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Le principe de la conservation de l’électricité et le
problème général de l’électrostatique
A. Grumbach
To cite this version:
LE
PRINCIPE
DE LACONSERVATION DE
L’ÉLECTRICITÉ
ETLE
PROBLÈME
GÉNÉRAL
DE
L’ÉLECTROSTATIQUE
Par A.
GRUMBACH,
Professeur à la Faculté des Sciences de Poitiers.
Sommaire. 2014 Le principe de la conservation de l’électricité joint aux principes de la thermodynami-que permet d’établir simplement l’existence de la solution du problème fondamental de l’Electrostatique. On commence par examiner les cas les plus simples de distributions possibles et l’on obtient la solution
générale en combinant linéairement les solutions particulières.
1. - Le rôle fondamental du
principe
de laconser-vation de l’électricité dans les
phénomènes
d’influencea été mis en évidence par
Faraday
(’)
qui
en a vérifiéles
conséquences
expérimentales
avec leplus grand
soin,
ainsi que lerappelle
Lippmann
(’)
au début dumémoire où il donne à ce
principe
sa formegénérale,
indépendante
de la nature des variables enjeu.
Cependant
on se borne enélectrostatique
à vérifierles
applications
de l’énoncé sans rechercher un lienlogique
entre son contenu et les théorèmes que l’on dé-montre àpartir
de la théorie dupotentiel
considérée àun
point
de vuepurement mathématique.
Or le
problème
del’équilibre électrique présente
uncaractère
qui
ledistingue
des autresapplications
duprincipe
deDirichlet;
eneffet,
leprincipe de
laconser-vation de l’électricité
comporte
desconséquences
indé-pendantes
de la théoriegénérale
des fonctionsharmo-niques.
Supposons
démontrés le théorème d’existence et l’uni-cité de la solution. Soient n conducteursparfaits
enprésence, Vi,
V2,... Vn
leurspotentiels;
leurscharges
sont alorsDonnons à ces conducteurs d’autres
positions
dansl’espace;
la théoriemathématique
nouspermet
de cal-culer les nouveauxpotentiels V1’,...,
V’,~,
lescharges
qi, q2,.... qn étantsupposées
constantes.C’est le
principe
de la conservation de l’électricitéqui
nousapprend
que ce résultat seraphysiquement
obtenu en maintenant les conducteurs isolés : la
charge
induite totale demcure nulle sur chacund’eux,
lesquantités
d’électricitépositive
etnégative
libérées par influence étantégales
et designe
contraire.Nous sommes ainsi amenés à nous poser le
problème
de
l’équilibre électrique
en lui donnant pour base leprincipe
de la conservation de l’électricité et lesprin-cipes
de lathermodynamique.
La méthode consiste à étudier d’abord les cas
d’équi-libre
simples;
une fois l’existence de chacun d’euxétablie,
la démonstration der l’unicité de la solution(1) M. FARADAY, Exper. Res. on Electrieily, t. 3, p.
(~-’) G. LIPPMANN, Ann. de Ch. et de Ph., 5e série (1f~81), t. 24,
p. 145; J. Phys., 1 re série (1881), t. 10, p. 381.
étant facile et connue, nous
parviendrons
à la solutiongénérale
en combinant linéairement les solutionsparti-culières.
2. - Considérons d’abord un conducteur isolé dans
l’espace ;
nous luicommuniquons
unecharge q :
il semet
spontanément
enéquilibre.
Eneffet,
supposonsqu’il
soit lesiège
d’une circulation indéfinied’électricité;
commel’expérience
nousapprend
que tout courant. électrique
estaccompagné
d’undégagement
dechaleur,
il nous seraitpossible
de faire fonctionner une machinede Carnet dont la source chaude serait soit le
conduc-teur,
soit un corpséloigné
qu’il
échaufferait parrayon-nement,
la source froide étant aussi à une distance duconducteur assez
grande
pourque les
forcesélectriques
réciproques
soientnégligeables.
Au lieu de nous donner la
charge
duconducteur,
mettons-le en communication avec une source aupoten-tiel V et isolons-le ensuite :
l’équilibre
s’établit pour les mêmes raisons queprécédemment.
Le caractère linéairedes
équations
fondamentalesconduit immédiatement à la notion de
capacité
d’ionconducteur isolé dans
l’espace.
3. - Mettons enprésence n
conducteursisolés,
dont lescharges
initiales sont q1, q~2, . ·., qn ;assignons-leur
despositions
déterminées,
mais assezéloignées
pourqu’il
ne seproduise
pas dedécharge
disruptive
entre eux.L’équilibre
s’établitnécessairement
comme le montreun raisonnement
calqué
sur celui duparagraphe
pré-cédent.Les
charges
demeurentconstantes,
d’après
leprin-cipe
de la conservation de l’électricité.Donnons-nous maintenant les
potentiels
V,y
~2,...,
Ilfaut,
pourcela,
mettre les conducteurs encom-munication avec des sources extérieures
éloignées,
enrépétant l’opération chaque
foisqu’on
auradéplacé
les conducteurs.L’équilibre
s’établitnécessairement,
caril ne
peut
y avoir de circulation indéfinie d’électriciténi sur les
conducteurs,
ni entre chacun d’eux et lasource
qui
sert à leporter à
unpotentiel
déterminé.Qu’on
se donne lescharges
ou lespotentiels,
l’équi-libre existe donc pour touteposition
des conducteurs.f 7.
242
Nous supposerons l’unicité de la solution démontrée par les méthodes
classiques.
En vertu despropriétés
analytiques
dupotentiel,
on trouve lesexpressions
ou
avec
Les déterminants des coefficients C et A ne seront donc pas nuls.
4. -
Supposons
que p conducteurs sont seuls dansl’espace;
leurspotentiels
p’ t,
~~‘2,..., ~’p
sontliés à
leurs.charges
qi, q2,..., qp par leséquations
(1)’
ou
(‘~)’
obtenues enposant
1J = it dans leséquations
(1)
et
(2)
et enremplaçant
la lettreV par
~’.
Nlettons en
place
les autres conducteursdépour-vus de
charges
initiales et maintenons-les aupotentiel
zéro. Les
potentiels des p premiers
conducteurs sont alors CPh~2,...,c~p :
ils sont dus auxcharges
invariables qi, q2,.... qp et aussi auxcharges
qn induitespar celles-ci sur les n-p derniers conducteurs.
Les p
premières
étant seulesindépendantes,
c?1,.,.,~~
ne
dépendent
que de q~,..., qp. Il y a nécessairementéquilibre
pour les raisonsindiquées plu s
haut.L’équilibre
étantunique,
les ?
sont des fonctionslinéaires de r~,, ... qp :
ou
Les
charges
induites sur les n-p derniers conducteurssont
les valeurs
des p
étant fourniespar les équations (4).
5. -Supposons
Les p
premiers
conducteurs isolés restent aupoten-tiel zéro tant
qu’ils
sont seuls dansl’espace.
Adjoignons-leur n-p autres conducteursportés
à despotentiels
respectifs Vp + i , ... ,
Yn
non tousnuls;
si ces derniersétaient
seuls,
leurscharges
seraientLa
présence
de ces derniers conducteurs faitappa-railre sur chacun
dcs p premiers supposés
isolés descharges
induites de sommenulle;
leurspotentiels
,~l 1...
1 ne sont fonction que deV~+1,...,
Vn,
pourchaque configuration
de l’ensemble.Il y a encore
équilibre,
en vertu du raisonnementdonné
précédemment.
6. -Nous avons défini deux états
d’équilibre
(a)
et(b) :
En les
superhosmt,
nous obtenons un nouvel étatd’équilibre
(c) :
charges :
potentiels :
Ainsi se trouve résolu le
problème général :
lescharges
ql, c~~,..., qpdel)
conducteurs et lespotentiels
vp+,, ..,,
Vn des
autres étantdonnés,
y a-t-il un étatd’équilibrer
La même démonstration nous montrequ’il
existe etqu’il
estunique.
Lespotentiels
inconnus sontVi
= ?i i-1‘ ’~ i
i ...,et les
charges
inconnuesqp + 1 =
(J"p+l
+
> ...~. 71+
Toutes les
équations
étantlinéaires,
on écrit de nou-veau leséquations
(1 ) et (~),
mais nous avons maintenantle droit de nous donner arbitrairement les
charges de p
conducteurs et lespotentiels
des 11 - p autres.On tire
Vl,...,
va
(les 1)
premières
équation,
car le déterminantn’est pas
nul,
d’après
leparagraphe
5. On en déduit lescharges
inconnues q~+~,.,., q n au moyen des der-nièreséquations.
Le théorème d’existence se trouve ainsi démontré
dans toute sa
