La recherche opérationnelle
Résolution d’un pRogRamme linéaiRe Méthode géométrique
Semestre 7
ENCG AGADIR 2020-2021 2
Plan :
Introduction
Rappel de géométrie analytique La solution optimale
Applications :
Cas d’une seule solution possible
Cas de solutions multiples
Cas des problèmes à solution infinie
Cas des problèmes à aucune solution possible
Introduction
La méthode géométrique ou graphique n'est pas utilisée en pratique, par contre, elle permet de visualiser certains concepts qui seront très utiles lors du développement de la méthode du simplexe.
Dans le cas de la méthode géométrique, les problèmes portent sur les modèles à deux variables.
La géométrie des problèmes à deux variables permet une meilleur compréhension des situations qui peuvent se présenter pour des modèles à n variables
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Rappel de géométrie analytique
Une contrainte à deux variables a la forme :
Donc pour la résolution géométrique d’un modèle linéaire à deux variables, nous nous intéresserons au plan x1x2 dont x1 constitue l’axe des abscisses et x2 constitue l’axe des ordonnées.
Ensuite, on détermine l’ensemble des points (x1,x2) dont les coordonnées satisfont les contraintes d’un problème de
programmation linéaire.
On représente l’équation de la droite x2=ax1 + b (a est la pente de la droite et b est l’ordonnée à l’origine).
12 12 1
11x a x , , b
a
L’inéquation
x
2≤ ax
1+ b
représente un demi-plan fermé composé de tous les points sur et sous la droitex
2=ax
1+ b
.x1 x1
x2 x2
x
2≤ ax
1+ b a > 0; b >0
x
2≤ ax
1+ b
a < 0; b >0
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L’inéquation
x
2≥ ax
1+ b
représente un demi-plan fermé composé de tous les points sur et sous la droitex
2=ax
1+ b
.x1 x1
x2 x2
x
2≥ ax
1+ b a > 0; b >0
x
2≥ ax
1+ b
a < 0; b >0
L’inéquation
x
1= α
représente une droite parallèle à l’axex
2x1 x1
x2 x2
x
1≤ α x
1≥ α
α α
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L’inéquation
x
2= β
représente une droite parallèle à l’axex
1x1 x1
x2 x2
x
2≤ β x
2≥ β
β β
La solution optimale
La recherche de l’optimum d’un programme linéaire consiste d’abord à déterminer les solutions satisfont (solutions réalisables) aux contraintes du programme. Ces solutions forment un ensemble convexe.
La solution qui optimise la fonction économique est un point extrême de cet ensemble convexe.
Ce point extrême est nécessairement sur la frontière de l’ensemble convexe.
Application 1 :
Résoudre le programme linéaire suivant (méthode graphique)
0
; 0 5
4 8
4 2
:
2
2 1
1
2 1
2 1
2 1
2 1
x x
x
x x
x x
x x
SC
x x
Z
Max
Solution:
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Solution: (Une seule solution possible)
Le point extrême qui optimise la fonction économique est x1=2;
x2=6 et Z=14
Point Coordonnée X1 Coordonnée X2 Valeur de la fonction économique (Z)
B 2 0 2
H 5 0 5
A 0 4 8
F 5 3 11
E 2 6 14
O 0 0 Hors solutions réalisables
C 0 8 Hors solutions réalisables
D 8 0 Hors solutions réalisables
G 5 9 Hors solutions réalisables
Application 2 :
Résoudre le programme linéaire suivant (méthode graphique)
24 4
60 8
12
0 6
:
2 16
2 1
2 1
2
2 1
2 1
x x
x x
x
x x
SC
x x
Z
Max
Solution: (Solutions multiples)
La droite de la fonction économique (en rouge) coïncide avec l’une des bornes de la région convexe
Solution: (Solutions multiples)
Point Coordonnée X1 Coordonnée X2 Valeur de la fonction objective (Z)
O 0 0 0
A 2 12 56
I 6 0 96
D 6 12 120
H 7 4 120
B 4,29 25,71 Hors solutions réalisables
C 0 12 Hors solutions réalisables
E 9 12 Hors solutions réalisables
F 0 60 Hors solutions réalisables
G 7,5 0 Hors solutions réalisables
Application 3 :
Résoudre le programme linéaire suivant (méthode graphique)
0
; 0
3
2 :
2
2 1
2
2 1
2 1
x x
x
x x
SC
x x
Z
Max
Solution: ( problèmes à solution infinie)
Graphiquement, ce problème est caractérisé par le fait qu’on peut
Application 4 :
Résoudre le programme linéaire suivant (méthode graphique)
0
; 0
10 3
2 :
3 4
2 1
2 1
2 1
2 1
x x
x x
x x
SC
x x
Z
Max
Solution : ( Aucune solution possible)
Merci de votre attention
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