Hétérogénéités ellipsoïdales dans un milieu élastique anisotrope

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Submitted on 1 Jan 1971

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Hétérogénéités ellipsoïdales dans un milieu élastique anisotrope

Gabriel Faivre

To cite this version:

Gabriel Faivre. Hétérogénéités ellipsoïdales dans un milieu élastique anisotrope. Journal de Physique,

1971, 32 (4), pp.325-331. �10.1051/jphys:01971003204032500�. �jpa-00207082�

HÉTÉROGÉNÉITÉS ELLIPSOÏDALES

DANS UN MILIEU ÉLASTIQUE ^ANISOTROPE

G. FAIVRE

(Reçu

^{le 7 octobre}

1970,

^{révisé le 3 décembre}

1970)

Résumé. ²⁰¹⁴ La méthode

développée

par

Eshelby

pour résoudre certains

problèmes

^{relatifs aux}

champs

de contrainte et de déformation des inclusions est ici étendue aux cristaux

anisotropes.

Le

procédé

^{est fondé sur}

l’emploi

^{de la} transformation de Fourier et devient très

simple

pour les matrices

cubiques.

^{A titre}

d’exemple,

^{nous examinons une}

application

^au calcul des constantes

élastiques

des solides contenant des

hétérogénéités.

Abstract. ²⁰¹⁴ The method

developed by Eshelby

^for

solving

^some

problems

^{related to the stress}

and strain fields of inclusions is here extended to

anisotropic crystals.

The method is based on the

use of a Fourier transformation and is

particularly simple

for cubic solids. As an

example,

^its

application

^to the calculation of the elastic constants of a solid

containing heterogeneities

^{is exa-} mined.

Classification :

Physics

^Abstracts

16.30, 16.40,

^16.60

1. Introduction. ^- La solution de

beaucoup

^de

problèmes

^{relatifs aux} inclusions ^ou aux

précipités

^dans

une matrice

élastique

^ne demande la connaissance des

champs

^de déformation et de contrainte

qu’à

^l’inté-

rieur des inclusions. Or ces

champs

^sont uniformes à l’intérieur d’une inclusion de forme

ellipsoïdale.

^Dans

ce cas

particulier,

il suffit donc de connaître les compo- santes d’un tenseur

symétrique S, permettant

^de

trouver la déformation totale e à l’intérieur du

précipité,

en fonction de la déformation de

transformation eT (voir ci-dessous)

par :

Eshelby

^{a établi ces résultats et a calculé le tenseur S}

d’une inclusion

ellipsoïdale

^{dans une matrice élasti-}

quement isotrope [1].

^Le

présent

^article propose ^un

procédé

pour calculer S dans le cas où la matrice est

élastiquement anisotrope.

^{Le calcul est}

développé complètement

^{dans le cas} d’une matrice

cubique

^et

appliqué

^{au calcul des} constantes

élastiques

^d’un

cristal de FLi contenant des

précipités

^{de Li sur les}

plans {001 }.

2. Le

champ

de déformation dû à une inclusion

ellipsoïdale.

^{- 2.1} DÉFINITION DES TENSEURS S ET T.

- Suivant

Eshelby [1],

^nous considérons l’inclusion

comme si elle

provenait

^{de la} transformation de la matière contenue dans le volume v

(limité

par la surface fermée

Q),

transformation telle

qu’en

^l’absence

de la matrice environnante la matière contenue dans v

subirait la

déformation eT -

_par

rapport

^{à la matrice}

présente

^{dans v avant} la transformation. On

appelle eT

la « déformation de

transformation » ;

^{elle est} uniforme dans

v.eT,

^ou

plutôt

^la déformation

égale

^à

eT

dans v et nulle hors de _v, soit

eP,

^{est la}

partie plas- tique

de la déformation

(au

^{sens de Kroner}

[2]).

^En

effet,

^la contrainte _{p et} la déformation

(totale) e

^sont

liées en tout

point

par la relation :

où c est le tenseur du 4e ordre des constantes élas-

tiques.

^{Nous avons}

supposé

que les constantes élas-

tiques

^de la matrice et de l’inclusion sont les

mêmes, c ijkl’

^{Le cas où elles sont} différentes est examiné au

paragraphe

^{4. En} l’absence de forces

extérieures,

^les

déplacements

^{u dus à} l’inclusion sont les mêmes que

ceux que causerait la distribution de forces de vo-

lume -

Div pP,

c’est-à-dire ici les forces

P0 dO’j ^appli-

quées

^{sur la surface J}

(pT = c. eT),

^soit

r est le rayon vecteur. On

intègre

^{sur r’. U est le tenseur}

de Green de

l’élasticité,

c’est-à-dire _que

Uij(r)

^{est le}

déplacement

^{dans la direction i causé en r} par

l’appli-

cation à

l’origine

^{de la} force unité de direction

j.

^Le théorème de Gauss

permet

de modifier

(3) :

où la

virgule désigne

^la

différentiation (par rapport

aux

composantes

^de

r).

^{Le tenseur}

asymétrique

^des

distorsions est ^en définitive donné _par

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01971003204032500

326

Nous définissons alors le tenseur T :

et comme

nous voyons que le tenseur S

d’Eshelby

^défini par

(1)

est la

partie symétrique

pour les deux

couples

^d’indices

il et mn du

produit

^{T. c :}

2.2

ÉVALUATION

DU TENSEUR

T(r).

^- Pour évaluer les

intégrales (4)

^nous utilisons la transformation de Fourier définie _par

et

inversement

En

effet, Tilmn(r)

^{est le}

produit

^de convolution de

Uim,ln(r)

^{et de la fonction}

flY(r) égale

à 1 dans le volume v et nulle à l’extérieur de v. En utilisant les

propriétés

de la transformation de

Fourier,

^nous obtenons donc immédiatement

et inversement

2.2.1

Précipité sphérique. - Supposons

^d’abord

que le

précipité

^{est une}

sphère

de rayon a centrée à

l’origine.

^{La fonction}

cBJ(k)

^est alors bien _connue,

V(r)

^{étant le}

« puits

^carré

sphérique » :

D’autre

part,

^les

composantes Uik

^{de la} transformée de Fourier du tenseur de Green sont données _{par le}

système

^linéaire

[5] :

Nous _{posons :}

Ces

composantes

réduites vérifient

où les Ki ^sont les cosinus directeurs de

k ;

^les

91km

^ne

dépendent

^donc que de la direction de k et il en va

de même du facteur

intervenant

dans

l’intégrale (7),

Cela va nous

permettre

de réaliser

séparément

^l’inté-

gration

^{sur le module de k :}

où dw est l’élément

d’angle

^{solide et u = cos}

(k, r).

L’intégrale

^{sur k est}

complexe. Cependant K, Kn c[im

est réel et seule la

partie

réelle de

l’intégrale

^{sur k}

doit donner une contribution finale non nulle. Nous laissons donc de côté sa

partie imaginaire.

^Comme

9Y(k)

^{est une fonction}

paire

^de

k,

^{il vient} évidemment :

En nous

reportant

^à

(8),

^nous voyons que

(12) comprend

^{deux termes}

correspondant

^aux

intégrales

suivantes :

et

Le

premier

^terme donne dans

(7)

^une

intégrale

^sur

les orientations de k telles

que 1 u 1

^{= cos}

(k, r) a/r

et une seconde

intégrale

^sur celles telles

que 1 u 1 = a/r :

où _{ç est}

l’angle

^le

long

^des

cercles 1 u 1

⁼

air (cf.

Fig. 1 ) .

Le

point

^le

plus important

^{de ce résultat est le}

suivant :

lorsque

^{r est}

plus petit

que a, la seconde

intégrale

^de

(13) disparaît

^et

Tilmn

^{se réduit à}

A l’intérieur de l’inclusion T est donc uniforme.

C’est le résultat dû à

Eshelby [1],

mentionné dans l’introduction. Nous aurions _pu en

partir

et trouver

(14)

directement en faisant r ⁼ 0 dans

(11)

^et

(12).

Notons ^en

passant

que la limite de la seconde

intégrale

pour ^{r - a} donne la discontinuité du

champ

^{à la}

surface de l’inclusion au

point

considéré.

Quant

^{à la}

formule

(13),

^{elle donne le}

champ

de déformation dû à une inclusion

sphérique

^{en milieu}

anisotrope

^sous

une forme

conceptuellement plus simple

que celle de

Kyoon-Haeng

^{Choh Lie et Koehler}

[4]

par

exemple.

FIG. 1. ^- Domaines d’intégration ^dans l’expression (13), repré-

sentés sur la sphère unité. La première intégrale ^est prise ^sur

la surface hachurée et la seconde sur les cercles en trait fort.

Ces cercles sont l’intersection de la sphère ^{avec les} plans ^ortho-

gonaux à r passant par M et M’ :

2.2.2

Précipité ellipsoïdal.

^- On passe directement du

précipité sphérique

^{de rayon a au}

précipité ellip-

soïdal d’axes _ai

(= a), a2 et

a3 suivant

Oxi, Ox2 et OX3

par le

changement

de variable suivant :

L’ellipsoïde

^{est alors décrit}

par R

⁼ al. Comme K.R ⁼

k.r,

^{il vient} immédiatement de

(6)

que

et de

(7)

que

Aussi pouvons-nous écrire directement pour le

préci- pité ellipsoïdal :

où dQ est

l’angle

solide dans

l’espace

^{des K et}

u ⁼ cos

(K. R). Quant

^à la formule

(14)

^pour l’intérieur de

l’inclusion, compte

^{tenu de}

elle devient

où on

intègre

^à nouveau sur les orientations de k.

(17)

^{est la formule}

générale

^cherchée. Nous allons à

présent

l’évaluer dans un cas

particulier.

3. Calcul du tenseur S dans une matrice

cubique.

^-

Nous supposons que les axes de

l’ellipsoïde

^coïncident

avec ceux du cube.

Rapportées

^{aux axes du}

^cube,

^les

cons tantes

élastiques

^{d’un milieu}

cubique

^{sont données}

en fonction des

grandeurs

^usuelles

C11, C12

^et

C44

par :

Nous allons

reporter

^cette

expression

^dans

(10)

^mais

auparavant

^nous

remplaçons

la définition

(9)

par la suivante

En

effet,

^le

système

que vérifient ces nouvelles compo- santes

réduites,

^{donné en annexe}

(eq. A .1 ),

^{met en}

évidence

qu’elles

^ne

dépendent

que de deux

paramètres

d’élasticité :

- 44

et

qu’il en

^{va donc de même}

pour S, d’après (5).

^Les

expressions

^des

Uij

^{définies par}

⁽¹⁸⁾

^{sont données en}

annexes. On montre

également

^{dans cette annexe} que le nombre des

intégrales

^du

type (17)

^{à calculer est}

de 9 dans le cas

général.

Dans le cas où

l’ellipsoïde

^{admet un axe de révolu-}

tion,

par

exemple OX3 (a1 = b i

^{= a,} a3 ⁼

c),

^le

nombre des

intégrales

^du

type (17)

linéairement indé-

pendantes

^{est de 5} seulement. De

plus,

^ces

intégrales

doubles sont

intégrables

par

rapport

^{à une des variables}

et se ramènent à des

intégrales simples d’expressions algébriques

^entre des bornes

finies,

^{comme cela est} démontré en annexe. La

partie numérique

^{du calcul}

devient donc très réduite. Nous avons écrit un pro- gramme ^en Fortran

permettant

^{de calculer les tenseurs}

T et S connaissant

C11/C44

^et

C12/C44

ainsi que

l’aplatissement q

⁼

cla

de l’inclusion.

4. Inclusions de constantes

élastiques

différentes de celles de la matrice. ^-

Jusqu’ici

nous avons

supposé

que l’inclusion

ellipsoïdale

considérée avait les mêmes constantes

élastiques

que la matrice

(Cijkl).

^{Une telle}

inclusion est

simplement

^{une source} de contraintes

internes, équivalente

^{à une} certaine distribution de

328

dislocations immobiles. Elle

n’interagit

^donc pas ^avec les contraintes

appliquées

^de l’extérieur à la surface du corps. En l’absence de sollicitation

extérieure,

^les

contraintes

qui règnent

^{dans le} corps ^sont données _par

l’équation (2) ; lorsqu’on applique

^{sur la surface}

extérieure du _corps les contraintes

pA,

^{celles-ci se} super-

posent

^aux contraintes

internes,

^les contraintes dans le _corps étant

alors p

⁺

pA.

Il en va autrement si les constantes

élastiques

de l’inclusion

(c’)

^sont différentes de celles de la matrice

(c).

^En

premier lieu,

^les contraintes en l’absence de sollicitation extérieure sont

modifiées, l’équation (2)

étant

remplacée

par

En second

lieu, lorsqu’on applique

^les contraintes

pA

^{sur la surface}

extérieure,

^{elles ne se}

superposent

pas

simplement à p’,

mais elles’ suscitent une nouvelle

composante, p".

Les contraintes totales dans le corps sont alors

Les contraintes sont liées à la déformation totale

e

+ eA

_par les relations :

La détermination de e

et p

^{dans ce dernier cas se} ramène très

simplement

^{au cas traité au}

paragraphe

^{2 :}

on voit

qu’il

^{existe une inclusion}

^fictive,

^{semblable à}

l’inclusion

réelle,

mais de mêmes constantes

élastiques

que la matrice et de déformation de transformation

eTeq, qui provoquerait

^{en tout}

point

^{les mêmes défor-}

mations et contraintes totales que l’inclusion

réelle,

les contraintes

p’

^étant

appliquées

^sur la surface extérieure

[1].

^{Si cette inclusion «}

équivalente » existe,

les

équations

doivent être vérifiées. Mais comme l’inclusion

équi-

valente a les mêmes constantes

élastiques

que la

matrice, d’après

^le

paragraphe 2,

nous avons à l’inté- rieur de l’inclusion la relation

(1)

Ces trois relations

(22), (23)

^et

(24) permettent

^de calculer

eTeq

^{donc e et p. On trouve que}

eTeq

^{a deux}

composantes :

eT’

est due aux contraintes internes

proprement

^dites

eT"

est due à l’interaction des contraintes

appliquées

avec

l’inclusion

de constantes

élastiques

différentes de celles de la matrice :

DT

et

DA

sont deux tenseurs du 4e ordre. Posons

On voit ^en

particulier

que la

composante p"

^est

proportionnelle ^{à e"’}

^{donc à}

eA,

^et

indépendante de eT.

5. Calcul des constantes

élastiques

^d’un corps

cubique

^{contenant des}

précipités

^{sur les}

plans {001} .

- 5. 1 CONSTANTES

ÉLASTIQUES

EFFECTIVES D’UN CORPS

HÉTÉROGÈNE. ^- Il est

clair, d’après

^ce

qui précède,

que la

présence

d’inclusions de constantes

élastiques

différentes de celles de la matrice va provoquer ^une modification de la

réponse élastique

^du corps ^aux sollicitations

extérieures,

^{autrement dit une modifi-}

cation de ses constantes

élastiques.

^En

effet,

^{le terme} de contraintes

p", interagissant

^avec les contraintes

appliquées pA

donne dans

l’énergie emmagasinée

par le _corps un nouveau terme

quadratique

^en

pA, E"(pA).

Ce terme a été calculé _par

Eshelby [1] :

Il

n’y

^a pas dans

l’énergie

^{d’autres termes en}

pA

^dus

à la

présence

^de

l’inclusion,

^la

composante p’

^n’inter-

agissant

^{ni avec}

pA,

^{ni avec}

p".

Le

comportement

^d’un corps

élastique homogène

est décrit _par ses constantes

élastiques Cijkl,

^{ou ses}

compliances _Sijkl’

^{Pour décrire la}

façon

^{dont un} corps contenant des inclusions

répond

^à des sollicitations

extérieures,

^{il est commode de lui} attribuer des constan- tes

élastiques

effectives

Cijkl,

^{ou des}

compliances S ijkl.

L’utilisation de telles constantes

élastiques

^effec-

tives

signifie qu’à

^l’échelle

macroscopique,

^{on considère}

le corps ^comme

homogène.

^Les constantes effectives

représentent

^{donc une certaine moyenne des}

propriétés

du corps

hétérogène.

^Cela

implique

pour leur

emploi

la limitation suivante : il faut _que le

champ

^extérieur

varie très peu dans ^tout le domaine où le

champ

^{dû à}

une inclusion n’est pas

négligeable.

^Le

champ

^exté-

rieur doit donc être uniforme ou

quasi-uniforme.

^En

particulier,

^{utiliser ces} constantes effectives _{pour le} calcul de la vitesse de

propagation

^des ondes ultra-

sonores n’est valable _{que pour} des ondes dont la

longueur

^{d’onde est très}

supérieure

^{aux dimensions}

des inclusions.

Les constantes

élastiques

effectives _que nous allons définir relient la déformation _moyenne dans le volume V du _corps

(très grand

par

rapport

^{au volume v d’une}

inclusion)

^aux contraintes

régnant

^{sur la}

surface E ^qui

limite ce volume. Autrement

dit,

^{on considère la}

situation suivante : on

applique

^sur

la- surface E les

contraintes uniformes

p ; ;

le volume V du _corps subit les déformations _moyennes

eij

>. Ses constantes

élastiques effectives,

^ou

plutôt

^ses

compliances jijkl,

sont :

où E est

l’énergie emmagasinée

^{dans le} corps.

Considérons un corps ^{contenant une}

répartition

uniforme d’inclusions. Soit

f

^{la fraction}

volumique occupée

par les inclusions. Si les inclusions ^{sont assez} distantes les unes des autres, donc ^à la limite des faibles fractions

volumiques,

^on

peut négliger

^l’inter-

action des inclusions ^entre elles _par

rapport

^{à leur} interaction avec le

champ

extérieur. En

effet,

^les

inclusions

interagissent

par la

composante p"

^{de leur}

champ

^de

contrainte,

^{et celle-ci décroît comme le cube}

de la distance à l’inclusion. Les modifications des

constantes

élastiques

^{dues aux} différentes inclusions sont alors additives. Si toutes les inclusions ont la même forme et les mêmes constantes

élastiques cI,

^on

aura

d’après (28), (27)

^et

(25b) :

où le tenseur

DA

est une fonction de _c,

c’

^et de la forme du

précipité.

Si le _corps contient

plusieurs

^familles d’inclusions de

formes,

constantes

élastiques

^et orientations diffé-

FIG. 2a. ^- Constantes élastiques apparentes d’un cristal de FLi contenant des précipités ^{de Li} (f ^{= 1} %) ^en forme d’ellipsoïdes aplatis ^{sur les}

plans {001 },

^{en fonction de} l’aplatissement ^des précipités. ^En ordonnée, ^{variation relative des} constantes par rapport ^{au FLi} pur (C11 ⁼ 11,12 ; C12 ⁼ 4,2 ; C44 ⁼ 6,28 ^en 1011 dyns/cm2. ^En abscisse, ^le rapport q ⁼ cla ^des axes de

l’ellipsoïde.

rentes, ^à

chaque

^famille

correspond

^{un tenseur}

^DA particulier

^{et il faut}

ajouter

^les contributions des diffé-

rentes

familles,

^calculées

séparément, toujours

^dans

l’hypothèse

^{où les} inclusions sont en faible fraction

volumique

^{totale et}

réparties

^au hasard dans le _corps.

La distribution de taille des inclusions n’a en revanche

aucune influence.

5.2 APPLICATION A LA PRÉCIPITATION DE Li DANS

FLi. ^- Nous ^avons écrit ^un _programme de calcul de c ⁼

s-1 applicable

^{à une matrice}

cubique

^{et à des}

inclusions en forme

d’ellipsoïdes

^de révolution d’axe

[001].

Ce programme ^a été

appliqué

^en

particulier

au calcul des constantes

élastiques

d’un cristal de fluorure de lithium FLi contenant des

précipités

^de

lithium

aplatis

^{sur les}

plans {001}.

^{Les constantes}

élastiques

^{de FLi et de Li sont en effet connues}

[3] ;

FLi est assez peu

anisotrope (A

⁼

1,815).

^La

figure

^2a

représente

^les constantes

élastiques

^d’un cristal de FLi contenant 1

%

^{en volume de Li en} fonction de

l’apla- tissement q

⁼

cla

^des

précipités.

Dans ce cas

particulier,

^les

plaquettes

^{de Li}

qui

^se

forment sur les

plans { 001 }

^{du FLi sont} assimilées à des

ellipsoïdes

^de révolution

aplatis

^d’axe

[001].

^La

répartition

^{entre les} différents

plans {001 }

^{est sup-}

posée égale ;

^{on a donc introduit dans}

(29)

^la moyenne

FIG. 2b. ^- Valeur moyenne (moyenne ^de Reuss) ^{du module} d’Young ^{E et} du module de cisaillement fl d’un cristal de FLi contenant des précipités ^{de Li} ( f ^{= 1} %) ^en forme d’ellipsoïdes aplatis ^sur

f 001 },

^{en fonction de} i’aplatissement ^des précipités.

Variation relative _par rapport ^{au FLi} pur

(ER = 12,80, ,uR ⁼ 4,74 ^{en 1011} dyns/cm2) .

Les courbes en tireté représentent les résultats du calcul dans

l’approximation ^{où FLi est} isotrope.

330

des tenseurs

D’ correspondant

^{aux trois} orientations.

Nous n’avons _pas tenu

compte

de l’effet des autres

défauts

qui peuvent

^{se former dans} la matrice au cours de la

précipitation.

Il est intéressant de _comparer les résultats du calcul exact effectué ici avec ceux obtenus dans

l’approxima-

tion où la matrice est

isotrope.

^{Cela est effectué}

figure

^{2b où on a}

rapproché

les valeurs _moyennes

(moyenne

^de

Reuss)

^{du module de} cisaillement et du module

d’Young

obtenues suivant les deux

calculs.

Lorsque

^les

précipités

^{sont très}

aplatis, l’approximation

de la matrice

isotrope

^n’a

plus qu’une

^valeur

quali-

tative. En

effet,

pour ^un

aplatissement

^{tendant vers}

l’infini,

^{le calcul}

approché indique

^{une variation relative}

des modules

élastiques

moyens

plus

^{de 2 fois}

supérieure

à la variation réelle :

7,8 %

pour

ER

^et

6,9 %

^{pour f1R}

alors que le calcul en élasticité

anisotrope indique

pour ^ces deux

grandeurs

^{une variation} relative de

2,91 %.

Remerciements. ^- Ce travail a été effectué au cours

d’un

stage

^{DRME au} laboratoire de

Physique

^des

Solides de la Faculté des Sciences de Lille. Je remercie le Dr G. Saada

qui

^m’a

suggéré

^{ce calcul.}

Bibliographie

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HUNTINGTON

(H. B.),

Solid State

Physics, 1958, 7,

^213.

ANNEXE

Les

composantes

^réduites

(18)

^{de la} transformée de Fourier du tenseur de Green d’un milieu cubi- que ^sont données _par le

système

où a

et y

^{sont les} constantes définies _par

[19].

Le

système

^se

décompose

^{en trois}

systèmes

^indé-

pendants

^{de trois}

équations.

^{On obtient} ainsi aisément

avec

et

les autres

composantes

étant obtenues _par

permutation

circulaire des indices.

On a

posé

^pour

simplifier

Le

facteur l Kn élLim

intervenant dans

(17)

^{est donc}

le

rapport

^{de deux}

polynômes.

^Le dénominateur D étant

pair

par

rapport

^{à tous les} xi, seules les

intégrales

telles que KI KII

Dim

^soit

pair

par

rapport

^{à tous les} Ki sont non nulles. Les seules

composantes

^{non nulles} de T sont donc les mêmes _que celles de c. D’autre

part

^les Kl Kn

Dim

^{sont des}

polynômes

^{du 6e}

degré

que ^nous supposons à

présent pairs

par

rapport

^à

tous les _Ki. Ce sont donc des combinaisons linéaires des 20 monômes

pairs

^de

degré

^{inférieur ou}

égal

^{à 6.}

Il

n’y

^{a donc} que 20

intégrales

à calculer. Soit I

(M) l’intégrale correspondant

^au monôme M. Comme les variables sont liées _par la relation

il s’introduit encore 10 relations linéaires entre ces

monômes. De

plus,

le dénominateur D est lui-même

une combinaison linéaire des mêmes monômes et

ce

qui

introduit la relation

supplémentaire

Il

n’y

^{a donc} que 9

intégrales indépendantes

^à

calculer.

Si

l’ellipsoïde

^{est de} révolution autour de

les

intégrales qui

^{ne diffèrent} l’une de l’autre que par

l’échange

des indices 1 et 2 sont

égales :

cela réduit le nombre des

intégrales indépendantes

à 5. Nous choisissons _par

exemple

et

Soient 0 et p les

angles polaires

^{de k}

(K3

^{= cos}

0) :

Il vient dans le cas de

l’ellipsoïde

^{de révolution}

(q

⁼

cla) :

où

d’après (A. 3)

avec

pi ^et p, ^sont des

polynômes. L’intégration

^suivant ç est élémentaire. Pour les

quatre premières

^des

cinq intégrales choisies, l’intégrale

^en 9 ^est

Il vient _pour finir

fi et f2

^{étant définis par}

(A. 6).

De ^ces

cinq intégrales,

^{nous déduisons immédia-}

tement

15

⁼

I(K2 K2 K2)

par la relation

(A. 5).

^Les

intégrales correspondant

^{à tous les autres monômes}

s’en déduisent facilement et on obtient _pour les compo- santes de la

partie symétrique

^{de T}

Si le

précipité

^est

sphérique,

^deux

intégrales

^seule-

ment sont

indépendantes,

par

exemple Io

^et

I2 (Il

⁼

Io/3)

et on a :

I,

^{étant donnée} par la relation

(A. 5) qui prend

^la

forme