Limite de la région quasi neutre dans un semiconducteur

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Submitted on 1 Jan 1989

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Limite de la région quasi neutre dans un semiconducteur

Z.T. Kuznicki, B. Zimmermann

To cite this version:

Limite de

la

_{région quasi}

neutre dans

un

semiconducteur

Z. T. Kuznicki

_(1,*)

and B. Zimmermann

₍₂₎

(1)

Laboratoire

_{d’Automatique}

et

_d’Analyse

des

_Systèmes

du _C.N.R.S., 7 avenue du Colonel Roche,

F-31077 Toulouse

_Cedex,

France

(2)

Institut

_{Interdépartemental}

de

_{Microélectronique}

et

_{d’Optoélectronique}

de l’Ecole

_{Polytechnique}

Fédérale de Lausanne, CH-1015 Lausanne, Suisse

(Reçu

le 25 avril 1988, révisé le 23

_septembre

1988 et le 14 avril 1989,

accepté

le 30 mai

₁₉₈₉₎

Résumé. 2014

Nous proposons une définition

_{généralisée}

de la limite de la

région

quasi

neutre du semiconducteur contenant une zone d’accumulation. Cette limite est fixée à l’endroit où deux facteurs

_{macroscopiques}

de

perturbation

électrique

sont

égaux.

Ainsi la

_région

_quasi

neutre

_garde

_toujours

les mêmes

propriétés

électriques,

i. e. du

_{poentiel macroscopique,}

du

_champ

_électrique

interne, de la densité de

_charge,

indépendamment

du matériau et de l’intensité de la

_perturbation

de la neutralité

_électrique

du cristal. Les facteurs de

_perturbation

sont déterminés dans le cadre d’une

_analyse

_approfondie

de la loi

_{électrostatique}

des interfaces

abruptes

dans les semiconducteurs non

_{dégénérés}

à l’état

_{d’équilibre}

_{thermodynamique.}

Ils n’ont pas

d’interprétation physique simple.

L’un d’eux caractérise la

_{perturbation électrique}

en fonction des

propriétés

du semiconducteur considéré, l’autre facteur est tout à fait

_indépendant

de ces

_{propriétés.}

Notre définition est du _type

_{macroscopique.}

Elle est déterminée dans le cadre de la

_statistique

de

Maxwell-Boltzmann, et a _{pour but de}

_remplacer

toutes les définitions

_plus

ou moins arbitraires de

_{l’épaisseur}

de la zone d’accumulation,

jusqu’à

présent

couramment utilisées dans la modélisation ou simulation des

_dispositifs

microélectronique.

Elle _peut être facilement

_{généralisée}

à

_{n’importe quelle perturbation électrique}

_(statique

ou

_dynamique)

_provoquant l’accumulation des porteurs libres. Abstract. 2014

We propose a

_general

definition of the

_boundary

of the

_{quasi-neutral region}

in a semiconductor with accumulation

_layer.

This

_boundary

occurs at the

_point

where two electrical

_perturbation

factors are

_equal.

Thus the

_{quasi-neutral}

_{region always keeps}

the same electrical

properties,

i.e.

_{macroscopic potential,}

internal electric field, and

_{charge density, independently}

of the electrical

_{neutrality perturbation intensity.}

These

perturbation

factors, determined from a detailed

analysis

of the electrostatic law of

abrupt

interfaces in

non-degenerate

semiconductors at thermal

_equilibrium,

have no

_{simple physical interpretation.}

One of these factors characterizes the electrical

perturbation

in terms of the

properties

of the semiconductors while the second is

_{totally independent}

of these

_properties.

Our definition, formulated within the Maxwell-Boltzmann

statistics, is of the

macroscopic

type. It is meant to

_replace

other more or less

_arbitrary

definitions of the thickness _{of the accumulated space}

_charge

_{used up} to now in modelization and simulation of microelectronic devices. It could be

easily generalized

for other electrical

_{perturbations}

_(static

or

_dynamic)

that leads to an accumulation of free carriers.

Introduction.

L’effet d’une

_perturbation

de la neutralité

_électrique

d’un cristal semiconducteur se manifeste par la

présence

d’une

_{charge d’espace}

_qui

peut

être

consti-(*)

A

_{présent ;}

₁₎

Université Louis Pasteur ;

départe-ment de

_Physique,

3, rue de _{l’Université ;} F-67000

Stras-bourg

Cedex, France.

2)

Centre de Recherches Nucléaires

_(IN2P3),

labora-toire PHASE

_(UA

du CNRS N°

_292),

F-67037

Strasbourg

Cedex, France.

tuée soit de

_porteurs

libres excédentaires

_(couche

d’accumulation)

soit d’ions

_dopants

non

_compensés

(couche

de

_{dépeuplement).}

Une telle

_perturbation

peut

être créée soit de

façon extérieure,

par

application

d’une tension de

grille

(structure

MOS ou

MIS),

soit de manière

intrinsèque,

par suite de différences dans les

structu-res de bande des matériaux constituants

(hétérojonc-tions)

ou dans le

_type

et taux de

_dopage

(homojonc-tions).

Les

_premières

études

_{expérimentales}

de contrôle

et de variations de

_{l’épaisseur}

effective de la couche d’accumulation ont été faites sur des MOS au

Silicium. Ces structures ont

_l’avantage

de

permettre

de

_larges

variations de la densité de

porteurs

par

simple application

d’une tension de

_grille

_adéquate.

Mais les mêmes couches d’accumulation sont aussi

présentes

dans certaines homo- et

_{hétérojonctions}

où,

dans l’état

stationnaire,

elles ont un caractère

intrinsèque,

déterminé

_uniquement

_{par la}

configura-tion et les

_propriétés

des matériaux constituants.

L’extension de la

_{charge d’espace}

des

porteurs

libres est

_{généralement}

très faible. C’est

_pourquoi

on assimile habituellement une couche d’accumula-tion à une « distribution

superficielle »

de

charge.

Il

est _{vrai que} cette

_approche

ne

_néglige

_qu’un

très faible

_pourcentage

de la

_charge

totale

_{(pratiquement}

quelques

pour

cent).

Toutefois cette

_{petite partie}

de

charge

d’espace

est

_répartie

dans un volume de cristal

_important.

C’est

_pourquoi

dans le cadre du traitement

macroscopique, l’épaisseur

de la couche d’accumula-tion dans les cristaux semiconducteurs était détermi-née

_jusqu’à

_présent

de

_façon

_plus

ou moins

arbi-traire ;

ce

_qui

conduit à des

_{dispersions importantes,}

pouvant

atteindre

_plusieurs

ordres de

_grandeur.

Dans

_{l’électronique}

moderne la

_région

non

pertur-bée ou

_quasi

neutre devrait avoir une définition

unique

et être déterminée avec une

_{grande précision.}

On

_imagine

mal sur

_quelle

base on

_peut

_poser une

définition

_générale

de la

_{région électriquement}

neu-tre ou

quasi

neutre sans avoir une référence

_physique

universelle.

Sur la

_figure

1 nous donnons un recueil des définitions parues dans la littérature. Pour cela nous avons

_représenté

une couche d’accumulation dans le

cas d’une forte

_perturbation

stationnaire

_(potentiel

électrostatique

normalisé sur l’unité

thermodynami-que,

US

= 13,0 ;

champ

électrique

maximal

norma-lisé sur l’unité

_{thermodynamique}

et _{le rayon de}

Debye extrinsèque, F,

=

940).

Avec une telle

_{approche (illustrée}

sur la

_figure

1),

la couche d’accumulation

_perd

facilement son sens

numérique.

Ce

_qui

conduit à un nombre assez

important

d’imprécisions

où même d’erreurs parues

un _peu

_partout

_{dans la littérature. Citons par}

exem-ple

la

_publication

relativement récente de Jindal et

Warner

_[5]

où les auteurs

_évoquent

_{le rôle du rayon}

de

_Debye

_extrinsèque

comme une

_longueur

univer-selle de normalisation dans le cas des couches d’accumulation. Comme nous le verrons ci-dessous

(dans

le

_chapitre

«

Application

au cas...

_»)

ceci ne

pourrait

être vrai

_{qu’à partir}

d’une certaine intensité de la

_perturbation

_{(Fs> 7,0 ).}

Dans cet article nous _{proposons d’introduire} une définition universelle de

_{l’épaisseur}

de la zone de

charge d’espace

constituée des

_porteurs

libres. Elle

est basée sur un

développement

très

simple

de la

formule exacte de la concentration des

porteurs

Fig. 1.

-

Répartition

des porteurs excédentaires dans une couche d’accumulation dans le cas d’une

_perturbation

intense. On a

_porté

les distances

_{caractéristiques}

calculées selon les différentes définitions de la

_{charge d’espace :}

Zd est la distance de courbure des bandes

_d’énergie

à

proximité

de la surface

_{[1, 2] ;}

_LD

est _{le rayon de}

_Debye

extrinsèque

utilisé couramment comme une distance de

normalisation, cf.

_{[3-6] ;}

_Lc

est

_{l’épaisseur}

effective de la zone de

_charge

_d’espace

mesurée entre la surface et le centre de la zone de

_{charge d’espace}

_{[7, 8] ;}

_LF

est _{le rayon}

d’écrantage

sur

_lequel

la concentration des _porteurs excé-dentaires diminue d’un facteur e

_(la

base de

_logarithme

néperien) [8-10] ;

wac, est

_{l’épaisseur}

de la couche d’accu-mulation

_[11].

[Excess

carrier distribution in an accumulation

_layer

in the case of a _strong

_{perturbation.}

The drawn characteristic

lengths

have been

_computed

in accordance with the different space

charge

definitions : zd energy band

bending

length

in the surface

_{neighborhood [1, 2] ;}

_LD

extrinsic

Debye length usually

considered as an excellent choice for

scaling

the accumulation curves, i.e.

_{[3-6] ;}

_Le

effective

charge

distance measured from the surface to the centre of the space

charge

[7, 8] ;

LF screening

radius

_along

which the excess carrier concentration decreases

_by

_1/e

_(e

is the base of the

_Naperian

_{logarithm) [8-10] ;}

_{Wac, accumulation}

layer

thickness

_[11].]

_]

libres à l’interface d’une

_{homojonction abrupte}

L-H

(ang.

«

Lightly-Heavely » doped regions :

n’ -n,

p + -p) [12, 13].

Nous montrons _{que la} concentration des

_porteurs

libres est en effet

un

_produit

de deux facteurs

(appelés

ici facteurs de

_{perturbation électrique), qui}

ont une variation totalement différente l’une de l’autre en fonction de la distance de l’interface ainsi

qu’en

fonction de l’intensité de la

_{perturbation.}

L’endroit où ces deux facteurs sont

_égaux

_marque

la limite de la

_{région quasi}

neutre. Ainsi la

_région

quasi

neutre

_{garde toujours}

les mêmes

_propriétés

champ électrique

interne,

de la densité de

_charge),

indépendamment

du matériau et de l’intensité de la

perturbation

de la neutralité

_électrique

du cristal. Il se trouve

_qu’en

_appliquant

notre

_définition,

le bord de la

_{région quasi}

neutre est

_toujours

fixé là où la concentration des

_porteurs

libres

_{n (LB )}

est

2,43793

fois

_plus

_importante

_{que celle}

_{d’équilibre,}

ce

qui

correspond

au

_potentiel

_{électrostatique}

norma-lisé

_U(LB)

=

0,89115

(1).

Le volume de la

région

quasi

neutre devient ainsi une fonction de l’intensité de la

_perturbation

_{« appliquée »}

_{(respectivement}

intrinsèque

ou

_{extrinsèque).}

En deuxième

_partie

de cet

_article,

nous illustrons

l’implication

de notre définition sur le

déplacement

de la limite de la

_{région quasi}

neutre dans les

homojonctions

abruptes

n+-n-

de GaAs en fonction

du

_rapport

de taux de

_dopage.

Dans nos

_exemples,

la couche faiblement

_{dopée représente}

le semicon-ducteur en

_question,

alors _que la couche fortement

dopée

ne fait pas

_partie

du

_système

en

_soi,

mais cause la

_{perturbation électrique.}

Dans ces structures, la limite de la

_{région quasi}

neutre, telle

_qu’elle

est définie

_plus

_haut,

_peut

bien sûr être décelée

_{numériquement.}

C’est ce _que nous avons fait afin de comparer la limite obtenue

numéri-quement

à celle ressortant de nos considérations

analytiques.

Limite de la

région quasi

neutre.

La

_{quasi-neutralité électrique}

_correspond

à une

perturbation

appliquée

au cristal si peu intense

qu’elle

modifie essentiellement la

_répartition

des

porteurs

sur les niveaux de leurs bandes

_{d’énergie,}

n’influençant

pratiquement

pas le nombre de

por-teurs libres. Elle se caractérise _par une densité nette

de

_charge

très faible vis-à-vis de celle

_qui

est liée aux

seules

_impuretés.

_{Les résultats des calculs des}

pro-priétés électriques

effectués dans

_{l’hypothèse}

de neutralité stricte sont universellement utilisés avec

d’autant

_plus

de

_{précision qu’on approche}

de la situation de neutralité totale.

Le

_potentiel

dans une zone

_quasi

neutre

_peut

en

effet varier en fonction de la distance dans d’assez

larges

limites bien _que la densité nette de

_charge

conserve des valeurs

_{négligeables.}

Nous admettons

_{l’hypothèse}

que la limite entre la

région quasi

neutre et la

_{région chargée}

se trouve à l’endroit où les deux facteurs de

_{perturbation (un}

lié directement aux

_propriétés

du cristal et l’autre totalement

_indépendant

de ces

propriétés)

sont

égaux :

(1)

En effet, une définition semblable a

_déjà

été

proposée

par Gunn

[14] qui

a _{établi que} cette limite se trouve là où le

_potentiel

_{électrostatique}

normalisé est

_égal

à _1,0. Ceci est _{la variation maximale que} ce

_potentiel

_peut atteindre dans la

_région

la

_plus

_dopée

de la

_jonction

L-H.

où

_LB

est la

distance,

mesurée à

_partir

du maximum de la

_perturbation

_électrique

_présente

dans le

_cristal,

désignant

la limite entre la

_{région quasi}

neutre et la

région

chargée.

La définition de

_{nmi (LB ) et nme (LB )}

ressortira de

ce

_qui

suit dans le

_paragraphe

« Solution

analyti-que ».

Facteurs de

perturbation.

A

_{l’équilibre}

_{thermodynamique}

_{l’intégration}

rigou-reuse de

_{l’équation}

de

_Poisson,

étendue à toute la

région

semiconductrice

_perturbée,

_permet

de

déve-lopper

la formule exacte liant la concentration des

porteurs

excédentaires au

_champ

_électrique.

Ceci est

vrai en

_n’importe

_quel

_point

de la

_{région perturbée}

(v.

loi

_{électrostatique}

des interfaces

_abruptes

d’homostructures semiconductrices

_[13]).

Dans le

cas unidimensionnel la loi

_{électrostatique}

s’écrit :

où

x est _{la distance mesurée par}

_rapport

à l’interface

(surface) ;

ND

est la concentration de

_dopant

non

_{compensé ;}

F (x )

est le

_champ

_électrique

normalisé sur le rayon

de

_{Debye extrinsèque}

_{(LD )}

et l’unité

thermo-dynamique

( UT = kT /q ).

Après quelques opérations

mathématiques

élé-mentaires,

nous _pouvons

_exprimer

la concentration des

_porteurs

excédentaires

_normalisée,

_n(x)/ND,

sous la forme d’un

_produit

de deux facteurs de

natures

_physiques

différentes

_[15]

où

N est une fonction

_qui

_dépend

de l’intensité de la

perturbation

et varie dans

_l’espace

géométri-que ; cette fonction

_dépend

alors de

_champ

électrique

local

_(voir

_Eq.

_{(6)) ;}

e est la base de

_{logarithme népérien ;}

Fg

s est la valeur du

champ électrique

normalisé à

l’interface.

Ici,

nmi

représente

le facteur décrivant la

perturba-tion peu intense de la neutralité

_électrique,

restant

toujours

en relation avec les

propriétés

du cristal

contenant la

_{charge d’espace.}

Sa valeur

_correspond

à la concentration d’une fraction des

_porteurs

excéden-taires

_gardant

la même

_{température électronique}

que celle du réseau. Par contre n., renferme les

se manifestant surtout dans les

_{perturbations}

inten-ses. Sa valeur

_correspond

à la somme des fractions de la concentration excédentaire refroidies

électroni-quement

[16, 17].

Les fractions

_évoquées

ci-des-sus

_[17]

_{correspondent}

directement aux fractions

décrites,

entre _{autres, par Stern dans le} cas des

_puits

quantiques

accolés aux surfaces ou interfaces des cristaux semiconducteurs localement

_perturbés

_[18,

19].

Remarque :

Dans le cas

particulier

d’une couche

d’accumulation

_{d’homojonction abrupte}

L-H

_(n+-n

ou

_{p + -p),}

_pris

comme

exemple

dans nos

calculs,

la

fonction

N a le sens

physique

du rapport des taux de

dopage

et

_{l’équation}

₍₅₎

_correspond

directement à

l’équation développée

par Chandra

[20].

Ceci est vrai pour les

perturbations

très élevées

_{(perturbations}

représentées

dans le cas de la

_jonction

L-H par ce

même _{rapport des} taux de

_dopage).

Au fur et à mesure _que l’intensité de

perturbation

est accrue le rôle de nmi devient

négligeable

(nm;

~ 1,0

quand

N ~

_oo)

_{tandis que n.,, croît}

systématiquement,

suivant de

_plus

en

_{plus près}

la

concentration excédentaire

normalisée,

figures

2 et

3. Ceci veut _{dire que pour les}

_{perturbations}

_intenses,

les

_{propriétés électriques}

du cristal

_(dopage,

conduc-tivité)

n’ont aucune influence sur la

_{charge d’espace}

des

_porteurs

accumulés.

En

_général,

la fonction

_{N (F, x )}

est liée au

_champ

électrique

(intrinsèque

ou

_provoqué

_{par la tension}

de

_grille)

de la manière

suivante,

déduite de la loi

électrostatique

[12, 13]

où

Sur les

_figures

2 et 3 nous

_rapportons

les variations

de N en fonction de x et

_{Fs, gardant}

une fois x

_égal

à 0

_{(Fig. 2)}

et l’autre fois

_{F, égal}

à

_8,23246

_{(Fig. 3).}

La

_figure

3 montre aussi les variations

_spatiales

des deux

_facteurs,

_nm; et _{nme, ainsi que la variation}

Fig.

2. - Variation de la fonction N

ainsi que de deux facteurs de

perturbation

en fonction du

_{champ électrique}

maximal normalisé,

Fg ;

nm; est le facteur de

_perturbation

de la neutralité

électrique

lié aux

_{propriétés intrinsèques}

du cristal ;

n,,, est le facteur de

_perturbation

de la neutralité

_{électrique indépendant}

des

_propriétés

du cristal.

[The

N function as well as two

_perturbation

factor distributions versus normalized maximal electric field,

FS ;

nmi electrical

neutrality perturbation

factor related to the intrinsic semiconductor

properties ;

nme electrical

neutrality

Fig.

3. -

Variations

_spatiales

des facteurs de

_{perturbation,}

_{11 mi} et _{nme, de la fonction N} et de la concentration des

porteurs excédentaires

_{n (x )/Np}

dans une couche d’accumulation

correspondant

à une

_perturbation

d’intensité moyenne

(F,

=

8,23246).

[Space

distributions of the :

_perturbation

factors nm; and nme ; function N and excess carrier concentration

n(x )/N D’

respectively,

in an accumulation

_layer,

in the case of the medium

_{strength perturbation}

_(F,

=

10 ).

]

spatiale

de la concentration

_respective

des

_porteurs

excédentaires,

dans une couche d’accumulation où

le

_{champ électrique}

maximal normalisé

_{F s}

est

_égale

à

8,23246

(ce

qui correspond

à N

_{= 100) (2).}

Ceci

concerne

_{n’importe quelle}

zone d’accumulation :

soit d’une

_{jonction abrupte}

L-H,

soit d’une struc-ture MOS.

Nous pouvons directement tracer les variations des nml et _nme et fixer la limite de la

_{région quasi}

neutre dans

_l’espace

de la fonction

N,

représentant

ainsi la

_perturbation

_{(Eqs. (6)}

et

_(7)),

à

_partir

des

équations

(4)

et

_(5),

_figure

4.

Application

au cas de

l’homojonction abrupte

L-H. Pour étudier les variations

_spatiales

_{de nmi} et

nme, il faut connaître la variation

spatiale

du

potentiel

électrostatique.

Ainsi on est amené à résoudre

l’équation

de Poisson dans

_{l’espace géométrique,}

ce

(2)

Le détail de calculs est

_présenté

ci-dessous dans le

chapitre

« Solution

_{analytique ».}

qui

n’est pas un

_problème

trivial

_(même

dans le cas

unidimensionnel)

et

_requiert

habituellement soit des

approximations

analytiques,

soit _{des moyens de} calcul

_numérique.

Ehlers et Mills ont

_publié

récemment

_[21]

une

étude

_{microscopique,}

très

détaillée,

concernant la couche d’accumulation et de

_déplétion,

sous très faible

_{perturbation.}

La variation du

_{potentiel électrostatique}

norma-lisé,

obtenue par ces auteurs

_(Fig.

2 dans le

_[21])

grâce

à leur modèle

_{microscopique}

est en

_parfait

accord avec les résultats de notre modèle

macrosco-piques,

obtenus dans le cadre de la solution

générali-sée de

_{l’équation}

de Poisson

_{[16, 17].}

La

_figure

5,

partiellement

tirée de

_[21],

_rapporte

la

comparaison

entre les

_{répartitions}

du

_potentiel

élec-trostatique

normalisé obtenues par Ehlers et Mills et

par nous. Dans ce cas notre fonction de

perturba-tion N

_prend

la valeur de

6,25,

ce

_{qui correspond}

à une

_perturbation

_{peu intense. Ceci} se _{traduit par} une

forte contribution de la fraction de

_population

des

Fig.

4. -

Variation des rapports des deux facteurs de

_perturbation

dans les

_{jonctions abruptes}

L-H en fonction du

rapport des taux de

_dopage

N

_{[15] :}

définition de la limite de

_{région quasi}

_{neutre, N} = 4,244292.

[Two

perturbation

factor ratio distributions versus

_doping

ratio function N in the L-H

_junction

_{[15] ;}

_{quasi-neutrality}

region boundary

definition, N =

4.244292.]

Fig.

5. - Variation des

potentiels

publiés

par Ehlers et Mills

_(Fig.

2 dans

_[21]).

Le résultat obtenu dans le cadre de la solution

_{généralisée}

de

_{l’équation}

de Poisson

_[17]

est introduit sous la forme d’une courbe en

_{tirés-points.}

Dans nos calculs on a

_adopté

la valeur de N = 6,25

(Eqs.

(3)-(7)).

La

_ligne

verticale en tirés

représente

la limite de la

région

quasi

neutre.

[Potential

distributions

_{published by}

Ehlers and Mills

(Fig.

2 in

[21]).

Result of the

general

Poisson’s

_equation

solution has been introduced as the dot-dashed curve. In

our calculation we have taken that N = 6.25

[17].

Thé

limit to the

_{quasi-neutral region}

is shown

_by

the vertical dashed

_line.]

₁

l’isotropie

de son

_agitation

_{thermique [17] (Fig. 6).}

De

_plus

la

_population

avec une

_agitation

_peu

aniso-trope

est de l’ordre de 13 %.

La

_légère

différence entre les résultats du modèle

«

microscopique »

d’une

_part

et du modèle «

macro-scopique »

d’autre

_part

_provient

_{du fait que les}

auteurs de

_[21]

_prennent

en

_compte

la _valeur moyen-née du

_{champ électrique,}

_{alors que} nous considérons le

_champ

local en

_chaque

_point.

Nous avons effectué nos calculs afin d’avoir le

point

d’intersection des deux courbes à la limite de la

région

quasi

neutre

_(la

_ligne

droite verticale en tirés

sur la

_figure

5).

A cette fin nous avons

procédé

de

façon

suivante. Tout d’abord nous avons déterminé

la distance entre la surface et la limite de la

_région

quasi

neutre sur la

_figure

2 dans le

[21] (ne

_prenant

en

_compte

_{que la variation de}

_potentiel

auto-compa-tible ainsi

_publié).

_Puis,

_ayant

_LB,

nous sommes en mesure de déterminer la valeur de N et recalculer

notre variation du

_potentiel

à l’aide de la solution

généralisée

de

_{l’équation}

de Poisson

_[17].

Nous pouvons ainsi comparer la

perturbation

traitée par Ehlers et Mills

_[21]

avec une _gamme

pratiquement complète

d’intensités des

perturba-tions

_électriques

réellement

_{envisageables, figure}

6.

Comme à la limite de la

_{région quasi}

neutre la

Fig.

6. -

Répartitions

de

_populations

excédentaires relatives

_{d’agitations anisotropes}

_[17]

en fonction de l’intensité de

perturbation représentée

par la fonction N :

a)

coordonnées linéaires, intensités moyennes ;

b)

coordonnées

semi-logarithmiques,

toute _{la gamme des intensités réellement}

_{envisageables.}

La zone hachurée

_représente

la fraction-excédentaire conservant

_{l’isotropie}

de

_{l’agitation}

_thermique.

[Distributions

of

_anisotropic

oscillation fractions of carriers versus

_{perturbation intensity}

function N :

_a)

linear

coordinates ;

b)

semi-log

coordinates, entire

_{really permitted perturbation}

_intensity

_range

_[17].

Dashed _part shows the excess carrier fraction of

_isotropic

_{oscillations.]}

se contenter ici de la

_statistique

de Maxwell-Boltzmann.

Néanmoins dans le cas de fortes intensités de

perturbation

du côté de la surface il y a un

_risque

de déviation de la variation calculée par

rapport

à sa

valeur réelle. Il faut donc

_reprendre

la

_statistique

de Fermi-Dirac.

_{Heureusement,}

comme nous _pouvons

le voir sur la

_figure

_{1 par}

_exemple,

l’extension effective de la

_charge

d’une couche d’accumulation

est

_{généralement}

si

_faible,

_qu’une

erreur éventuelle

provenant

de la distribution de

Maxwell-Boltzmann,

admise dans notre cas de solution

_analytique,

est

tout à fait

_{négligeable.}

C’est

_pourquoi

_beaucoup

d’auteurs assimilent une couche d’accumulation

pro-duite par une

_perturbation

intense à une distribution

superficielle

de

_charge.

L’erreur de

_{l’approche simplifiée,}

effectuée sur la base de la

_statistique

de

Maxwell-Boltzmann,

est

donc très

_limitée,

étant donné le

_rapport

de la distance de la limite de la

_région

_quasi

neutre et de

l’épaisseur

effective de couche d’accumulation d’une

perturbation

intense. Ce

_rapport

est de l’ordre : de

45,

quand

le maximum du

_champ

_électrique

norma-lisé,

Fs

est

_égale

à 75 et _{de 230 pour}

_{Fs égale}

à 85. Bien

_entendu,

_{pour les}

_{perturbations}

_moyennes

(Fg

40),

et surtout _{pour les}

_{perturbations}

_faibles,

la

_statistique

de Maxwell-Boltzmann est

_applicable

dans toute la

_{région perturbée}

avec une erreur très

réduite.

Dans le cas de

_{perturbations}

intenses les deux

phénomènes opposés,

à savoir l’accumulation et la

déplétion,

ne

_peuvent

_{pas être traités} ensemble. La

déplétion

reste

_toujours

liée aux

_propriétés

du

cristal,

plus précisément

au taux de

_dopage,

tandis que l’accumulation devient totalement

indépendante

de celles-ci.

A

_partir

d’une

_analyse

_{macroscopique,}

prenant

en

compte

la variation de la densité de

_{« charge}

d’espace

modèle » d’une

_{homojonction abrupte}

(L-H),

nous sommes en mesure de déterminer

_plusieurs

longueurs caractéristiques

dont une

_joue

le rôle de la

distance entre la surface

_(le

maximum de l’intensité de

_{perturbation)}

et la limite de la

_{région quasi}

neutre.

Comme

_exemple

de calculs nous avons donc choisi

l’homojonction abrupte L-H

(n+ - n ),

où nous avons

_procédé

selon deux méthodes

complémentai-res :

-

une méthode

_analytique

_{généralisée ;}

approxi-mation

_{simplificatrice qui}

_permet

d’étudier l’état

électrique

du cristal par

analyse

de

_comportement

de

quelques

fractions de

porteurs

libres

_{excédentaires ;}

cette

_{représentation}

_{approximative}

_enveloppe

tous

les cas

_pratiques

avec une exactitude frôlant la

perfection

dans le cadre de la

_statistique

de Maxwell-Boltzmann

_{[16, 17] ;}

- _une méthode

numérique

auto-compatible

[22-24] ;

pour

vérifier,

compléter

et

_{généraliser}

nos

résultats,

dits ainsi «

_{analytiques »,}

nous avons utilisé une méthode

_numérique

d’éléments

finis [24] :

d’abord dans

_{l’hypothèse}

de la

_statistique

de Max-well-Boltzmann et de l’ionisation totale des

impure-tés

_(ce

_qui

est admis dans nos calculs

analytiques) ;

puis

dans

_{l’hypothèse}

de la

_statistique

de Fermi-Dirac et de l’ionisation

_partielle

des

_impuretés.

SOLUTION ANALYTIQUE. -

L’avantage

de cette

méthode réside dans le fait

_qu’elle

_permet

de traiter le

_problème

_{analytiquement (une}

fois la solution

numérique

adéquate

trouvée,

celle-ci

_représente

une

base de _{données pour} tous les cas réellement

La solution de

_type

_analytique

_permet

de déduire la formule reliant

_{l’épaisseur}

de la zone de

_charge

d’espace,

normalisée sur le rayon de

Debye

extrinsè-que, à l’intensité de

perturbation

(représentée

ici par le

_potentiel

_{macroscopique) ;}

celle-ci est donnée

sous la forme :

où

U(LB )

0,89115

est une valeur constante du

poten-tiel

_{macroscopique}

normalisé à la limite de la

_{région quasi}

neutre, déterminée une fois

pour toutes

_grâce

à

_{l’équation (1) ;}

elle

correspond

au

_champ

_électrique

F

= 1,04574

et la concentration excéden-taire

_n(x)IND

=

1,43793;

UD

est une

_composante

de

_potentiel

macrosco-pique

liée à la fraction de

_porteurs

excéden-taires

_ayant

_{l’agitation thermique}

isotropi-que

[17] ;

Uj

et

_Ljsont

_{respectivement :}

une

_composante

de

potentiel

macroscopique

et une distance

caractéristique

liées à la

_j-ème

fraction de

porteurs

excédentaires se

_distinguant

_par une

_agitation

_{thermique anisotropique [16,}

17] ;

m est un nombre de fractions des

_porteurs

excédentaires

_(en

_{général m}

= 5

[17]).

Malheureusement cette formule ne

_peut

être

exprimée

que sous forme de variables non

sépara-bles ;

la _{résolution n’est donc pas triviale} et

_exige

des traitements

_{numériques adéquats.}

Nous avons utilisé à cette fin une méthode de solutions

_numériques

des

systèmes

de

_{plusieurs équations}

non linéaires de la

bibliothèque

d’IBM afin de trouver des valeurs du

jeu

de

_{plusieurs paramètres}

_{caractéristiques [16, 17].}

L’exemple

de nos résultats ainsi calculés est

repré-senté sur les

_figures

3 et 5.

Sur la base de

_{représentation analytique}

_[17]

(Eq. (8))

nous sommes en mesure de donner une

interprétation

physique

aux facteurs de

perturba-tions :

- le

facteur extrinsèque

nmi

correspond

à une

fraction de concentration des

_porteurs

libres en

excès

_{gardant l’agitation thermique isotrope}

_(décrite

dans

₍₈₎

_{par la}

_composnte

_UD

de

_potentiel

norma-lisé) ;

- le

facteur

extrinsèque

nme

représente

m - 1

(en

général égale

à

_quatre)

fractions de concentration des

_porteurs

libres en excès se caractérisant par une

anisotropie

de

_{l’agitation thermique.}

Cette

anisotro-pie correspond

au

_{phénomène appelé}

aussi

_re

froidis-sement

_{électronique}

_[16].

SOLUTION NUMÉRIQUE. - On obtient les mêmes résultats par des méthodes exclusivement numéri-ques. A cette fin nous résolvons

_{l’équation}

de Poisson à l’aide de la méthode des éléments

finis,

utilisant des fonctions de base

_{triangulaires}

_[24].

Le

maillage

de

_l’espace

unidimensionnel x est

_irrégulier

et _{tel que la variation du}

_potentiel

entre deux

_points

consécutifs ne

_dépasse

_{pas 0.3 meV.}

Comme conditions aux

_bords,

nous

_imposons

_que

le

_{champ électrique}

soit nul aux bords de toute la structure,

qui

cette fois-ci

_{(jonction L-H)}

inclut aussi la

_{région perturbatrice,}

à savoir la

_{plus dopée.}

Ceci

(dans

notre cas unidimensionnel et selon la loi de

Gauss) implique

la neutralité

_globale

de la structure

considérée. Notons que les calculs

numériques

sont

exécutés pour la structure totale d’une

_jonction

L-H

abrupte

qui

consiste en une couche fortement

dopée

et une couche faiblement

_{dopée, séparées,}

l’une de l’autre par une zone de transition de

_dopage

d’une

longueur

infinitésimale.

La densité de

_charge

est évalué soit selon la

statistique

de

Fermi-Dirac,

soit selon la

_statistique

de Maxwell-Boltzmann. Ceci dans le but de contrôler l’erreur introduite par la

statistique

de Maxwell-Boltzmann. Le taux d’ionisation des

_dopants

peut

être soit évalué selon la

_statistique

choisie,

soit

_(afin

de

_permettre

une meilleure

comparaison

avec le

calcul

_analytique)

être

_supposé

total.

L’évaluation de la densité de

_charge

selon la

statistique

de Maxwell-Boltzmann et en

_supposant

une ionisation

_complète

des

dopants,

comme c’est aussi utilisé dans nos calculs

analytiques,

_permet

ainsi mieux comparer les résultats

analytiques

et

numériques.

Il est

_{généralement}

admis

_(par

_exemple,

dans

_[21])

_{que la}

_répartition

des

_impuretés

ionisées dans un semiconducteur non

_dégénéré

reste

homo-gène jusqu’a

la surface.

L’application

de la

_statistique

de Fermi-Dirac pour les densités

d’électrons,

de trous et de

_dopants,

décrit mieux la réalité

_physique.

Il est intéressant de voir si les mêmes observations

_qualitatives

et

quanti-tatives sont faites avec les deux évaluations de la

densité de

_charge.

Ceci a

_permis

de mettre en

évidence une

_grande

exactitude de

_l’approche

analy-tique

dont sortent les deux facteurs de

_perturbation

nmi et nme’

Nous pouvons constater _{que dans} un cristal non

dégénéré

les valeurs de

_LB

trouvées

_«

analytique-ment » et «

numériquement »

sont

_pratiquement

les mêmes

_jusqu’aux

_{perturbations}

intenses

_(Fs

>

40 )

ou extrêmement intenses

_{(Fs>- 250 ),}

où

La --.

1,2

LD,

la solution «

analytique

_», ne

_prenant

en

_compte

_{que la}

_statistique

de

_{Maxwell-Boltzmann,}

suit de très

_près

la

_plus

réaliste solution

_numérique,

avec la

_statistique

Fermi-Dirac et _{l’ionisation}

par-tielle,

jusqu’à Fs

= 860

(l’erreur

relative estimée sur

la base de la fonction

N,

Eq.

(6),

ne

_{dépasse jamais}

Fig.

7. - Variation des différentes distances

caractéristiques

de la

_charge

d’accumulation en fonction du

_potentiel

électrostatique

maximal.

[Different

characteristic

_length

distribution versus maximal electrostatic

_potential.]

Remarque :

Les valeurs de

_FS

s citées ci-dessus

correspondent

aux calculs

« analytiques

»,

compte

tenu de

_{l’expression}

_(5).

La

_comparaison

des résultats

s’effectue

sur la base de la

fonction

N,

_qui

est

uniforme

dans les deux cas : «

analytique »

et «

numé-rique

». En réalité les valeurs de

champ électrique,

FS,

pour la même valeur de

fonction

N,

sont

_{di f}

féren-tes

_(cf.

_{pour N} =

106 :

FSanalytiqueH

=

857,75

et

Fs KnumériqueH

=

560,6).

Le même calcul d’erreur

rela-tive sur la base du

champ

électrique

ne

dépasse jamais

0,3 %.

Conclusions.

Nous avons montré que la

_{longueur LB}

_(définie

_par

la formule

_(8)),

déterminée sur la base de la loi

électrostatique

des homostructures semiconductrices

abruptes dopées

uniformément et non

_{dégénérées,}

quelle

que soit l’intensité de la

perturbation

de neutralité

_{électrique, représente}

une

_{caractéristique}

universelle,

décrivant

_{l’épaisseur}

de la

_charge

d’espace

d’accumulation des

_porteurs

libres dans un

cristal semiconducteur.

Ainsi,

nous obtenons la limite

_séparant

la

_région

chargée

de la

_{région quasi}

neutre dans le cas des

jonction

L-H,

définie en fonction du

_dopage,

du

champ électrique

appliqué,

etc. Cette limite

_partage

le volume

_perturbé

d’un cristal semiconducteur en

deux

_parties

dont une

(la

_région

quasi neutre)

reste

toujours

la même du

_point

de vue des

propriétés

électriques

i.e. du

_potentiel

_{macroscopique,}

du

champ

électrique

interne,

de la densité de

_charge

d’espace.

Ce ne sont _{que les deux volumes} en

question qui

varient avec l’intensité de

_{perturbation.}

De

_plus

notre définition de la limite de la

_région

quasi

neutre

_peut

être facilement

_{généralisée}

à

n’importe quel système

semiconducteur

uniformé-ment

_dopé,

_{ainsi que à}

_n’importe

_quelle

_perturbation

électrique statique

ou même

_{dynamique, qui}

Bibliographie

[1]

VAN DER ZIEL _A., Solid State

Physical

Electronics

(Pretince-Hall,

Inc.,

Englewood

Cliffs, New Jer-sey,

USA)

1976.

[2]

BEERENS _J., Thèse de doctorat, Université de

Sher-brooke,

Québec, Canada

_(1986).

[3]

GOLDBERG _C., Solid-State Electron. 7

₍₁₉₆₄₎

593-600.

[4]

HAUSER J. R., LITTLEJOHN M. A., Solid-State Elec-tron. 11

₍₁₉₆₈₎

667-674.

[5]

JINDAL _{R. P.,} WARNER R. M. Jr., IEEE Trans. Electron. Dev. ED-29

₍₁₉₈₂₎

1944-1945.

[6] WARNER

R. M. Jr., GRUNG B. L., Transistors;

Fundamentals for the

_{Integrated-Circuit}

Engi-neer

_(Wiley,

New

_York)

1983.

[7]

MANY A., GOLDSTEIN Y., GROVER N. B., Semicon-ductor Surfaces

_{(North-Holland, Amsterdam)}

1965.

[8]

MANY A., Surface Science. Lectures Presented at an International Course ; Pt. _I, Trieste,

Italy,

16

_{January-10 April}

1974 ; Vienna, Austria : IAEA 1975,

pp. 447-500.

[9]

KUZNICKI Z. T.,

Propriétés Electriques

des Couches Minces

_{Polycristallines ;}

Ed. PWN

Warszawa-Lodz, 1984

_{(en Polonais) ;}

Some

Analytical

Descriptions

of

Abrupt

Semiconductor L-H

Type

Structures in

Stationary

State ;

Rapport

du L.A.A.S. à Toulouse, N° 87131, mai 1987.

[10]

LIOU J. J., LINDHOLM F. A., PARK J. S., IEEE

ED-34

₍₁₉₈₇₎

1571-1579.

[11]

LETURQ P., REY G.,

Physique

des

Composants

Actifs à Semiconducteurs

_(Dunod

_Université,

Paris)

1978.

[12]

KUZNICKI Z. T., Thin Solid Films 85

₍₁₉₈₁₎

169-179.

[13]

KUZNICKI Z. T., Bulletin de l’Académie Polonaise des Sciences ; Série des sciences

_techniques

29,

11-12

₍₁₉₈₁₎

111-118.

[14]

GUNN J. B., J. Electron. Control. 4

₍₁₉₅₈₎

17-50.

[15]

KUZNICKI Z. T., Détermination des

_Régions

de Tran-sition et des Profils des Concentrations des Porteurs Libres dans les Structures Multicouches de Silicium ;

_Rapport

de l’Institut de

Technolo-gie

des Matériaux

_{Electroniques}

à Varsovie ;

1985

_{(en Polonais).}

[16]

KUZNICKI Z. _T., en cours de

_publication.

[17]

KUZNICKI Z. T., Rev.

_Phys.

Appl.

23

₍₁₉₈₈₎

1313-1316.

[18]

STERN F.,

Phys.

Rev. B 5

₍₁₉₇₂₎

4891-4899.

[19]

ANDO T., FOWLER A. B., STERN F., Rev. Mod.

Phys.

54

₍₁₉₈₂₎

2.

[20]

CHANDRA A., Solid-State Electron. 23

₍₁₉₇₉₎

516-517.

[21]

EHLERS D. H., MILLS D. L.,

Phys.

Rev. B 34

(1986)

3939-3947.

[22]

GUMMEL H. K., IEEE ED-11

₍₁₉₆₄₎

455-465.

[23]

DE MARI A., Solid-State Electron 11

₍₁₉₆₈₎

33-58.