Déterminer l'ensemble des solutions de(E1)

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MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Partie I.

On considère un système diérentiel (S1) dont les inconnues sont des fonctions x et y dérivables dansRet une équation diérentielle(E1)dont la fonction inconnue est deux fois dérivable dansR.

(S1)

(x⁰(t) = 2y(t)

y⁰(t) =−x(t) +te^t (E1) y⁰⁰(t) + 2y(t) = 2te^t

1. Soit(f₁, f₂)un couple de solutions de(S₁). Montrer quef₁ est une solution de(E₁). 2. Déterminer l'ensemble des solutions de(E1).

3. Déterminer l'ensemble des couples solutions de(S1).

4. Montrer qu'il existe un unique couple solution(f1, g1)de(S1)tel quef1(0) =g1(0) = 0.

Partie II.

On considère un système diérentiel (S2) dont les inconnues sont des fonctions x et y dérivables dansR.

(S2)







x⁰(t) = 4t

1 +t²x(t)−t²y(t) y⁰(t) = 2t

1 +t²y(t) +t(1 +t²) 1. Déterminer l'ensemble des couples solutions de(S2).

Partie III.

On considère un système diérentiel (S₃) dont les inconnues sont des fonctions x et y dérivables dansR.

(S3)

(x⁰(t) = 7x(t)−5y(t) + sh(t) y⁰(t) = 10x(t)−8y(t) + ch(t)

1. Soit(f, g)un couple solution de(S3)etu= 2f−g. Former une équation diérentielle du premier ordre(E2)(inconnue notéey) dontuest une solution.

2. Soit(f, g)un couple solution de(S3)etu=−f+g. Former une équation diérentielle du premier ordre(E₃)(inconnue notéey) dontuest une solution.

3. Résoudre(E2). Résoudre(E3).

4. Déterminer l'ensemble des couples solutions de(S3).

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai Aeqd16

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Partie I.

1. Soit(f₁, f₂)un couple de solutions, en dérivant la première équation et en substituant àf₂⁰ l'expression venant de la deuxième équation, on obtient une équation diérentielle ne contenant quef₁

f₁⁰⁰(t) = 2f₂⁰(t) =−2f1(t) + 2te^t Ce qui montre quef1 est solution de(E1).

2. Il s'agit d'une équation linéaire du second ordre à coecients constants dont le second membre est un polynôme-exponentiel. Les racines du polynôme caractéristique sont i√

2 et −i√

2. Selon le cours et la forme du second membre, on cherche une solution particulière sous la formet→(at+b)e^t. L'ensemble des solutions est

t→(−4 9 +2

3t)e^t+λcos(t√

2) +µsin(t√

2),(λ, µ)∈R²

3. Soit(f1, f2)un couple de solutions de(S), alorsf1est solution de(E1)donc il existe λetµtels que

f1(t) = (−4 9+2

3t)e^t+λcos(t√

2) +µsin(t√ 2) D'après la première équation deS :

f2(t) = 1

2f₁⁰(t) = (1 9+1

3t)e^t+ 1

√

2(−λsin(t√

2) +µcos(t√ 2))

On vérie facilement que ces fonctions constituent bien un couple solution.

4. Le problème de Cauchy posée dans cette question se ramène à un système aux incon- nuesλet µ:







−4

9 +λ= 0 1

9+ µ

√2 = 0

⇔









 λ=4

9 µ=−

√2

9

Partie II.

1. La deuxième équation de (S2) est linéaire du premier ordre mais à coecients non constants. On la résoud par la méthode de variation de la constante. L'ensemble des

solutions est

t→ 1

2t²(1 +t²) +λ(1 +t²), λ∈R

On reporte l'expression que l'on vient de trouver dans la première équation ce qui forme une nouvelle équation du premier ordre à coecients non constants.

x⁰(t)− 4t

1 +t²x(t) =g(t)avecg(t) =−(t²

2 +λ)t²(1 +t²)

On résoud cette équation par calcul de primitive et variation de la constante. Les solutions sont de la forme

−t³ 6 + t

2−arctant

2 +λ(arctant−t) +µ

(1 +t²)²

oùµest un réel quelconque.

2. Le problème de Cauchy se ramène à un système aux inconnues λ et µ qui conduit facilement àλ=µ= 0.

Partie III.

1. En combinant linéairement les équations, on obtient queu= 2f−g est solution de (E2) y⁰(t)−2y(t) =1

2e^t−3 2e^−t

2. En combinant linéairement les équations, on obtient queu=−f+g est solution de (E3) y⁰(t) + 3y(t) =e^−t

3. Il s'agit d'équations linéaires du premier ordre à coecients constants et second membres polynômes-exponentiels. L'ensemble des solutions de(E2)est

t→ −sht+λe^2t, λ∈R L'ensemble des solutions de(E3)est

t→e^−t

2 +λe^−3t, λ∈R

4. D'après les questions précédentes,(x, y) est solution deS3 si et seulement si il existe des réelsλet µtels que







2x(t)−y(t) =−sht+λe^2t

−x(t) +y(t) = e^−t

2 +µe^−3t

⇔







x(t) =e^−t−e^t

2 +λe^2t+µe^−3t y(t) = 3

2e^−t−1

2e^t+λe^2t+ 2µe^−3t

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5. Le problème de Cauchy se ramène à un système aux inconnuesλetµ







λ+µ=−1 2 λ+ 2µ=−1

⇔





 λ= 0 µ=−1

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