Calcul numérique du potentiel et du flux d'un disque uniformément chargé

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Calcul numérique du potentiel et du flux d’un disque

uniformément chargé

Michel Laudet

To cite this version:

[10] HARKINS. --- Tables annuelles de

constantes, 1952, n° 5.

[11] HARKINS et MORGAN. 2014 Proc. Nat. Acad.

Sc., 1925, 11, 637.

[12] HARKINS. 2014 Chem. Phys., 1942, 10, 342.

[13] ADAM. 2014 _Physic and _Chemistry of surfaces, 1941, Oxford

University Press.

[14] HARDY. 2014 Proc. _Roy. Soc., 1912, A 86, 610.

[15] HARDY. 2014 Proc. _Roy. Soc., 1922, A 100, 55o.

[16] BURDON R. S. 2014

Surf., Tension and _spreading of _liquids,

1943, Cambridge University Press.

l17] GUTTON. 2014 Les lampes électromètres.

Conférences-Rapports sur la _Physique, vol. 5, Presses Universi-taires, Paris.

[18J SIMONDS H. R. S., SCHERMANN MM. et BIGELOW. 2014 Les nouveaux matériaux de synthèse américains,

1948, Paris, Ed. C. N. R. S.

[19] MEYER M. 2014 Introduction à l’étude des matières plas-tiques, 1948, Paris, Ed. Dunod.

[20] GUASTALLA. 2014 J. Chim. _{Phys. (sous presse).}

CALCUL

_NUMÉRIQUE

DU POTENTIEL ET DU FLUX D’UN

_{DISQUE UNIFORMÉMENT CHARGÉ}

Par MICHEL LAUDET,

Faculté des Sciences de Toulouse.

Sommaire. - Le

potentiel électrostatique V d’un _disque circulaire uniformément _chargé, est

analy-tiquement connu en tout _point de l’espace. On peut en donner _{plusieurs développements} en série et même en obtenir une _{expression intégrale} relativement simple. Ces _expressions conduisent, en _général, à des calculs _longs, si l’on se _{propose de} déterminer le _potentiel en un _{point quelconque.} On a alors

intérêt à faire _appel à la méthode de relaxation, à la fois très _simple et très _{générale. L’application} de cette _{méthode, qui} nécessite la connaissance du potentiel V sur les limites du domaine étudié, ne semble pas avoir été beaucoup utilisée pour l’étude des systèmes non bornés.

LE JOURNAL DE

PHYSIQUE

ET LE RADIUM. TOME

_43,

NOVEMBRE _195~-2, PAGE 549.

1. Introduction. ~-- Nous

nous sommes

_proposés,

dans ce

_travail,

de comparer les différentes méthodes

permettant

de calculer

_{numériquement}

la valeur du

_potentiel

en un

point quelconque

de

l’espace

d’un

_disque

uniformément

_chargé

et à

_préciser,

pour chacune

d’elles,

les

régions

où elles

pouvaient

être

_pratiquement

utilisées. En

_particulier,

ces

méthodes se

_prêtent

bien au calcul de V sur les limites du domaine étudié. Nous avons ensuite

appliqué

la _{méthode de relaxation pour la} déter-mination du

_potentiel

dans le domaine ainsi borné.

Enfin,

pour mettre en évidence la

_{généralité}

et la

simplicité

de la méthode de

relaxation,

nous l’avons

appliquée

au calcul de la fonction flux d’induction (D

qui

détermine les

_lignes

de force.

Outre l’étude

_{systématique}

de la méthode de relaxation dans le cas des

_systèmes

de révolution

non

_bornés,

un certain intérêt s’attache à

l’exemple

traité. On

sait,

en

eifet,

que la connaissance des fonctions V et 6b relatives à un

_disque

uniformément

chargé,

permet

de résoudre le

_problème

d’un

_cylindre

droit uniformément

_polarisé

et celui d’un solénoide mince.

Signalons

que le

problème

traité dans cet article

ne

_correspond

_pas au cas d’un

_disque

conducteur

électrisé,

pour

lequel

le

_potentiel

est constant et la

répartition

de la

_charge

non uniforme.

2.

_{Expressions analytiques}

du

_potentiel

V

en un

_{point quelconque}

de

_l’espace.

- Ces

expressions, qui

sont bien connues et que nous allons

brièvement

_rappeler,

consistent à résoudre

l’équa-tion de

_Laplace

et à déterminer les solutions de cette

_{équation qui,}

Fig. i.

dans le cas

étudié,

se réduisent sur l’axe Oz du

_disque

à

_{l’expression classique}

du

_potentiel

dans

_laquelle

b est _{le rayon du}

_disque

et (1 la densité

de

_charge.

’

En

_désignant

par

Vo le

potentiel

au centre du

disque,

la relation

_précédente

s’écrit

1

1°

_{Développement}

en série entière. - Pour _un

point

NI situé à une

_{distance o}

de l’axe de révolution,

la fonction

_potentiel

V est une fonction

_{de p}

et de z.

1

Sur l’axe

_{où ?}

= o nous _poserons

Avec ces

_notations,

le

_potentiel

en un

_point

NI

_(o,

_z)

aura _pour

_expression

Soit,

dans le cas du

_disque,

Cette série est

_toujours

_convergente

_pour

La formule

₍₃₎

n’est d’un

_emploi

commode

_qu’au

voisinage

de l’axe où l’on

_peut

se contenter des

premiers

termes de la série.

Nous l’avons utilisée pour calculer le

potentiel

dans le

_plan

du

_disque

_(z

=

o)

pour des valeurs

_{de b}

successivement

_{égales :}

0,2,

0,4

et o,6.

Le calcul des dérivées successives de

_{1 (z)}

_{pour z} = o

est notablement

_simplifié

et l’on

_peut

conserver un

plus grand

nombre de termes dans la série

₍₃₎

sans

pour cela être conduit à des calculs fastidieux. 20

_{Développement}

en série de

_polynomes

de

_Legendre.

- Il est

également possible

de donner un

dévelop-pement

de la fonction

_potentiel

rattaché directement

à la théorie des

_multipôles

eri coordonnées

_polaires.

Supposons

que nous _ayons

_développé

le

_potentiel

sur l’axe sous les deux formes suivantes :

Le

_potentiel

dans tout

_{l’espace s’exprimera}

_par

l’une ou l’autre des deux séries

dans

_lesquelles

Pu est le

_polynome

de

_Legendre

de

degré

n. On

voit,

en

effet,

_{que les séries}

₍₄₎

satisfont

à

_{l’équation}

de

_Laplace

en coordonnées

_polaires

et,

poui 0 =

0, on retrouve le

potentiel

sur

_l’axe,

_puisque

l’on a,

_quel

que soit n :

Fig. 2.

Dans le cas du

_disque,

les

_{développements}

(4)

s’écrivent

-5)

et

₍₆₎

sont

_{respectivement}

_convergents

pour r b

et z > b.

Les

_{développements précédents}

sont intéressants

lorsqu’on

les utilise dans _{des conditions telles que} la

convergence soit

satisfaisante,

en ne conservant

qu’un

petit

nombre de termes, c’est-à-dire soit au

_voisinage

de la distribution pour la série

_(5),

soit suffisamment

loin _pour la série

_(6).

Nous avons utilisé ce dernier

_{développement}

limité aux trois

_premiers

termes

pour calculer les valeurs du

potentiel

V sur les

limites AC et CB du domaine étudié

_{( fig. 3).}

Fig. 3.

3o

_{Expresion intégrale}

de V. - Nous donnerons

enfin une

_{expression intégrale}

du

potentiel

V

parti-culièrement intéressante au

_voisinage

du bord du

disque,

c’est-à-dire

_{précisément}

dans la

_région

où

les

_{développements}

_précédents

sont inutilisables _par suite du

_trop

_grand

-nombre de termes

_{qu’exigerait}

un calcul

_précis

de V.

uniformément

chargée,

de _rayon a.

On

sait

_[31

_que

le

_potentiel

_peut

_s’exprimer

sous la forme

En

effet,

d’une

_part

cette

_équation

obéit à

l’équa-tion de

Laplace

en coordonnées

_{cylindriques qui,}

dans le cas des

_systèmes

de

_révolution,

a _pour

expression

D’autre

_{part, d’après}

l’identité bien connue

sur

_l’axe,

_{où p}

=

o, la relation

(8)

se réduit à

Pour passer au

_potentiel

d’un

_disque

unifor-mément

_chargé

_{de rayon}

_b,

il suffit

_{d’intégrer}

l’équa-tion

₍₈₎

sur la variable a.

_Q

étant la

_charge

totale du

_disque,

on obtient

et il vient

soit,

en

_désignant

_{par cr la densité de}

_charge,

Cette

_{expression permettrait}

de calculer le

poten-tiel en un

_{point quelconque}

de

_l’espace,

mais les

calculs

_auxquels

elle conduit sont relativement

longs.

Par _contre, dans le

_plan

du

_disque,

la relation

₍₉₎

prend

la forme

_{plus simple :}

C’est à

_partir

de cette

_expression

_que nous avons

calculé le

_potentiel

dans le

_plan

du

_disque

_{pour b}

successivement

_égal

à 0,8, il 1,2,

1 , fij , ~,6,

1,8,

2 et 2,2.

3. Méthode de relaxaïion. - Dans la

plupart

des cas, les

expressions

précédentes

ne donnent lieu

à des calculs

_{rapides qu’au}

_voisinage

de l’axe ou

loin de la distribution. Par contre,

lorsque

l’on se

propose de calculer la fonction

potentiel

V dans tout

l’espace,

elles

conduisent,

le

_plus

souvent, à des calculs

_longs

et fastidieux. Il est

_préférable

de faire

alors

_appel

à la méthode de relaxation. Cette

méthode,

très

_générale,

_s’applique

à la résolution des

_équations

différentielles et des

_équations

aux dérivées

_partielles

d’un

_type

_quelconque.

Elle consiste à calculer les

valeurs d’une fonction 1 devant satisfaire à une

équation

aux dérivées

_partielles,

aux noeuds d’un

réseau convenablement

choisi,

après

avoir

_remplacé

l’équation

considérée par une

_équation

aux diffé-rences finies. Elle _suppose connues les valeurs

_des

sur les limites du domaine étudié.

] 0

_Rappel

des

_formules

utilisées. - Dans le

cas

des

_systèmes

de

_révolution,

le

_{plus simple}

est de choisir un réseau

_qui,

dans un

_plan

_méridien,

soit constitué par un

_{quadrillage régulier}

de côté a.

Supposons

que la

fonction

satisfasse à une

équation

du

_type

.K étant une constante. Pour K =

i, on a

l’équa-tion de

_Laplace

_{et ~}

n’est autre _que la fonction

potentiel

V. Pour K = - i, on a

_{l’équation}

de la

fonction flux.

En se limitant à

_{l’approximation}

du second

ordre,

~

peut

se

_développer

au

_voisinage

d’un

_point

_(Po,

_zo)

suivant

_{l’expression}

-En

_appliquant

cette formule aux

_quatre

_points

1,

2, 3,

4

_{( fig.}

_2),

on en déduit

_aisément,

en

_posant

~

les

_expressions

En

_portant

₍₁₃₎

et

₍₁₄₎

dans

_(11),

on obtient

8 1’)o ==2/’~-T-(2/~~)~,~-2/’~-+-(272013~)’L,.

(15)

En

_{appliquant (12)}

aux

_quatre

autres

_points

5, 6,

7, 8,

on

_obtiendrait,

_par un calcul

_identique

au

précédent,

Les formules

₍₁₅₎

et

_(16),

dites

_{respectivement}

for-mule normale et formule

_diagonale,

ne sont _pas valables _pour les

_points

de l’axe. Pour ces

_derniers,

on établit la formule suivante :

à la même

_précision

_que les

_{précédentes.}

domaine

_D,

le

_problème

consiste à déterminer

_~;~

à

l’intérieur de D et la méthode à

_remplacer

le

_problème

initial par un

_problème

aux différences finies.

Pour tous les détails concernant

_{l’application}

de cette

méthode,

nous _renvoyons le lecteur aux

articles

_[1]

et

_[2]

_signalés

dans la

_{bibliographie.}

2°

_Application

au

_disque.

- Nous _avons limité l’étude de la

_répartition

du

_potentiel

dans un

_plan

_

Ôig. @.

méridien à celle d’un carré OACB dont les côtés ont

pour

longueur

2,4 b,

b étant le rayon du

disque.

La valeur du

_potentiel

sur le

_pourtour

du domaine étudié a été calculée comme nous l’avons

précé-demment

_indiqué.

La méthode de relaxation nous a

permis

d’obtenir ensuite la

_répartition

du

_potentiel

indiqué

sur la

_figure

_4.

’

On aurait pu se

_dispenser

de calculer les valeurs de V dans le

plan

du

disque.

En

effet,

à l’extérieur

Fig. 5.

Errattim. --- Les deux vecteurs

E)i et E~ sont _égaux.

du

_disque,

dans le

_{plan z}

== _o, la continuité du

poten-tiel et de ses dérivées

_permet

_{de poser} =

V3

dans la formule

₍₁₅₎

et d’obtenir la relation

valable sur l’axe

_{des p}

à l’extérieur du

_disque.

D’autre

_part,

sur le

_disque

_lui-même,

on

_peut

établir une formule

_analogue

aux

_{précédentes}

permet-tant

_également

de se _passer de la valeur du

potentiel.

Si

E;l

et

_E;t

sont les

_composantes

normales du

champ

en deux

_points

~1’ et NI" situés de

_part

et d’autre du

_{disque ( fig.}

_5),

on a

Or,

(Fou

D’autre

_part,

on a, avec les conventions

précédentes

et en se

_reportant

à la

figure 6 :

La formule

_{(20) appliquée}

successivement aux

Fig. 6.

trois groupes de

points

0, 1, 2; 0’,!’, 2’; 0", 1 ",

2"

_{(fig. 6),}

donne

Les formules normale et

_diagonale

_permettent

d’écrire

L’élimination des

_cinq

_quantités

V"~,

V2,

Vj,, Vs,

entre ces

_{cinq équations}

donne

Telle est la relation

_applicable

_pour les

_points

du

disque.

La

_simplicité

des formules

₍₁₈₎

et

₍₂₁₎

_comparée

aux calculs que nécessite

l’application

des expres-sions

₍₂₎

et

₍₉₎

_{pour la} détermination du

_potentiel

dans le

_plan

du

_disque,

_pourrait

laisser supposer

qu’il

est

_préférable

d’éviter ce calcul. Il n’en est rien.

La _{convergence des différentes fonctions améliorées} est

_beaucoup

moins

_rapide

et,

malgré

l’utilisation

systématique

de la fonction-différence

0,

il faut

considérable de fois _{que dans le} cas ou les valeurs

de V sont connues sur tout le

_pourtour

du domaine D.

L’application

de cette méthode

revient,

en

_effet,

à considérer un domaine double et, par

suite,

conduit,

en _{gros, à} une _convergence

_quatre

fois moins

rapide.

D’autre

_part,

la variation

_brusque

du

_gradient

de

_potentiel

au

_voisinage

du bord du

_disque

_{( fig. 7)}

ne

_permet

_pas

d’envisager,

_pour le sommet

E,

une

formule aux différences finies. Il

faudrait,

dans cette

région

pour obtenir une

_précision

_suffisante,

utiliser

des carrés

_beaucoup

_plus

_petits

el, par

conséquent,

très nombreux

_auxquels

on ne

_peut

_songer.

Ainsi,

avec des carrés de côtés a =

o, i

b,

au lieu comme ceux

_qui

nous ont conduit à la

répartition

du

_potentiel

_représenté

sur la

_figure

_i§,

nous avons

obtenu,

pour les

points (0,8

b;

o),

(b; o), (1,2

b;

o)

les valeurs

_7;)2,

au lieu

de

_{813, 63~l, 466.}

4.

Étude

de la fonction flux. - Dans le

cas des

systèmes

de

_révolution,

les fonctions

_potentiel

V et

flux d’induction

~,

dites fonctions

associées,

satis-font aux relations

_[3]

qui

s’écrivent sous forme

_{d’équations}

aux

diffé-rences finies 1

Ces relations

_permettent

de déduire

1 (b

de la

e0

répartition

obtenue pour V

après

avoir fixé la valeur de la fonction flux sur une

_ligne

d’induction

quelconque.

Ce calcul

_permet

_{d’apprécier}

en

_particulier

l’ap-proximation

obtenue dans la détermination de V. On

_connaît,

en

_effet,

la valeur de 6b dans le

_plan

du

_disque

°

L’application

des formules

₍₂₃₎

à la

_répartition

obtenue pour V nous a donné des résultats

satisfai-sants, sauf au

_voisinagé

du sommet du

_disque

_où,

comme nous l’avons

_{précédemment souligné,}

la

variation

_rapide

des

_gradients

nécessite

_l’emploi

d’un

_quadrilage

_plus

fin.

On a

_intérêt,

_{pour la} détermination

_précise

de

_4J,

d’appliquer

directement la méthode de relaxation à

partir

de

_{l’équation (15)}

dans

_laquelle

on fera K =-1.

On est d’ailleurs conduit à des calculs

_plus

_simples

que pour la fonction

potentiel,

par suite de la facilité

de déterminer les valeurs de (D sur le

_pourtour

du

domaine D. En

effet,

l’axe du

_disque

étant

_pris

_pour

origine

de la fonction

flux,

les valeurs dans le

plan

du

_disque

sont _{données par les} relations

_(24).

.

Fig. 7.

Enfin,

le

_{développement}

en série de ~ limité aux

termes

_{quadripolaires}

permet

de calculer les valeurs de 4D le

_long

des côtés AC

et CB du domaine D. On a obtenu ainsi pour G

B

la

_{répartition indiquée}

On a obtenu ainsi

pour

la

_{répartition indiquée}

e0

sur la

_{figure 4.}

Cette étude a été effectuée sous la direction de M. E.

Durand,

Professeur à la Faculté des Sciences de Toulouse. Nous tenons à lui

_exprimer

toute notre

reconnaissance pour ses

_précieux

conseils.

. Manuscrit reçu le 10 juin 1952.

’

- -

, BIBLIOGRAPHIE.

°

[11 SHORTLEY et WELLER. 2014 The numerical solution of Laplace’s equation. J. _{Appl. Phys., 1938, 9, 334-348.}

[2] R. WELLER, G. SHORTLEY et B. FRIED. 2014 J. Appl.

Phys., 1940; 11, 283.

[3] E. DURAND. 2014 Electrostatique et _{Magnétostatique}