Contribution à l étude mathématique du problème du mur

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Submitted on 1 Jan 1946

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Contribution à l’étude mathématique du problème du mur

H. Parodi

To cite this version:

H. Parodi. Contribution à l’étude mathématique du problème du mur. J. Phys. Radium, 1946, 7

(10), pp.287-292. �10.1051/jphysrad:01946007010028700�. �jpa-00233995�

CONTRIBUTION A

L’ÉTUDE MATHÉMATIQUE

^DU

^PROBLÈME

^{DU MUR}

Par H. PARODI.

Conservatoire National des Arts et Métiers.

Sommaire. ²⁰¹⁴ Les équations de la chaleur peuvent être entièrement résolues dans tous les cas de la

pratique, ^au moyen d’un double développement ^en série, contenant : le premier, ^{les dérivées succes-} sives, par rapport ^au temps, ^{des fonctions du} temps définissant les conditions aux limites données;

le second, des fonctions exponentielles dépendant de la fonction définissant l’état initial. L’indé- termination pratique ^de l’état initial ne permet pas de définir rigoureusement les variations instantanées de température ^{et de} flux, ^mais permet pratiquement ^de simplifier ^{le second} développement.

La méthode exposée permet d’exprimer ^les températures ^{et les} flux, ^{dans le cas} d’une variation

périodique simple, ^en fonction des lignes trigonométriques circulaire et hyperbolique ^d’un angle.

L’application ^{de cette méthode à} l’équation ^des télégraphistes ^fera l’objet ^d’une étude ultérieure.

Généralités On sait que les

équations

^{de la}

chaleur

peuvent

^être

complètement intégrées

par

application

de la méthode de

correspondance

^de

Laplace quelles

que soient les conditions

initiales,

les conditions aux

limites,

^les flux de chaleur. Les solutions que l’on trouve ont reçu des formes très

diverses,

toutes d’ailleurs assez

compliquées.

, Dans la

présente ^étude,

^nous montrons comment il est

possible

^{d’arriver au même résultat}

théorique,

par ^une voie totalement

différente,

^{en mettant en} évidence des solutions aisément calculables. Nous

avons pu déduire des résultats

exposés

^{ici des}

méthodes

pratiques

de calcul du fonctionnement des installations de

chauffage

industriel..

La forme donnée aux solutions est assez

simple

pour

qu’il

^soit

possible

^de chiffrer l’erreur

commise,

dans un calcul de

chauffage intermittent,

^{en défi-} nissant les conditions initiales par ^une loi de

répar-

tition des

températures

différente de la

répartition

mal connue. On

sait,

^en

effet,

que la difficulté

prin- cipale

^{de tous les}

problèmes

^de

chauffage

^inter-

mittent tient à l’indétermination

pratique

^{des con-}

ditions initiales. Deux murs

contenant,

à

l’origine

des

temps,

^des

quantités

^{de chaleur}

égales

^mais

inégalement réparties peuvent

fonctionner dans des conditions différentes

fendant

^les

premiers

^instants

d’application

^{de nouveaux}

régimes

^de chauffe iden-

tiques.

^{C’est ce}

point

^délicat que la méthode nouvelle

permet

^de

préciser

^{et de discuter. Nous nous borne-}

rons ici à exposer le

principe

^de la méthode.

jre Partie :

Les fonctions définissant l’état initial et les conditions aux limites sont

quelconques.

Les

équations

que ^{nous nous} proposons ^de résoudre sont les suivantes :

et

La

température

^{0 et le} flux 1> sont des fonctions du

temps

^{t et de la} distance x

comptée

^de

part

^et

d’autre du

plan médian,

^de la distance - 0 à la distance + ^a.

’

Ces

équations

conduisent à des

équations

^du

second ordre en 0 et ~

seuls, quand

^{on élimine 0}

ou W entre les

équations (1)

^et

(2).

1

En

posant h ,

^{on a}

,

et

Pour résoudre ^ces

équations,

^nous poserons

et nous déterminerons les fonctions

U1, U2, U3,

^...,

V,, V2, V3

^en établissant entre elles une

double série

d’équations

^de

récurrence,

^{obtenues en}

groupant

^{les termes} des relations

(3)

^ou

(4)

^comme

il est

indiqué

ci-dessous :

Nous allons ^montrer comment les fonctions

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01946007010028700

288

Ui

^et

Vi peuvent

^être déterminées par ^une méthode

identique,

^{dans chacun} des trois cas

qui

^se

pré-

sentent le

plus fréquemment

^en

pratique.

Premier cas. ^~-- Données du

problème :

Conditions aux limites :

température

^{sur la face x}

^{== 2013o,}

température

^{sur la face x = +}

^a,

Conditions initiales :

Les fonctions

f (1) et g (t)

^sont

supposées

^déri-

vables.

Prenons,

^comme

solutions,

^des

équations

et

les fonctions :

qui prend

^{la valeur o}

(- d, 1)

⁼

f (o

pour x = - ô et la valeur zéro pour x ⁼ +

0;

qui prend

^{la valeur zéro} pour x = - à ^{et la} valeur

8 (.~ ~~ t) ==g(t)

pour x = + ^ô.

Les fonctions

U2

^et

V2

^{obtenues en}

intégrant

deux

fois,

par

rapport

^{à x,} les fonctions

~

pour

v2

et

VI

pour

V2, peuvent

^{se mettre sous la forme}

Pi (x)

^et

QI (x)

^{étant des}

polynomes

satisfaisant aux

relations

puisque

^nous admettons que

’

et

Nous

déterminerons,

^de

même,

les fonctions

Us

et

V3.

Nous obtiendrons

avec

et ainsi de suite.

Nous aurons,

finalement,

^le

développement

^sui-

vant

qui représentera

^{une fonction E}

(x, 1)

^satis-

faisant à la fois à

l’équation

^de

propagation

^{et aux}

- con’ditions aux limites

Les

polynomes

^Pn

(x)

^et

~n (x),

^obtenus par inté-

grations sûccessives

des fonctions

(à - x)

^et

(~ -~ x)

seront de

degré

^{2n + i et} s’annuleront tous pour x ^{= ±} Ô.

Cette fonction E

(x, 1)

^ne satisfait pas nécessai- rement aux conditions initiales.

Si nous remarquons que des fonctions ^de la forme

satisfont à

l’équation

^de

propagation

^{et s’annulent}

pour x ⁼

quelles

que soient les valeurs entières de p, il est clair que la fonction

satisfera à toutes les conditions du

problème

^{si les}

coefficients

Ap

^et

Bp

ont été choisis de manière à satisfaire aux conditions

initiales,

^{savoir :}

La fonction H

(x, o)

n’est autre chose que le déve-

.

loppement

^{en série}

trigonométrique

^du

type (10),

de la fonction

[F (x)

^--E

(x, o)1 qui

^est entièrement

connue et déterminée.

°

La méthode

indiquée permet

^de trouver, ^d’une

façon simple

^et

régulière,

^{la solution}

complète

^du

problème

^à

partir

des trois fonctions données

f (t),

g

(t)

^{et F}

(x).

Cette méthode de formation de la fonction 0

(x, t)

nous

permet

^{de constater} que la fonction E

(x, t), qui

^ne

dépend

que ^des conditions aux

limites,

^est

une solution

asymptotique

^du

problème. Quelle

que soit la fonction F

(x),

l’influence de la fonction .H

(x, 1)

dans le total E

(r, 1~ ⁺

^H

(x, t)

^diminue

rapidement

avec le

temps

^en raison de la décroissance

rapides

des termes contenant les

exponentielles

^{é 4Ô’}

"

--hl

ou e 0’ ^"~ en

’facteur;

cette décroissance ^est

d’autant

plus rapide

^que l’entier p ^est

plus grand.

Pour une valeur de x

quelconque,

la valeur de H

(x, 1)

ne sera

plus

que ^le centième de E

(x, 1)

^{au bout d’un}

temps T2,

^{elle ne sera}

plus

^{que le millième au bout}

d’un

temps T3,

^{... et si l’on}

prend

^{comme nouvelle}

origine

^des

temps

^une

époque

^T suffisamment éloi-

gnée

^{de la}

première origine,

les conditions initiales afférentes à cette nouvelle

origine

^ne différeront pas

pratiquement

^{de E}

(x, T).

Si

f il) et g (t)

étaient des fonctions

ayant

^une

définition

mathématique précise,

il serait

possible

de calculer la valeur du

temps

^{T à}

partir duquel

l’écart entre E

(x, T)

^{et 0}

(x, T)

^serait inférieur à

une limite donnée.

En

pratique,

^le

problème

^se

présente

^{sous une}

forme un peu

différente,

^car les conditions initiales sont inconnues ou mal connues; la fonction

F (x)

est

pratiquement

indéterminée. Il est intéressant alors de remarquer

qu’une

^erreur commise dans l’évaluation de F

(x)

n’entraînera dans la détermi- nation des conditions de fonctionnement du

système qu’une

^erreur,

qui

^{ira en} s’amenuisant avec le

temps, puisque

l’influence de la fonction totale H

(x, 1)

tend elle-même vers zéro.

C’est

pourquoi

^dans les méthodes

d’approximation

que ^{nous avons} établies par

application

^{de la théorie}

précédente,

nous avons pu admettre qu.~ la condi- tion initiale

pouvait

^être définie d’une

façon

^suffi-

samment exacte par la

considération

^{de la chaleur}

totale q~ accumulée dans le mur à l’instant initial.

En limitant la fonction .H

(x, o)

^{à son}

premier terme,

nous pourrons déterminer le coefficient A par la condition

et nous effectuerons le calcul des valeurs successives de la

quantité

^de chaleur contenue dans _{le mur,}

au bout des différentes

périodes

^de

temps

r~, T2,

":3’ ^{..., :- n} que ^nous

considérerons,

^en

ayant

^soin

de

prendre

^{comme valeur de} q, ^au début de

chaque période,

^{une valeur}

rigoureusement égale à

^{la valeur}

de q

à la fin de la

période précédente.

Nous _savons,

qu’en procédant ainsi,

^{nous commet-} trons une erreur,

qui

pourra ^être

importante

^{si la}

valeur initiale admise pour qo diffère notablement de la valeur réelle de l’accumulation à l’instant

initial,

mais nous savons que ^{cette erreur ira en} diminuant au cours du calcul d’une

façon

^assez

rapide

^et

qu’elle

^{tendra vers zéro}

quand

^{les calculs}

seront

poursuivis

^{sur une}

période

^de

temps

^suffi-

samment

longue.

Deuxième cas. - Données du

problèmes

Flux

pénétrant

par la face x ^{= -}

6,

Température

^{sur la face x} = -+-

ô,

Conditions initiales :

Comme dans le cas

précédent,

^nous effectuerons le calcul des fonctions successives

U1, U2, ..., Vl, V2, ...

en

supposant

^{connues les}

températures

^{sur les deux}

faces, ^{mais en}

laissant, provisoirement

^en suspens le calcul des constantes

d’intégration.

^Soit

f (t),

la

température

^{inconnue sur la} face x === 2013o.

Nous aurons

et par ^{les mêmes}

calculs,

^nous obtiendrons

nous voyons donc que si nous choisissons la fonc-

tion i ~t~

^de manière que

soit

et les constantes

d’intégration

des fonctions P et

Q

de manière que l’on ait

les conditions aux limites seront satisfaites. Nous

aurons donc

Les fonctions satisfont à

l’équation

^de

propagation

^{et aux} conditions aux

limites ;

pour ^avoir les fonctions 0

(x, t~

^{et (D}

(x, 1)

satisfaisant aux conditions

initiales,

^{il suffit}

d’ajouter

290

des termes

complémentaires

^en

a sin qx e- 12 hi

comme dans le

premier

^cas.

Troisième cas. ^- Données du

problème :

Flux ₉

(1) pénétrant

^{dans le mur} par la

Température

^{de l’air}

baignant

la face x ⁼ -~-

à;

Conditions initiales 0

(x, o)

^{= F}

(x).

En

appelant i

^le coefficient de transmission

superficiel

^{entre le mur et l’air}

extérieur,

^nous devrons avoir

c’est-à-dire

g,

(t)

^{étant la}

température

^de l’air extérieur.

Pour la face x

== - 0,

^{nous aurons comme dans}

le cas

précédent,

Appelons f (t) et g (t),

^les

températures

^{du mur}

sur les deux faces :

et

Les

températures

^{en un}

point quelconque

^{du mur,}

à ^un instant t

quelconque, auront,

^comme

expression,

les

f onctions

et

Q,,(x)

^sont

toujours

telles que

et

mais les constantes

d’intégration

vont être déter- minées de manière que les conditions ^aux limites soient satisfaites.

Exprimons,

^{à cet}

^effet,

^{le flux (D et la} quan- tité

(0 -- - , )

^{àx en fonction de}

¹

^{et g. Nous aurons}

Nous déterminerons les constantes arbitraires

figurant

dans les fonctions P,, ^et

Qn

par les condi- tions suivantes :

pour

pour

Nous pourrons alors trouver les valeurs des fonc-

tions 1 (1) et g (t)

par les conditions pour: ⁱ

pour

On ^a

on a

pour x ⁼ +

0,

le flux ^{a comme} valeur

on passera de la fonction E

(~, f)

^à la fonction 0

(x, t)

par additions de ^termes

complémentaires

^comme

dans le

premier

^cas.

Applications praüque.

^{- Les} conditions aux limites sont en

pratique

^définies

par , des

courbes relevées par des

appareils enregistreurs

^{mesurant, d’une}

^façon plus

^{on moins}

précise,

^des

températures

^{ou des flux}

moyens ^ne

représentant

pas, d’une

façon

^{exacte, les}

fonctions considérées dans l’étude

mathématique

^du

problème.

Il est alors

léqitime

^{de calculer les conditions}

approximatives

^de fonctionnement par ^la méthode des arcs

successifs,

^en

corfondant,

dans des inter- valles de

temps

^assez

longs, cha que

élément de la

courbe

expérimentale

^{avec un arc de}

parabole

^de

degré plus

^{ou moins élevé. L’!s}

développements

que

nous avons calculés sont aloi s 1 mités à leurs

premiers

termes, toutes les dérivées au de’à d’un certain ordre étant nulles. Le calcul

numérique

^de

proche

^en

proche,

^{effectué en}

prenant

^{comme «} variable de con-

tinuité ^» la

quantité

^{de chaleur} contenue dans le mur, devient alors non seulement

possible

^mais

facile.

Nous ne

développerons

pas ici le detail ^{de (e3} calculs.

Quatrième

^{cas. ~--}

Re f roidïs.sement :

^Au

temps 1

^{= o,}

la

répartition

^des

températures

^{dans le mur est}

Nous poserons ^{0 =}

U1 --~- tl2

^-~-

U3

^{y ... comme}

dans les ^cas

précédents,

^{mais nous} déterminerons les

équations

^de récurrence d’une

façon

différente en

groupant les

^termes

cle l’expressionh d-2 0 ]

groupall ^{es termes (e} expressIon

1

^{dx àt}

de la manière suivante :

Nous

prendrons

^{comme solution de}

nous aurons alors

successivement

d’où

Cas

particulier.

^--

^Supposons

^F

^(x)

^{= sin ~2 x;}

nous aurons

et

on retrouve ainsi un résultat

classique,

^{que nous}

avons utilisé directement pour former les termes

complémentaires

définissant l’état initial.

IIe Partie :

Cas où les conditions aux limites sont définies par des fonctions sinusoïdales.

Solution

asymptotique

Pour résoudre ^ce

système d’équations,

^nous pose-

rons

Portant ces

développements

^dans

l’équation

nous

trouvons,

^{en annulant}

séparément

^{les coeffi-}

cients des fonctions sin ú) t et

cos ú) t,

Nous pourrons déterminer ^les fonctions

U,, U2,

^...,

VI, V,,

^{... en annulant}

séparément

^chacun

des termes entre

parenthèses

^des

équations (6)

^et

(7)

en

prenant,

^comme

^valeurs,

des fonctions

U,

^et

V, :

et

v et V étant des constantes

d’intégration.

On trouve ainsi

Les fonctions en x

figurant

^dans

l’expression

^{de 0}

peuvent

^être

exprimées

^très

simplement

^{en fonction}

des

lignes trigonométriques

circulaires et

hyper-

292

boliques

^{dont il existe} des tables

( après

^avoir

^posé,

pour

simplifier l’écriture, I

^{- =}

x

Soient

hl, h,, h3, h~

^les

quatre

racines de

l’équa-

tion h4 = - _{1 ,}

Nous pourrons écrire

quatre développements

^ana-

logues

^{au suivant :}

En

multipliant

chacun de ces

quatre dévelop- pements, respectivement par h,

^ou

hi

^ou

hi

^{et en}

ajoutant

^ces

produits,

^nous pourrons faire

dispa-

raître trois termes sur

quatre

^dans chacun des groupes de termes mis entre

parenthèses.

^Les

sommes

hb/

-~-

h’§

-+-

h’?

-~-

hT sont,

^en

effet,

toutes nulles pour

l’exposant

q

entier,

sauf

lorsque q

^est

multiple

^de

C~. Quand

q ^est

multiple de 4,

^{la somme}

est

égale

^à

^{2013 4}

pour q

impair

^{et à +}

4

pour

pair.

Nous aurons donc

en calculant chacune de ces sommes avec les valeurs des

hl, h2, h3, h4 indiquées ci-dessus,

^{on trouve} immé-

diatement

En

portant

^ces valeurs dans

l’expression

^{de 0 et}

en

remplaçant ~

par ^{sa et en}

posant m = V :5¿ ,

^,

L’expression

^du _dx

do

^se

^déduit,

^soit _

du

développement (4),

^{soit. en} dérivant directement les

produits

^de

lignes trigonométriques.

après réduction,

^{on obtient}

Les constantes

d’intégration

^{U et V sont déter-}

minées à

partir

^{des valeurs} de 0 et 4) sur la face

d’entrée,

des valeurs de 0 sur les deux

faces,

etc.,

en faisant x ^{==:- 0} sur une sur l’autre.

Manuscrit reçu le 9 septembre 1946.