TRAITEMENTS D'IMAGES APPLICATION

pltM

e.ntée.

A L'UNIVERSITE DE PARIS - SUD

pOUlt

obte.ý te. titlte.

de.

,

DOCTEUR ES SCIENCES

pM

Jacques FLEURET

ýrý/jý04

"

HOLOGRAPHIE NUMERIQUE ET APPLICATION A DIVERS

"

TRAITEMENTS D'IMAGES

SOlITENUE LE

18/4/77

^I DEVANT LA COVMISSION

D'EXAMEN:

MM. LOWENTHAL

AYRAUL T

FRANÇON PICINBONNO TREHEUX

Président

Examinateurs

ses

pr6cleux conseils et

ses

encouragements.

^{Qu'I I} me

permette

de lui

exprimer mes remerciements

les

plus respectueux. Toute ma reconnaissance

va

également

ý

Monsieur

le

Professeur PICINBONNO, dont l'éminente

contribution m'a permis d'éclaircir bien

^des

aspects

de la modél

isatlon statistique.

J'exprime également

ma

respectueuse reconnaissance envers Monsieur LEFRANÇOIS, directeur

^des

Etudes

de ^l

'E.N.S.T et Monsieur AYRAULT, Coordi- nateur

de

l'Enseignement

et de la

Recherche,

qui

m'ont témoigné

de leur

soutien

et

ont permis

de

mener

^à

bien

ce travai I. En

effet,

^j'al eu ^l 'hon-

neur d'animer, depuis 1970,

une

petite équipe

de

Recherches:

le

laboratoi-

re IMAGE.

Je tiens

^à

exprimer

Ici

ma reconnaissance chaleureuse envers tous

les

membres

de

cette équipe,

et,

tout particulièrement, envers Monsieur

Henri

MAITRE

qui a

étroitement collaboré

^à ce traval I,

et dont

j'ai pu

apprécier

le

dévouement

amical et l'aide

extrêmement efficace

qu'i ^I

m'a toujours accordée. Plusieurs stagiaires ont également

pris

part

^à ces

tra-

vaux. ^{I I}

s'agit, notamment,

de

Messieurs CHEVAL, JACOTIN, TOLDALAGI.

Qu'l Is

reçoivent tous l'expression

de mes

sincères remerciements.

Je

suis,

d'autre

part,

très redevable envers

les

équipes

du

C.C.E.T.T.

à

Rennes

et du

C.N.E.T.

à

Lannion. Que Monsieur TREHEUX et Monsieur PONCIN

(ainsi

que tous

les

membres

de leurs

équipes) trouvent

Ici

l'expression

de

ma gratitude, pour

^l'aide

technique, particulièrement apprèclable dont

^j'ai pu

bénéficier,

ainsi

que pour

le vif

Intérêt

qu'l Is

ont toujours manifesté

en ce qui

concerne

les

travaux

du

laboratoire.

AVNfT PROPOS

35

31 22 27

"

Répartition

de

et

PARTIE

^{I 5}

3 -

Lois de probabi

lité de la phase.

I.VII.

Relations entre

les

statistiques

de

l'Image et

de sa TF. 46

I. V ^{I I I.}

Etude expér

^I

menta led'

^I

mages

rée ^{I I}es numérl

sées. 50

1.1 Il.

Modèle markovien.

I. ^IV.

Fonctlon

^d'

autocorré

^I.at ion.

I.V.

Etude

du

taux

de

non-sationnarlté.

1 -

Ca

^Icu ^I de

Q

_ýot. .

2 -

Ca

^Icu ^I de

Qdie»1.

3 -

Cas

de la

fonction d'autocorrélatlon

(28).

I.VI.

Etude

de

<lF1l\

1 -

Etude

de

R

^.

et r..

ý

,

2 -

Cas

du

modèle

de

SCHWARTZ a· 1.

Introduction

⁶

Ch. I.

Etude d'un modèle

de

signal d'image monodlmenslonnel

13

1.1. Analyse harmonique d'un processus continu

de

durée

finie.

15

1.1 I.

Signai monodlmensionnel d'Image considéré comme

^un

processus

19

discret

fini

seml-statlonnaire.

traie.

...

3 -

Calcul

du

bruIt

de

saturation

^"

107 109

I I I. ^I I.

Dynamique

dans Ie

plan

de ^l

'hologramme.

I I I " " ^{I "}

Etude

de la

saturation.

1 -

Etude

de la loi Â

(A)

2 -

Etude

du

rendement d'un

holograrrrne

saturé.

,

t ,

4 -

Etude

de <

"i ^{> en fonct}

^{ion de Ia}

^frequence

^j.

Il. ^{I I.}

Erreur

liée à

l'omission

des

variatIons

de phase. 99

Annexe

¹

Calcul

du

taux

de

non-stationnarité.

₆₃

Annexe

2

Calcul

de la loi des

modules spectraux

à

partir

₆₇

de la

fonction d'autocorrélatlon.

Annexe

3

Prise

en

compte

de ^l

'aliasing dans l'espace

de ₇₁ Fouri er.

Annexe

4

Ca

^Icu ^I de <

fýZ.>

₇₃

Annexe

5

Calcul

de la loi des

modules spectraux

^à

partir

₇₅ du

modèle markovien.

Annexe

6

Ca

^Icu ^I de l _(lZj

'"

Tý

)

dans

^Ie cas a ^" 1. 77

Annexe

7 Ca ^Icu ^I

direct

de

<Rt>,)

^<

:ri";>

,I <

Rj Ij>

81

Ch. Il.

Etude

de

l'Importance relative

des

informations d'amplitude et

₈₅ de

phase dans

le

plan

de

Fourier.

Il.1.

Erreur

liée à

l'omission

_des

variations d'amplitude.

₈₆

1 -

Introduction

du

modèle markovien.

2 -

Module maximum

de la TF.

3 -

Etude

de ⁰

'\ Q.."'pe.

en

fonction

de la

dynamique spec-

Ch. ^{I I} I.

Hologrammes

^à

niveaux

de

gris: problèmes

liés

aux erreurs

₁₀₁

d'échanti

^I

lonnage et

de

guantification.

I Il. I.

Analyse

du

problème.

₁₀₃

-

Saturation d'amplitude

à

double

seul I.

2 -

Lissage.

Fi Itrage en lumière

incohérente.

3 -

Application aux

fi Itres à

réponse percutionnel

le

étroite.

Ch. VI.

Restauration d'une

image

bougée.

₁₇₉

Annexe

^{1 :} Fi Itre

adapté: synthèse

du

facteur

de

bruit.

¹⁷⁷

Annexe

2

Etude d'un

fi Itre

dérivateur

^à

niveaux discré-

₁₄₁

tisés. J.

FLEURET

et H.

MAITRE

(Nouv. Rev. Opt.

App

^{l ,} , 1972, t. 3, n04, _p.

175-184),

197 165 165 163 160 153 154 156

Principe.

¹⁶⁷ 172

191 VI. IV.

Résultats expérimentaux

1 -

Réalisation

^{des fi Itres}

2 -

Correction d'une fente

3 - Fi Itre holographi.que

4 -

Correction d'une

^{image réel} le

5 -

Méthode

^de

corrélation

en

optique

^non

cohérente.

VI.I Il.

Résultats

de la

simulation numérique.

V 1.1. Le

bougé

uni forme. ₁₈₁

VI.I I.

Calcul de

la

correction d'un point bougé par

un fi Itre de

Helstrëm.

185

Annexe

¹ Calcul

d'un hologramme

^à

niveaux continus

^de 127

gris.

Application

^à la

synthèse d'une mémoire (J.

FLEURET. Nouv. Rev. Opt. 1974, t. 5, n04, p.

219-230).

Ch. IV.

Un hologramme calculable "mentalement".

IV. I.

Exposé

du

principe.

IV.I I.

Etude

des

approximations employées.

1 -

Influence

de la

fenêtre

de "zone".

2 -

Limitation

du

nombre

de

points dans

l'Image.

3 -

Bruits

dus à la

méthode.

IV.I ^{I I.}

Extension

^à 2

dimensions. Nombre d'échantt

lions

dans

l 'hoI

ogramme.

IV. IV.

Vérification expérimentale.

Ch. V. Fi Itre

Optimisé Unique

de

Transcodage (F.O.U.T.)

V.I.

Optimisation

des ft Itres ^:

méthodes existantes.

V. Il. Fi Itre

Optimisé Unique

de

Transcodage (F.O.U.r.)

V. ^{I I I.}

Vérification expérimentale

Conclusion

Ch. VII. Uti

Ilsation

de

propriétés statlstlgues pour

^la

caractérisation

des

défauts d'une

Image

numérisée.

263 259

257 243 245 247

249

255 215 218 225 235 239 AI lure

des variations

de la

fonction

Echantt Iionnage

Inf ^I

uence des

non+l t

néar

tté, d 'enreg i

strement

E (ý)

Démonstrat

ton de

tt "'I.lL/ý

_':f;lr

¢(x.) =

^{(-I) L}

1TU.

Calcul

de la TF, au

sens

des

dLstr[butfons de

-t

Calcul

du

terme

du

second ordre

en B.

Influence d'un défaut

de

phase

^{du fi} Itre de

phase.

Réalisation d'images bougées.

Moyens

de

contrôle

du

déphasage

du fi Itre de

phase.

Uti lisation de

diffuseurs

mobi les

afin d'atténuer

le

bruit

de

granularité.

Calcul

de la

réponse percutlonnel

le du fi Itre

Inverse.

Annexe

^j

Annexe

2

Annexe

3

Annexe

⁴

Annexe

5

Annexe

⁶

Annexe

⁷

Annexe

⁸

Annexe

⁹

Annexe

^{10 :}

Annexe

^Il

Ch. ^{I I.}

Problèmes posés par

la

synthèse d'un

^fi Itre

pour

la

correction d'une

₂₈₉ Image

dégradée.

Il.1.

Enoncé

du

problème.

291

Il.1 I. Les

méthodes

de

représentation

et

d'enregistrement

du fi Itre. 294

331 321

269

273 275 281

Références

Publications

de

l'auteur

Ch. ^{I I I.}

Description

de

quelques systèmes

^uti lisés

pour

la

synthèse d'holo-

²⁹⁷

grammes calculés

ou

pour

^le

traitement optique

des images.

I I 1.1. Le

problème

de

l'enregistrement. 298

Il I. ^I I.

Description d'un système d'enregistrement d'Images numériques 301

miniaturisées

^à

niveaux

de gris.

111.1 ^{I I.}

Description d'un système

de fi Itrage en

temps

réel.

306

1 -

Etude

du

déflecteur

^-

modulateur

^à eau.

2 -

Etude

de la

déflexion

en x. y.

Ch. I. Les

méthodes d'enregistrement d'une amplitude complexe

1.1.

Introduction d'une onde

de

référence.

I. Il.

Hologrammes

^à

modulation

de phase.

1.1 Il.

Méthodes basées sur

le

détour

de

phase.

1 -

Hologrammes binaires

de

Lohmann

2 -

Hologrammes

de

Lee-Burkhardt.

I.IV.

Holographie

^à

modulation complexe.

²⁸⁷

AVANT PROPOS

Ce

mémoire comprend

² parties.

Les résultats

originaux

ont été

rassemblés

dans la

Partie

I. Afin

d'en faciliter

la lecture, on ^a

systèmatiquement

rejeté en annexe

certains

calculs dont la complexité ne ferait

qu'alourdir

l'exposé, mais dont on a

repris les

résultats essentiels

dans le texte principal. Ont

également

été

placées

en annexe les

descriptions

de certaines

expérimentations nécessai-

res,

mais

sans

originalité particulière.

Ma

contribution

dans le domaine du traitement

hybride

des images,

a consisté ^à

ébaucher quelques méthodes

de synthèse

d'hologrammes

calculés, ainsi que

diverses applications

^de

l'holographie

numérique. Il est

apparu

que les avantages de certaines

méthodes

de synthèse

d'hologramme pouvaient

être

expliqués

en

considérant

une

modélisation,

de nature

statistique,

de l'objet. C'est

pourquoi

les

deux

premiers chapitres

étudient

les

proprié-

tés

caractéristiques

^d'une classe d'images et de leurs spectres,

envisagées d'un

point de vue statistique. Le chapitre l

présente

un

modèle

d'image,

monodimensionnel discret

markovien. On établit les

conditions

dans

lesquelles

ce

modèle s'approche

d'un modèle stationnaire. Sont obtenues la

fonction

d'autocorrélation exponentiellement décroissante

et la loi des

modules spec-

traux ainsi

qu'un ensemble

de

relations transformationnelles simples permettant

le

passage

rapide de

paramètres statistiques ýe

l'image à

ceux

de son

auto-

corrélation et/ou

de sa TF. Ces résultats sont

complétés

par une

étude expé-

rimentale portant

sur des images réelles

numérisées.

Le modile

markovien

est ensuite utilisi dans le chapitre II qui prêci.e l'importance relative des informations d'amplitude et de pha.e dan.

le plan de Fourier, en fonction de la dynamique spectrale. Les

risultatl

sont applicable. ¹ l'itude du kinoform, mais aussi ^à

bien

^d'autre.

méthode.

de traitement du signal qui utiliseraient

préférentiellement

la

partie

"phase" du spectre.

Les deux chapitres suivants proposent des améliorations

pour

lei méthodes de synthèse d'hologrammes calculés. Les méthodes classiques

d'enre-

gistrement d'hologrammes de Fourier se heurtent ^à deux

difficultés:

l'enre-

gistrement d'une dynamique spectrale élevée, le codage de la phase. ^On

dicrit

au chapitre III une méthode originale de synthèse

d'hologrammes

dits "à.ni- veaux continus de gris", basée

'sur

une saturation d'amplitude à

double

seuil et un filtrage en lumière incohérente (les résultats y sont

validés

dans le cas du modèle markovien). Une autre difficulté réside dans la longueur et la complexité des calculs. ^On présente au chapitre ^IV une

méthode

de

synthèse

très simple, supprimant toutes les difficultés liées au calcul d'une trans- formée de Fourier.

On étudie ensuite les applications au traitement

optique

(chapi- tres V à VII). ^On présente au chapitre V un

nouveau

type de filtre (Filtre Optimisé Unique de Transcodage) applicable aux problèmes de

Reconnaissance

des Formes et, en particulier, à la lecture automatique. Le

chapitre

^VI conduit à la correction analogique d'une image bougée, effectuée par fil- tre synthetique. On utilise ^un filtre de

Wiener

qui est optimisé en

prenant

pour critère la qualité de l'image restaurée, que l'on étudie

théorique-

ment et par simulation numérique. Les résultats

expérimentaux

sont

présen-

tés dans le cas d'un filtre double et pour un filtre holographique. Arin de

supprimer le bruit de granularité,

particulièrement

gênant dans le cas d'une image réelle, on

montre

qu'un

procédé

très simple de

Corrélation

en Optique non

cohérente

peut servir à la

restauration

d'images bougées.

On

trouve entin

au

chapitre VII quelques

^id'es

permettant

^{la d'-}

termination

a

postériori

d'un détaut d'image.

Dans la

Partie

II ont ýtý

regroupýes plusieurs

^{ýtudes de}

caractè-

re

synthýtique, portant

sur la mýthodologie. Le

chapitre

^{l est}

consacrý

^à

l'ýtude comparative

des diffýrentes

mýthodes d'enregistrement

^d'une

ampli-

tude

complexe. ^Le chapitre II passe en revue les

problèmes

posés

par

la

synthèse

d'un filtre

pour

la

correction

^d'une image dýgradýe. Au

chapitre

III

enfin

sont ýtablies les

caractýristiques

^de

systèmes particulièrement

adaptýs à la

synthèse d'hologrammes

^{calculýs et - ou - au}

traitement opti-

que des images. ^On

pr'sente

deux exemples de

système

conçus d'après ces principes.

PARTIE I

-", "Aý

"

-6-

INTROOUCT ION

l'outl ^I informatique, utilisé ^à des fins scientifiques, présente

principalement

2 qualités

remarquables:

- la rapidité de traitement entratne la possibl lité

d'effectuer

des

calculs

compl iqués. (C'est ainsi que ^l'on peut suivre en temps réel, la

trajectoire d'une

fusée, ou bien résoudre des systèmes d'équations de

grande

^{dimension, ou}

encore

uti liser des méthodes itératives pour résoudre certaines équations complexes). Dans tous ces cas, la rapidité de calcul est ^à l'origine de méthodes nouvel les.

2 - la manipulation de nombres binaires minimise les erreurs. (ce qui est

parfois indispensable, étant donné le grand nombre

d'opérations élémentaires

nécessi- té par certains calculs).

Cependant,l'outi ^I doit être adapté à ce qu'on veut en faire. C'est ainsi que, par exemple, lorsqu'on veut traiter des images par calculateur, pour peu que le

traitement soit relativement élaboré, on est vite

confronté

^à des

problèmes

de mémoire, de temps de calcul, et parfois, d'erreurs d'arrondi.

Inversement, considérons (voir fig.l) un système de traitement

optique

de l'information. le traitement est dit "optique" si le

fonctionnement

du

système

'exploite les lois de l'optique physique, c'est à dire, la

propagation

de la

lumière dans les mi ^I ieux naturels, gouvernée par les

équations

de Maxwel I, ou encore, dans certains cas particuliers, par les relations de l'optique

géométrique

qui peuvent s'en

déduire

lorsque toutes les dimensions du

système

sont très grandes devant la longueur d'onde moyenne.

ZONE

ýE

SOýTiE Z.ONE'

M EDlA

_

cQ.lc.uIQt-e.ur

_

siý"QI "iclio

- rq,9e. itnpri",ie.

- supporý rho1-ose.n$ible.

- ot.il

e.tc

^{" " "}

I

^ý

S

_'1

s tè ""e O,..\-iýut.

,

^ý

TRANSDUCTc-URS

06J'ET

t( CI_{.. &bid} qUlUDe Ibre optique peý ^Kre cOllllder" comme ¹¹¹¹ tylttme de traitement optique de 1'111-

bmatloD, apssant comme lID filtre Un'aire temporel. L'optique DOll liD.. lre peut cONtltuer la bue

de I)"sttme. optiques traitaDt le.

paramètre.

&'queDce et polariJatiOD. C .. systèmes D'Om pas 't' abord,.ld. NiaamolDl, U semble que toutes leun poaiblUt" ^D'aieat pa_ eacore

't'exploit'

^.. poW' le

trait.mellt

d'iDformatiOD.

Fig. Système de traitement optique de

l'information

Lftobjet" est une

répartition

spatio-temporel le de

données spectrales

f (x,y,z,t,'\):ý) où ^f

désigne

tantôt une luminance (en

optique

incohérente)

ý

tantôt une amp ^{I i}tude camp ^Iexe (en opt ique cohérente), auque ^I cas, ^Ia po^I arⁱsat ion

I

nterv

ⁱent éga ^Iement dans ^Ies

paramètresý

Par

"système

opt ⁱque" ^{i I} faut

en+endr

e un

ensemble

de

conditions

de

propagation

;par

exemple: propagation paraxiale

dans Ie vide,

propagation

dans un mi lieu biréfringeant,

conditioýaux

^I imites

Imposées par des

composants optiques

(Ienti ^I les, miroirs, hologrammes, etc .... ⁾

Pour

le 1er type d'application (mémoires optiques-consoles de

visualisation

(réf 7 b) calculateur optique) les limitations d'ordre

technologique

sont telles (manque de matériau effaçable ^- abèrratlons et limite de

performance

des optiques ^- exigences de résolution pour les dispositifs de

visualisation

^- manque de dispositifs de transfert fiables) que les performances

potentielles

sont loin d'être réalisables actuellement. Citons toutefois les

travaux

récents de STROKE (réf.l1+) au sujet de la

reconstruction

^d'Images

tri-dimen-

sionnelles.

Le 2ème type d'application est la source de nombreuses uti Iisations

possibles

1 - complément utile pour l'holographie acoustique ou hyperfréquence.

2 ^- synthèse d'objets n'ayant pas

d'existence physique:

^ies

problèmes

de longueur de cohérence ou de vibrations sont

évidemment

supprimés lors de l'enregistrement. Tous les objets modél isables sont

justiciables

d'un enregi's- trement par holographie

numérique:

répartition de points pour une

mémoire

(Réf.a), visualisation d'une

molécule

^d'A.ý.N ou d'un réseau cristal lin, par exemple, enregistrement d'une surface d'onde (Réf.9>, d'une

matrice

de ^' microlenti Iles etc ...

3 - synthèse

d'êtrýdéfinis mathématiquement:

C'est évidemment ce type d'appl ication qui

entraîne

le plus de nouveauté.

L'holographie numérique a permis,

notamment:

- _la synthèse de diffuseurs, définis par une loi a priori (Réf.10)

- la correction de certains défauts de l'holographie

classique:

prise en

compte

d'une courbe

caractéristique d'enregistrement

non linéaire,

compensation

de

la fonction de transfert de modulation du support

d'enregistrement.

- la synthèse de fi Itres inverses

appliqués

^à l'amélioration des images

augmentation du contraste,

correction d'images

bougées,

défocalisées, dégradées

par la turbulence

atmosphérique

etc ....

détection

de

contour.(Réf.ll).

- &a synthèse de fi Itres adaptés (Réf. 12).

- Plus généralement, ^l 'holographie numérique est

susceptible

de

proposer

des solutions Intéressantes à de nombreux problèmes de

synthèse d'opérateurs mathématiques.

Les Idées énoncées plus bas ont été appliquées de façon

purement

^{optique. I I} est clair que les techniques de calcul

d'hologrammes peuvent

^réaliser les mêmes performances, voire

apporter

dans certains cas des

améliorations supplémentaires:

-

synthèse

d'opérateurs logiques (Réf. 7)

-

synthèse d'opérateuýde transcodage:

réalisation

d'une matrice d'hologrammes permettant

de coder en binaire la position d'un point ^à l'In-

térieur

d'un carré (Réf. 13).

Enfin, d'autres

opérateurs

ne

peuvent

être conçus que par calcul

-

opérateurs

différentiels

- _la

plupart

des

opérateurs

de

transcodage:

on peut ainsi conce- voir un fi Itre

traduisant

tel le lettre en son

équivalent

dans l'alphabet

"Braille"

(cf.

chap. V).

4 - enfin, en dehors des simulations de

traitements

optiques, Intéressantes sur le plan pédagogique, on peut dire que les études

effectuées

en

holographie numérique

ont eu de nombreuses retombées sur ^l 'holographie classique, en

éclairant

d'un jour nouveau tous les problèmes d'ordre Informationnel, ce qui a

souvent donné naissance

à des

méthodes optiques entièrement

nouvel les, dont on

rencontrera quelques

exemples.

-1

e

_----

0:. ý a.'R'

CHAPITRE l - ETUDE D'UN MODELE DE SIGNAL D'IMAGE

MONODIMENSIONNEL

On établit les conditions dans lesquelles ce

modèle

s'appro- che d'un modèle stationnaire. Toute l'étude est faite dans le cas dis- cret, ce qui permet de préciser les conditions imposées par l'échan- tillonnage. On obtient la

fonction d'autocorrélation exponentiellement décroissante

et la loi des modules

spectraux

ainsi

qu'un

ensemble de relations transformationnelles simples permettant le passage rapide des

paramètres

statistiques de l'image ^à ceux de son

autocorrélation

et I ou de sa TF ; ce qui évite la mesure directe (parfois longue) des para- mitres statistiques caractéristiques correspondants. Ces résultats sont complétés par une étude expérimentale portant sur plusieurs images nu- mérisées. On trouvera également ^à la fin du chapitre, le résumé des

principaux

résultats.

x Le probltme ^{de la} mocWllsation des Images

bidimensionnelle.

D'e. pa. rC!lOlu. On railOnnera _c, par &Ilalogle, .. \ID Ilgnal MOnocimeDlioDDel. Cette cWmarche a

ft.

I1Ilvie, avec

IIIC:W, duI la _plupart da awles _pcztut sur la ýUliOD

cl'lDb_tioa.

Le

modèle

étudié est un modèle

markovien monodimensionnel

discret à

probabilité

de

transition:

Une difficulté très importante, rencontrée dans la synthèse

numérique

des hologrammes, réside dans la grande

dynamique

de la TF.

Afin

d'estimer celle-ci, il est nécessaire de

posséder

des modèles statistiques. On..présente ici une étude portant sur un modèle de signal monodimensionnel" d'image, permettant de dégager plusieurs

propriétés

statistiques, valables dans l'espace image ou dans l'espace de

Fourier

(modèle

markovien

^- Réf. 44, 45, 46 ^-

autocorrélation

^à décroissance

exponentielle

^- Réf. 47).

Dans ^la" suite, on considère que l'image (ou les

transformées

de

Fourier

des lignes) est un ensemble de lignes, chaque ligne

étant

lupposEe extraite d'un processus aléatoire

monodimensionnel.

La

moyenne

luivaDt un craDd nombre de

ligne.

«

» pourra

donc être

considErEe

ca..a ua.

.oJ.ane

d'ensemble.

..ý ý. '.d,.

;. ..^-ý...-

j

.ý

J

...

J

I

^.:

(4) (3) (2) (I)

représentera

une ligne d 'image.

1L(ý)

- -

,L(_)

Le processus t -

=ý1 ^t(ý)

Par

contre, l'analyse

harmonique

de f fait

intervenir

un

<

^cl

F(ý) df(u'J>

f ^(z)

r6el, continu.

ou ý L(ý) est une porte unitaire de longueur L.

Consid6rons un processus

aléatoire tcc) ^possédant

^{les pro-}

pri't6s suivantes

1.1. ANALYSE HARMONIQUE D'UN PROCESSUS

CONTINU

DE DUREE FINIE

On construira, 1 partir de ce processus, un

processus

^"semi-

stationnaire"

défini par

-

stationnaire

au second

ordre:

soit C

(ý-"Z/)

la

fonction d'auto- corrélation

et

1'(ý)

^{la densité spectrale} de puissance.

processus

¹

accroissements non

corre lés

avec

est

6videmment

non stationnaire

puisque

de durée finie. Toutefois,

d'après

sa définition, il possède un

caractère "semi-stationnaire"

ou

nltationnaire

dans la fenêtre". En outre,

contrairement

au processus

f ^'

^{ýL est}

^d'énergie

^{finie et}

^possède

^{une T.F :}

"

.,

-16-

L-

D'après (I). (2) et

(3).

^{F" Cu..)}

s'obtient

par

convolution

F' L( "") =."ý R

^L

(u.-vo)

cl F'

("")

(S)

.011

'RL(

_IL) ^L

oil dfsigne la T.F. de Il ("JC.)

On s'intéresse dans la suite aux

intercorrflation. entre

le.

F

^L. ₍

_u.)

^. Calculons ^:

"

=_J

Soit d'après (4) ^:

.( FLCI&.)

f

^l

ru!»

=_ýJ ^'R

l

(Il

_".) 'RL

^to(

",' _- ,..) 'P (".) ..

^V'

₍₆₎

Il

Notons que le processus fini est représentable

par

une

.'rie

de

d'Où, d'après ₍₆₎ et ₍₇₎

I

!

laurier

^:

avec:

-

+- _ a.Tr4jý

L _{ý.- ..} ^t:.

^ý

^e..

^1.

of

FL(t) ⁽⁷⁾

- L

. ,

(8)

Appelons

_lc la longueur de

corrélation

de

C (1t)

^et

exami-

nons

l'expression

(8) lorsque

L??.te.

^. Dans ces

conditions,

on peut

considérer

que

PCV')

reste constant sur une

portée

de

RLC"')

"

(II)

(10)

(9)

(II bis) les calculs, on

considérera

le cas d'une fenêtre ý l(ý)

" [- ý

J ý

ý] Dans ce cas

a. ý

-

of

L

... L L

- _'R (I.l)

^_

\inc.

_{(&L) _} L

.

<R1t;>

^D <

Tl> ⁼ il ^{P (f)}

<ifIf>=

⁰

De plus,

ý étant

hermitien

Pour

simplifier

centrée:

^'X.

Soit, d'apras la

propriété d'orthogonalité

des fonctions sinc et on peut admettre

Appelons 'R1

^et

Ii

^{les parties réelle et} i'llUlginaire

el. ý.

D'apra. ₍₉₎ et (10), pour

Dans le cas

1"

^{0 , F} est riel et ^:

"

-18-

ý

D'autre part, toujours d'après la propriété

d'hermiticité

de

F

(12)

On diduit immédiatement, d'après _{(9) et} (12), que pour

deux échantillon.

distincts et

non

symétriques par rapport ^à

l'origine:

Les quatres variables correspondantes sont

=

^<. _;

Ii') ⁼

⁰

1+1' ,. iý11

⁰

non

correlées.

(

13)

lappelons que tous les résultats

précédents -en particulier

le. relations (9) et (11)- résultent de la seule

hypothèse L v» ý

^,

kJpotba

"" qui signifie que la

valeur

de

l'autocorrilation

sur les bords d. l'i.aae peut être considirie comme

nigligeable

devant

l'énergie

moyenD8.

!

(15)

(16)

est donc

{. -- 0 oJ.

".". N--i.

J I

ý.- ^..

+00

ýl( ^iýýW _.r) li!'(f'_ýH _{_\I") Pl")} J.,.

N Nif

< ý ý,>

plu.

compliquée a

cause du repliement du spectre exprimé par (15). C'est ainsi que la

relation

analogue ^à (8)

s'écrit:

Dan. le cas discret, l'étude des corrélations entre les

1.11. SIGýýL

MONODIMENSIONNEL

D'IMAGE CONSIDERE COMME UN

PROCESSUS

DISCRET FINI

SEMI-STATIONNAlRE

Par rapport au modèle précédent,

l'introduction

de

l'échan-

tillonnage, conduit ^à définir une ligne d'image comme l'ensemble des N

variables

aléatoires

Dans ce cas, il est facile de construire, ^à partir des {ý ^, un

pro-

cessus

périodique

discret -non

stationnaire-

de période L ^{. Et le} spectre

correspondant

ne

prendra

des valeurs non nulles que pour «. = j.

L

( J.

^{ent ý 0 ).} Les relations (7) sont

maintenant

remplacées par ^:

[N_ý JI _ ^LTl.i

i!.

f, ^:

^E·_d ^e, _N-1^N

2.ý.l

ý1 (14)

ý:.o

tI

ý

.,

ý =

ý

ft

^e,

ý ýO

Où les

coefficients

Fj

s'obtiennent maintenant

^à

partLr

^{du spectre} replié,

correspondant

^à l'intervalle

d'échantillonnage

^---

N

"

.i

-20-

Admettons ^l'hypothèse

L

>""> i,c ^. Un

raisonnement

··'1····. _.

On trouve que les échantillons spectraux du

processus discret

^{fini semi-} stationnaire sont carrelés seulement pour les

valeurs

de

1

^et

i'

satisfaisant

^:

(9

bÏl)

-4[+01 (t_"t\.N) ý

= T P

L

ct-"'ýJ ^ý'_,(N

""J'I\.:

-00

identique 1 celui du

paragraphe

^{précédent conduit à :}

WI 0clu. 10

'"

Ce résultat est dû au repliement du spectre. En fait, les

coefficients

N

de Fourier

Fi

sont eux-mêmes définis pour

ý

modulo

N et, si on ue s'intéresse qu'aux valeurs

j

^et

i'

^{c [0,) N}

^--i]

^ou

peut affir-

_r

^:

Lorsque ^{a' -=} 1J

modulo

N, (9 bis)

conduit

1

, , I.,

+ "

ý

-_.,L 00

.f,

Mt.

< \ý\ ^>

On obtient, comme il fallait s'y attendre, le spectre replié.

La denaiti spectrale de puissance du processus

continu sera ividemment

obtenue lorsque

N-.Oo

, I

= -

^'"

L

(

17)

qui sont

combinaisons

, les corollaires relatifs

et F:.N

1

aléatoires gaussiennes.

r-ý

rý est équirépartie.

En outre, lorsque

et

Iý

a sont indépendantes et de

même

loi (gaussienne).

suit donc la loi de Rayleigh correspondante.

Rý

ý

IýH

I

Rappelons que l'hypothèse ^L ')0"> i signifie que ^l'auto-

.te

corrilation

est suffisamment faible sur les bords de l'image. Cette

hypothèse

^{assure le caractère}

pseudo-stationnaire

du mÔdýle.

D'ailleurs,

celA confirme l'idée intuitive

suivante:

le

modèle

sera

légitimement considiré

comme stationnaire si la fonction

d'autocorrilation

peut être

nigligée

^à l'extérieur de la fenêtre image.

Rappelons

que ces derniýres

propriitis

sont

consEquence

de

l 'hypothase

gaullienne

et ne sont

valables

qu'A la limite L

>'» le

aux

intercorrélations

entre parties réelles et imaginaires s'en suivent

-relations

(10) à (13). Si l'on fait en outre

l'hypothèse

^"

týgaussiens",

il en résulte les propriétés suivantes

- il en est de

même

des linéaires de

variables

- la phase de

1.111.

^{MODELE MARKOVIEN}

Considêrons, avec SCHWARTZ (rEf. 45) un signal

monodimension-

nel

d'image

qui rêsulterait d'un

processus markovien d'ordre

^{I l}

pro- babilitê

de

transition gaussienne

^{centrée :}

_

(ýt.

^-

tý-i ^,'"

l. ý1.

(

]8)

Supposons <ý. ^') = ⁰ D'autre part, calculons

" Il en résulte <:

Il.> ⁼

^{0 '"}

^k

^{'=0/i ....}

^M--i

^"

la

variance

de

ýl ^:

f1ï.

2.

"

< ýý., ::1···

r ^{l' (f.l P ({if.)}

... l'lfl.ý) ^{ýý dýc dý}

Il est facile de

montrer

que d'après (18) ^:

:r ^fý

^P

⁽ fk ýIC"') ýf

_te

- -

_ý ^1.

^...

^(J.2.

_-l

.._-t On eu

dfduit

^<::r.2.

-

^CJ":2.

+

^0':'2-

! -

^ý _{ý ..ý}

d'où

'l. -L

'l.

0-:2. -

0-0

+

_OA

{

-

(19)

(20)

D'aprýs la

relation

(20) le modèle envisagé est, en fait, un

processus

de diffusion, c'est-A-dire un processus non

stationnaire

qui ne

possýde

ni

fonction

de

corrélation

ni spectre.

Examinons

dans quelles conditions on peut

définir

un

modýle

qui serait stationnaire, ou qui s'approcherait d'un

modèle

stationnaire.

Pour celA considérons le

modèle markovien

A

probabilité

de

transition:

(f", ^-

^Go

f'

^{..t )2.}

(21)

(22) (19 bi.)

vErifie

cr:2-

o

\J-&:Oi.

_{" I}

^...

^N_{

peut être rendu con. tant .i

On

voit

que

sont gaussiennes et il est très facile de

montrer qu'un Echantillon quelconque

ýl

^{résulte de la} combinaison linéaire suivante ^:

{ _.. ⁼

^Q....

t ⁺

t_

^Cl

.f._.L

4..: (-&.

ý -l)

⁽²³⁾

-i:-i.

Dan. ce. condition., _la relation _(J9) devient

Il en

sera

alors de même de

Notons

que l'on n'a pas pour autant rendu le modèle stationnaire car le signal reste de longueur finie L. Toutefois, les hypothèses (21) et (22)

rendent

stationnaire le modèle dans la fenêtre considérée. Les

considé-

rations du paragraphe précédent sur un modèle discret fini restent

valables.

Si, de plus, on admet que _fo est gaussien, alors il s'en luit que le modèle sera complètement spécifié, tous les

échantillons

ft

^{suivant alors la même loi} gaussienne. Il faut toutefois

remarquer

que la seule hypothèse

markovienne

(21) entraine, pour les

échantillons

{ý suffisamment éloignés de f. ^' une loi quasi-gaussienne. En effet, admettons que {o suive une loi quelconque et que la

probabilité

de tran-

.ition

(21) soit vérifiée. Les variables aléatoires

(26)

(25)

(22 bis) (24)

n6gligée. Plus loi

gaullienne

. . ^. +

de

ft ^v6rifie,

en toute générali té

,.k

'L a.

0- 0"0 ý

ý"

Trois cas sont l envisager

1)

'4'

^<

^-t

^"

-24-

...

..,

... ''..

Dans ce cas, l'examen de la

relation

(23)

montre

que

l'influ-

ence de

{.

dýinue

exponentiellement, ^à

mesure

que k

augmente,

^et cell

d'autant

plus vite que I Q.I est faible.

Pour

k

suffisamment

grand, on

pourra négliger

^{le terme en}

ý{dans

l'int6grale (25). Dans ces con- ditions, on trouve pour

ft

^{une loi}

^gaussienne

^dont

l'écart-type

est donné par la limite de (26)

L'écart-type

0{

fS'-t..L

=

Et la loi de

probabilité

de

fý

est donnée, en

fonction

de

1Pl{.) ^par

(

ýlt

^-

(} fo

^):1.

gau

"" ien dl. que l'influence du

pr.:týý

terme peut @tre

. .

1 l" Ir-l .

préclsément, la

van.ab

^{e a}

eatolre 0..""-...

^{SUlt une}

dont l'6cart-type

ý,

vérifie:

^"

On

voit

que, mis ¹ part le

premier

terme, on a affaire l une

combinai-

son lin6aire de

variables

gaussiennes. ý,

devient

^donc

sensiblement

(25 bis)

P (f.) ^e

Donc, avec les mêmes hypothèses que précédemment,

l'histo-

gramme de l'LSage tend vers un

histogramme

^{plat. Ce}

résultat

est

expli-

cable intuitivement d'après (23) ^: la loi de

#ý résulte d'une

convo-

.

4:;

₁ ^{. . . d'} d 1

lution

^{entre la 101 de d} _to ^{et une 01 gausslenne qUl}

eVlent

e p us en plus large lorsque ^k augmente. Par ailleurs,

contrairement

au cas

\Cl' <

i

, ^si l'on ne fait pas d'hypothèse supplémentaire, le

modèle

est

hautement

non-stationnaire, car la

relation

(26) est

divergente.

qui est une

valeur

^constante et très faible.

et (25) est remplacé par

ý

..

2)

'ClI ,>-i.

Le terme en ýý l'emporte dans l'intégrale (25) pour k suffi-

samment

grand. ^On trouve, dans ce cas, une loi sensiblement

indépendante

de ý"

c'est-à-dire l'équiprobabilité. Les

variances

d{

^et ý,

deviennent

très grandes

Pour les Echantillons suffisamment éloignés de _ý. , la leule

hypothêse

markovienne ₍₂₁₎ implique donc

- la

stationnarité

approximative dans la fenêtre (relation 22 bis). Il n'est plus

nécessaire

pour cell de postuler la

relation

(22). (22 bis)

résulte uniquement

de l'hypothèse markovienne.

- le caractêre approximativement gau.sien dei

f,

(25 ter) (22)

=

Dans ce cas, (24) et (26)

deviennent

ý

-l

^1.

a;ý -

CA

cr2. -

^(j''L

_{+ ,}

^ý'J,

⁽²⁰⁾

ý ⁰

alors

ai on

postule

^:

possibilité

de le rendre semi-stationnaire. De plus, (25)

s"crit

^:

.00 (.!ý -le

⁾¹

dý,

ý

?({o) ^e

GA

l ^ý1r-l

-00

3)

'0'

^{= i}

on retrouve le

modile

de

diffusion

de SCHWARTZ. Et il

n'y

a aucune

Et il

devient

plus difficile que dans les cas

précédents

de

dêsimbriquer

la loi de ý. de la loi gaussienne. Tout au plus

peut-on admettre

que, lorsque

tý

^{00 ,}

l'exponentielle

soit

négligée

dans (25 ter), ce qui conduit, comme _p

rêcêdeumen

_{t ,} à une loi

équirépartie

pour

ýl

^{. Mais}

la

convergence

de cette

approximation

est

beaucoup

plus lente que dans les cas

précédents

(linéaire au lieu

d'exponentielle).

Et

l'histogramme

de

l'êchantillon

initial

interviendra

dans une

partie importante

de l'image.

Toutefois, la

semi-stationnaritê

ainsi

obtenue

est

instable

^: le

moindre écart

dans la

relation

(22) se traduit par une

divergence

des

ýýý

On .at

donc oblig'

de

postuler

la

relation

(22) pour rendre le

modile

stationnaire

dans la fenêtre. ^On

v'rifiera

ais'ment

d'apris

(26) ^:

(28)

(27)

l'lfl.l4t.ý_{ ) fk.ft..t dýl'" Jýl+t

i. - a..ý

dans le cas de l'hypothèse

markovienne

(avec toutefois, une stationnarité insta-

(ce

quýimplique

une stationnarité approximative)

J--J

laol < i

alors (27) s'écrit

Ces coefficients sont calculables par l'intégrale

multiple:

On examinera ici les coefficients de

corrélation

Lorsque

^{le modèle} peut être considéré comme stationnaire dans la fenêtre, c'est-à-dire lorsque l'une des deux conditions suivantes aont réalisées ^:

Or,

d'après

(21)

_] Pl t/fl_l) t ^Jf_.

I.IV.

FONCTION

D'AUToeORRELATION

Il en résulte par récurrence ^:

où

rr,,?',

^{écart-type de}

ý -L.

,est

donné par les relations (26) et

(24)

^"

ý ₎ ^,,+ý

(21).

0(

= - Lot ^(CL)

On trouve une

fonction d'autocorrllation exponentielle dont

l'exposant 0( est donné par ^:

( !!l)

(29)

0(

= - f ^loa-

^{! - 0; ý}

soit. d'aprýs (22) ou (22 bis) ^:

---_--

En toute rigueur, la fonction

d'autocorrélation n'existe

pas pour

ý:-t

(modèle

(18»

puisque, dans ce cas

- -

Toutefois, examinons le cas devient ^:

ý - - Loa-

^{CL ... O.} La

relation

(29)

(29 bis)

Il est facile de

montrer

que, lorsque l'on s'impose

l'égalité

(29 bis), on obtient l'équivalent suivant de (27), au second

ordre

prý8 en ^ý

.l ... o

On peut donc

considérer

que le modèle

(18) correspondant

^à

s'accompagne

^d'une fonction

d'autocorrélation exponentiellement décrois-

sante, le

paramètre

de décroissance 0( étant donné

par

(29 bis) ^"

"

Il faut remarquer que la

fonction d'autocorrélation exponen-

tielle

résulte

des deux seules

hypothèses

-

modèle markovien (21).

- _stn^t ionnari té dans 1:1 fenêtre!

(rcbtion 22).

Toutefois, il semble qu'il faille rejeter a-priori les

modèles

101 >{ est un modèle instable, qui conduirait ^à une

autocorrélation

exponentiellement

croissante.

car ^:

ou

bien

^{: les} images suývent un

modèle

^A lý limite de la stationnarité ( oi ": - LQý ^G\. _fla ⁰ ) et, dans ce cas, la

"conver3ence" de l'histograDllle vers un histograDllle

gaussien

est particulièrement lente. Ce qui laisse

présager

^la

possi-

bilité d'existence de toutes sortes d'histograDIDes, plus ou moins "plats".

Iý ⁼ⁱ

fournit un modèle de diffusion qui ne semble pas devoir être vérifié par les images (cf. relation 20).

Et, on a vu que, dans le cas

I

al ý.{

^{, la} stationnarité dans la fenê- tre et l'aspect gaussien apparaissent comme conséquences de la seule

hypothèse markovienne

(21).

L'expérience ne semble donc pas correspondre aux

développe- ments

théoriques précédents. A ce niveau, deux hypothèses sont possibles

pour

tenter de lever cette difficulté ^:

correspondants

^à I

Cli ý

ⁱ

L'hypothèse

gaussienne n'est pas du tout nécessaire pour celà.

Il est intéressant _{de le} souligner, car l'expérience montre que les

histogrammes

d'image _ne sont pas du tout

gaussiens;

par contre, de bonnes présomptions expéri mentales justifient un

histogramme

des sauts gaussiens (réf. 48).

ou

bien

l'hypothèse stationnaire est ^à revoir pour les images. A ce sujet, signalons les travaux récents de

HUNT

et

^CARNON (r'f.

112)

qui

obtiennent

un

histogramme gaussien

apris

soustraction

de l'image d'une

fonction

qui

repr'sen-

terait une

estimation

de la partie

non stationnaire

de

celle-

ci.

.'.,',-'II!

.'-->

,

'I; i

...j

(30)

a été omis, et

Q

ýot.

Afin

^de

caractériser

^la

non-stationnarité

^{du modale, on défi-}

niera

donc les quantités suivantes (homogènes ^à un carré d'énergie) ^:

<ft> ⁼ ý

^<

_lFl:;.

[Pour simplifier

^les

écrýs,

^{l'indice N de FýN}

sera sous-entendu

^{par la} suite, sauf ambiguité.]

c fi ^f.,/) - C("-f(I) ^v-i i'

^£ [0",-1 ...

'I-i}

pour montrer

^{(cf. annexe (J) que}

l'énergie:

a.1ri'

N-i. W-i (ý'-i')

=ýL<

^{It N}

<fI>

^{Fý F"ýI :>}

^e

1:0 f-o

est 'ga1ement

^{donnée par}

Notons tout d'abord que, pour ^le calcul des propriétés du second ordre, la connaissance des termes

spectraux diagonaux

^{est suffi-} sante. Il suffit d'admettre

Le processus présenté plus haut et résultant des deux

hypo-

thêses

markovienne (21)

et "stationnaire dans la fenêtre" (22)

n'est

pas

atationnaire

car de longueur finie. On examine, dans ce

paragraphe,

dana

quelle mesure

l'énergie spectrale d'un tel processus peut être

conaidérée

comme concentrée sur la diagonale (ce qui ae produit dans le cas

d'un

processus stationnaire).

I.V.

ETUDE

DU

TAUX

DE

NON-STATIONNARlTE

et on peut prendre, comme

définition

du taux de

non-stationnarit'

Qt-.ý.

^-

QdiCl,.

QtAiQ.ý .

Ce.

quantit's relivent

^de

deux paraDètres

qui sont, en fait,

ind'pen-

dant. ^:

- le

nombre d'échantillons

^N.

- la

valeur

de

l'autocorr'lation

sur les bords de l'image, que

l'on

peut

caractériser

par le

paramitre l. eC"

I.V.1 ^- Calcul de Qtot

Le carré du

module

de la ^SODDD.e sur

t

^et

l'

(qui comporte N'2.termes) coq» rend tous les couples de termes

1:.4 (1{"- j't'!) _{- ý;.} (ý'l ^- i' ^lt'ý)

C, t'

^{e "}

C{ i' e

'" i. .. v

Q"ot. =

-;. L ^C

^-I.,

^f.

^'i

C4c.lp"cs

(i,'ý) ^('l-i.'L)

Qtot s'exprime par

Soit, en

intervertissant

les sommations

. , ';

-'

A chaque terme ý _..

.Lý

, ^il faudra donc

associer

tous lea termes

'a. ^{'a,

^{de la}

^diagonale

correspondante. On obtient, en

utilisant

^l'hy-

pothise

de l'existence d'une fonction

d'autocorr'lation

(31)

Q"

_"

(32)

._,. ⁼ _-; L

"'-.,"! .t, ^{'l.'

, J

( .,-lý ^" ta.-"/ý)

d'oil

La seconde somme n'a des valeurs non nulles que

si'

_Tt1 = _-te.t^,

{ý ..

ýý

I.V.2 ^- Calcul de Qdiag

d'où

On a

ý-t

N-t

"'-i

2..ýA ý.

'{-l')

ýi&tý ^*' r. r. <ýd,,> ^e

La même

opération

que plus haut fait apparaître

N- -l t Yr.4

i ('

^{J " , .J I} ₎

L ^{e -;-}

^{"ft, - " ... - .... + "h 1}

jýO

qui est

non

nulle seulement si ý ...

_.£1. _

^J..'1

^{- !'1.}

-34-

I.V.3. ^- Cas de la

fonction d'autocorré1ation

(28)

Les calculs de

(31)

et (32) font

intervenir

la

matrice

de

Tôplitz

des

C"/c'

ainsi que des sommations de s'ries

g'ométriquel.

lIa lont

développés

dans l'annexe

(1).

On trouve, en

posant

A - toot -

a

"'¥/H

r=e. ^{= e.}

Qt-ý.=

Examinons

la limite de ces expressions lorsque, N étant cons- tant,

't ...

^{00 "} Dans ce cas

ý ý 0 et on trouve (cf.

annexe

1)

Q _ýoý. ^N

Qcl"

^{N li}

IQ.ý.

N <:ro

2.t

N-i

^N (33)

ý ^tV

e

"tý

⁰⁰

Ný

Les expressions

asymptotiques

de Q

ý.ý

^{e ý G>ct\}

ý.

^sont

bien identi-

ques, ce qui confirme le fait que

l"nergie spectrale

se

concentre

sur la diagonale. On

v'rifie bien finalement

que le taux de

non-stationnarit'

(33) est

d'autant

plus

faible

que la

valeur

de

l'autocorrélation

sur le.

bords de l'image est faible.

(34)

(28 ter) (28 bis) (28)

-«clxl

+2."If..t&&.""

--

ý dx

- Of

Iý- ý'I

C (-le. ý/) =

^'$".2.

^e

C (X)

==

avec

On doit donc avoir (cf.

17)

et sa densité spectrale de puissance est lorentzienne

L _.,

⁰⁰

ýc.

La

fonction d'autocorrélation

^{de ce processus sera}

D'autre

part, on a montré qu'un processus discret fini repré-

sentant

le signal d'image tend vers un processus continu

stationnaire lorsque

les conditions suivantes sont réalisées ^:

,

LVI.

ETUDE DE

<

^I

Fil>

On a vu que le modèle

markovien

stationnaire dans la fenêtre

.'accompagne

d'une fonction d'autocorrélation exponentiellement

décroissante

,... ---ý

-36-

Notons que les 2 processus

continu

et discret sont

caractérisés

par 2 paramètres de décroissance ý et ýc On a

évidemment

L'expression

(34) est calculýe dans l'annexe (2). On trouve le rEsultat suivant ^:

:: L

T ⁽³⁵⁾

Les calculs correspondants sont effectués dans l'annexe (2). On

vérifie

les résultats suivants :

avec }- =

l

^{+ 2.TT} .t

â

lim

Lorsque N .... ⁰⁰ à

'lf

constant, on

obtient

l'expr ... ion

Re.

[

N (""

H.-p) -fi

^_No(

cr,?" ^{-1 - eo}

]

-

^{ý ý}

( -ý)2-

N1.. _{-i -f.} ^- P "1 -

e. (36)

avec

(3=0(+

^Z.Trý1

H

1er cas

En fait, cette

expression

dépend des deux

paramètres indépendants

N et

l::" 0(""

On peut donc

procéder

de deux façons

suivant

que l'on fait tendre

N

vers l'infini, puis

't

; ou le contraire.

suivante

Cette

expression

correspond à la loi des

modules spectraux d'un pro-

cessus

continu

non stationnaire. Ce n'est donc pas une

lorentzienne.

Pour

obtenir

celle-ci, il suffit de faire tendre _ý vers l'infini.

Seul le terme en

1r doit être conservé, ce qui

aboutit

¹ la loi

lorentzienne

attendue

'1 +

(34)

(38)

(37)

somme de

. C'est ce s'écrit

conduit à

- -

=--

1.

<

'1 ^')

Lorsque

l

...^{Oo à} N constant, on obtient

Evidemment, le spectre replié (37) tend, lorsque

N.-.

^Do (à _ý constant) vers le lorentzienne (34) (cf. annexe

(2».

N-{ t.I-ý

-t.L =(fkfý.>

"' oc0 -1-..',:0

1.

Le calcul, proche de celui effectué pour < _\

Fi \ >

"t - ^'Uf"ý

(..c-ý- )

e, ^V

.,. .. _0.

en

posant ýi ^{= týý}

Afin d'étudier

^{les propriétés} des parties réelle et

ýgi- naire

des coefficients de Fourier, on a calculé, dan. l'annexe (4) ^:

ttr-i

ý

(.It

⁺

-l')

2ème cas

1.VI. ^{I -} Etude de

Ri

et

I

^ý.

qu'on

a

vérifié

"to

ý

ýcr.1.

L_ ^oIýL

C1

(et) ^_

ýs ₍

^1.

ý

1

)

qui

correspond

^à un processus échantillonné mais stationnaire. Il s'agit donc en fait d'une lorentzienne repliée, c'est-à-dire de la

lorentziennes

décalées de multip les entiers de Il u, = ^.!:!_

L

en annexe (3). La sommation correspondante