K. GASSO
UV AUTOMATIQUE
Examen de rattrapage 2003-2004
ASI 3
– Durée : 2h
– Documents autorisés : formulaires, abaques et calculatrice – La copie du voisin n’est pas un document
Exercice 1 (10 points)
Soit le système de régulation de la figure 1 oùq(t)représente une perturbation externe etC(s)le correcteur. On souhaite remplir les exigences du cahier de charges suivant :
– erreur statique nulle, – dépassementD%≤10%, – temps de réponsetr= 5.2s.
FIG. 1 – Schéma fonctionnel de régulation
1. Etablir la fonction de transfert en boucle ouverte du système.
2. Dans un premier temps, on suppose queC(s) =K (correcteur proportionnel).
(a) Tracer le diagramme de Black du système. En déduire en fonction deK, la condition de stabilité du système en BF.
(b) En déduire la marge de gain du système.
3. Est-il possible avec ce correcteur de régler la rapidité et le dépassement spécifiés dans le cahier de charges ? Justifier la réponse.
4. Laperturbationq(t)est supposée nulle. On remplace le correcteur proportionnel par un correcteur PD.
(a) Justifier que dans ces conditions, le correcteur PD permettra de satisfaire au cahier de charges.
(b) Régler les paramètres de ce correcteur.
5. On injecte à l’entrée du système régulé, des signaux sinusoïdaux d’amplitude unitaire et de pulsations respectivesω1 = 0.1rad/s,ω1 = 1rad/setω1 = 10rad/s.
(a) Quelle est la bande passante du système en boucle fermée.
(b) En déduire pour chaque signal d’entrée sinusoïdal si son amplitude est inchangée, atténuée ou am- plifiée. On justifiera les réponses.
6. On suppose maintenant que laperturbationq(t)est non nulle. Calculer l’erreur statique pour une consigne yc(t) =y0Γ(t)et une perturbation q(t) =q0Γ(t).
7. Proposer une solution pour satisfaire au cahier de charges.
Page 1
ASI3 Examen de rattrapage UV Automatique Septembre 2004 Exercice 2 (10 points)
On considère un dispositif de remplissage d’une cuve. La cuve est alimentée par une pompe fournissant un débit qe(t). Le débitqe(t)est relié à la tension de commandeu(t)du moteur par la relation : dqdte(t)+τ qe(t) =Ku(t).
La loi d’écoulement à la sortie de la cuve est non-linéaire :qs(t) = a
√2gh(t) A
avec les définitions suivantes :
– qs(t): débit de sortie,g= 9.81m.s−2 : accélération de la pesanteur, – a= 0.20cm2 : section du tuyau de sortie,A= 2cm2 : section de la cuve, – h(t): hauteur de fluide dans la cuve etgrandeur à contrôler,
– τ = 3s: constante de temps.
FIG. 2 – Schéma de remplissage d’une cuve
1. Etablirl’équation différentielle non-linéairequi lie le niveauh(t)àqe(t).
2. Donner lemodèle d’état non-linéairedu système en précisant l’entrée, la sortie et les variables d’état.
3. Linéariser le modèle du système autour du point de fonctionnement défini par la hauteurh0= 30cm.
4. Analyser la stabilité du système en BO.
5. On désire réaliser la régulation de la hauteur en respectant le cahier de charges suivant : – erreur statique nulle,
– dépassement inférieur à5%et temps de réponse de20s.
Calculer les paramètres de cette commande par retour d’état.
6. On se propose de reconstruire les états en utilisant l’observateur suivant (dit observateur en BO) : ( X(t) =˙ˆ AXˆ(t) +Bu(t)
ˆ
y(t) =CXˆ(t)
Quel problème pose ce type d’observateur ? Que se passe-t-il si la condition intiale de l’observateur est différente de l’état initial du système c’est-à-direXˆ0 6=X0?
7. Pour contourner le problème, on construit l’observateur de Luenberger : ( X˙ˆ(t) =AX(t) +ˆ Bu(t) +L(y(t)−y(t))ˆ
ˆ
y(t) =CXˆ(t)
(a) Quel est le rôle de la matriceL? Quel est l’avantage de cet observateur par rapport au précédent ? (b) On considère l’erreur d’observation e(t) = X(t)−Xˆ(t). Exprimer la variation de cette erreure(t)˙
en fonction dee(t)et des matricesA,LetC. En déduire que l’erreurlimt→∞e(t) = 0si la matrice A−LCest stable (c’est-à-dire ses valeurs propres sont à partie réelle négative).
(c) Déteminer la matriceLde manière à faire tendre l’erreure(t)vers 0 avec une dynamique5fois plus rapideque celle de la boucle fermée.
Page 2
