LES FORMULATIONS VARIATIONNELLES

Mathématiques 2 1

Analyse, séance 5 : exercices

LES FORMULATIONS VARIATIONNELLES

Objectifs

Le formulations faibles ou variationnelles des équations aux dérivées partielles que nous avons étudiées en cours ne sont pas des outils abstraits, elles permettent de formaliser mathé- matiquement des situations physiques diverses que l’on ne sait pas toujours traduire en termes

“classiques” (exercice 1) ou de les simplifier (exercice 2). Elles permettent aussi d’analyser l’er- reur d’approximation (exercice 3) et l’existence des solutions dans les problèmes non linéaires (exercice 4).

Question 1

Les charges concentrées

Sous les hypothèses du problème de diffusion vu en cours, on suppose qu’un laser fournit en un point M une quantité de chaleurQ(par unité de temps).

• Montrer qu’il faut modifier la formulation faible pour en tenir compte en ajoutantQ v(M) dans L(v). Noter que l’on ne peut plus choisir dans ce casu ∈ C¹(Ω)caruadmet une singularité loga- rithmique au pointM, on laissera de côté cette difficulté théorique.

•Quelle modification très simple faut-il effectuer sur les équations siM est un nœudi? Question 2

Prise en compte des discontinuités des coefficients

Sous les hypothèses du problème de diffusion étudié en cours, on suppose que la plaque est formée de deux matériaux, de constantes de diffusionk₁ etk₂, occupant les sous domaines Ω₁ etΩ₂ deΩ (on supposera pour simplifier queΩ₂⊂Ω₁ ne touche pas le bord). Soitγla frontière entreΩ₁etΩ₂. Le problème s’écrit















−k₁∆u = q surΩ₁

−k₂∆u = q surΩ2

−k₁^∂u_∂n⁻ = −k₂^∂u_∂n⁺ surγ

u = T0(resp.T1) surΓ0(resp.Γ1)

−k₁^∂u_∂n = λ(u−T_e) surΓ₂

(1)

oùuest une fonction continue surΩ,C²surΩ₁etΩ₂. La condition surγest essentielle pour détermi- ner une solution, elle traduit la continuité des flux de chaleur sur la frontière interne (~nest le vecteur

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normal àγ orienté deΩ1versΩ2, lesu⁺etu⁻sont les valeurs deude part et d’autres deγ confor- mément à cette orientation). Elle implique que la fonctionun’est pasC¹: chercher une fonctionC¹, C²par morceaux, qui vérifierait

−k_i∆u=q sur Ωi, i= 1,2 conduirait donc à une solution erronée.

•Montrer que la formulation faible ne change pas à ceci près que la constantekprend les valeursk1

etk2 surΩ1etΩ2. Grace à la formulation faible la condition surγest devenue implicite.

•Quelles adaptations faut-il faire au programme de calcul ? Question 3

Étude de l’erreur d’approximation

Sous les hypothèses du problème de diffusion étudié en cours, supposons que l’espace d’approxima- tionV_hvérifie la propriété deconsistancesuivante :

∃Π_hu, Π_hu∈V_h p

a(u−Π_hu, u−Π_hu)≤O(h^k) qui signifie que l’on peut approcher àh^kprès (au sens de la norme hilbertiennep

a(u, u)) la solution exacte et régulièreupar une fonction de l’espaceV_h. Dans une approximation par des éléments affines convenablement choisi on montre quek= 1, pour des éléments quadratiquesk= 2.

•En déduire une majoration de l’erreur

pa(u−u_h, u−u_h) =O(h^k)

Cette estimation automatique de l’erreur est une propriété fondamentale de l’approximation par élé- ments finis d’un problème elliptique. Il reste cependant à préciser le lien entre la normep

a(u, u)et les normes usuelleskuk∞oukuk₂, ce qui est plus délicat.

Question 4

Formulations variationnelles de problèmes non linéaires

On considère le problème, correspondant à un problème de diffusion avec une loi d’échange non linéaire sur les faces d’une plaque

−∇.(k∇u) +f(u) = q surΩ

u = 0 surΓ (2)

SoitV₀l’espace des fonctions continues et “C¹par morceaux”, nulles sur le bordΓ. On pose a(u, v) =

Z

Ω

k∇u .∇v dΩ et

L(v) = Z

Γ

q v ds

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•Montrer que la solution de (2) est aussi solution du problème variationnel







u ∈ C²(Ω)

∀v∈V0 a(u, v) + Z

Ω

f(u)v dΩ =L(v) (3)

On noteF(v)une primitive def(v). On pose J(v) = 1

2a(v, v) + Z

Ω

F(v)dΩ− L(v) (4)

•Montrer qu’une fonctionu∈V est solution de la formulation faible (3) si et seulement si DJ(u) = 0, autrement dit si et seulementuvérifie

∀v∈V₀, DJ(u).v= d

dλJ(u+λv)|_λ=0= 0

•Montrer que sif(v)est strictement croissante la fonctionJ(v)est une fonction strictement convexe et queuest alors le minimum deJ(v).

•Montrer que ce résultat peut être utilisé pour la définition d’une approximation et conduit à la ré- solution d’un système d’équations non linéaires équivalent à un problème d’optimisation. Noter le résultat : les problèmes de type (2) sont toujours équivalents à la recherche d’un point stationnaire d’une fonction potentielle, certains d’entre eux (f⁰(v) >0) sont équivalents à la recherche du mini- mum d’une fonction strictement convexe, ces derniers ont donc au plus une solution.

Toutes ces situations ont un sens physique, la prise en compte du rayonnement correspond à une fonc- tion convexe (et donc une solution unique), tandis que la prise en compte d’une réaction exothermique correspond à une fonction non convexe, et à la présence d’une multiplicité de solutions ou à l’absence d’équilibre. Voir chapitre 4 le paragraphe 4.3 du polycopié d’analyse.

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