L3B Ann´ ee 2017/2018
JUIN 2018
JUSTIFIER TOUTES VOS REPONSES
Exercice 1
1. (a) i. Montrer queZ/3Zest un corps.
ii. D´et´erminer les valeurs den≤20 pour lesquelles l’anneauZ/nZ est int`egre.
(b) i. D´eterminer l’inverse de ¯13 dansZ/89Z ii. Montrer que l’anneau (Z/89Z)[X] est int`egre.
(c) i. Montrer qu’un polynˆome P ∈C[X] non nul est inversible si et seulement si deg(P) = 0.
ii. En d´eduire que∀α∈Cle polynomeX−αest irr´eductible dans C[X].
iii. Montrer que le polynˆome ¯2X+ 1 est inversible dans (Z/4Z)[X].
iv. Donner une liste de tous les polynˆomes inversibles de la forme
¯
aX+ ¯bdans l’anneau (Z/2Z)[X].
2. SoitP ∈R[X]. Vrai ou faux,
(a) P est irr´eductible si et seulement siP est irreductible dansC[X].
(b) P est irr´eductible si et seulement siP n’a pas de racine dans R. Justifier vos r´eponses.
3. On rappelle que deux ´el´ements x, yd’un anneau commutatifA sont pre- miers entre eux ssi les seuls diviseurs communs sont les inversibles deA.
(a) Montrer que X, X−1, X+ 1 sont deux `a deux premiers entre eux dans l’anneauC[X].
(b) Montrer que C[X]/(X)'C[X]/(X+ 1)'C[X]/(X−1).
(c) Montrer que :
i. C[X]/(X)6'R[X]/(X+ 1).
ii. C[X]/(X2+ 1)6'R[X]/(X2+ 1).
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Exercice 2
1. (a) Donner tous les ´el´ements inversibles de l’anneauZ/15Z. (b) Pour chaque ´el´ementx∈Z/15Z∗ calculer son inverse.
(c) Montrer que si x 6∈ Z/15Z∗ alors x est un diviseur de zero dans l’anneauZ/15Z.
2. (a) Montrer que les inversibles de l’anneau Z/15Z forment un groupe commutatif (Z/15Z∗,×).
(b) Pour chaque ´el´ement de (Z/15Z∗,×) calculer son ordre.
(c) Le groupe (Z/15Z∗,×) est-il cyclique ? (d) Trouver tous les sous groupes de (Z/15Z∗,×).
Indication : Ce groupe poss`ede exactement 5 sous groupes.
Exercice 3
1. D´ecomposer en produit de cycles `a supports deux `a deux disjoints les permutations deS10suivantes.
σx=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 4 8 10 2 9 6 1 7 3
σy=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 5 4 6 8 7 9 1 10 3
σz=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 8 4 1 9 5 6 7 10 2
Donner les ordres deσx, σy, σz.
2. (a) Montrer que si deux permutations sont `a supports disjoints, alors elles commutent.
(b) Montrer qu’il y a une permutation d’ordre 3 qui commute avecσx. 3. On rappelle que deux ´el´ements σ1, σ2 ∈ Sn sont conjugu´es ssi il existe
τ∈Sn tel queσ2=τ◦σ1◦τ−1.
Montrer que deux cycles σ1, σ2 ∈Sn sont conjugu´es si et seulement s’ils ont mˆeme longueur. Comment obtenir dans ce cas τ ∈Sn tel queσ2 = τ◦σ1◦τ−1 ?
4. Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour que deux permutations σ1, σ2 ∈Sn soient conjugu´ees, et expliquer comment obtenir dans ce cas τ∈Sn tel que
σ2=τ◦σ1◦τ−1. 5. Trouverτ ∈S10 tel queτ◦σx◦τ−1=σz.
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