape 3, la chaîne ne contient pas toutes les arêtes du graphe, on continue en retournant à l’étape 2 pour insérer un nouveau cycle contenant les arêtes manquantes.

d) D’après le théorème d’Euler, un graphe admet un cycle eulérien si, et seulement si, tous les sommets du graphe sont de degré pair. Nous avons vu plus haut que ce n’est pas le cas, donc il n’existe pas de cycle eulérien et donc il n’existe pas de trajet partant et arrivant du même lieu et passant une fois et une seule par toutes les rues.⁴

Coloriage d’un graphe

Colorier un graphe consiste à affecter une couleur à chacun de ses sommets de sorte que deux sommets adjacents ne portent pas la même couleur.

Exemple :1

Une compagnie aérienne propose des vols directs entre certaines villes, notées A, B, C, D, E, F et G. Cela conduit au graphe G suivant, dont les sommets sont les villes et les arêtes représentent les liaisons aériennes :

bc

E

bc

D

bc

bc

bc

bc

bc

F

Sommet Degré

B 5

E 5

C 4

D 4

A 3

G 3

F 2

UN ALGORITHME POUR COLORER UN GRAPHE : (ALGORITHME DE WELSH ET POWELL)

1. Ordonner les sommets dans l’ordre dé- croissant de leurs degrés

1. Sur les cartes d’embarquement, la compagnie attribue à chaque aéroport une couleur, de sorte que deux aéroports liés par un vol direct aient des couleurs différentes. Proposer un coloriage adapté cette condition.

2. Que peut-on en déduire sur le nombre chromatique de G ? 1er Etape :

bc

E

bc

D

bc

bc

bc

bc

F

bc

B 5 rouge

E 5

C 4

D 4

A 3

G 3

F 2 rouge

2. Dans la liste ainsi ordonnée, on attribue la couleurC1=r oug eau premier sommet de la liste, puis en suivant la liste on attribue cette même couleur aux sommets qui ne lui sont pas adjacents et qui ne sont pas adjacents entre eux.

2eme Etape :

bc

D

bc

bc

G

bc

bc

E

bc

F

bc

B 5 rouge

E 5 bleu

C 4

D 4

A 3 bleu

G 3

F 2 rouge

3. On attribue une deuxième couleur C2=bl eu au premier sommet non co- loré de la liste, et on recommence comme dans l’étape 2 tant qu’il reste des som- mets non colorés de la liste.

5

3eme Etape :

bc

D

bc

bc

G

bc

bc

E

bc

F

bc

B 5 rouge

E 5 bleu

C 4 vert

D 4

A 3 bleu

G 3 vert

F 2 rouge

4eme Etape :(Finalement)

bc

D

bc

bc

G

bc

bc

E

bc

F

bc

B 5 rouge

E 5 bleu

C 4 vert

D 4 maron

A 3 bleu

G 3 vert

F 2 rouge

Exemple :2

Une lycée commande neuf produits chimiques (A,B,C,D,E,F,G,H,et I ) pour la laboratoire des sciences . Certaines produits ne peuvent pas être ranger ensemble (a cause de :accident,explosion,...)

Pour l’économie et l’espace le nombres des armoires doit être le plus petits possible(minimum). Sachant qu’on peut mettre ensemble :

H_{A,B,D et E}

HB et F , D et G , E et H H_{F,H et I}

Pour cela on dessine un graphe (G) ou les sommets sont les produits {A,B,C,D,E,F,G,H,I} et les arrêtes sont les incompatibi- lités.

Proposer un coloriage adapté cette condition.

On classe les sommets dans l’ordre décroissant des degrés

bc

D

bc

bc

E

bc

G

bc

bc

bc

H

bc

F

bc

I

Sommet Degré

B 5

D 4

E 4

A 3

F 3

H 3

I 2

C 1

G 1

⇒On part de B.

Sommet Degré couleur

B 5 bleu

D 4

E 4

A 3

F 3

H 3 bleu

I 2

C 1

G 1 bleu

On part de D.⁶

Sommet Degré couleur

B 5 bleu

D 4 rouge

E 4

A 3

F 3 rouge

H 3 bleu

I 2

C 1 rouge

G 1 bleu

⇒On part de E.

Sommet Degré couleur

B 5 bleu

D 4 rouge

E 4 vert

A 3

F 3 rouge

H 3 bleu

I 2 vert

C 1 rouge

G 1 bleu

⇒il reste A.

Sommet Degré couleur

B 5 bleu

D 4 rouge

E 4 vert

A 3 maron

F 3 rouge

H 3 bleu

I 2 vert

C 1 rouge

G 1 bleu

La coloration du graphe (G) sera :

bc

bc

H

bc

G

bc

D

bc

F

bc

bc

I

bc

E

bc

⋆Le nombre chromatique d’un graphe complet d’ordre n est égal à n.

⋆Le nombre chromatique d’un graphe γ(G)≥à l’ordre de tous ses sous-graphes complets .

⋆Soit G un graphe et k le plus grand degré de ses sommets.γ(G)≤k+1

Théorème: 3

On remarque que le nombre chromatiqueγ(G)≥4, car le sous-graphes complets est d’ordre 4 exemple {A,B,E,D} et on a trouver 4 donc c’est le minimum.

Exercice :2.

Première partie :Etude d’un graphe On considère le graphe ci-dessus.

1) a) Ce graphe est-il connexe?

b) Déterminerle degréde chacun des sommets.

On pourra donner le résultat sous forme d’un tableau.

c) Justifier l’existence d’unechaîne eulérienne.

2) a) Déterminer un encadrement du nombre chromatiquede ce graphe.

b) Montrer que ce nombre chromatique est égal à 3.

bc

E

bc

bc

C

bc

bc

bc

G

bc

bc

H

bc

Y

bc

Z

Sommet Degré A

B C D E F G H Y Z Deuxième partie : Visite d’un musée

Voici le plan d’un musée : les parties∦matérialisent les portes et les visiteurs partent de l’accueil, visitent le musée et doivent terminer leur visite à la boutique.

7

Boutique

Acceuil

A B

C D E

F

G H

∦

∦

∦

∦

∦ ∦

∦

∦

∦

∦

∦

∦

∦

∦ ∦

∦

bc

E

bc

bc

C

bc

bc

bc

G

bc

bc

H

bc

Acceuil = Y

bc

Boutique =Z

1. (a) Pourquoi est-il possible de trouver un circuit où les visiteurs passent une fois et une seule par toutes les portes ? (b) Donner un exemple d’un tel circuit.

2. Comment colorier les salles y compris l’accueil et la boutique, en utilisant un minimum de couleurs, pour que 2 salles qui communiquent par une porte aient des couleurs différentes ?

Réponse

1) a) Le graphe est connexe car"entre tout couple de sommets, il existe au moins une chaîne."

b) Le tableau donnant les degrés de chaque sommet est :

Sommet Degré

A 4

B 4

C 4

D 4

E 4

F 2

G 4

H 2

Y 3

Z 1

c) Puisque seuls les deux sommets Y et Z sont de

degré impair "3" et "1", le théorème d’Euler affirme l’existence d’une chaîne eulérienne.

2. a) Notonsχle nombre chromatique de ce graphe. Le degré maximal atteint par les sommets du graphe est 4.

Ainsiχ≤4+1 c’est-à-direχ≤5 L’ordre du plus grand sous graphe complet étant de 3 (par exemple le sous-graphe BDE), on aura donc 3≤χ≤5 .

b) On procède à une coloration du graphe selon l’algorithme deWelch et Powell (ou « Algorithme Glouton ») : Sommet Degré Couleurs

A 4 rouge

B 4 bleu

C 4 bleu

D 4 rouge

E 4 vert

G 4 vert

Y 3 gris

F 2 rouge

H 2 rouge

Z 1 bleu

1 ére coloration :(avec 4 couleurs)

bc

Y

bc

bc

D

bc

bc

H

bc

bc

C

bc

Z

bc

E

bc

G

8

Sommet Degré Couleurs

A 4 rouge

B 4 bleu

C 4 bleu

D 4 vert

E 4 rouge

G 4 rouge

Y 3 vert

F 2 vert

H 2 vert

Z 1 bleu

2 éme coloration :(avec 3 couleurs)

bc

bc

E

bc

G

bc

bc

C

bc

Z

bc

D

bc

bc

H

bc

Y

Sommet Degré Couleurs

A 4 rouge

B 4 bleu

C 4 bleu

D 4 vert

E 4 rouge

G 4 rouge

Y 3 vert

F 2 vert

H 2 vert

Z 1 bleu

bc

bc

E

bc

G

bc

bc

C

bc

Z

bc

D

bc

bc

H

bc

Y

3 éme coloration :(avec 3 couleurs) Ce qui montre que le nombre chromatique est égal à 3

9