ATS 2021-22 TD EM1
ELECTROSTATIQUE
1 Distribution ponctuelle**
Soient quatre charges sphériques quasi-ponctuelles telles que :
A l’aide d’arguments de symétrie, représenter le champ élec- trostatique au centre du carré de diagonale 2adans chaque situation. Puis exprimer le.
Réponse :E3= q
π√ 2oa2
2 Quelques questions**
1. On charge une sphère de rayon 10cmavec 50C.
Ces charges se répartissent exclusivement en sur- face et de manière uniforme. Déterminer la den- sité surfacique.
2. Sachant que la distance inter-atomique est d’en- viron d ≈ 1 nm, estimer la densité volumique d’atomesn∗ dans la matière ? Si ces atomes sont en fait des ions chargés +e, évaluer la densité vo- lumique de charge dans le milieu.
3. Evaluer la force de répulsion entre deux ions voi- sins en reprenant les ordres de grandeur de la question précédente.
Réponse : 1)σ= 4.0 102C/m2, 2)ρ≈1.6 108 C/m3, 3) F ≈10−10N
3 Point de champ nul**
Sur la carte de champ ci-dessous, il apparaît que le champ électrostatique en A est nul. En posant que la dis- tance entre les 2 charges est égale à 2aet l’origine Osur q, déterminer l’abscissexAde ce point en fonction dea. Vérifier évidemment votre résultat sur le schéma.
Réponse :xA= 0.828.a
4 Calcul de charges*
Exprimer la charge totaleQportée par chacune des distributions suivantes :
1. Un tronçon de longueur L d’espace inter- cylindrique (compris entreR1 etR2) chargé uni- formément en volume avec la densitéρ.
2. Une sphère de rayonRchargée en surface avec la densitéσuniforme.
3. Une couche plane de dimensionLxl, d’épaisseur e, chargée en volume avec la densitéρuniforme.
4. Une sphère de rayonRchargée en volume avec la densitéρuniforme.
5. Un ruban plan de largeur L et de longueur H chargé en surface avec la densitéσ(x) =Ko(H− x), avecxla variable de position dans la longueur.
Le ruban est inclu dans l’intervallex∈(0, H).
6. Un fil circulaire (= spire) de rayonRchargée avec la densité linéique uniformeλ.
7. Un fil rectiligne de longueurLd’axe Oz portant une densité de chargesλ=kz(k =constante). Le fil occupe l’intervalle (0, L).
8. *** Une centrifugeuse est constituée d’un com- partiment cylindrique de rayon R et de hauteur h qui tourne à une vitesse angulaire constante autour de son axe de symétrie de révolution (ce dernier étant vertical). Un liquide contenant des ions est placé dans ce compartiment. Du fait de la rotation, la densité volumique des ions et donc des charges n’est pas homogène et s’écrit, en co- ordonnées cylindriques :
ρ(r) =ρor/R
On retrouvera préventivement l’expression du vo- lume élémentaire en coordonnées cylindriques.
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9. *** Un cylindre d’axeOz, de rayonRet de hau- teurH contient une distribution de charges non uniforme à symétrie radiale. La densité volumique de charge varie suivant la loi (avec k = cst) :
ρ(r) =ρo
e−kr r
Réponse : 8)Q=ρo2
3πhR2; 9)Q=ρo2πk(1−e−kR)H
5 Etude des symétries*
1. Dans chacun des cas suivants, choisissez et des- sinez en un point M quelconque la base adaptée à la géométrie du problème, déterminez les inva- riances et plans de symétrie de la distribution puis obtenez un maximum d’information sur E(M~ ), M étant un point quelconque.
(a) Un plan infini chargé en surface avec la densité σo.
(b) Une charge seuleQ.
(c) Un espace inter-cylindrique (compris entreR1
etR2) infini, chargé uniformément en volume avec la densitéρ.
(d) Une sphère chargée en surface avec la densité σ
(e) Une couche plane infinie d’épaisseurechargée en volume avec la densitéρ.
(f) Un fil infini uniformément chargé avec la den- sité linéiqueλet portant en plus un amas de chargeqen l’un de ses points.
(g) Une modélisation de l’atome constituée d’une charge ponctuelleQen Oet d’un nuage élec- tronique sphérique chargé uniformément en volume avec la densitéρ, centré surO.
2. Dessiner grâce aux symétries le champ électrique aux pointsM0 et M00.
6 Etude d’une distribution*
Un cylindre infini d’axeOz, comportant une partie cylindrique évidée d’axeO0z, porte une charge volumiqueρ uniforme.
Déterminer un maximum d’information sur E(O~ 0) puis E(M~ ) si M est un point à l’extérieur de la distribu- tion.
7 Energie potentielle et canon élec- trique**
Un projectile de massemet possédant une chargeQ est accéléré dans un canon électrique d’axeOzpar répulsion avec une chargeq fixe. On néglige l’influence de la gravité.
On suppose de plus quedD. Le schéma ci-dessous repré- sente la situation àt= 0 :
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1. Exprimer la force subie par le projectile en un point quelconque de la trajectoire.
2. Rappeler le lien qui existe entre une force conser- vative et son énergie potentielle. En déduire l’ex- pression de l’énergie potentielle électriqueEpel. 3. A l’aide de la loi de conservation de l’énergie mé-
canique, exprimer la vitesse de sortie vf du sys- tème. Etudier la pertinence du résultat.
4. Sid≈1 cm, évaluer la valeur des charges néces- saires (supposées identiques) pour communiquer à un projectile de 100g une vitesse de 1km/s.
Réponse : 2)Epel=4πqQ
oz+cst; 3)vf ≈p
qQ/2πodm
8 Charge d’équilibre***
Soient trois charges identiquesqplacées aux sommets d’un triangle équilatéral de côtéd. Déterminer la position et la valeurQde la charge qu’il faut ajouter à cette distribution pour que toutes les charges soient à l’équilibre. On négligera toute autre force que la force électrique.
9 Rappel*
Dessiner sur un exemple les bases cylindrique (~ur, ~uθ, ~uz) et sphérique (~ur, ~uθ, ~uφ) .
Synthèse du chapitre
Objectifs principaux Exos
Savoir passer d’une densité volumique, surfacique ou linéique à une charge et inversement
1,4 Relation force électrique - champ électrique 3,7,8 Champ électrique créé par une charge ponctuelle. Sa- voir retrouver la force électrique entre deux charges
1,2,3,7, 8 Utiliser le principe de superposition 1,3,8 Identifier invariances et plans de sym/antisymétrie et en exploiter les conséquences
1,5,6
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