Modélisation de la cinétique d’adsorption des HAP dans une colonne a lit fixe.

Modélisation de la cinétique d’adsorption des HAP dans une colonne a lit fixe.

KHITER AbdElaziz

, LALAOUI Nadia

, NASLALAH Noureddine

, MAACHI Rachida

.

1Unité de Développement des Couches Minces et Applications (UDCMA), Centre National de Recherche en Soudage et Controle (CSC), BP 64 Cheraga, Alger.

2Laboratoire de Génie de la Réaction. Faculté de génie mécanique et génie des procédés.

USTHB, BP 32 El Alia, Bab Ezzouar. Alger. Algérie.

Auteur Correspondant : E-mail : azizkh82@hotmail.fr .

Résumé :

Par le passé, l’aspect essentiel des études hydrogéologiques consistait à estimer le potentiel d’alimentation en eau des aquifères. L’objectif est maintenant clairement axé sur les processus de transport et de dispersion, de retard et de dégradation des contaminants chimiques, les effets de l’hétérogénéité (du milieu) sur les trajectoires d’écoulement et les temps de parcours, et les phénomènes de rétention d’eaux contaminées dans les matériaux à faibles perméabilités.

L’objectif de ce présent travail est de résoudre numériquement l’équation de transport de réactif à travers un milieu physiquement hétérogène dans le cas d’adsorption linéaire, et d’étudier l’influence de l’hétérogénéité physique sur la dispersion globale d’un polluant non-linéairement interactif.

Nos résultats montrent l’importance déterminante de l’hétérogénéité physique du milieu poreux. En effet, Dans le cas d’une sorption non linéaire et dans un milieu poreux homogène, la cinétique affecte le comportement de soluté dans le milieu poreux, les fronts de concentration seront plus dispersifs et retardés par apport au cas d’une cinétique de sorption linéaire. Tandis que dans un milieu physiquement hétérogène, lorsque la sorption est linéaire, la

dispersion du panache augmente fortement alors que l'hétérogénéité a un effet négligeable sur l'étalement du panache lorsque la sorption est non-linéaire.

Mots clés : Modélisation, transport réactif, milieu poreux saturé, hétérogénéité physique.

1. Introduction:

Initialement, le modèle utilisé pour décrire le transport des contaminants dans les milieux poreux était basé sur les hypothèses suivantes : le milieu était considéré comme homogène et les réactions chimiques essentiellement instantanées et linéaires [1]. Un transport qui suit ces hypothèses est considéré comme idéal. En pratique, le modèle idéale ne donne pas de résultats satisfaisants : les contaminants arrivent souvent plus tôt que prévu et montrent des courbes de temps d’arrivée non symétriques avec longues queues de restitution. D’une part, dans les milieux souterrains l’eau s’écoule au sein de formations géologiques poreuses caractérisées par une forte hétérogénéité.

L’hétérogénéité physique entraine localement une large distribution des vitesses et globalement une grande dispersion des temps de transferts et des positions des contaminants dans le milieu. D’autre part les processus chimiques sont rarement

instantanés et linéaires. Dans cette étude, nous nous sommes focalisés sur les processus de sorption car ce sont des processus majeurs dans les eaux souterraines, fréquemment cités et discutés dans les études de terrain qui, de surcroit affectent le transport des métaux lourds et de nombreux composés organiques tels que les pesticides [2]. La question centrale de ce travail est l’impact du couplage hétérogénéité physique du milieu-réactivité chimique sur le transport de solutés soumis à des processus de sorption dans les nappes d’eau souterraines.

L’objectif est la determination des lois macroscopiques du transport réactif. Du fait de l’hétérogénéité du milieu, de la cinétique et de la non linéarité de la réaction, l’équation gouvernant le transport de contaminant ne peut pas etre résolue analytiquement. C’est pourquoi nous avons abordé ce problème par des approches de modélisations numériques.

2. Modèle mathématique du transport de l’eau :

2.1. Equation d’Advection – Dispersion Fickienne (EADF)

On néglige le terme de diffusion moléculaire dans l’expression du coefficient de dispersion. On considère également que la diffusion moléculaire est négligeable devant la dispersion mécanique.

Suivant l’approche des milieux continus, le lit fixe est réparti en deux phases distinctes : la phase mobile occupant l’espace externe aux grains, de la fraction volumique ε, et la phase stationnaire de la fraction volumique (1-ε).

Le transport de l’eau est décrit par le bilan de transport d’un traceur inerte. C’est la résultante de deux composantes, le premier est l’advection (écoulement piston idéal), la seconde est la dispersion qui écarte les molécules du soluté du mouvement piston.

Le mouvement global d’un traceur inerte est alors décrit par un modèle dit piston avec dispersion axiale, où l’écoulement est décrit par un flux advectif auquel est ajouté un flux de dispersion suivant la loi de FICK. L’équation de transport s’obtient à partir du bilan de matière dans une tranche de milieu d’épaisseur dx et de section droite A, l’écoulement est unidimensionnel suivant la direction x (directions longitudinales) comme le montre la fig.1

Figure.IV.4. Répartition d’un milieu poreux suivant l’approche continue

(Semra 2003).

Figure.1 Répartition d’un milieu poreux suivant l’approche continue (Semra 2003).

Le bilan s’écrit:

� Flux Entrant

(E) � = � Flux Sortant

(S) � + � Accumulation en phase fluide

(ACC) �

Flux advectif : U A ε C (1) Flux dispersif : Aε

x D_L C

∂

− ∂

(2)

Où ;

U : vitesse d’écoulement en (m/s) ; A : section d’écoulement (m²)

C : concentration de soluté dans la phase mobile (mol/L)

ε : porosité du milieu

D_L : le coefficient de diffusion (m²/s)

) x (

- C UC

UC Cdx

D t x

DL C x L xdxx dx

x

x ∂

+ ∂

∂

∂

∂

= ∂

− _{+ +} (3)

Sachant que :

x C C

C _{x dx x} dx

∂ +∂

+ =

(4) On remplace dans l’équation précédente après réarrangement on obtient le bilan :

U C x D C t C

2 2

L ∂

− ∂

∂

= ∂

∂

∂

(5) 2.2. Ecoulement advectif-dispersif d’un soluté dans un milieu poreux homogène

De même manière que pour le traceur de l’eau l’équation de l’adsorption est obtenue à partir de bilan de matière sur une tranche de milieu d’épaisseur dx.

L’accumulation dans ce transport à travers un milieu poreux présent dans les deux phases, dans la phase stationnaire (sur la surface de grain Cp) et la phase mobile (entrainé par le fluide C) suivant cette expression.

[

]

) t dx CA t(

Acc −ε p

∂ + ∂

∂ ε

= ∂

(6)

Où ;

C_p est la concentration en phase stationnaire à la surface de grain en mol/mL.

Après réarrangement on obtient l’équation qui représente le bilan général d’advection dispersion du transport réactif.

2 2 L p

x D C 1

t C t C x U C

∂

= ∂



 ε

ε

−

∂ +∂

∂ +∂

∂

∂

(7)

2.3. Solution analytique de l’EADF:

Parmi les nombreux auteurs ayant travaillé sur la solution de l’EADF, on cite Otaga et Banks [3]. Van Genuchten et Alves [4] offrent une large liste de modèles mathématiques (différents types de conditions initiales et aux limites) avec les programmes informatiques permettant le calcul de la solution à l’équation de transport unidimensionnel.

On présente l’exemple du cas simple d’un milieu semi illimité en rappelant les conditions initiales et aux limites [5] :

C(x,0) = 0 ; C(0,t) = C₀ ;

𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕 (∞, 𝑡𝑡) = 0

La distribution de concentration s’écrit :

𝜕𝜕(𝜕𝜕, 𝑡𝑡)

𝜕𝜕0 =1 2 �𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �

𝜕𝜕 − 𝑈𝑈𝑡𝑡

�4𝐷𝐷𝐿𝐿 𝑡𝑡� + 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �𝜕𝜕 𝑈𝑈

𝐷𝐷𝐿𝐿� 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �𝜕𝜕 + 𝑈𝑈𝑡𝑡

�4 𝐷𝐷𝐿𝐿𝑡𝑡�� (8) dX

Phase mobile ɛ,dx,C

Phase stationnaire (1- ɛ), dx, Cp

X Q

2.4. Ecoulement advectif-dispersif d’un soluté dans un milieu poreux homogène :

Le mouvement d’un adsorbat dans un milieu poreux est représenté par équation advectif-dispersif.

De même manière que pour le traceur de l’eau l’équation de l’adsorption est obtenue à partir de bilan de matière sur une tranche de milieu d’épaisseur dx.

L’accumulation dans ce transport à travers un milieu poreux présent dans les deux phases, dans la phase stationnaire (sur la surface de grain Cp) et la phase mobile (entrainé par le fluide C) suivant cette expression.

[

]

) t dx CA t(

Acc −ε p

∂ + ∂

∂ ε

= ∂

(9)

On remplace dans le bilan de matière, après réarrangement on obtient l’équation :

2 2 L p

x D C 1

t C t C x U C

∂

= ∂



 ε

ε

−

∂ +∂

∂ +∂

∂

∂

(10) Dans le cas d’équilibre local et d’adsorption non linéaire en milieu homogène nous considérons que la concentration à la surface de grain C_p varie selon le modèle de Freundlich.

C

(11) L’équation (10) devient :

2

1 2

U x

D C t

C t C x C

f L n

k



 



 −

∂ + ∂

∂ +∂

∂

∂ ρ

ε ε

(12) Sachant que 𝒅𝒅𝒇𝒇^𝒏𝒏= 𝒏𝒏𝒇𝒇^{𝒏𝒏−𝟏𝟏}. 𝒇𝒇^′ donc ^{𝜕𝜕𝜕𝜕𝑛𝑛}

𝜕𝜕𝑡𝑡 peut s’écrire sous la forme suivante :

𝝏𝝏𝑪𝑪^𝒏𝒏

𝝏𝝏𝝏𝝏 = 𝒏𝒏 . 𝑪𝑪^{𝒏𝒏−𝟏𝟏}.^{𝝏𝝏𝑪𝑪}_{𝝏𝝏𝝏𝝏} (13) D’où l’équation différentielle (12) devient comme suit :

( )

2 2

- 1

1 1

U x

D C C

k t n

C x C

L n

f ∂

= ∂



 



 



 

 + 

∂ +∂

∂

∂ ρ −

ε ε

(14)

2.5. Ecoulement advectif dispersif dans un milieu poreux physiquement hétérogène :

Les milieux poreux naturels sont caractérisés par une forte hétérogénéité. En termes d’écoulements d’eau, une forte variabilité spatiale de la conductivité hydraulique entraine une forte variabilité spatiale des vitesses d’écoulements et la création de chemins préférentiels. Etant donnée l’ampleur de l’hétérogénéité, il semble logique de supposer que le transport de contaminants, inertes ou réactifs, ne peut pas être compris sans considérer les écoulements et leurs relations avec l’hétérogénéité du milieu.

L’une des principales conséquences de l’hétérogénéité physique est qu’elle peut conduire à des variations significatives des vitesses du fluide sur de courtes distances et créer des chemins préférentiels

[6]. Comme nous l’avons vu, le gradient hydraulique est le principal moteur du mouvement d’eau souterraine (loi de Darcy) et la vitesse du fluide est directement proportionnelle à la perméabilité. Si la valeur de la perméabilité varie d’un ordre de grandeur entre deux endroits très proches, alors, pour un même gradient hydraulique, les vitesses varieront du même ordre de grandeur. Ainsi l’existence d’une variabilité spatiale des conductivités hydrauliques entraine une variabilité spatiale du champ de vitesse [7] Trois approches sont généralement utilisées pour décrire l’hétérogénéité du milieu : approche stochastique, approche "milieu stratifié" et approche "double porosité".

Dans un milieu stratifié, on fait l’hypothèse que le milieu poreux est composé d’un certain nombre de couches horizontales dont les propriétés physiques tel que la perméabilité, la conductivité hydraulique, le champ de vitesse et la dispersion sont différents.

[6;7].

Figure.2. milieu hétérogène modèle (Adrienne Yra.2006).

Le bilan de matière de l’adsorbat est obtenu à partir du bilan général dans le cas homogène est le même dans le cas hétérogène, en introduisant seulement la notion de l’hétérogénéité physique et on prenant en compte la variabilité spatiale du champ de vitesse et de dispersion dans l’élément de volume considéré :

U = U(x) DL = DL(x)

L’équation générale de transport réactif devient :

( )

2 2

1 ( )

- 1 1

U(x) x

x C D C k t n

C x C

L n

f ∂

= ∂



 



 



 

 + 

∂ +∂

∂

∂ ₋

ε ρ ε

(15)

2.6. Résolution numérique de l’équation de transport en milieu hétérogène :

Il est fréquent lors de résolution numérique d’équations différentielles partielles d’utiliser les grandeurs adimensionnelles. Il s’agit de choisir pour chaque variable son dimensionnement. On obtient alors une équation aux variables réduites ou adimensionnels.

2.6.1. Adimensionnement des paramètres de l’équation différentielle :

t^* =_𝑳𝑳^𝝏𝝏

�𝑼𝑼 t=^𝑳𝑳

𝑼𝑼t* 𝝏𝝏𝝏𝝏 =_𝑼𝑼^𝑳𝑳𝝏𝝏t*

X = ^𝒙𝒙

𝒅𝒅_𝒑𝒑 x=X 𝒅𝒅𝒑𝒑 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 𝒅𝒅𝒑𝒑𝝏𝝏𝝏𝝏

𝝏𝝏𝒙𝒙^𝟐𝟐 = 𝝏𝝏(𝒅𝒅𝒑𝒑𝝏𝝏)^𝟐𝟐 𝝏𝝏𝒙𝒙^𝟐𝟐 = 𝒅𝒅𝒑𝒑^𝟐𝟐𝝏𝝏𝝏𝝏^𝟐𝟐

C*= ^𝑪𝑪

𝑪𝑪𝟎𝟎 C=C*C0 𝝏𝝏𝑪𝑪=C₀ 𝝏𝝏C*

𝝏𝝏^𝟐𝟐𝑪𝑪 = 𝝏𝝏[𝑪𝑪_𝟎𝟎𝝏𝝏𝑪𝑪^∗] 𝝏𝝏^𝟐𝟐𝑪𝑪 = 𝑪𝑪_𝟎𝟎𝝏𝝏^𝟐𝟐𝑪𝑪^∗

L’équation (15) peut être réécrite de la facon suivante :

1 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝜕𝜕𝜕𝜕^∗

𝜕𝜕𝜕𝜕 +¹_𝐿𝐿^{𝜕𝜕𝜕𝜕}_{𝜕𝜕𝑡𝑡∗}^∗[1 + 𝐾𝐾_𝑑𝑑𝜕𝜕^{∗ 𝑛𝑛−1}] =_{𝑑𝑑𝑒𝑒}^𝐷𝐷₂^𝐿𝐿_𝑈𝑈^𝜕𝜕_{𝜕𝜕𝜕𝜕}^2𝜕𝜕₂^{∗ (16)} Avec : 𝐾𝐾_𝑑𝑑 = 𝑛𝑛 �^1−𝜀𝜀_𝜀𝜀 � 𝜌𝜌𝐾𝐾_𝑒𝑒𝜕𝜕₀^𝑛𝑛−1

2.6.2. Discrétisation de domaine :

On se basant sur l’approche milieu stratifié [6;7]

on prend un milieu poreux hétérogène composé de deux milieux (A) et (B) dont les propriétés physique différents (diffusion, vitesse d’écoulement). On choisit d’évaluer la diffusion au point de contact (i) entre les deux milieux en faisant une moyenne harmonique, tandis que pour la vitesse en faisant une moyenne mathématique [8].

𝐷𝐷(𝑖𝑖) =2 𝐷𝐷(𝑖𝑖+1) 𝐷𝐷(𝑖𝑖−1)

𝐷𝐷(𝑖𝑖+1) +𝐷𝐷(𝑖𝑖−1) (17) 𝑈𝑈(𝑖𝑖) =𝑈𝑈(𝑖𝑖+1)+𝑈𝑈(𝑖𝑖−1)

2 (18) A) Suivant X

Figure.3. Discrétisation de domaine 1) X = 0 on pose i = 1

X = 1 on pose i = IL

2) ΔX(1) = 0

2 ≤ i ≤ IL-1 ΔX(i) = _{𝐼𝐼𝐿𝐿−2}¹

3) dX(1) : distance entre le point 1 et 2 suivant X;

dX(2) : distance entre les points 2 et 3 suivant X.

1≤ i ≤ IL-1 𝑑𝑑𝜕𝜕(i) =∆𝜕𝜕(𝑖𝑖)−∆𝜕𝜕(𝑖𝑖−1) 2

dX(IL-1) : distance entre le point IL-1 et IL suivant X

4) Coordonné du point P

Xp(1) =0

2 ≤ i ≤ IL: XP (i) = X_P(i-1) + dX(i-1) B) Suivant le temps

t t+Δt

Figure.4. Discrétisation de temps

Après réarrangement l’équation (16) devient comme suit :

𝐴𝐴𝑑𝑑𝜕𝜕𝑑𝑑𝑡𝑡+∆𝑡𝑡=𝐴𝐴𝐸𝐸𝜕𝜕𝐸𝐸𝑡𝑡+∆𝑡𝑡+ 𝐴𝐴𝑊𝑊𝜕𝜕𝑊𝑊𝑡𝑡+∆𝑡𝑡+ 𝑆𝑆 (19) Avec :

𝐴𝐴𝑑𝑑=3 2

∆𝜕𝜕

𝐿𝐿∆𝑡𝑡 �1 + 𝐾𝐾^𝑑𝑑𝜕𝜕_𝑑𝑑^{(𝑛𝑛−1)𝑡𝑡}� + 𝐷𝐷𝐿𝐿

𝑑𝑑𝑒𝑒²𝑈𝑈 � 1 𝑑𝑑𝜕𝜕𝑒𝑒+ 1

𝑑𝑑𝜕𝜕𝑤𝑤� 𝐴𝐴_𝐸𝐸= 𝐷𝐷𝐿𝐿

𝑑𝑑𝑒𝑒²𝑈𝑈𝑑𝑑𝜕𝜕_𝑒𝑒 𝐴𝐴𝑊𝑊= 𝐷𝐷𝐿𝐿

𝑑𝑑𝑒𝑒²𝑈𝑈𝑑𝑑𝜕𝜕_𝑤𝑤

𝑆𝑆 =⁴_{2𝐿𝐿∆𝑡𝑡}^∆𝜕𝜕�1 + 𝐾𝐾𝑑𝑑𝜕𝜕_𝑑𝑑^{(𝑛𝑛−1)𝑡𝑡}�𝜕𝜕𝑑𝑑𝑡𝑡 – ¹_{2𝐿𝐿∆𝑡𝑡}^∆𝜕𝜕�1 + 𝐾𝐾𝑑𝑑𝜕𝜕_𝑑𝑑^{(𝑛𝑛−1)𝑡𝑡}�𝜕𝜕𝑑𝑑𝑡𝑡−∆𝑡𝑡 - ¹

𝑑𝑑𝑒𝑒�𝜕𝜕𝐸𝐸𝑡𝑡− 𝜕𝜕𝑊𝑊𝑡𝑡 −^{𝜕𝜕𝐸𝐸𝑡𝑡−∆𝑡𝑡−𝜕𝜕}₂ ^{𝑊𝑊𝑡𝑡−∆𝑡𝑡}�

2.6.3. Discrétisation des conditions aux limites et initiales :

Pour obtenir une solution unique de l’équation différentielle, il est nécessaire de spécifier les conditions initiales et les conditions aux limites.

Dans notre cas nous opter pour des conditions de type Dirichlet:

Condition initiale : à t=0 C(X, 0) = 0, X ˃0 Conditions aux limites : à

X=0 C (0, t) = C₀ X=L �^{𝑑𝑑𝜕𝜕}_{𝑑𝑑𝑒𝑒}� = 0 3. Validation du modèle numérique :

Cette étude est basée sur des expériences réalisées dans le cadre d’une autre recherche menées sur des colonnes de laboratoire constituées de milieux poreux saturés, les résultats expérimentales utilisées sont ceux de Gujisaite [8]. L’échelle d’observation est ainsi réduite par rapport au terrain et l’isolement des différents phénomènes est possible, ce qui permet une investigation approfondie des mécanismes fondamentaux.

Nous présentons tout d’abord les milieux poreux étudiés, ainsi que les dispositifs expérimentaux utilisés lors de ces études.

Milieu (A) Milieu (B)

dX Écoulement ΔX

C(IL) C(1)

Δt

t

3.1. Résultats expérimentaux utilisés : a- Milieux modèles :

Gujisaite [8]. a travaillé avec deux matériaux non pollués. Le premier milieu est un mélange de sable et d’argile. Afin d’avoir des durées d’expérience raisonnables, le pourcentage massique d’argile est de 5% dans le mélange. Ce dernier a été préparé par voie humide ; les constituants secs ont été introduits et pesés successivement dans un flacon, humidifié par la suite par une solution de chlorure de calcium, agité mécaniquement et/ou manuellement, puis séché à l’étuve à une température inférieure à 50°C pour ne pas modifier la structure des minéraux. Le milieu obtenu présente une couleur uniforme. Des essais de tamisage du mélange à sec ont aussi permis de montrer que l’argile était liée aux grains de sable à plus de 90% et que le sable et le mélange avaient une granulométrie semblable. Dans la suite du texte, ce mélange sera noté SKA.

Le deuxième milieu est une terre agricole sablo- limoneuse, prélevée dans l’horizon supérieur d’une parcelle cultivée sur un sol brun acide. La terre prélevée a été préalablement séchée à l’air et tamisée entre 50µm et 2 mm ; elle donne lieu à un système modèle destiné à étudier l’adsorption linéaire en milieu saturé. L’échantillon considéré sera noté CHE, dans la suite du texte.

Les traceurs choisis sont un traceur ionique, CaCl₂ comme traceur inerte et du 9- anthracène acide carboxylique (9-ACA) de propriétés proches de celles des HAP, comme traceur réactif. Le coefficient de partage de (9-ACA) est Kd=0.5 L kg^-1.

b- Montage expérimental :

V. Gujisaite, à utilisé un protocole expérimental de chromatographie éluto-frontale illustré sur la figure V.1. Il se compose d’une pompe HPLC, d’une colonne en verre ou en inox à hauteur de lit ajustable grâce à deux pistons, d’un court- circuit aux extrémités de la colonne, d’un conductimètre et d’un détecteur U.V en ligne. Le corps de la pompe (pistons et frittés) est en acier inoxydable afin d’éviter l’adsorption du traceur organique. Les tuyaux et les vannes sont en téflon, mais leur faible surface d’échange permet de négliger le phénomène d’adsorption

L’hydrodynamique est connue grâce à la mesure en ligne de la conductivité électrique de la solution du traceur utilisé. La concentration du naphtalène et de toluène à la sortie de la colonne est suivies en continu par détection U.V. à 261nm et les fractions du (9- ACA) sont collectées en sortie de l’installation puis analysées.

Figure.5. Schéma général du montage expérimental utilisé par V.

Gujisaite.

Tableau 1: Caractéristiques des colonnes et des milieux utilisés par Gujisaite

Milieu D (cm)

L (cm)

M (Kg)

V0

(ml)

𝜀𝜀 𝜌𝜌

(Kg/m³)

dp(m)

SKA 9 ,4 21 2,3 460 0,32 1500 25 10^-6 CHE 9,4 21 2,1 624 0,41 1400 41,6 10^-6

3.2. Résultats de la simulation : 3.2.1. Etude de l’hydrodynamique :

0 200 400 600 800

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

C/C0

t (mn)

DTS_num_2,1ml/mn DTS_exp_2,1ml/mn

Figure 6: Ajustement de la percée de l’eau sur le milieu SKA par le modèle numérique, à 2.1ml/min.

0 100 200 300 400 500 600 700

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

C/C0

t (mn)

DTS_num_4ml/mn DTS_exp_4ml/mn

Figure 7: Ajustement de la percée de l’eau sur le milieu CHE par le modèle numérique, à 4ml/min.

Les résultats de simulation sont en bon accord avec les valeurs expérimentales obtenues par V.

Gujisaite, une bonne superposition entre la courbe numérique et la percée expérimentale est obtenue.

Des allures similaires obtenues pour les autres débits étudiés, sont regroupées en annexe.

Les résultats de la modélisation comparés aux résultats expérimentaux sont regroupés dans les tableaux 2 et 3.

Tableau 2 : Résultats de la modélisation des DTS du milieu SKA Débit

(ml/min)

Erreur (%)

µ1 exp µ1 Num 𝝈𝝈^′𝟐𝟐exp 𝝈𝝈^′𝟐𝟐Num

2,1 3,26 219.047 219.8163 0.2081 0.2013 3,1 2,24 143.870 142.9328 0.2139 0.2091 4,1 1,12 112.195 112.4263 0.2137 0.2113 Tableau 3 : Résultats de la modélisation des DTS du milieu CHE

Débit (ml/min)

Erreur (%)

µ1 exp µ1 Num 𝝈𝝈^′𝟐𝟐exp 𝝈𝝈^′𝟐𝟐Num

2 1,29 308 306.0656 0.3318 0.3361 4 3,51 150 150.0700 0.3495 0.3372

 Effet du débit sur les DTS:

0 1 2 3 4 5

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

C/C0

t/µ1

DTS_SKA_2,1ml/mn DTS_SKA_3,1ml/mn DTS_SKA_4,1ml/mn

Figure 8 : Effet du débit sur les DTS numériques en milieu SKA.

0 1 2 3 4

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

C/C0

t/µ1

DTS_CHE_2ml/mn DTS_CHE_4ml/mn

Figure 9: Effet du débit sur les DTS numériques en milieu CHE.

Pour le milieu SKA, la valeur de la variance réduite est constante ce qui nous donne un nombre de Pe constant pour les trois débits, la dispersivité est indépendante du débit, ce qui montre que la dispersion croit d’une manière linéaire avec l’augmentation du débit selon (D_L= αL U).

Avec : D_L ≈ 0,02246 U

Dans ce cas, la représentation des courbes de percée à différents débits en fonction du temps, rapportée au moment d’ordre un de chaque courbe, donne lieu à des courbes parfaitement superposées (figure 8).

Pour le milieu CHE Les DTS présentent une légère augmentation de la dispersion avec le débit 4mL/min. D’après Tevissen (Tevissen, 1993), cela peut être expliqué par la présence d’une fraction d’eau immobile qui échange du soluté avec la phase mobile.

0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18

0,20 0,25 0,30 0,35 0,40

D(cm2/mn)

U(cm/mn)

D(cm2/mn)

Figure 10 : Variation de la dispersion du milieu SKA en fonction de la vitesse des pores

 Milieu physiquement hétérogène :

Dans cette partie nous allons simulés les percés du traceur inerte en se basant sur l’hypothèse d’un milieu physiquement hétérogène composé de deux milieux

poreux dont les porosités sont différentes c.à.d.

(vitesse et dispersion différente), les milieux hétérogènes utilisés sont, milieu hétérogène A

composé de (milieu SKA+milieu CHE)

0 200 400 600 800

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

C/C0

t (mn)

DTS_hété_2ml/mn DTS_homo_2ml/mn

Figure 11 : comparaison entre la DTS en milieu homogène SKA et la DTS en milieu hétérogène A à 2ml/mn

0 1 2 3 4 0,0

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

C/C0

t/µ1

DTS_hété_2ml/mn DTS_homo_2ml/mn

Figure 12: comparaison entre la DTS en milieu homogène SKA et en milieu hétérogène A, en temps réduit au moment d’ordre un, à

2mL/min.

Tableau 4: Comparaison entre les résultats des DTS homogènes et DTS hétérogènes A.

D’après les résultats obtenus dans les tableaux précédents, on remarque une augmentation de la valeur de la variance réduite dans les milieux poreux physiquement hétérogènes, ce qui entraine une augmentation de la dispersion dans ces derniers par apport aux milieux poreux physiquement homogènes.

3.2.2. Etude du transport de soluté linéairement interactif :

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

C/C0

t (mn)

DTR_num_CHE_3,9ml/mn DTR_exp_CHE_3,9ml/mn

Figure 13: Ajustement de la DTR de (9-ACA) sur le milieu CHE par le modèle numérique, à 3,9ml/min.

Comme pour le traceur inerte, l’ajustement des DTR expérimentales à notre modèle est très satisfaisant, nous obtenons une bonne superposition entre les courbes numériques et les percées

expérimentales.

Tableau 5 : Résultats de la modélisation des DTR du milieu CHE.

Débit (ml/min)

Erreur (%)

µ1 exp µ1 Num 𝝈𝝈^′𝟐𝟐exp 𝝈𝝈^′𝟐𝟐Num

3,9 0.03389 435,3864 445,0634 0.4960 0.5134 Les simulations approchent les points expérimentaux avec une erreur inférieure à 5,4% sur la majorité des points, pour les différents milieux. En comparaison avec les résultats numériques du traceur inerte, nous constatons que le temps de rétention du traceur réactif est très grand devant le temps de séjour moyen du fluide dans le milieu CHE.

Tableau 6 : temps de séjour et de rétention moyens des différents milieux.

milieux ts (mn) tR (mn)

CHE 156,410 435,3864

Rappelons que, selon la théorie du transport le front de concentration du traceur réactif en temps absolu est retardé par rapport au front de concentration du traceur inerte. Ce qui est bien illustré par les figures précédentes.

En revanche, la représentation de la DTS et de la DTR, pour un même débit, en fonction du temps rapporté au moment d’ordre un, nous donne des fronts de concentration parfaitement superposés.

0 2 4 6

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

C/C0

t/µ1

DTS_CHE_3,9ml/mn DTR_CHE_3,9ml/mn

Figure 14 : Comparaison entre la DTS et la DTR simulées en milieu CHE à 3,9ml/min.

Par conséquent, nous déduisons que la théorie du transport est valide dans ce cas. Le panache de molécules du traceur réactif suit exactement les mêmes chemins que ceux du panache du traceur de l’eau, mais il est plus étalé dans le temps et retardé en une position donnée de l’espace, en raison de l’interaction de soluté avec la matrice solide.

Milieu physiquement hétérogène : milieu hétérogène A (SKA+CHE)

Débit (ml/min) µ1 Num 𝝈𝝈^′𝟐𝟐Num Dhét (cm²/mn)

2 290,220 1,0697 0,7806

3 193,001 1,1446 1,2619

4 143,9392 0,9742 1,6065

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 0,0

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

C/C0

t (mn)

DTR_hété A_3,9ml/mn

Figure 15 : ajustement numérique de la DTR hétérogène A à 3,9ml/mn

En comparaison avec les résultats numériques du traceur inerte, nous constatons que le temps de rétention du traceur réactif dans le cas d’un milieu physiquement hétérogène est très grand devant le temps de séjour moyen du fluide dans le milieu, Tableau 7 : Comparaison entre les résultats des DTR homogènes et DTR hétérogènes A.

0 1000 2000 3000 4000 5000

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

C/C0

t (mn)

DTR_hété_3,9ml/mn DTR_homo_3,9ml/mn DTS_homo_3,9ml/mn

Figure16: comparaison entre la DTS homogène et les DTR

homogène et hétérogène A à 3,9ml/mn

Cette variation peut être attribuée à l’augmentation du facteur de retard R dans le milieu hétérogène qui engendre une augmentation de la dispersion. En effet l’hétérogénéité du milieu poreux entraîne une variabilité spatiale de la vitesse d’écoulement de l’eau, qui crée des chemins préférentiels pour le soluté. Cela entraîne un étalement du soluté qui s’additionne à celui provoqué par la dispersion locale, due à la microstructure du milieu poreux naturel. Cet étalement est appelé macrodispersion [9].

4. conclusion:

L’ensemble du travail présenté ici vise à quantifier les propriétés du transport réactif en milieux poreux physiquement hétérogène, L’étape de modélisation nous a permis de développer un modèle permettant la simulation du transport réactif en milieu physiquement hétérogène. L'exploitation des résultats a été basée sur la résolution numérique de l'équation de transport appelée EADF par la méthode des volumes finis en utilisant le schéma d’Adam Bashford, puis la résolution numérique du système d’équations obtenu par l’algorithme de Thomas.

Il s’agit aussi de démontrer, grâce aux calculs de variances réduites, que le coefficient de dispersion utilisé dans l’équation de transport pour le réactif devait être augmenté dans le cas hétérogène, par rapport à celui de l’eau, contrairement au cas d’un milieu physiquement homogène.

Références:

[1] Brusseau, M. L. 1994. Transport of reactive contaminants in heterogeneous porous media. Reviews of Geophysics 32:285-313.

[2] Flury, M., Yates, M.V., Jury, W.A. and Anderson, D.L.

Chapter 5: Variability of solute transport in field lysimeters, American Chemical Society, 1998, p 65-75.

[3] Ogata, A. 1970. Theory of dispersion in a granular medium.

Professional Paper 411-1, US Geological Survey.

[4] Van Genuchten, M. T. 1981. Analytical solutions for chemical transport with simultaneous adsorption, zero-order production and first-order decay. Journal of Hydrology 49:213-233.

[5] Zheng, C. 1990. MT3D: A modular three-dimensional transport model for simulation of advection, dispersion and chemical reactions of contaminants in groundwater systems. U.S.

Environmental Protection Agency, Ada, OK.

[6] K. Besnard. Modélisation du transport réactif dans les milieux poreux hétérogènes. Application aux processus d'adsorption cinétique non linéaire. Thèse, Sciences de la Terre. RENNES, 2003.

[7] Y. ADRIENNE. Dispersion active en milieux poreux hétérogènes contaminés par des produits hydrocarbonés. Thèse, MÉCANIQUE ET INGENIERIE, Université Bordeaux 1, 2006.

[8] Gujisaite, V., 2008, Transport réactif en milieux poreux non saturés. Thèse en Génie des Procédés, INPL, Nancy.

[9] A. Beaudoin, S. Oukfif, H.Q. Wang et A. Benamar, transport réactif dans des milieux saturés hétérogènes, (étude de l’effet de l’adsorption non linéaire) ; LMPG – Université du Havre, AUGC 2006.

milieu homogène (CHE) milieu hétérogène A (CHE+SKA) Q

(ml/min)

µ1 Num 𝝈𝝈^{′𝟐𝟐Num} D

cm²/mn

µ1 Num 𝝈𝝈^{′𝟐𝟐Num} Dhét

cm²/mn 3,9 445,063 0,513 0,09 765,989 1,077 0,395