La prime de risque

Chapitre 2

Incertitude et information imparfaite

• Proposition de Bernoulli: prendre l’utilité du gain: u=ln(g).

• Cette valeur pourrait être obtenue en proposant de choisir entre une somme certaine X et un

billet ayant une chance p de gagner une certaine somme (ex. 500 Fr). Indifférence:

• Si 70 ~ 500 avec p=0.14 gain espéré

• Si 70 ~ 500 avec p=0.32 aversion au risque

• Si 200 ~ 500 avec p=0.40 gain espéré

• Si 200 ~ 500 avec p=0.64 aversion au risque

• Si 400 ~ 500 avec p=0.80 gain espéré

• Si 400 ~ 500 avec p=0.91 aversion au risque

argent certain

u(g), p

aversion au risque

préférence pour le risque neutralité

u

• En cas de certitude:

• achat d’un jambon consommation

• En cas d’incertitude:

•

• achat d’un billet gagnant consommation

• billet pas de chance pas de jambon

action conséquence

action état de la nature conséquence

Utilité dépendant des états de la nature

• Dans certains cas l’utilité n’est pas

indépendante des états de la nature. Par

exemple, supposons qu’en cas de récession une société licencie une partie de son

personnel. Si un employé possède des

actions et est licencié, l’utilité du dividende en cas de récession n’est pas la même que celle en cas de haute conjoncture.

9.4335 9.21

u(12500)=9.435 prime de risque

prime maximale

=sans assurance

=avec assurance équitable

EC

EC=équivalent certain

=10000



 π=0.339

9.9

0.8

0.8

prime de risque 9.63

prime maximale EC

0 1

u(12,500)=3.9063 5.3125

prime de risque négative

u(12.500)=6.25

6.25

prime équitable

La prime de risque

• Équivalent certain (EC): somme sûre qui donne la même utilité espérée qu’un

événement incertain

• Prime de risque:

valeur espérée – équivalent certain

• Exemple du graphique:

u_e = 9.2103EC=10000 (e^9.2103)

• E(A)-EC=12500-10000=2500

=actions

=obligations π=0.75

C=10’300

hausse de 60%

baisse de 60%

π/(1-π)

Utilité quadratique et courbe rendement / risque

• u=200+40A-0.5A²

• u_e=E(u)=200+40 E(A)-0.5(σ² + µ²)

• u_e=200+40µ-0.5σ²-0.5µ²

• µ²-80µ-400+σ²+2u_e=0

ue

2 2000

40 − − ² −

= σ

µ

u_e=325.9 u_e=336

Paradoxes d’Allais

• s₁ préféré à r₁:

• u(100) > 0.1 u(500) + 0.89 u(100)

• 0.11 u(100) > 0.1 u(500)

• r₂ préféré à s₂ :

• 0.11 u(100) < 0.1 u(500)

• s₁* préféré à r₁* : u(100) > 0.8 u(500)

• r₂* préféré à s₂* : 0.05 u(100) < 0.04 u(500)

• X 20 : u(100) < 0.8 u(500)

contradiction

Conclusion

• Le modèle de l’utilité espérée est très facile à utiliser (il suffit de maximiser

l’utilité espérée) mais il ne permet pas de tenir compte de nombreux comportements des individus en situation d’incertitude.