Rappels sur le dénombrement et les probabilités

Mathématiques

L’essentiel sur dénombrement et probabilités I – Dénombrement

Principe des choix successifs :si lors d’une expérience on est amené à choisir un élément parmi un ensemble à n1éléments, puis un élément parmi un ensemble àn2éléments, etc... et enfin un élément parmi un ensemble à npéléments, cela peut se faire de n1×n2×. . .×np façons.

Principe des choix disjoints :si lors d’une expérience on est amené à choisir un élément parmi un ensemble àn1

éléments ou un élément parmi un ensemble àn₂éléments, etc... ou enfin un élément parmi un ensemble àn_p éléments, tous ces ensembles étant disjoints, cela peut se faire de n1+n2+. . .+np façons.

Définition 1 :

On appellep-liste d’un ensembleEàn éléments tout élément deE^p, s’écrivant¡

x1,x2, . . . ,xp¢ avec x₁∈E,x₂∈E, . . .,x_p∈E.

Dans unep-liste l’ordre est important (permuter des éléments modifie la liste) et la liste peut contenir plusieurs fois le même élément.

Choisir successivementpboules dans une urne qui en contientn, en remettant dans l’urne chaque boule tirée, correspond à déterminer le nombre dep-listes de l’ensemble des boules : cela peut se faire de n^p façons.

Modèle fondamental de dénombrement : tirage successif avec remise

Définition 2 :

Soitp∈N^,p6^n.

Un arrangement à p éléments d’un ensemble E à n éléments est une p-liste d’éléments deux à deux distincts deE.

Dans un arrangement l’ordre est important (permuter des éléments modifie la liste) mais la liste ne peut pas contenir plusieurs fois le même élément.

Choisir successivement pboules dans une urne qui en contientn, sans remettre dans l’urne les boules tirées, correspond à déterminer le nombre dep-listes d’éléments distincts de l’ensemble des boules : cela peut se faire de n(n−1) . . . (n−p+1)

| {z }

ptermes

= n!

(n−p)! façons.

Modèle fondamental de dénombrement : tirage successif sans remise

Définition 3 :

On appellepermutationd’un ensembleEtoute liste deEcontenant exactement une fois chaque élé- ment deE.

Définition 4 :

Soitp∈N,p6n.

Unecombinaisonàpéléments deEest une partie deEàpéléments.

Choisir simultanémentpboules dans une urne qui en contientncorrespond à choisir une combinaison depéléments de l’ensembleEqui contient les boules de l’urne : cela peut se faire de

µ n p

¶

façons.

Autre interprétation : il y a µ n

p

¶

façons de choisir un échantillon depindividus dans une population de taillen.

Modèle fondamental de dénombrement : tirage simultané

Propriété 2 :

Soit E un ensemble fini de cardinal n.

AlorsP(E)est un ensemble fini et il existe 2ⁿ parties de E .

Synthèse :choix de la méthode de dénombrement en fonction du type de tirage : Pour un tirage depéléments parmin:

Type de tirage Importance de l’ordre Répétition Dénombrement Nombre de choix possibles Successif Avec remise

Oui

Possible listes n^p=n×n×. . .×n

| {z }

ptermes

Sans remise

Impossible arrangements n(n−1) . . . (n−p+1)

| {z }

ptermes

Simultané Non combinaisons

µ n p

¶

=n(n−1) . . . (n−p+1) p(p−1) . . . 1

II – Probabilités sur un univers fini

1^o) Définitions Définition 5 :

SoitΩl’univers associé à une expérience aléatoire (c’est-à-dire l’ensemble des résultats observables).

Unsystème complet d’événementsfini est une famille finie d’événements deux à deux incompatibles dont la réunion estΩ.

Définition 6 :

UneprobabilitéP surΩest une application deP(Ω) dans [0, 1] vérifiant : – P(Ω)=1 .

– ∀(A,B)∈(P(Ω))², siAetBsont incompatibles, alors P(A∪B)=P(A)+P(B) .

2^o) Propriétés

Dans tout ce qui suit,Pdésigne une probabilité sur l’universΩ. Propriété 3 :

Soit A et B deux événements.

Si A⊂B , alors P(A)6^P(B)(P est croissante).

Propriété 4 :

Pour tout événement A, P³ A´

=1−P(A).

Propriété 5 :

Probabilité d’une réunion :

1^o) Cas d’événements incompatibles : si(A₁, A₂, . . . , A_p)est une famille d’événements deux à deux incompatibles, alors P

à _p [

k=1

Ak

!

=

p

X

k=1

P(Ak).

2^o) Cas général pour 2 ou 3 événements(formule du crible ou de Poincaré) : – Pour tous événements A et B , P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B). – Pour tous événements A, B et C ,

P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B∩C)+P(A∩B∩C).

3^o) Équiprobabilité Définition 7 :

On noteΩ=©

x1,x2, . . . ,xnª .

On dit que P est la probabilité uniforme, ou qu’il y a équiprobabilité, sur Ω si ∀(i,j) ∈ ££ 1,n¤¤2

, P({xi})=P({xj}).

Propriété 6 :

La probabilité uniforme sur un ensemble fini de cardinal n est la probabilité P définie par P(x)=1 n pour toute éventualité x∈Ω. De plus, pour tout événement A, on a P(A)=card (A)

card (Ω) .

On retient aussi ce résultat sous la forme :P(A)=nombre de cas favorables nombre de cas possibles. 4^o) Probabilités conditionnelles

a) Définition Définition 8 :

Dans une situation d’équiprobabilité,PA(B)=card(A∩B) card(A) . Propriété 7 :

Soit A un évènement tel que P(A)6=0.

Alors PA:

¯

¯

¯

¯

P(Ω) −→ [0, 1]

B 7−→ PA(B) est une probabilité surΩ.

b) Probabilités d’intersection Propriété 8 :

Soient A et B deux évènements deΩtels que P(A)6=0et P(B)6=0.

Alors P(A∩B)=PA(B)×P(A)=PB(A)×P(B).

Propriété 9 :

(Formule des probabilités composées).

Pour tout entier k>^{2, si A}1, A2,. . ., Ak sont des événements tels que P(A1∩A2∩. . .∩Ak−1)6=0, alors P(A₁∩A₂∩. . .∩A_k)=P(A₁)PA₁(A₂)PA₁∩A₂(A₃) . . .PA₁∩A₂∩...∩A_k−1(A_k).

c) Probabilités totales Propriété 10 :

(Formule des probabilités totales)

Soit(A_i)i∈Iun système complet fini d’événements deΩ, de probabilités non nulles.

Pour tout évènement B deΩ, P(B)=X

i∈I

PA_i(B)P(Ai).

Rappel sur les règles de calcul dans un arbre pondéré : – La somme des branches issues d’un même nœud vaut 1 ;

– La probabilité d’un chemin est égale auproduit des probabilitésinscrites sur chaque branche du chemin ;

– La probabilité d’un évènement est lasomme des probabilitésdes chemins qui aboutissent à l’évènement.

d) Bayes Propriété 11 :

(Formule de Bayes)

Si(Ai)_i∈Iest un système complet fini d’événements deΩde probabilités non nulles, pour tout évènement B deΩtel que P(B)6=0, on a pour tout i∈I , PB(Ai)= PAi(B)×P(Ai)

X

i∈I

PAi(B)P(Ai) .

5^o) Indépendance Définition 9 :

SoientAetBdeux événements.

On dit queAetBsontindépendantssi P(A∩B)=P(A)P(B) .

Propriété 12 :

Soient A et B deux événements. Les conditions suivantes sont équivalentes : 1^o) A et B sont indépendants.

2^o) P(A)=0ou PA(B)=P(B).

3^o) P(B)=0ou PB(A)=P(A).

Propriété 13 :

Soient A et B deux événements indépendants. Alors : – A et B sont indépendants.

– A et B sont indépendants.

– A et B sont indépendants.

Définition 10 :

On dit que les événements A1, A2, . . ., An (n > ^{2) sont} mutuellement indépendants si pour tout k ∈ ££

2,n¤¤

, et tous entiers tels que 1 6 ⁱ1 < i2 < . . . < ik 6 ^{n, on a} P¡

Ai1∩Ai2∩. . .∩Aik

¢=P¡ Ai1

¢P¡ Ai2

¢. . .P¡ Aik

¢.

Pourn=3 par exemple,A,BetCsont indépendants siP(A∩B)=P(A)P(B),P(A∩C)=P(A)P(C),P(B∩C)= P(B)P(C) etP(A∩B∩C)=P(A)P(B)P(C).

III – Probabilités sur un univers infini

Ωdésigne ici un ensemble infini.

1^o) Définitions Définition 11 :

Unetribu– ouσ-algèbre– d’événements deΩest une partieA deΩvérifiant : 1^o) A contient l’univers : Ω∈A .

2^o) A est stable par passage au complémentaire : A∈A =⇒A∈A . 3^o) A est stable par réunion : ¡

∀n∈N, A_n∈A¢

=⇒ [

n∈N

A_n∈A .

Définition 12 :

Définition 13 :

On appelletribu engendréepar le système complet d’événement (An)_n∈Nla plus petite tribu (au sens de l’inclusion) contenant lesAnpour toutn∈N. Cette tribu est A=

½ [

n∈I

An, I⊂N

¾ .

Définition 14 :

UneprobabilitéP sur l’espace probabilisable (Ω,A) est une application deA dans [0, 1] vérifiant : – P(Ω)=1 .

– Si (An)_n∈N est une famille d’événements deux à deux incompatibles, alors la série de terme généralP(An) converge et P

à [

n∈N

An

!

= X

n∈N

P(An) . (Ω,A,P) est appeléespace probabilisé.

Définition 15 :

On dit qu’une propriété est vraiepresque sûrementsi la probabilité qu’elle soit vraie vaut 1. Un événe- mentpresque sûrest un événement de probabilité 1, un événementnégligeableest un événement de probabilité 0.

2^o) Propriétés

Dans tout ce qui suit, (Ω,A,P) est un espace probabilisé. Les propriétés vues pour les espaces probabilisés finis sont toujours vraies.

Théorème 1 : (théorème de la limite monotone)

– Pour toute suitecroissante(An)d’événements, P µ_+∞

[

n=0

An

¶

= lim

n→+∞P(An). – Pour toute suitedécroissante(An)d’événements, P

µ_+∞

\

n=0

An

¶

= lim

n→+∞P(An).

Corollaire 1 :

– Pour toute suite(An)d’événements, P µ_+∞

[

n=0

An

¶

= lim

n→+∞P Ã _n

[

k=0

Ak

! .

– Pour toute suite(An)d’événements, P µ_+∞

\

n=0

An

¶

= lim

n→+∞P Ã _n

\

k=0

A_k

! .

3^o) Probabilités conditionnelles

a) Définition

La définition d’une probabilité conditionnelle est inchangée.

Propriété 14 :

Soit A un évènement tel que P(A)6=0.

Alors PA:

¯

¯

¯

¯

A −→ [0, 1]

B 7−→ PA(B) est une probabilité surΩ.

b) Probabilités d’intersection

Propriétés inchangées par rapport au cas d’un univers fini.

c) Probabilités totales Propriété 15 :

(Formule des probabilités totales)

Soit(An)n∈Nun système complet dénombrable d’événements deΩ. Pour tout évènement B deΩ, P(B)=

+∞X

n=0

PAn(B)P(An).

d) Bayes Propriété 16 :

(Formule de Bayes)

Si(An)_n∈Nun système complet dénombrable d’événements deΩde probabilités non nulles, pour tout évènement B deΩtel que P(B)6=0, on a pour tout n∈N^{, P}B(An)= P_An(B)×P(A_n)

+∞X

k=0

PAk(B)×P(Ak) .

4^o) Indépendance

Là encore les notions d’indépendance de 2 événements et d’indépendance mutuelle denévénements sont tou- jours vraies.

Définition 16 :

On dit que (An)n∈N est une famille d’événementsmutuellement indépendantssi pour toute partie finieI deN^{, on a P}

Ã

\

i∈I

Ai

!

=Y

i∈I

P(Ai) .