BAC BLANC N°1 MATHÉMATIQUES
TERMINALES ES
L’usage de la calculatrice est autorisé
. Nature de l’épreuve : écrite Coefficient :
. Durée de l’épreuve : 3 heures Notation sur 20 points . Il sera tenu compte de la présentation, la rédaction et l’orthographe
Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet.
Le sujet comporte 5 pages, numérotées de 1 à 5.
Commun à tous les candidats :
Pour chacune des questions, trois affirmations sont proposées, une seule réponse est exacte. Pour chaque ques- tion, le candidat notera sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correcte.
Aucune justification n’est demandée. Une réponse fausse n’est pas pénalisée.
On lance verticalement une balle de tennis à 1 m du sol. Une étude montre que cette balle rebondit à 45%
de la hauteur précédente.
On notehn la hauteur en cm de la balle après len-ième rebond, ainsi on a h0 = 100. 1) La suite (hn) est :
a) géométrique de raison 0,55 b) géométrique de raison 0,45 c) arithmétique de 1erterme 100 2) La limite de la suite (hn) est :
a) 0 b) +∞ c) 0,45
3) La suite (hn) est :
a) croissante b) décroissante c) ni croissante ni décroissante
4) On suppose que lorsque la hauteur de la balle est inférieure ou égale à 0,5 cm, la balle ne rebondit plus.
Le nombre de rebonds effectués par la balle est :
a) 6 b) 7 c) 8
5) Parmi les algorithmes suivants, lequel permettra de répondre avec certitude à la question précédente :
• Entrée :
A prend la valeur 100 N prend la valeur 0
• Traitement : Tant que A ≥0,5
A prend la valeur 0,45 ×A N prend la valeur N + 1 Fin Tant que
• Sortie : Afficher N
a) Algorithme 1
• Entrée :
A prend la valeur 100 N prend la valeur 0
• Traitement : Tant que A < 0,5
A prend la valeur 0,45 ×A N prend la valeur N + 1 Fin Tant que
• Sortie : Afficher N
b) Algorithme 2
• Entrée :
A prend la valeur 100 N prend la valeur 0
• Traitement : Tant que A > 0,5
A prend la valeur 0,45 ×A N prend la valeur N + 1 Fin Tant que
• Sortie : Afficher N
c) Algorithme 3
Si nécessaire, les valeurs dans cet exercice seront arrondies à 10−2
Une entreprise a noté les valeurs du coût total de production C(x) d’un engrais en fonction de la masse x produite. Le tableau ci-dessous donne les valeurs xi de masse d’engrais produite et les valeurs C(xi) des coûts totaux de production correspondants pouri entier variant de 1 à 5.
xi en tonnes 10 12 14 16 18
C(xi)en centaines d’euros 100 110 145 196 308
Partie A :
On recherche une fonction définie sur l’intervalle [10 ; 18] dont la courbe représentative « ajuste » de façon acceptable les points de coordonnées (xi ; C(xi)).
Une fonctionf est dite « acceptée » si, pour les cinq valeursxi du tableau, on a :−10≤f(xi)−C(xi)≤10. 1) On considère la fonction f définie sur l’intervalle [10 ; 18] par : f(x) =e0,3x+ 80 .
a) Sans détailler les calculs, recopier et compléter le tableau suivant :
xi 10 12 14 16 18
f(xi) f(xi)−C(xi) b) La fonction f est-elle « acceptée » ?
c) Etudier les variations def sur [10 ; 18] et dresser son tableau de variation.
Partie B : Etude d’une fonction auxiliaire
Soitg la fonction définie sur l’intervalle [10 ; 18] par g(x) = (0,3x−1)e0,3x−80. 1) Montrer que pour tout xde [10 ; 18], on a :g0(x) = 0,09x e0,3x .
2) Établir le tableau de variation de g sur l’intervalle [10 ; 18].
3) Montrer que l’équation g(x) = 0admet une unique solution α sur [10 ; 18].
4) Donner la valeur deα arrondie à10−1 . 5) Déduire le signe de g(x) sur [10 ; 18].
Partie C :
Le coût moyen de production d’une tonne en fonction de la massex produite est exprimé en centaines d’euros par :
Cm(x) = f(x) x oùf est la fonction étudiée dans la partie A et x∈ [10 ; 18].
1) Montrer que pour tout xde [10 ; 18], on a :Cm0 (x) = g(x) x2 .
2) Déduire à l’aide de la partie B le sens de variations de la fonction Cm sur l’intervalle [10 ; 18].
3) Pour quelle production, en tonnes, a-t-on un coût moyen minimal ? Quel est ce coût à un euro près par défaut ?
Commun à tous les candidats :
Un producteur de fruits rouges propose en vente directe des framboises, des groseilles et des myrtilles.
Le client peut acheter soit des barquettes de fruits à déguster, soit des barquettes de fruits à confiture.
Le producteur a remarqué que, parmi ses clients 90% achètent une barquette de fruit à confiture.
Lorsqu’un client achète une barquette de fruits à confiture, la probabilité qu’il demande une barquette de myrtilles est 0,3 et la probabilité qu’il demande une barquette de groseilles est 0,5.
Lorsqu’un client achète une barquette de fruits à déguster, il ne demande jamais de groseilles, et il demande des framboises dans 60% des cas.
Un client achète une barquette. On note les événements :
• C :"Le client achète une barquette de fruits à confiture".
• F :"Le client demande des framboises".
• G :"Le client demande des groseilles".
• M :"Le client demande des myrtilles".
Partie A :
1) a) Recopier l’arbre suivant, reporter les données de l’énoncé et le compléter au fur et à mesure avec les réponses obtenues dans les questions suivantes.
b) Calculer la probabilité que le client demande des framboises sachant qu’il achète une barquette de fruits à confiture.
c) Le client achète une barquette de fruits à déguster. Quelle est la probabilité qu’il demande des myrtilles ?
2) a) Décrire par une phrase l’événement F∩ C. Calculer P(F∩C).
b) Montrer que la probabilité pour que le client achète une barquette de framboises est égale à 0,24.
3) Le client achète une barquette de framboises. Calculer la probabilité que ce soit une barquette de fruits à confiture.
Partie B :
Le producteur vend 5d la barquette de fruits à confiture quelque soit le fruit, il vend 2 d la barquette de framboises à déguster et 3d la barquette de myrtilles à déguster.
1) Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi du gain du producteur par barquette vendue.
Justifier les réponses.
Gain xi (end) 2 3 5 Probabilitépi
La médiathèque d’une petite ville a ouvert ses portes le 2 janvier 2013 et a enregistré 2 500 inscriptions en 2013.
Elle estime que, chaque année, 80% des anciens inscrits renouvelleront leur inscription l’année suivante et qu’il y aura 400 nouveaux adhérents.
On modélise cette situation par une suite numérique (an). On notea0 = 2500 le nombre d’inscrits à la média- thèque en 2013 etanreprésente le nombre d’inscrits à la médiathèque pendant l’année 2013 + n.
1) a) Calculera1 eta2 . Que représentent ces deux valeurs ?
b) Justifier que, pour tout entier natureln , on a :an+1 = 0,8an+ 400. 2) On pose, pour tout entier natureln ,un =an−2000.
a) Démontrer que la suite (un) est une suite géométrique de premier terme u0 = 500 et de raison q = 0,8.
b) En déduire que pour tout entier natureln , on a :an= 500×0,8n+ 2000. c) Calculer une estimation du nombre d’adhérents à la médiathèque en 2025.
3) a) Calculer la limite de la suite (an).
b) Déterminer le sens de variation de la suite (an).
c) Que peut-on en déduire pour le nombre d’adhérents à la médiathèque si le schéma d’inscription reste le même au cours des années à venir ?
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité :
A REDIGER SUR UNE COPIE INDEPENDANTE
La coopérative LAFRUITIERE collecte le lait de 7 exploitations de montagne. La situation géographique est représentée par le graphe ci-dessous, noté Gl. La coopérative est située au sommet A, les autres sommets B, C, D, E, F, G et H représentent les différentes exploitations ; les arêtes représentent le réseau routier reliant ces exploitations.
Partie A :
1) a) Le graphe Gl est-il complet ? Justifier.
b) Le graphe Gl est-il connexe ? Justifier.
2) Est-il possible d’organiser une tournée de toutes les exploitations en partant de A et en terminant en A et en passant au moins une fois par chaque client, tout en empruntant une fois et une seule chaque route ? Justifier la réponse.
3) On appelle M la matrice d’adjacence associée au graphe GL (les sommets étant pris dans l’ordre alphabétique).
Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant A à H. Indiquer ces chemins.
Partie B :
Les arêtes sont pondérées par les distances entre les exploitations, exprimées en kilomètres.La coopérative doit collecter du lait provenant de l’exploitation D ; quel est le plus court parcours pour
